1.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला (Equation of Sphere Through Given Circle):

Equation of Sphere Through Circle

वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle):

(1.)एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण ज्ञात करना (To Find Equation of Sphere Through Given Circle):
स्थिति I.एक गोले एक समतल के प्रतिच्छेदन से बना वृत्त (Circles as the intersection of a Sphere and a Plane):
मान लो वृत्त निम्न समीकरणों से प्राप्त होता है:

S \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 
तथा P \equiv ax+by+cz-d^{\prime}=0 
तब S+\lambda P=0 
अर्थात् \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d\right)+\lambda(a x+b y+c z-d^{\prime})=0 
एक गोले के समीकरण को व्यक्त करेगा क्योंकि इस समीकरण में गोले की तीनों विशेषताएं विद्यमान हैं जहाँ \lambda  एक अचर है।चूँकि यह S=0 तथा P=0 के उभयनिष्ठ बिन्दुओं द्वारा सन्तुष्ट होता है इसलिए यह दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला कोई एक गोला है।
स्थिति II.दो गोलों के प्रतिच्छेदन से बना वृत्त (Circle as the intersection of two spheres):

S_{1}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{1} x+2 v_{1} y+2 w_{1} z+d_{1}=0 \cdots(1)\\ S_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{2} x+2 v_{2} y+2 w_{2} z+d_{2}=0 \cdots(2) 
माना कि दिए हुए दो गोलों के समीकरण हैं:
उपर्युक्त दोनों गोलों का प्रतिच्छेदन एक वृत्त होता है।
अब S_{1}+\lambda S_{2}=0  पर विचार करते हैं।व्यापक रूप से यह (1) तथा (2) के प्रतिच्छेदन पृष्ठ को व्यक्त करता है
जब \lambda=-1  तब S_{1}-S_{2}=0  रैखिक समीकरण है तथा एक समतल को व्यक्त करता है।यह वृत्त के समतल का समीकरण है।
अतः गोलों के प्रतिच्छेदन से बने वृत्त के समीकरण निम्न हैं:
S_{1}=0  या S_{2}=0 \ldots(3) 

तथा S_{1}-S_{2}=0 \cdots(4) 
(2.)दो गोलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of a Sphere Passing Through the Intersection of two Spheres):
माना कि दिए हुए गोलों के समीकरण हैं:

S_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{1} x+2 v_{1} y+2 w_{1} z+d_{1}=0 \cdots(1) \\ S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u_{2} x+2 v_{2} y+2 w_{2} z+d_{2}=0 \cdots(2) 
निम्न समीकरण पर विचार कीजिए

S_{1}+\lambda S_{2}=0 \quad(\lambda \neq -1) 
अर्थात् (1+\lambda) x^{2}+(1+\lambda) y^{2}+(1+\lambda) z^{2}+2\left(u_{1}+\lambda u_{2}\right) x+2\left(v_{1}+ \lambda v_{2}\right)y+2\left(w_{1}+\lambda w_{2}\right) z+\left(d_{1}+\lambda d_{2}\right)=0 \ldots (3) 
स्पष्टतः x^{2},y^{2},z^{2} के गुणांक बराबर हैं तथा इसमें yz,zx तथा xy के पद नहीं है अतः यह एक गोले को प्रदर्शित करता है।चूँकि समीकरण (3),S_{1}=0,S_{2}=0  के उभयनिष्ठ बिन्दुओं द्वारा सन्तुष्ट होता है इसलिए समीकरण (3) गोलों S_{1}=0  एवं S_{2}=0  के प्रतिच्छेदन बिन्दुओं से गुजरने वाले गोले को व्यक्त करता है।
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2.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण के उदाहरण (Equation of Sphere Through Circle Examples):
निम्न वृत्त एवं उनके सम्मुख उल्लेखित बिन्दु से गुजरने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए:

(Find the equation of the sphere passing through the following circles and the mentioned against them):
Example:1.x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,2 x+3 y+4 z=5 ;(1,2,3) 
Solution:दिए हुए वृत्त का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,2 x+3 y+4 z=5 \cdots(1) 
इस वृत्त से गुजरने वाले किसी गोले का समीकरण होगा

\left(x^{2}+y^{2}+2^{2}-9\right)+\lambda(2 x+3 y+4 z-5)=0 \cdots(2) 
प्रश्नानुसार यह गोला (1,2,3) से गुजरता है।

{\left[(1)^{2}+(2)^{2}+(3)^{2}-9\right]+\lambda[2 \times 1+3 \times 2+4 \times 3-5]=0} \\ \Rightarrow(1+4+9-9)+\lambda(2+6+12-5)=0 \\ \Rightarrow \quad 5+\lambda(15)=0 \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{5}{15} \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{3} 
\lambda  का मान समीकरण (2) में रखने पर गोले का अभीष्ट समीकरण होगा:

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-9\right)-\frac{1}{3}(2 x+3 y+4 z-5)=0 \\ \Rightarrow 3\left(x^{2}+y^{2} +z^{2}\right)-27-2 x-3 y-4 z+5=0 \\ \Rightarrow 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-2 x-3 y-4 z-22=0 
Example:2.x^{2}+y^{2}+z^{2}=2, z=0 ;(2,3,4) 
Solution:x^{2}+y^{2}+z^{2}=2, z=0 ;(2,3,4) 
दिए हुए वृत्त का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}=2, z=0 \cdots(1) 
इस वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2+\lambda Z=0 \cdots(2) 
प्रश्नानुसार यह गोला (2,3,4) से गुजरता है अत:

(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}-2+\lambda(4)=0 \\ \Rightarrow 4+9+16-2+4 \lambda=0 \\ \Rightarrow 29-2+4 \lambda=0 \\ \Rightarrow 4 \lambda=-27 \\ \Rightarrow \lambda=-\frac{27}{4} 
\lambda  का मान समीकरण (2) में रखने पर गोले का अभीष्ट समीकरण होगा:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2+z\left(-\frac{27}{4}\right)=0 \\ \Rightarrow 4\left(x^{2}+y^{2}+ 2^{2}\right)-8-27 z=0 \\ \Rightarrow 4\left(x^{2}+y^{2}+2^{2}\right)-27 z-8=0 
Example:3.x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x+2 y+3 z=4,(0,0,0) 
Solution:दिए हुए वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x+2 y+3 z=4 \cdots(1) 
इस वृत्त से गुजरने वाले किसी गोले का समीकरण होगा:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1+\lambda(x+2 y+3 z-4)=0 \cdots(2) 
प्रश्नानुसार यह गोला बिन्दु (0,0,0) से गुजरता है।

(0)^{2}+(0)^{2}+(0)^{2}-1+\lambda(0+2(0)+3(0)-4)=0 \\ \Rightarrow-1-4 \lambda=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{4} 
\lambda का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1-\frac{1}{4}(x+2 y+3 z-4)=0 \\ \Rightarrow 4\left(x^{2}+y^{2}+ z^{2}\right)-4-x-2 y-3 z+4=0 \\ \Rightarrow 4\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-x-2 y-3 z=0 
Example:4.यदि वृत्त x^{2}+y^{2}+z^{2}+24 x+2 v y+2 w z+d=0,lx+my+nz=0  की त्रिज्या r हो तो सिद्ध कीजिए कि
(If r is radius of the circle x^{2}+y^{2}+z^{2}+24 x+2 v y+2 w z+d=0,lx+my+nz=0 , prove that \left(r^{2}+d\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)=(m w+n v)^{2}+(x u-l \omega)^{2}+(l v-m u)^{2}) 
Solution:गोले 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0  की त्रिज्या

R^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}-d 
गोले का केन्द्र (-u,-v,-w)

दिए हुए समतल lx+my+nz=0 पर गोले के केन्द्र (-u,-v,-w) पर लम्ब की लम्बाई=

p=\frac{l(-u)+m(-v)+n(-w)}{\sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}} \\ \Rightarrow p^{2}=\frac{(l u+m v+n w)^{2}}{l^{2}+m^{2}+n^{2}} 
वृत्त की त्रिज्या r^{2}=R^{2}-p^{2} \\ \Rightarrow r^{2}=u^{2}+v^{2}+\omega^{2}-d-\frac{(l u+m v+n w)^{2}}{\left(l^{2} +m^{2}+n^{2}\right)}\\ \Rightarrow r^{2}\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) =\left(u^{2}+v^{2}+\omega^{2}-d\right) \left(l^{2}+m^{2}+m^{2}\right)-\left(lu+m v + n w\right)^{2}\\ \Rightarrow r^{2}\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) =\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)-d\left(l^{2}+m^{2}+n\right)-(l u+m v+n w)^{2} \\ \Rightarrow \left(r^{2}+d\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)=\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)-(lu+m v+n w)^{2} \\ \Rightarrow \left(r^{2}+d\right)\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)=(m w-n v)^{2}+(n u-l w)^{2}+(l v-m u)^{2}  (लांग्राज सर्वसमिका से )

Equation of Sphere Through Circle

Example:5.निम्न वृत्तों के एक ही गोले पर स्थित होने के प्रतिबन्धों को ज्ञात कीजिए:
(Find the conditions so that the following circles may lie on the same sphere):

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2 w z+d=0, l x+m y+n z=p , \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+d^{\prime}=0, l^{\prime} x+m^{\prime} y+n^{\prime} z=p^{\prime} 
Solution:दिए हुए प्रथम वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0, l x+m y+n z=p 
इस वृत्त से गुजरने वाले किसी गोले का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d+\lambda(l x+m y+n z-p)=0 \cdots(1) \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+(2 u+\lambda l) x+(2 v+\lambda m) y +(2 w+n \lambda) z+d-\lambda p=0 
दिए हुए द्वितीय वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+ d^{\prime}+\mu \left(l^{\prime} x+m^{\prime} y+n^{\prime} z-p^{\prime} \right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+\left(2 u^{\prime}+\mu l^{\prime}\right) x+\left(2 v^{\prime}+\mu m^{\prime}\right) y+\left(2 w^{\prime}+n^{\prime} \mu\right) z+d^{\prime}-\mu p^{\prime}=0 \cdots(2) 
यदि दोनों वृत्त एक ही गोले पर स्थित हैं तो x,y,z के गुणांकों की तुलना करने पर:

2 u+\lambda l=2 u^{\prime}+\mu l^{\prime} \Rightarrow 2\left(u-u^{\prime}\right)+\lambda l-\mu l^{\prime}=0 \cdots(3) \\ 2 v+\lambda m=2 v^{\prime}+\mu m^{\prime} \Rightarrow 2\left(v-v^{\prime}\right) +\lambda m-\mu m^{\prime}=0 \cdots(4) \\ 2 \omega+\lambda n=2 \omega^{\prime}+\mu n^{\prime} \Rightarrow 2\left(\omega-\omega^{\prime}\right)+\lambda n-\mu n^{\prime}=0 \cdots(5)\\ d-\lambda p=d^{\prime}-\mu P^{\prime} \Rightarrow-\left(d-d^{\prime}\right)+\lambda p-\mu p^{\prime}=0 \cdots(6) 
समीकरण (3),(4),(5) और (6) से \lambda  तथा -\mu  का विलोपन करने पर:

\begin{vmatrix} 2\left(u-u^{\prime}\right) & 1 & l^{\prime} \\ 2\left(v-v^{\prime}\right) & m & m^{\prime} \\ 2\left(w-w^{\prime}\right) & n & n^{\prime} \\-(d-d^{\prime} ) & p & p^{\prime} \end{vmatrix} =0
Example:6.बिन्दुओं (-1,0,0);(0,2,0);(0,0,3) से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात करिए।
(Find the centre of the circle through the points (-1,0,0);(0,2,0);(0,0,3).)
Solution:वृत्त का समीकरण ज्ञात करने के लिए गोले के समीकरण की आवश्यकता होगी।परन्तु गोले का समीकरण ज्ञात करने हेतु चार बिन्दुओं की आवश्यकता होती है।इसलिए हम स्वेच्छा से चौथा बिन्दु मूलबिन्दु ले लेते हैं:
माना गोले का अभीष्ट समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 u y+2 w z+d=0 \cdots(1) 
चूँकि समीकरण (1) मूलबिन्दु O से गुजरता है इसलिए d=0
गोला (1) बिन्दुओं (-1,0,0);(0,2,0);(0,0,3) से गुजरता है:

1-2 u=0 \Rightarrow u=\frac{1}{2} \\ (2)^{2}+2 v(2)=0 \Rightarrow v=-1 \\ (3)^{2}+2 w(3)=0 \Rightarrow w=-\frac{3}{2} 
u,v,w और d के मान समीकरण (1) में रखने पर:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+x-2 y-3 z=0 
अतः वृत्त का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+x-2 y-3 z=0 ; \frac{x}{-1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1 
वृत्त का केन्द्र (Centre of Circle): वृत्त का केन्द्र गोले के केन्द्र से समतल पर डाले गए लम्ब का पाद होता है।
गोले का केन्द्र (-\frac{1}{2},1,\frac{3}{2})  है।अतः इस केन्द्र से समतल पर डाले गए लम्ब का समीकरण होगा:
\frac{x+\frac{1}{2}}{-1}=\frac{y-1}{\frac{1}{2}}=\frac{z-\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}}=k (माना)
इस रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक:

\left(-1 k-\frac{1}{2}, \frac{1}{2} k+1, \frac{1}{3} k+\frac{3}{2}\right) 
यदि यह बिन्दु समतल पर स्थित हो तो

-1\left(- k-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} (\frac{k}{2}+1)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} k+\frac{3}{2}\right)=1\\ \Rightarrow k+\frac{1}{2}+ \frac{k}{4}+\frac{1}{2}+\frac{k}{9}+\frac{1}{2}=1 \\ \Rightarrow \frac{49}{36} k=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow k=-\frac{1}{2} \times \frac{36}{49}=-\frac{18}{49} 
k का मान उपर्युक्त बिन्दु के निर्देशांकों में रखने पर लम्ब पाद अर्थात् वृत्त के केन्द्र के निर्देशांक होंगे:

\left(-1 \times-\frac{18}{49}-\frac{1}{2}, \frac{18}{98}+1, \frac{1}{3}\left(-\frac{18}{49}\right)+\frac{3}{2}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{-13}{98}, \frac{40}{49}, \frac{135}{98}\right) 
Example:7.सिद्ध कीजिए कि गोला x^{2}+ y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2wz+d=0  ,गोले x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+d^{\prime}=0  को वृहत् वृत्त में प्रतिच्छेदित करता है यदि
(Prove that the sphere x^{2}+ y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2wz+d=0  cuts the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+d^{\prime}=0  a great circle,if 2(u u^{\prime}+v v^{\prime}+w w^{\prime})=2 r^{\prime^{2}}+d+d^{\prime} 
जहाँ r’ दूसरे वृत्त की त्रिज्या है (Where r’ is the radius of the second sphere.)
Solution:दिए हुए गोले की समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 \cdots(1) \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u^{\prime} x+2 v^{\prime} y+2 w^{\prime} z+d^{\prime}=0 \cdots(2) 
दिए हुए गोलों द्वारा वृत्त पर प्रतिच्छेदन से बना समतल:
s-s^{\prime}=0 \\ \Rightarrow 2\left(u-u^{\prime}\right) x+2\left(v-v^{\prime}\right) y+2(w-w^{\prime}) z+d-d^{\prime}=0 
यदि प्रथम वृत्त द्वितीय वृत्त को वृहत् वृत्त पर काटता है तब द्वितीय गोले के केन्द्र के निर्देशांक (-u’,-v’,-w’) समतल को सन्तुष्ट करेंगे

2\left(u-u^{\prime}\right)\left(-u^{\prime}\right)+2\left(v-v^{\prime}\right)\left(-v^{\prime}\right)+2\left(w-w^{\prime}\right)\left(-w^{\prime}\right)+d-d^{\prime}=0 \\ \Rightarrow-2 u u^{\prime}+2 u^{\prime ^{2}}-2 v v^{\prime}+2 v^{\prime ^{2}}-2 w w^{\prime}+2 w^{\prime^{2}}+d-d^{\prime}=0 \\ \Rightarrow 2(u^{\prime 2}+v^{\prime 2}+w^{\prime 2})=2( u u^{\prime}+ v v^{\prime}+ w w^{\prime})-d-d^{\prime} \\ \Rightarrow 2\left(r^{\prime^{2}}+d^{\prime}\right)=2\left(u u^{\prime}+v v^{\prime}+w w^{\prime}\right)-d+d^{\prime} \\ \Rightarrow 2 r^{\prime ^{2}}+d^{\prime} +d=2\left(u u^{\prime}+v v^{\prime}+w \omega^{\prime }\right) 
Example:8.एक गोला जिसका केन्द्र घन अष्टांशक में है, मूलबिन्दु से गुजरता है और समतलों x=0,y=0,z=0 से इसका प्रतिच्छेदन क्रमशः त्रिज्या वाले वृत्त हैं।इसका समीकरण ज्ञात करो।
(A sphere whose centre lies in the positive octant, passes through the origin and cuts the plane x=0,y=0,z=0 in circles of radii respectively.Find its equation.)
Solution:मूलबिन्दु से गुजरने वाले गोले का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2 v y+2 \omega z=0 \cdots(1) 
केन्द्र (-u,-v,-w) से x=0 लम्ब की लम्बाई
अतः v^{2}+w^{2}=2 a^{2} \cdots(2) 
इसी प्रकार (-u,-v,-w) से y=0,z=0 पर लम्ब की लम्बाई v^{2},w^{2}  तथा वृत्त की त्रिज्या

u^{2}+w^{2}=2 b^{2} \cdots(3) \\ u^{2}+v^{2}=2 c^{2} \cdots(4) 
समीकरण (2),(3),(4) को जोड़ने पर:

2 \left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)=2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \\ v^{2}+w^{2}+w^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} \cdots(5) 
समीकरण (5) में से समीकरण (2),(3),(4) घटाने पर:

u=\pm \sqrt{\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right),} v=\pm \sqrt{\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}, \omega=\pm \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)} 
गोले का केन्द्र धन अष्टांशक में है अतः

u=-\sqrt{\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}, v=-\sqrt{c^{2}+a^{2}-b^{2}}, w=\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)} 
u,v,w के मान समीकरण (1) में रखने पर:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x \sqrt{\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}-2 y \sqrt{\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}-2 z \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}-z^{2}\right)}=0 

3.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण की समस्याएं (Equation of Sphere Through Given Circle Problems),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला के उदाहरण (Equation of Sphere Through Given Circle Examples):

Equation of Sphere Through Circle

(1.)बिन्दु \alpha,\beta,\gamma और वृत्त x^{2}+y^{2}=a^{2}, z=0  से होकर गुजरने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equation of the sphere which passes through the point and the circle x^{2}+y^{2}=a^{2}, z=0 .)
(2.)एक समतल स्थिर बिन्दु (a,b,c) से गुजरता है।सिद्ध कीजिए कि मूलबिन्दु से इस समतल पर खींचे गए लम्ब पाद का बिन्दुपथ होगा
(A plane passes through a fixed point (a,b,c). Show that the locus of the feet of the perpendicular from the origin is x^{2}+y^{2}+z^{2}-a x-b y-c z=0  .)
उत्तर (Answer):\gamma \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}\right)=z\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}\right) 

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4.वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला (Equation of Sphere Through Given Circle)के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Equation of Sphere Through Circle

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वृत्त से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of Sphere Through Circle),एक दिए हुए वृत्त से गुजरने वाला गोला (Equation of Sphere Through Given Circle) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।