1.गोले का समीकरण (Equation of the Sphere),गोले के लिए समीकरण (Equation for Sphere):

Equation of the Sphere

गोले का समीकरण (Equation of the Sphere) त्रिमीय निर्देशांक ज्यामिति में ज्ञात किया जाता है।
गोला (Sphere):गोला उस बिन्दु का बिन्दुपथ है जो समष्टि में इस प्रकार गमन करता है कि उसकी दूरी एक स्थिर बिन्दु से सदैव अचर रहती है।
स्थिर बिन्दु को गोले का केन्द्र तथा अचर दूरी को गोले की त्रिज्या कहते हैं।
गोले के समीकरण के विभिन्न रूप (Various forms of the equation to a sphere):
(1.)गोले का समीकरण जिसका केन्द्र (a,b,c) तथा त्रिज्या r हो(Equation of sphere):

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}
(2.)गोले का व्यापक समीकरण (General Equation of a Sphere):

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2wz+d=0
(3.)गोले का सरलतम रूप (Simplest form of the equation of a sphere):
यदि गोले का केन्द्र मूलबिन्दु (0,0,0) तथा त्रिज्या r हो तो उसका समीकरण होगा

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}
(4.)गोले का केन्द्र (Centre of Sphere):(-u,-v,-w)
(5.)गोले की त्रिज्या (Radius of Sphere):\sqrt{\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}-d\right)}

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2.गोले का समीकरण के उदाहरण (Equation of the Sphere Examples):

निम्न गोलों के केन्द्र तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
(Find the Centres and radii of the following):
Example-1. x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 y-8 z+4=0
Solution–x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 y-8 z+4=0 \\ u=-2, v=3, w=-4, d=4
अतः केन्द्र के निर्देशांक (2,-3,4) होंगे
तथा त्रिज्या r=\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}-d} \\ =\sqrt{(-2)^{2}+(3)^{2}+(-4)^{2}-4} \\ =\sqrt{(4+9+16-4)} \\ =\sqrt{29-4} \\ \Rightarrow r=\sqrt{25} \\ \Rightarrow r=5
Example-2. 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-2 x+4 y+2 z-5=0
Solution–2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-2 x+4 y+2 z-5=0
दिए हुए गोले के समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है

\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-x+2 y+z-\frac{5}{2}=0 \\ u=-\frac{1}{2},v=1, w=\frac{1}{2}, d=-\frac{5}{2}
अतः केन्द्र के निर्देशांक=(-u,-v,-w)

=\left(\frac{1}{2},-1,-\frac{1}{2}\right)
गोले की त्रिज्या r =\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}-d} \\ =\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+(1)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+ \frac{5}{2}} \\ =\sqrt{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\right)} \\ =\sqrt{\left (\frac{1+4+1+10}{4}\right)} \\ =\sqrt{\frac{16}{4}} \\ r =\sqrt{4} \\ r=2
एक गोले की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं:
(Find the equation of the sphere which passes through the points):
Example-3.(1,-3,4),(1,-5,2) तथा (1,-3,0) से गुजरे एवं जिसका केन्द्र समतल x+y+z=0 पर स्थित हो।
[(1,-3,4),(1,-5,2) and (1,-3,0) and whose centre lies on the plane x+y+z=0]:
Solution-माना गोले का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 \cdots(1)
यह गोला बिन्दुओं (1,-3,4);(1,-5,2) तथा (1,-3,0) से गुजरता है अतः

(1)^{2}+(-3)^{2}+(4)^{2}+2 u(1)+2 v(-3)+2 w(4)+d=0 \\ \Rightarrow 1+9+16+2 u-6 v+8 w+d=0 \\ \Rightarrow 2 u-6 v+8 w+d=-26 \cdots(2) \\ \Rightarrow (1)^{2}+(-5)^{2}+(2)^{2}+2(u)(1)+2 v (-5)+2 w(2)+d=0 \\ \Rightarrow 1+25+4+2 u-10 v+4 w+d=0 \\ \Rightarrow 30+2 u-10 v+4 w+d=0 \\ \Rightarrow 2 u-10 v+4 w+d=-30 \cdots(3)\\ (1)^{2}+(-3)^{2}+(0)^{2}+2 u(1)+2 v(-3)+2 w(0)+d=0 \\ \Rightarrow 1+9+0+2 u-6 v+d=0 \\ \Rightarrow 2 u-6 v+d=-10 \cdots(4)
केन्द्र (-u,-v,-w) समतल x+y+z=0 पर स्थित है।
-u-v-w=0
u+v+w=0 ……(5)
समीकरण (2) में से समीकरण (3) घटाने पर-
2u-6v+8w+d-(2u-10v+4w+d)=-26+30 \\ \Rightarrow 2u-6v+8w+d-2u+10v-4w-d=4 \\ \Rightarrow 4v+4w=4 \\ \Rightarrow v+w=1 ………..(6)
समीकरण (3) में से समीकरण (4) घटाने पर-
2u-10v+4w+d-(2u-6v+d)=-30+10 \\ \Rightarrow 2u-10v+4w+d-2u+6v-d=-20 \\ \Rightarrow -4v+4w=-20 \\ \Rightarrow -v+w=-5 ……(7)
समीकरण (6) व (7) को जोड़ने पर-
2w=-4 \\ \Rightarrow w=-2
समीकरण (6) में w का मान रखने पर-
v-2=1 \\ \Rightarrow v=3
v,w का मान समीकरण (5) में रखने पर-
u+3-2=0 \\ \Rightarrow u+1=0 \\ \Rightarrow u=-1
u,v,w का मान समीकरण (2) में रखने पर-
2(-1)-6(3)+8(-2)+d=-26 \\ \Rightarrow -2-18-16+d=-26 \\ \Rightarrow -36+d=-26 \\ \Rightarrow d=36-26 \\ \Rightarrow d=10
u,v,w,d के मान समीकरण (1) में रखने पर-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(-1) x+2(3) y+2(-2) z+10=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+6 y-4 z+10=0
Example-4.(3,0,2),(-1,1,1) तथा (2,-5,4) से गुजरे एवं जिसका केन्द्र समतल 2x+3y+4z=6 पर स्थित हो।
[(3,0,2),(-1,1,1) and (2,-5,4) and whose centre lies on the plane 2x+3y+4z=6]

Solution-माना गोले का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 \cdots(1)
यह गोला बिन्दुओं (3,0,2),(-1,1,1) तथा (2,-5,4) से गुजरता है अतः

(3)^{2}+(0)^{2}+(2)^{2}+2 u(3)+2 v(0)+2 w(2)+d=0 \\ \Rightarrow 9+0+4+6 u+4 w+d=0 \\ \Rightarrow 6u+4 w+d=-13 \cdots(2) \\ (-1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}+2 u(-1)+2 v(1)+2 w(1)+d=0 \\ \Rightarrow 1+1+1-2 u+2 v+2 w+d=0 \\ \Rightarrow-2 u+2 v+2 w+d=-3 \cdots(3) \\ (2)^{2}+(-5)^{2}+(4)^{2}+2 u(2)+2 v(-5)+2 w(4)+d=0 \\ \Rightarrow 4+25+16+4 u-10 v+8 w+d=0 \\ \Rightarrow 4 u-10 v+8 w+d=-45 \cdots(4)
केन्द्र (-u,-v,-w) समतल 2x+3y+4z=6 पर स्थित है अतः
\Rightarrow 2(-u)+3(-v)+4(-w)=6 \\ \Rightarrow-2 u-3 v-4 w=6 \\ \Rightarrow 2 u+3 v+4 w=-6 \cdots(5)
समीकरण (2) में से समीकरण (3) घटाने पर-
6u+4w+d-(-2u+2v+2w+d)=-13+3 \\ \Rightarrow  6u+4w+d+2u-2v-2w-d=-10 \\ \Rightarrow  8u-2v+2w=-10 \\ \Rightarrow  4u-v+w=-5 ………..(6)
समीकरण (3) में से (4) घटाने पर-
-2u+2v+2w+d-(4u-10v+8w+d)=-3+45 \\ \Rightarrow  -2u+2v+2w+d-4u+10v-8w-d=42 \\ \Rightarrow  -6u+12v-6w=42 \\ \Rightarrow  -u+2v-w=7 ……..(7)
समीकरण (6) व (7) को जोड़ने पर-
4u-v+w-u+2v-w=-5+7 \\ \Rightarrow  3u+v=2 ………(8)
समीकरण (6) को 4 से गुणा करके समीकरण (5) में से घटाने पर-
2u+3v+4w-(16u-4v+4w)=-6+20 \\ \Rightarrow  2u+3v+4w-16u+4v-4w=14 \\ \Rightarrow  -14u+7u=14 \\ \Rightarrow  -2u+v=2 ……..(9)
समीकरण (8) को समीकरण (9) में से घटाने पर-
-2u+v-(3u+v)=0 \\ \Rightarrow  -2u-3u=0 \\ \Rightarrow  -5u=0 \\ \Rightarrow u=0
u का मान समीकरण (8) में रखने पर-
v=2
u,v का मान समीकरण (7) में रखने पर-
2(2)-w=7 \\ \Rightarrow  -w=7-4 \\ \Rightarrow  w=-3
u,w का मान समीकरण (2) में रखने पर-
6(0)+4(-3)+d=-13 \\ \Rightarrow -12+d=-13 \\ \Rightarrow d=12-13 \\ \Rightarrow  d=-1
u,v,w व d का मान समीकरण (1) में रखने पर-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(0) x+2(2) y+2(-3) z-1=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 y-6 z-1=0

Equation of the Sphere

Example-5.(0,-2,-4) तथा (2,-1,-1) से गुजरे एवं जिसका केन्द्र रेखा 5y+2z=0=2x-3y पर स्थित हो।
Solution-माना गोले का समीकरण-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 \cdots(1)
यह गोला बिन्दुओं (0,-2,-4),(2,-1,-1) से गुजरता है अतः

(0)^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}+2 u(0)+2 v(-2)+2 w(-4)+d=0 \\ \Rightarrow 4+16-4 v-8 w+d=0 \\ \Rightarrow-4 v-8 w+d=-20 \cdots(2) \\ \Rightarrow (2)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+2 u(2)+2 v(-1)+2 w(-1)+d=0 \\ \Rightarrow 4+1+1+4 u-2 v-2 w+d=0 \\ \Rightarrow 4 u-2 v-2 w+d=-6 \cdots(3)
केन्द्र (-u,-v,-w) रेखा 5y+2z=0 व 2x-3y=0 पर स्थित है
-5v-2w=0
5v+2w=0 ……(4)
-2u+3v=0 …….(5)
समीकरण (2) में से (3) घटाने पर-
-4v-8w+d-(4u-2v-2w+d)=-20+6 \\ \Rightarrow -4v-8w+d-4u+2v+2w-d=-14 \\ \Rightarrow -4u-2v-6w=-14 \\ \Rightarrow 2u+v+3w=7 ……..(6)
समीकरण (5) व (6) को जोड़ने पर-
-2u+3v+2u+v+3w=7
4v+3w=7 ……(7)
समीकरण (4) को 3 से तथा समीकरण (7) को 2 से गुणा करने पर-
15v+6w=0 …..(8)
8v+6w=14 …….(9)
_    _      _
……………………..घटाने पर-
7v=-14
\Rightarrow v=-2
v का मान समीकरण (4) में रखने पर-
5(-2)+2w=0 \\ \Rightarrow -10+2w=0 \\ \Rightarrow w=5
v का मान समीकरण (5) में रखने पर-
-2u+3(-2)=0 \\ \Rightarrow -2u-6=0 \\ \Rightarrow u=-3
u,v,w का मान समीकरण (3) में रखने पर-
4(-3)-2(-2)-2(5)+d=-6 \\ \Rightarrow -12+4-10+d=-6 \\ \Rightarrow -18+d=-6 \\ \Rightarrow d=18-6 \\ \Rightarrow d=12
u,v,w तथा d का मान समीकरण (1) में रखने पर-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(-3) x+2(-2) y+2(5) z+12=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x-4 y+10 z+12=0
Example-6.एक बिन्दु इस प्रकार गमन करता है कि उसकी किन्हीं दो स्थिर बिन्दुओं से दूरियों का अनुपात अचर रहता है।प्रदर्शित कीजिए कि बिन्दु का बिन्दुपथ गोला होगा।
(A point moves so that the ratio of its distances from two fixed points is constant.Show that its locus is a sphere.):
Solution-माना बिन्दु (x,y,z) की दो बिन्दुओं x_{1},y_{1},z_{1} तथा x_{2},y_{2},z_{2} से दूरीयों का अनुपात अचर राशि k है।

\frac{\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}}{\sqrt{\left(x-x_{2}\right) ^{2}+\left(y-y_{2}\right)^{2}+(z-z_{2})^{2}}}=k \\ \Rightarrow \left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1} \right)^{2} =k^{2} [\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(y-y_{2}\right)^{2}+\left(z-z_{2}\right)^{2}] \\ \Rightarrow x^{2}-2 x x_{1}+x_{1}^{2} +y^{2}-2 y y_{1}+y_{1}^{2}+z^{2}-2 z z_{1}+z_{1}^{2}=k^{2} x^{2}-2 k^{2} x x_{2}+k^{2} x_{2}^{2} +k^{2} y^{2}-2 k^{2} y_{2}^{} y+k^{2} y_{2}^{2}+k^{2} z^{2}-2 k^{2} z_{2} z+k^{2} z_{2}^{2} \\ \Rightarrow\left(1-k^{2}\right) x^{2}+\left(1-k^{2}\right) y^{2}+\left(1-k^{2}\right) z^{2}-2 \left(x_{1}-k^{2} x_{2}\right)x-2\left(y_{1}-k^{2} y_{2}\right) y- 2\left(z_{1}-k^{2} z_{2}\right) z+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}-k^{2} x_{2}^{2}-k^{2} y_{2}^{2}-k^{2} z_{2}^{2}=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{2\left(x_{1}-k^{2} x_{2}\right)}{1-k^{2}} x-\frac{2\left(y_{1}-k^{2} y_{2}\right)}{1-k^{2}} y-\frac{2\left(z_{1}- k^{2} z_{2}\right)}{1-k^{2}} z +x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}-k^{2} x_{2}^{2}-k^{2} y_{2}^{2} -k^{2} z_{2}^{2}=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{2\left(k^{2} x_{2}-x_{1}\right)}{1-k^{2}} x+2 \frac{\left(k^{2} y_{2}-y_{1}\right)}{1-k^{2}}y+\frac{2\left(k^{2} z_{2}-z_{1}\right)}{1-k^{2}} z+\frac{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}-k^{2} x_{2}^{2}-k^{2} y_{2}^{2}-k^{2} z_{2}^{2}}{1-k^{2}}=0
जो कि गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2w z+d=0 के रूप का समीकरण है।अतः बिन्दु का बिन्दुपथ गोला है।
Example-7.एक चर गोला बिन्दुओं \left(0,0, \pm c \right) से गुजरता है तथा रेखाओं y=x \tan \alpha ,z=c ; y=-x \tan \alpha, z=-c को बिन्दुओं P तथा P’ पर काटता है।यदि PP’ की लम्बाई 2a अचर है; तो प्रदर्शित कीजिए कि गोले का केन्द्र रेखा z=0, x^{2}+y^{2}=\left(a^{2}-c^{2}\right) \operatorname{cosec}^{2} 2 \alpha पर स्थित है।
(A variable sphere passes through the points and cuts the lines y=x \tan \alpha ,z=c ; y=-x \tan \alpha, z=-c in the points P and P’.If PP’ has constant length 2a;Show that the centre of the sphere lies on the line z=0, x^{2}+y^{2}=\left(a^{2}-c^{2}\right) \operatorname{cosec}^{2} 2 \alpha.)
Solution-माना गोले का समीकरण-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2 w z+d=0 \cdots (1)
यह (0,0,c) तथा (0,0,-c) से गुजरता है अतः

c^{2}+2 w c+d=0 \cdots(2) \\ c^{2}-2 w c+d=0 \cdots(3)
(2) व (3) को जोड़ने पर-

d=-c^{2}
(2) में से (3) को घटाने पर-
w=0
समीकरण (1) में मान रखने पर-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y-c^{2}=0 \cdots(4)
यह रेखाओं तथा पर काटता है।अतः इनका सममित रूप होगा-
\frac{x}{\cos \alpha}=\frac{y}{\sin \alpha}=\frac{z-c}{0}=k^{\prime}(माना)

\Rightarrow x=k^{\prime} \cos \alpha, y=k^{\prime} \sin \alpha, z=c
माना P\left(k^{\prime} \cos \alpha, k^{\prime} \sin \alpha, c\right) \\ \frac{x}{-\cos \alpha}=\frac{y}{\sin \alpha}=\frac{z+c}{0}=k \\ \Rightarrow x=-k \cos \alpha, y=k \sin \alpha, z=-c
माना P^{\prime} \left(-k^{\prime} \cos \alpha, k^{\prime} \sin \alpha, -c \right)
अतः PP’ के बीच की दूरी

\left(k^{\prime} \cos \alpha+k \cos \alpha \right)^{2}+\left(k^{\prime} \sin \alpha-k \sin \alpha\right)^{2} +\left(c+c \right)^{2}=(2a)^{2}\\ \Rightarrow {k^{\prime}}^{2} \cos ^{2} \alpha+k^{2} \cos ^{2} \alpha+2 k k^{\prime} \cos ^{2} \alpha+k^{\prime} \sin ^{2} \alpha-2 k k^{\prime} \sin ^{2} \alpha+k^{2} \sin ^{2} \alpha +4 c^{2}=4 a^{2}\\ \Rightarrow {k^{\prime}}^{2} \left(\cos ^{2} \alpha+\sin^{2} \alpha\right)+k^{2}\left(\cos ^{2} \alpha+ \sin^{2} \alpha\right)+2 k k^{\prime} \left(\cos ^{2}-\sin ^{2} \alpha\right)=4 a^{2}-4 c^{2}\\ \Rightarrow k^{\prime 2}+k^{2}+2 k k^{\prime} \left(\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\right)=4\left(a^{2}-c^{2}\right) \cdots(5)
P व P’ गोले पर स्थित हैं अतः ये मान समीकरण (4) में रखने पर-

{k^{\prime}}^{2} \cos ^{2} \alpha+{k^{\prime}}^{2} \sin ^{2} \alpha+c^{2}+2u k^{\prime} \cos \alpha+2 v k^{\prime} \sin \alpha-c^{2}=0 \\ \Rightarrow {k^{\prime}}^{2}+2 u k^{\prime} \cos \alpha+2 v k^{\prime} \sin \alpha=0 \\ \Rightarrow k^{\prime}+2 u \cos \alpha+2 v \sin \alpha=0 \\ \Rightarrow k^{\prime}=-(2 u \cos \alpha+2 v \sin \alpha) \\ k^{2} \cos ^{2} \alpha+k^{2} \sin ^{2} \alpha+c^{2}-2 u k \cos \alpha+2 v k \sin \alpha-c^{2}=0 \\ \Rightarrow k^{2}-2u k \cos \alpha+2 v k \sin \alpha=0 \\ \Rightarrow k-2 u \cos \alpha+2 v \sin \alpha=0 \\ \Rightarrow k=2u \cos \alpha-2 v \sin \alpha
k व k’ के मान समीकरण (5) में रखने पर-

\Rightarrow(2u \cos \alpha-2 v \sin \alpha)^{2}+(-2 u \cos \alpha-2 v \sin \alpha)^{2}+2(2u \cos \alpha-2v \sin \alpha) (-2u \cos \alpha-2v \sin \alpha)(\cos ^{2} \alpha-sin ^{2} \alpha)= 4\left(a^{2}-c^{2}\right)\\ \Rightarrow 4 u^{2} \cos ^{2} \alpha+4 v^{2} \sin ^{2} \alpha-8 u v \cos \alpha \sin \alpha+4 u^{2} \cos ^{2} \alpha+4 v^{2} \sin \alpha+8 u v \cos \alpha \sin \alpha-8 u^{2} \cos ^{4} \alpha+8 v^{2} \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+8 u^{2} \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha -8 u^{2} \sin ^{2} \alpha=4\left(a^{2}-c^{2}\right) \\ \Rightarrow 8 u^{2} \cos ^{2} \alpha+8 v^{2} \sin ^{2} \alpha-8 u^{2} \cos ^{4} \alpha - 8 v^{2} \sin ^{4} \alpha+8\left(v^{2}+u^{2}\right) \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha =4\left(a^{2}-c^{2}\right) \\ \Rightarrow 8 u^{2} \cos ^{2} \alpha\left(1-\cos ^{2} \alpha\right)+8 v^{2} \sin ^{2} \alpha\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)+8\left(v^{2}+u^{2}\right) \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha=4\left(a^{2}-c^{2}\right) \\ \Rightarrow 8 u^{2} \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha+8 v^{2} \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+8\left(v^{2} +u^{2}\right) \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha=4\left(a^{2}-c^{2}\right) \\ \Rightarrow 16\left(u^{2}+v^{2}\right) sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha=4\left(a^{2}-c^{2}\right) \\ \Rightarrow\left(u^{2}+v^{2}\right)(2 \sin \alpha \cos \alpha)^{2} =\left(a^{2}-c^{2}\right) \\ \Rightarrow\left(u^{2}+v^{2}\right)(\sin 2 \alpha)^{2}=\left(a^{2}-c^{2}\right)  \\ \Rightarrow \left(u^{2}+v^{2} \right) \sin ^{2} 2 \alpha=\left(a^{2}-c^{2}\right) \\ \Rightarrow u^{2}+v^{2}=\frac{\left(a^{2}-c^{2}\right)}{\sin ^{2} 2 \alpha} \\ \Rightarrow u^{2}+v^{2}=\left(a^{2}-c^{2}\right) cosec^{2} 2 \alpha

अतः w=0, u^{2}+v^{2}=\left(a^{2}-c^{2}\right) \operatorname{cosec}^{2} 2 \alpha
बिन्दुपथ लेने पर-

\Rightarrow z=0, x^{2}+y^{2}=\left(a^{2}-c^{2}\right) \operatorname{cosec}^{2} 2 \alpha
Example-8.उस गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या r हो, केन्द्र x-अक्ष पर हो और मूलबिन्दु से गुजरता हो।
(Find the equation of sphere whose centre is on the axis and passing through origin and having radius r.)
Solution-माना गोले का समीकरण

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}
केन्द्र x-अक्ष पर स्थित है अत: केन्द्र के निर्देशांक (a,b,c)=(a,0,0)

(x-a)^{2}+ (y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2} \cdots(1)
यह मूलबिन्दु से गुजरता है अतः

(0-a)^{2}=r^{2} \Rightarrow a=\pm r
समीकरण (1) को हल करके a का मान रखने पर-

x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \\ \Rightarrow x^{2} \pm 2 r x+r^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2} \pm 2 r x=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गोले का समीकरण (Equation of the Sphere),गोले के लिए समीकरण (Equation for Sphere) को समझ सकते हैं।

3.गोले का समीकरण की समस्याएं (Equation of the Sphere Problems):

Equation of the Sphere

(1.)अचर त्रिज्या 2k का एक गोला मूलबिन्दु O से गुजरता है एवं निर्देशांकों को A,B,C पर मिलता है।सिद्ध करो कि चतुष्फलक OABC के केन्द्रक का बिन्दुपथ होगा
(A sphere of constant radius 2k,passes through the origin and meets the axes in A,B,C.Show that the locus of the centroid of the tetrahedron OABC is x^{2}+y^{2}+z^{2}=k^{2} .)
(2.)एक चर गोले के केन्द्र का बिन्दुपथ ज्ञात करो जो मूलबिन्दु से होकर गुजरता है एवं निर्देशांकों को A,B,C पर इस प्रकार मिलता है कि चतुष्फलक OABC का आयतन स्थिर रहता है।
(Find the locus of the centre of a variable sphere which passes through the origin and meets the axes in A, B, C,so that the volume of the tetrahedron OABC is constant.)
(3.)समतल \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 निर्देशांक्षों को क्रमशः A, B, C पर मिलता है।गोले OABC का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Plane \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 meets the axes in A, B, C respectively.Find the equation of the sphere OABC.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गोले का समीकरण (Equation of the Sphere),गोले के लिए समीकरण (Equation for Sphere) को ठीक से समझ सकते हैं।

Answer:- (1) x^{2}+y^{2}+z^{2}=k^{2} \\ (2) xyz=\text { अचर } \\ (3)x^{2}+y^{2}+z^{2}-ax-by-cz=0

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4.गोले का समीकरण (Equation of the Sphere) के बारे में अक्सर पूछे जाने प्रश्न:

Equation of the Sphere

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गोले का समीकरण (Equation of the Sphere),गोले के लिए समीकरण (Equation for Sphere) को समझ सकते हैं।