1.वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature)-

Equation of Circle of Curvature

वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature) ज्ञात करने से पूर्व वक्रता वृत्त को जानना आवश्यक है।
वक्रता वृत्त (Circle of Curvature):किसी वक्र के किसी बिन्दु P पर वक्रता वृत्त वह वृत्त कहलाता है जिसका केन्द्र वक्रता केन्द्र तथा जिसकी त्रिज्या वक्रता-त्रिज्या होती है।
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2.वक्रता-वृत्त की समीकरण के उदाहरण (Equation of Circle of Curvature Examples)-

निम्न वक्रों के सम्मुख प्रदर्शित बिन्दुओं के लिए वक्र के वक्रता-वृत्तों के समीकरण ज्ञात कीजिए:
(Find the equation of the circle of curvature at the points indicated against them):
Example-1.y=x^{3}+2 x^{2}+x+1,(0,1)
Solution–y=x^{3}+2 x^{2}+x+1
अवकलन करने पर-

\frac{d y}{d x}=3 x^{2}+4 x+1 \\ \left(\frac{d y}{dx}\right)_{(0,1)}=y_{1}=3(0)^{2}+4(0)+1 \\ y_{1}=1
पुनः अवकलन करने पर-

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x+4 \\ \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{(0,1)}=y_{2}=6(0)+4 \\ y_{2}=4 \\ \bar{x}=x-y_{1} \frac{\left(1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\ =0-\frac{1\left(1+1^{2}\right)}{4} \\ =-\frac{1}{2} \\ \bar{y}= y+ \frac{\left( 1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\ =1+\frac{\left(1+1^{2}\right)}{4} \\ =1+\frac{2}{4} \\ =\frac{3}{2} \\ \rho=\frac{\left(1+ y_{1}^{2}\right)^{3 / 2}}{y_{2}} \\ \rho =\frac{\left(1+1^{2}\right)^{3 / 2}}{4} \\ =\frac{2 \sqrt{2}}{4} \\ \Rightarrow \rho =\frac{1}{\sqrt{2}}
वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature)

(x-\bar{x})^{2}+(y-y)^{2}=e^{2} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2} =\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}+y^{2}-3 y+\frac{9}{4}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+x-3 y+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+x-3 y+2=0
Example-2. \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} \quad ;\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{4}\right)
Solution–\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}
अवकलन करने पर-

\frac{1}{2 \sqrt{x}}+\frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{d y}{d x} =0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{4}\right)} =y_{1}=-\frac{\sqrt{9 / 4}}{\sqrt{9 / 4}} \\ \Rightarrow y_{1} =-1
पुनः अवकलन करने पर-

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =-\frac{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}}\left(\frac{d y}{d x}\right)-\sqrt y \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{x} \\ =\frac{-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{x}{y}}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{x}}}{x} \\ \left(\frac{d y}{dx}\right )_{\left(\frac{9}{4}, \frac{9}{4}\right)}=y_{2}=\frac{-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{9 / 4}{9 / 4}} \cdot(-1)+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{9 / 4}{9 / 4}}}{9 / 4} \\ =\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{9 / 4} \\ \Rightarrow y_{2}=\frac{4}{9} \\ \rho=\frac{\left (1+y_{1}^{2} \right)^{3 / 2}}{y_{2}} \\ =\frac{\left[1+(-1)^{2} \right]^{3 / 2}}{\frac{4}{9}} \\ =\frac{[2]^{3 / 2}}{1} \times \frac{9}{4} \\ =2 \sqrt{2} \times \frac{9}{4} \\ \rho =\frac{9}{\sqrt 2} \\ \bar{x}=x-y_{1} \frac{\left(1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\ \Rightarrow \bar{x} =\frac{9}{4}-\frac{(-1)\left[1+(-1)^{2}\right]}{\frac{4}{4}} \\ =\frac{9}{4}+1 \frac{\left(2\right)}{\frac{4}{9}} \\ =\frac{9}{4}+\frac{9}{2} \\ =\frac{9+18}{4} \\ \Rightarrow \bar{x} =\frac{27}{4} \\ \bar{y} =y+\frac{\left(1+y^{2}\right)}{y_{2}} \\ =\frac{9}{4}+\frac{\left[1+(-1)^{2}\right]}{\frac{4}{9}} \\=\frac{9}{4}+\frac{2}{\frac{4}{9}} \\ =\frac{9}{4}+\frac{18}{4} \\ \Rightarrow \bar{y} =\frac{27}{4}
वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature)

(x-\bar{x})^{2}+(y-\bar{y})^{2}=\rho^{2} \\ \left(x-\frac{27}{4}\right)^{2}+\left(y-\frac{27}{4}\right)^{2}=\left(\frac{9}{\sqrt{2}}\right)^{2} \\ \Rightarrow\left(x-\frac{27}{4}\right)^{2}+\left(y-\frac{27}{4}\right)^{2}=\frac{81}{2}
Example-3.x+y=a x^{2}+b y^{2} \quad ;(0,0)
Solution–x+y=a x^{2}+b y^{2}
अवकलन करने पर-

1+\frac{d y}{d x}=2 a x+2 b y \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-2 b y \frac{d y}{d x}=2 a x-1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(1-2 b y)=2 a x-1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 a x-1}{1-2 b y} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0,0)}=y_{1}=\frac{2 a(0)-1}{1-2 b(0)} \\ \Rightarrow y_{1}=-1
पुनः अवकलन करने पर-

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =\frac{(1-2 b y)(2 a)-(2 a x-1)\left(-2 b \frac{d y}{d x}\right)}{(1-2 b y)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}_{(0,0)} =y_{2}=\frac{(1-2 b(0))(2 a)-(2 a(0)-1)(-2 b(-1))}{(1-2 b(0))^{2}} \\ \Rightarrow y_{2} =\frac{2 a+2 b}{1} \\ \Rightarrow y_{2} =2(a+b) \\ \bar{x}= x-y_{1} \frac{\left(1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\ = 0- \frac{(-1)\left[1+(-1)^{2}\right]}{2(a+b)} \\ = \frac{2}{2(a+b)} \\ \Rightarrow \bar{x}=\frac{1}{a+b} \\ \bar{y}=y+\frac{\left(1+ y_{1}^{2} \right)}{y_{2}} \\ \bar{y} =0+\frac{\left[1+(-1)^{2}\right]}{2(a+b)} \\ \bar{y} =\frac{2}{2(a+b)} \\ \bar{y} =\frac{1}{a+b} \\ \rho=\frac{\left[1+y_{1}^{2}\right]^{3 / 2}}{y_{2}} \\ =\frac{\left[1+(-1)^{2}\right]^{3 / 2}}{2(a+b)} \\ =\frac{[2]^{3 / 2}}{2(a+b)} \\ =\frac{2 \sqrt{2}}{2(a+b)} \\ \Rightarrow \rho =\frac{\sqrt{2}}{a+b}
वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature)

(x-\bar{x})^{2}+(y-\bar{y})^{2}=\rho^{2} \\ \left(x-\frac{1}{a+b}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{a+b}\right)^{2}= \left(\frac{\sqrt{2}}{a+b}\right)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-\frac{2 x}{a+b}+\frac{1}{(a+b)}+y^{2}-\frac{2 y}{a+b}+\frac{1}{(a+b)^{2}}=\frac{2}{(a+b)^{2}} \\ \Rightarrow(a+b)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2(x+y)=0 \\ \Rightarrow(a+b)\left(x^{2}+ y^{2}\right) =2(x+y)
Example-4.y=m x+\left(\frac{x^{2}}{a}\right), (0,0)
Solution–y=m x+\left(\frac{x^{2}}{a}\right)
अवकलन करने पर-

\frac{d y}{d x}=m+\frac{2 x}{a} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0, 0)}=y_{1}=m+\frac{2(0)}{a} \\ \Rightarrow y_{1}=m
पुनः अवकलन करने पर-

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0+\frac{2}{a} \\ \left(\frac{d^{2} y}{dx^{2}}\right)_{(0,0)}=y_{2}=\frac{2}{a} \\ \Rightarrow y_{2}=\left(\frac{2}{a}\right) \\ \bar{x}=x-\frac{y_{1}\left(1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\  =0-\frac{m \left(1+m^{2}\right)}{\frac{2}{a}} \\ \Rightarrow \bar{x}=\frac{-am \left(1+m^{2}\right)}{2} \\ \Rightarrow \bar{y}=y +\frac{\left(1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\ =0+\frac{\left(1+m^{2}\right)}{2 / a}\\ \Rightarrow \bar{y} =\frac{a\left (1+m^{2} \right)}{2} \\ \rho =\frac{\left[1+ y_{1}^{2}\right]^{3 / 2}}{y_{2}} \\ =\frac{\left(1+m^{2}\right)^{3 / 2}}{2 / a} \\ \Rightarrow \rho =\frac{a\left(1+m^{2}\right)^{3 / 2}}{2}
वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature)

(x-\bar{x})^{2}+(y-\bar{y})^{2}=\rho^{2} \\ \Rightarrow \left[x+\frac{a\left(1+m^{2}\right)}{2}\right]^{ 2}+ \left[y-\frac{a\left(1+m^{2}\right)}{2}\right]^{2}=\left[\frac{a\left(1+m^{2}\right)^{3 / 2}}{2}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+\frac{a^{2} m^{2}\left(1+m^{2}\right)^{2}}{4}+a m x\left(1+m^{2}\right)+y^{2}-ay\left(1+m^{2}\right)+ \frac{a^{2}\left( 1+m^{2}\right)^{2}}{4} =\frac{a^{2}\left(1+m^{2}\right)^{3}}{4} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+a m x\left(1+m^{2}\right)-a y\left(1+m^{2}\right)=\frac{a^{2}\left(1+m^{2}\right)^{2}}{4}\left[1+m^{2}-m^{2}-1\right] \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+a m x\left(1+m^{2}\right)-a y\left(1+m^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2} =a\left(1+m^{2}\right)(y-m x)

Equation of Circle of Curvature

Example-5.y^{2}=4 a x ;\left(a m^{2}, 2 a m\right)
Solution–y^{2}=4 a x
अवकलन करने पर-

2 y \frac{d y}{d x} =4 a \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\left(\frac{2 a}{y}\right) \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a m^{2}, 2 a m)}=y_{1}=\frac{2 a}{2 a m} \\ \Rightarrow y_{1}=\frac{1}{m}
पुनः अवकलन करने पर-

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{2 a}{y^{2}} \cdot \frac{d y}{d x} \\ \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{\left(a m^{2}, 2 a m\right)}=y_{2}=-\frac{2 a}{(2 a m)^{2}} \frac{1}{m} \\ \Rightarrow y_{2}=-\frac{1}{2 a m^{3}} \\ \bar{x} =x-\frac{y_{1} \left(1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\ =a m^{2}-\frac{1}{m} \cdot \frac{\left[1+\frac{1}{m^{2}}\right]}{-\frac{1}{2 a m^{3}}} \\ =a m^{2}+2 a m^{2} \frac{\left(1+m^{2}\right)}{m^{2}} \\ =a m^{2}+2 a\left(1+m^{2}\right) \\ \Rightarrow \bar{x}=2 a+3 a m^{2} \\ \bar{y}= y+\frac{\left(1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\ =2 a m+\frac{\left(1+\frac{1}{m^{2}}\right)}{\left(-\frac{1}{2 a m^{3}}\right)} \\ \Rightarrow y =2 a m-2 a m^{3} \frac{\left(1+m^{2}\right)}{m^{2}} \\ =2am-2am- 2 a m^{3} \\ \Rightarrow \bar{y}=-2 a m^{3} \\ \rho= \frac{\left[1+y_{1}^{2}\right]^{3 / 2}}{y_{2}} \\ \rho=\frac{\left[1+\frac{1}{m^{2}}\right]^{3 / 2}}{-\frac{1}{2 a m^{3}}} \\ \Rightarrow \rho=-2 a m^{3} \frac{\left(1+m^{2}\right)^{3 / 2}}{m^{3}} \\ \Rightarrow \rho=-2 a\left(1+ m^{2}\right)^{3 / 2}
वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature)

(x-\bar{x})^{2}+(y-\bar{y})^{2}=p^{2} \\ \Rightarrow\left(x-2 a-3 a m^{2}\right)^{2}+\left(y+2 a m^{3}\right)^{2} =\left[-2 a\left(1+m^{2}\right)^{3 / 2}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+4 a^{2}+9 a^{2} m^{4}-4 a x+12 a^{2} m^{2}-6 a m^{2} x+y^{2}+4 a^{2} m^{2}+4 a m^{3} y= 4 a^{2}\left(1+m^{2}\right)^{3} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 m^{2} a x-4 a x+4 a m^{3} y+4 a^{2}+9 a^{2} m^{4}+12 a^{2} m^{2}+4 a^{2} m^{6} =4 a^{2}+12 a^{2} m^{2}+12 a^{2} m^{4}+4 a^{2} m^{6} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 m^{2} a x-4 a x+4 a m^{3} y-3 a^{2} m^{4}=0
Example-6.\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad;(0, b)
Solution–\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{2 x}{a^{2}}+\frac{2 y}{b^{2}} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-\frac{2 x}{a^{2}}}{\frac{2 y}{b^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\left(\frac{b^{2} x}{a^{2} y}\right) \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0, b)}=y_{1}=-\frac{b^{2}(0)}{a^{2} b} \\ \Rightarrow y_{1}=0
पुनः अवकलन करने पर-

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\left[\frac{y \cdot 1-x \cdot \frac{d y}{d x}}{y^{2}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2 }y}{d x^{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\left[\frac{y-x \frac{d y}{d x}}{y^{2}}\right] \\ \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \right)_{(0, b)}=y_{2}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\left[\frac{b-0 \cdot (0)}{b^{2}}\right]\\ \Rightarrow y_{2}=-\frac{b}{a^{2}} \\ \bar{x}=x - \frac{y_{1}\left[1+y_{1}^{2} \right]}{y_{2}} \\ = 0-\frac{0 \left(1+0^{2}\right)}{-b / a^{2}} \\= 0 \\ \bar{y} =y+\frac{\left[1+y_{1}^{2} \right]}{y_{2}} \\ =b+\frac{\left[1+0^{2}\right]}{-b / a^{2}} \\=b-\frac{a^{2}}{b} \\ =\frac{b^{2}-a^{2}}{b} \\ \rho =\frac{\left[1+y_{1}^{2}\right]^{3 / 2}}{y_{2}} \\ \rho=\frac{\left[1+0^{2}\right]^{3 / 2}}{-\frac{b}{a^{2}}} \\ \Rightarrow \rho=-\frac{a^{2}}{b}
वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature)

(x-\bar{x})^{2}+(y-\bar{y})^{2}=\rho^{2} \\ \Rightarrow(x-0)^{2}+\left(y-\frac{b^{2}-a^{2}}{b}\right)^{2}=\left(-\frac{a^{2}}{b}\right)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{2\left(b^{2}-a^{2}\right) y}{b}+\frac{\left(b^{2}-a^{2}\right)^{2}}{b^{2}}=\frac{a^{4}}{b^{2}} \\ x^{2}+y^{2}- \frac{2\left(b^{2}-a^{2}\right)}{b} y+\frac{b^{4}}{b^{2}}-\frac{2 a^{2} b^{2}}{b^{2}}+\frac{a^{4}}{b^{2}}=\frac{a^{4}}{b^{2}} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2 \frac{\left(b^{2}-a^{2}\right)}{b} y+b^{2}-2 a^{2}=0
Example-7. सिद्ध कीजिए कि वक्र 27 a y^{2}=4 x^{3} के लिए बिन्दु (x,y) पर वक्रता केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta), 3 a(\alpha+x)+2 x^{2}=0 और  \beta=4 x+\frac{9 a y}{x} है।
Solution–27 a y^{2}=4 x^{3}
अवकलन करने पर-

54 a y \frac{d y}{d x}=12 x^{2} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{12 x^{2}}{54 a y} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{2 x^{2}}{9 a y} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x, y)}=y_{1}=\frac{2 x^{2}}{9 a y}
पुनः अवकलन करने पर-

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{2}{9 a}\left[\frac{y.2 x-x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{y^{2}}\right] \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{2}{9 a}\left[\frac{2 x y-x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}}\right] \\ \Rightarrow\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{(x,y)}=y_{2}=\frac{2}{9 a}\left[\frac{2 x y-x^{2} \cdot \frac{2 x^{2}}{9 a y}}{y^{2}}\right] \\ \Rightarrow \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{(x, y)} =y_{2}=\frac{2}{9 a}\left[\frac{2 x y-x^{2} \cdot \frac{2 x^{2}}{9 a y}}{y^{2}}\right] \\ \Rightarrow y_{2}=\frac{2}{9a}\left[\frac{2 x y-\frac{2 x^{4}}{9 a y}}{y^{2}}\right] \\ \Rightarrow y_{2} =\frac{2}{9 a}\left[\frac{2 x}{y}-\frac{2 x^{4}}{9 a y^{3}}\right] \\ \bar{x} =x-\frac{y_{1}\left[1 +y_{1}^{2}\right]}{y_{2}} \\ \alpha =x-\frac{2 x^{2}}{9 a y} \cdot \frac{\left[1+\left(\frac{2 x^{2}}{9 a y}\right)^{2}\right]}{\frac{2}{9 a}\left(\frac{2 x}{y}-\frac{2 x^{4}}{9 a y^{3}}\right)} \\ =x-\frac{x[1+\frac{4 x^{4}}{81 a^{2} y^{2}}]}{[2-\frac{2 x^{3}}{9 a y^{2}}]} \\ \alpha=x-\frac{x\left[1+\frac{4 x^{4}}{\frac{4 x^{3}}{27 a} \times 81 a^{2}}\right]}{(2-\frac{2 x^{3}}{9 a y^{2}})} \\ \left[\because 27 a y^{2}=4 x^{3}\right]  \\ \Rightarrow \alpha=x- \frac{x\left[1+\frac{x}{3 a}\right]}{\left[2-\frac{2 x^{3}}{9 a \times \frac{4 x^{3}}{27 a}}\right]} \quad\left[\because 27 a y^{2}=4 x^{3}\right] \\ \Rightarrow \alpha=x-\frac{x(2+3 a)}{3 a\left(2-\frac{3}{2 }\right)} \\  \Rightarrow \alpha=x-\frac{2x(2+3 a)}{3 a} \\ \Rightarrow 3 a \alpha=3 a x-2 x^{2}-6 a x \\ \Rightarrow 3 a \alpha=-2 x^{2}-3 a x \\ \Rightarrow 3 a \alpha+3 a x+2 x^{2}=0 \\ \Rightarrow 3 a(\alpha+x)+2 x^{2}=0 \\ \bar{y}=y+ \frac{\left(1+y_{1}^{2}\right)}{y_{2}} \\ \beta =y+\frac{\left[1+\left(\frac{2 x^{2}}{9 a y}\right)^{2}\right]}{\frac{2}{9 a}\left(\frac{2 x}{y}-\frac{2 x^{4}}{9 a y^{3}}\right)} \\ =y+\frac{\left[1+\frac{4 x^{4}}{81 a^{2} y^{2}}\right]}{\frac{2}{9 a}\left(\frac{2 x}{y}-\frac{2 x^{4}}{9ay \cdot \frac{4 x^{3}}{27 a}}\right)}\left[\because 27 a y^{2}=4 x^{3}\right] \\ =y+\frac{\left[1+\frac{4 x^{4}}{81 a^{2} \times \frac{4 x^{3}}{27 a}}\right]}{\frac{2}{9 a}\left[\frac{2 x}{y}-\frac{3x}{2y}\right]} \quad\left[\because 27 a y^{2}=4 x^{3}\right] \\ \Rightarrow \beta= y+\frac{\left[1+\frac{x}{3 a}\right]}{\frac{2}{9 a}\left(\frac{2 x}{y}-\frac{3 x}{2 y}\right)} \\ \Rightarrow \beta=y+\frac{9 a}{2} \frac{(3 a+x)}{3 a\left(\frac{4 x-3 x}{2 y}\right)} \\ \Rightarrow \beta=y+\frac{3}{2}\left(\frac{3 a+x}{x}\right) \cdot 2 y \\ \Rightarrow \beta=y+3 y\left(\frac{3 a+x}{x}\right) \\ \Rightarrow \beta=y+3 y+\frac{9 a y}{x} \\ \Rightarrow \beta=4 y+\frac{9 ay}{x}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature) को समझ सकते हैं।

3.वक्रता-वृत्त का समीकरण की समस्याएं (Equation of Circle of Curvature Problems)-

(1.) सिद्ध कीजिए कि वक्र x+y=a x^{2}+b y^{2}+c x^{3} के लिए मूलबिन्दु पर वक्रता वृत्त (a+b)\left(x^{2}+y^{2}\right)=2(x+y) है।
(Show that the circle of curvature at the origin for the curve x+y=a x^{2}+b y^{2}+c x^{3} is (a+b)\left(x^{2}+y^{2}\right)=2(x+y).)
(2.) सिद्ध कीजिए कि मूलबिन्दु पर परवलय y=m x+\left(\frac{x^{2}}{a}\right) का वक्रता वृत्त x^{2}+y^{2}=a\left(1+m^{2}\right)(y-m x) है।
(Show that the circle of curvature at the origin of the parabola y=m x+\left(\frac{x^{2}}{a}\right) is x^{2}+y^{2}=a\left(1+m^{2}\right)(y-m x).)
(3.) दीर्घवृत्त \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 के किसी बिन्दु (x,y) पर वक्रता केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से उसका केन्द्रज भी ज्ञात कीजिए।
(Find the co-ordinates of the centre of the curvature for the curve \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 at the point (x,y) and hence find the evolute.)
(4.) सिद्ध कीजिए कि वक्र y^{2}=4a x के बिन्दु (x_{1},y_{1}) पर वक्रता केन्द्र के निर्देशांक (2 a+3 x_{1},-\frac{2 x_{1}^{3 / 2}}{\sqrt{a}}) है।
(Prove that the co-ordinates of curvature for the curve y^{2}=4a x at the point (x_{1},y_{1}) are (2 a+3 x_{1},-\frac{2 x_{1}^{3 / 2}}{\sqrt{a}}).)
उत्तर (Answer):(3)(\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{4}} x^{3}, \frac{b^{2}-a^{2}}{b^{4}} y^{3}),(a \bar{x})^{2 / 3}+(b \bar{y})^{2 / 3}=(a^{2}-b^{2})^{2 / 3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.वक्रता वृत्त का समीकरण को आप कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the equation of the circle of curvature?)-

Equation of Circle of Curvature

वक्रता के लिए कई अलग-अलग सूत्र हैं।किसी वृत्त की वक्रता उसके त्रिज्या के व्युत्क्रम के बराबर होती है।
एक बिंदु M(x, y) पर किसी वक्र की वक्रता की त्रिज्या को इस बिंदु पर वक्र के K के व्युत्क्रम कहा जाता है: R = 1/K।इसलिए स्पष्ट समीकरण y =f(x) द्वारा दिए गए समतल वक्रों के लिए,एक बिंदु M(x, y) पर वक्रता की त्रिज्या निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा दी गई है: \rho=\frac{\left(1+ y_{1}^{2}\right)^{3 / 2}}{y_{2}}

5.वृत्त की वक्रता क्या है? (What is Circle curvature?)-

सहज रूप से, वक्रता वह राशि है जिसके द्वारा एक वक्र सीधी रेखा होने से विचलित हो जाता है या सतह समतल होने से विचलित हो जाती है।वक्र के लिए विहित उदाहरण एक वृत्त का है, जिसकी वक्रता,वक्रता त्रिज्या के व्युत्क्रम बराबर है।छोटे सर्कल अधिक तेजी से झुकते हैं और इसलिए उच्च वक्रता होती है।
वृत्त की वक्रता किसी दिए गए बिंदु पर वक्र की वक्रता की एक दृश्य अभिव्यक्ति है।वक्र की वक्रता या एक बिंदु पर वक्र का आस्क्यूलेटिंग वृत्त, वक्र के समान वक्र के साथ वृत्त का स्पर्शरेखा है।

6.वक्रता सूत्र क्या है? (What is curvature formula?)-

Equation of Circle of Curvature

वक्रता मापती है कि किसी बिंदु पर एक वक्र कितनी तेजी से दिशा बदल रहा है।वक्र के लिए वक्रता का निर्धारण करने के लिए कई सूत्र हैं।

7.आप वक्रता की गणना कैसे करते हैं? (How do you calculate curvature?),वक्रता त्रिज्या का सूत्र (Radius of curvature formula)-

चरण 1: अवकलन करें।वक्रता को खोजने के लिए पहला कदम हमारे कार्य का अवकलज ज्ञात करना है।
चरण 2: अवकलज को सामान्य करें।
चरण 3: इकाई स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न को लें।
चरण 4: इस मान का परिमाण ज्ञात कीजिए।
चरण 5: इस मान को निम्न सूत्र में प्रतिस्थापित करके वक्रता त्रिज्या ज्ञात करें-
\rho=\frac{\left(1+ y_{1}^{2}\right)^{3 / 2}}{y_{2}}
वक्रता ज्ञात करने के इस मान का अर्थात् R का व्युत्क्रम करें।

8.वक्रता-वृत्त का समीकरण का सूत्र (Equation of circle of curvature formula),एक वक्र की वक्रता के वृत्त का समीकरण सूत्र है (Equation of circle of curvature of a curve is formula)-

Equation of Circle of Curvature

वक्रता-वृत्त की समीकरण ज्ञात करने के लिए सबसे पहले फलन का प्रथम तथा द्वितीय अवकलज ज्ञात करो।प्रथम तथा द्वितीय अवकलज की सहायता से वक्रता-केन्द्र तथा वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
वक्रता केन्द्र ज्ञात करने का सूत्र निम्न है-

\bar{x}=x-\frac{y_{1}\left[1+y_{1}^{2} \right]}{y_{2}} \\ \bar{y} =y+\frac{\left[1+y_{1}^{2} \right]}{y_{2}}
वक्रता त्रिज्या ज्ञात करने का सूत्र निम्न है-

\rho=\frac{\left(1+ y_{1}^{2}\right)^{3 / 2}}{y_{2}}
इसके पश्चात् निम्न सूत्र से वक्रता-वृत्त की समीकरण ज्ञात कीजिए-

(x-\bar{x})^{2}+(y-\bar{y})^{2}=\rho^{2}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों तथा सवालों के हल द्वारा वक्रता-वृत्त का समीकरण (Equation of Circle of Curvature) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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