1.अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation):

Enveloping Cone

अन्वालोपी शंकु परिभाषा (Enveloping Cone Definition):किसी दिए हुए बिन्दु से गुजरने वाली तथा किसी दिए हुए पृष्ठ को स्पर्श करनेवाली रेखाएँ जिस पृष्ठ को जनित करती है उसे अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone) कहते हैं।
गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} के अन्वालोपी शंकु का समीकरण ज्ञात करना जिसका शीर्ष बिन्दु (\alpha,\beta,\gamma) है।
(To find the equation of the enveloping cone of the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} with its vertex at.)
बिन्दु (\alpha,\beta,\gamma) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण है:
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}=r(माना)…..(1)
सरल रेखा (1) पर (lr+\alpha,mr+\beta,nr+\gamma) कोई बिन्दु है तो

(l r+\alpha)^{2}+(m r+\beta)^{2}+(n r+\gamma)^{2}=a^{2} \\ \Rightarrow \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) r^{2}+2r(l \alpha+m \beta+n \gamma)+\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}=0 \cdots(2)
सरल रेखा (1) गोले को स्पर्श करेगी यदि (2) के दोनों मूल बराबर होंगे।(या यदि विविक्तर (discriminant) का मान शून्य हो) अर्थात्

(l \alpha+m \beta+n \gamma)=\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}\right) \cdots(3)
अब सरल रेखा (1) का रेखा पथ अर्थात् अन्वालोपी शंकु का समीकरण (1) तथा (3) में से l,m,n लुप्त करने से प्राप्त होगा।अतः

\left[(x-\alpha) \alpha+(y-\beta) \beta+(z-\gamma) \gamma\right]^{2}=\left[(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}+(z-\gamma)^{2}\right]\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}\right)
अभीष्ट अन्वालोपी शंकु का समीकरण होगा।
माना कि S \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2} ; S_{1}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2} तथा T \equiv x \alpha +y \beta+z \gamma-a^{2}
तब उपर्युक्त समीकरण को हम निम्न रूप में लिख सकते हैं:

(T-S_{1})^{2}=(S-2 T+S_{1})S_{1}, \Rightarrow S S_{1}=T^{2} \\ \Rightarrow \left(x^{2}+y^{2} +z^{2} -a^{2}\right)\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-a^{2}\right)=\left(x \alpha+y \beta+z \gamma-a^{2}\right)^{2}
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2.अन्वालोपी शंकु पर आधारित साधित उदाहरण (Solved Examples Based on Enveloping Cone):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि मूलबिन्दु से खींची गई रेखाएँ जो कि गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2vy+ 2 w z+d=0 को स्पर्श करती है,का रेखा पथ d\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(u x+v y+w z)^{2} शंकु है।
(Prove that the lines drawn from the origin so as to touch the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2vy+ 2 w z+d=0 lie on the cone d\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(u x+v y+w z)^{2})
Solution:दिए हुए गोले का समीकरण:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2vy+ 2 w z+d=0 \cdots(1)
मूलबिन्दु से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण:
\frac{x}{l}= \frac{y}{m}=\frac{z}{n}=r(माना)….(2)
इस रेखा पर कोई बिन्दु (lr,mr,nr) है।यदि यह गोले (1) को स्पर्श करती हो तब

(lr) ^{2}+(mr)^{2}+(n r)^{2}+2 ulr+2 v m r+2 w n r+d=0 \\ \Rightarrow \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) r^{2}+2(u l+v m+w n) r+d=0 \cdots(3)
यह रेखा (2) गोले (1) को स्पर्श करे तो (3) के दोनों मूल बराबर होंगे अर्थात् B^{2}-4AC=0

2^{2}(u l+v m+w n)^{2}-4\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) d=0 \\ \Rightarrow (u l+v m+w n)^{2}-\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) d=0 \cdots(4)
समीकरण (2) व (4) से l,m,n को लुप्त करने पर:

(u x+v y+w z)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d=0 \\ \Rightarrow d\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(u x+v y+w z)^{2}
जो कि अभीष्ट शंकु का समीकरण है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि मूलबिन्दु से खींची गई रेखाएँ जो कि गोले (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=k^{2} को स्पर्श करती है,शंकु \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(a x+b y+c z)^{2} पर स्थित है।
(Prove that the lines drawn from the origin touches the sphere (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=k^{2} lie on the cone \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(a x+b y+c z)^{2}.)
Solution:दिए हुए शंकु का समीकरण:

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=k^{2}
मूलबिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}=r(माना)
इस रेखा पर कोई बिन्दु (lr,mr,nr) है।यदि यह रेखा (1) को स्पर्श करती है तब

(l r-a)^{2}+(m r-b)^{2}+(n r-c)^{2}=k^{2} \\ \Rightarrow \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) r^{2}-2(l a+m b+n c) r+\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)=0 \cdots(3)
यह रेखा (2) गोले (1) को स्पर्श करे तो (3) के दोनों मूल बराबर होंगे अर्थात्

B^{2}-4AC=0 \\ 4(l a+m b+nc)^{2}-4\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow (l a+m b+n c)^{2}-\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right) \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)=0 \cdots(4)
समीकरण (2) व (4) से l,m,n का विलोपन करने पर:

(a x+b y+c z)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=(a x+b y+c z)^{2}
Example:3.उस शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष (\alpha,\beta,\gamma) है तथा जो पृष्ठ a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 को स्पर्श करता है।
(Find the equation of the cone whose vertex is (\alpha,\beta,\gamma) and which touches the surface a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1.)
Solution:दिए हुए पृष्ठ का समीकरण: a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 \cdots(1)
शीर्ष (\alpha,\beta,\gamma) से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण:
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}=r(माना)…..(2)
इस रेखा पर कोई बिन्दु (lr+\alpha,mr+\beta,nr+\gamma) है।यदि यह पृष्ठ (1) को स्पर्श करती हो तब

a(l r+\alpha)^{2}+b(m r+\beta)^{2}+c(n r+\gamma)^{2}=1 \\ \Rightarrow \left(a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}\right) r^{2}+2(a l \alpha+b m \beta+c n \gamma) r + a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1=0 \cdots(3)
यह रेखा पृष्ठ (1) को स्पर्श करे तो (3) के दोनों मूल बराबर होंगे अर्थात्

B^{2}-4 A C=0 \\ 4(a l \alpha+b m \beta+c n \gamma)^{2}-4\left(a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}\right) \left( a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1\right)=0 \\ \Rightarrow(a l \alpha+b m \beta+c n \gamma)^{2}=\left(a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}\right) \left (a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1\right) \cdots(4)
समीकरण (2) व (4) से l,m,n का विलोपन करने पर:

[a(x-\alpha) \alpha+b(y-\beta) \beta+c(z-\gamma) \gamma]^{2}=\left[a(x-\alpha)^{2}+b(y-\beta)^{2}+c(z-\gamma)^{2}\right]\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1\right) \cdots(5)
यदि S \equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}-1 ; S_{1}=a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1
तथा T=a \alpha x+b \beta y+c \gamma z-1
अतः समीकरण (5) को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(T-S_{1}\right)^{2}=\left(S+S_{1}-2 T\right) S_{1} \\ \Rightarrow T^{2}-2 T S_{1}+S_{1}^{2}=S S_{1}+S_{1}^{2}-2 T S_{1} \\ \Rightarrow S S_{1}=T^{2} \\ \Rightarrow \left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}-1\right)\left(a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}-1\right)=(a \alpha x+b \beta y+c \gamma z-1)^{2}
Example:4.सिद्ध कीजिए कि गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}=11 का अन्वालोपी शंकु जिसका शीर्ष (1,4,2) है,का x=0 समतल से परिच्छेद समकोणिक अतिपरवलय है।
(Show that the plane x=0 cuts the enveloping cone of the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}=11 which has its vertex (1,4,2) in a rectangular hyperbola.)
Solution: SS_{1}=T^{2} सूत्र से:

S=x^{2}+y^{2}+z^{2}-11 \\ S_{1}=(1)^{2}+(4)^{2}+(2)^{2}-11=10 \\ T=\left(x \alpha+y \beta+z \gamma-a^{2}\right) \\ =x+4 y+2 z-11
अन्वालोपी शंकु का दिए हुए गोले के शीर्ष (1,4,2) पर समीकरण:

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-11\right) \times 10=(x+4 y+2z-11)^{2} \\ \Rightarrow 10 x^{2}+10 y^{2}+10 z^{2}-110=x^{2}+16 y^{2} +4 z^{2}+8 x y+4 x z+16 y z-22 x-88 y-44z+121 \\ \Rightarrow 9x^{2}- 6y^{2}+6z^{2}=8xy+4xz+16 yz-22 x-88 y-44 z+231=0 \\ \Rightarrow -6 y^{2}+6 z^{2}-16 y z+88 y+44 z-231=0,x=0
अतः \Delta \neq 0 तथा coefficient y^{2} +coefficient z^{2}=0
अतः यह समकोणिक अतिपरवलय है।

Enveloping Cone

Example:5.किसी शंकु का शीर्ष (a,b,c) है तथा yz-तल उसको वक्र F(y,z),x=0 पर प्रतिच्छेदित करता है।सिद्ध कीजिए कि zx-समतल उसको वक्र F\left[\frac{b x}{x-a}, \frac{c x-a z}{x-a}\right]=0,y=0 पर प्रतिच्छेदित करेगा।
(The vertex of the cone is (a,b,c) and yz-plane cuts it in curve F(y,z),x=0.Show that the zx-plane cuts it in the curve F\left[\frac{b x}{x-a}, \frac{c x-a z}{x-a}\right]=0,y=0.)
Solution:(a,b,c) से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण:

\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n} \cdots(1)
यदि यह x=0 पर मिलती है तो

–\frac{a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}
इस पर किसी बिन्दु के निर्देशांक

\left(0,-\frac{a m}{l}+b,-\frac{a n}{l}+c\right)
यदि यह बिन्दु वक्र F(y,z)=0,x=0 पर प्रतिच्छेदित करता है तो

F\left(-\frac{a m}{l}+b,-\frac{a n}{l}+c\right)=0 \cdots(2)
(1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर:

F\left[-a\left(\frac{y-b}{x-a}\right)+b, -a\left(\frac{z-c}{x-a}\right)+c\right]=0 \\ \Rightarrow F\left[\frac{b x-a y}{x-a}, \frac{c x-a z}{x-a}\right]=0 \\ \Rightarrow F\left[\frac{b x}{x-a}, \frac{c x-a z}{x-a}\right], y=0
यह zx-समतल को y=0 पर मिलता है।
Example:6.शंकु जिसका शीर्ष P है तथा निर्देशक वक्र \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0 है,का x=0 समतल से परिच्छेद समकोणिक अतिपरवलय है।सिद्ध करो कि शंकु के शीर्ष P का बिन्दुपथ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{b^{2}}=1 से प्रदर्शित होता है।
(The section of a cone whose vertex is P and guiding curve is the ellipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0 by the plane x=0 is rectangular hyperbola.Show that the locus of P is \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{b^{2}}=1)
Solution:माना शीर्ष P के निर्देशांक (\alpha,\beta,\gamma)
शीर्ष (\alpha,\beta,\gamma) से गुजरने वाली किसी रेखा का समीकरण:

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \cdots(1)
यदि रेखा z=0 पर मिलती है अतः z=0 समतल पर बिन्दु के निर्देशांक \left(-\frac{l \gamma }{n}+\alpha,-\frac{m \gamma}{n}+\beta, 0\right) हैं।यह बिन्दु निर्देशक वक्र \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 पर मिलता है तो:

\frac{1}{a^{2}}\left(-\frac{l \gamma}{n}+\alpha\right)^{2} +\frac{1}{b^{2}}\left(-\frac{m \gamma}{n}+\beta\right)^{2}=1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर:

\frac{1}{a^{2}}\left[-\left ( \frac{x-\alpha}{z-\gamma} \right )\gamma+\alpha\right]^{2}+\frac{1}{b^{2}} \left[-\left ( \frac{y-\beta}{z-\gamma} \right )\gamma+\beta \right]^{2}=1 \\ \Rightarrow \frac{(z \alpha-x \gamma)^{2}}{a^{2}(z-\gamma)^{2}}+\frac{(z \beta-y \gamma)^{2}}{b^{2}(z-\gamma)^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{(z \alpha-x \gamma)^{2}}{a^{2}}+\frac{(z \beta-y \gamma)^{2}}{b^{2}}=(z-\gamma)^{2} 
x=0 समतल से शंकु का परिच्छेद

\frac{z^{2} \alpha^{2}}{a^{2}}+\left(\frac{z \beta-y \gamma}{b^{2}}\right)^{2}=(z-\gamma)^{2}
यह yz-समतल पर समकोणिक अतिपरवलय को प्रकट करता है अतः

coefficient of y^{2}+coefficient of z^{2}=0

\Rightarrow \frac{\gamma^{2}}{b^{2}}+\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1=0 \\ \Rightarrow \frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\gamma^{2}+\beta^{2}}{b^{2}}=1
बिन्दुपथ लेने पर:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{b^{2}}=1
Example:7.दो उभयनिष्ठ शीर्ष वाले शंकु,वक्रों y=0, Z^{2}=4a x तथा x=0, Z^{2}=4b y से जाते हैं।समतल z=0 द्वारा इन शंकुओं के परिच्छेद दो ऐसे शांकव हैं जो परस्पर चार चक्रीय बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं।सिद्ध करो कि,पृष्ठ z^{2}\left[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right]=4\left(x^{2}+y^{2}\right) पर आविष्ट है।
(Two cones with a common vertex pass through the curve,y=0 and ,x=0.The plane z=0 meets them in two conics which intersect in four cyclic points.Show that the vertex lies on the surface z^{2}\left[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right]=4\left(x^{2}+y^{2}\right).)
Solution:माना (\alpha,\beta,\gamma) उभयनिष्ठ शीर्ष है तो शीर्ष से गुजरने वाली किसी रेखा के समीकरण:

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-r}{n} \cdots(1)
यह समतल y=0 को मिलती है

\frac{x-\alpha}{l}=-\frac{\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \\ \left(-\frac{l}{m} \beta+\alpha, 0,-\frac{n}{m} \beta+\gamma\right)
यदि यह दिए हुए वक्र Z^{2}=4 a x पर है तो

\left(-\frac{n}{m} \beta+\gamma\right)^{2}=4 a\left(-\frac{l}{m} \beta+\alpha\right) \cdots(2)
(1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर:

\left(-\frac{z-\gamma}{y-\beta} \beta+\gamma\right)^{2}=4 a\left(-\frac{x-\alpha}{y-\beta} \beta+\alpha\right) \\ \Rightarrow (\gamma y-z \beta)^{2}=4 a(\alpha y-\beta x)(y-\beta) \cdots(3)
रेखा (1) समतल x=0 पर मिलती है तो:

–\frac{\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \\ \left(0,-\frac{m}{l} \alpha+\beta,-\frac{n}{l} \alpha+\gamma\right)
यदि यह दिए हुए वक्र पर है तो:

\left(-\frac{n}{l} \alpha+\gamma\right)^{2}=4 b\left(-\frac{m \alpha}{x}+\beta\right) \cdots(4)
(1) से: \frac{n}{l}=\frac{z-\gamma}{x-\alpha}, \frac{m}{l}=\frac{y-\beta}{x-\alpha}

(4) में मान रखने पर:

\left(-\frac{z-r}{x-\alpha} \alpha+\gamma\right)^{2}=4 b \left[-\left(\frac{y-\beta}{x-\alpha}\right) \alpha+\beta\right] \\ (\gamma x-\alpha z)^{2}=4 b(\beta x-\alpha y)(x-\alpha) \cdots(5)
z=0 समतल शंकु (3) व (5) को मिलता है अतः

S \equiv \gamma^{2} y^{2}-4 a(\alpha y-\beta x)(y-\beta) \\ S^{\prime}=r^{2} x^{2}-4 b(\beta x-\alpha y)(x-\alpha)
वक्र का समीकरण जो इन शंकुओं के प्रतिच्छेदन से गुजरता है:

S+\lambda S^{\prime}=0, \quad z=0 \\ \left[\gamma^{2} y^{2}-4a(\alpha y-\beta x)(y-\beta)\right]+\lambda\left[\gamma^{2} x^{2}-4 b(x \beta-\alpha y)(x-\alpha)\right]=0
यदि यह वृत्त है तब x^{2} तथा y^{2} के गुणांक बराबर होंगे तथा xy का गुणांक समाप्त होंगे अर्थात्

\lambda\left(\gamma^{2}-4 b \beta\right)=\left(\gamma^{2}-4 a \alpha\right) \cdots(6), 4 a \beta+\lambda 4 b \alpha=0 \cdots(7)
समीकरण (6) व (7) से \lambda का विलोपन करने पर:

\left[-\frac{(4 a \beta)}{4 b \alpha}\right] \left[ \gamma^{2}-4 b \beta\right]= \left(\gamma^{2}-4 a \alpha\right) \\ \Rightarrow a \beta\left(\gamma^{2}-4 b \beta\right)+b \alpha\left(\gamma^{2}-4 a \alpha\right)=0 \\ \Rightarrow \gamma^{2} \left(\frac{\alpha}{a}+\frac{\beta}{b}\right)=4\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)
उभयनिष्ठ शीर्ष का बिन्दुपथ:

z^{2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=4\left(x^{2}+y^{2}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation) को समझ सकते हैं।

3.अन्वालोपी शंकु के सवाल (Enveloping Cone Questions):

Enveloping Cone

(1.)सिद्ध कीजिए कि उस शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है और निर्देशक वक्र z=k,f(x,y)=0 है, f\left(\frac{x k}{z}, \frac{y k}{z}\right)=0 होगा।
(Show that the equation to the cone whose vertex is the origin and the guiding curve z=k,f(x,y)=0,is f\left(\frac{x k}{z}, \frac{y k}{z}\right)=0.)
(2.)गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-2 y=2 के उस अन्वालोपी शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष (1,1,1) है।
(Find the enveloping cone of the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-2 y=2 with the vertex at (1,1,1).)
उत्तर (Answer):2. 3 x^{2}-y^{2}+4 x z-10 x+2 y-4 z+6=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone),अन्वालोपी शंकु की समीकरण (Enveloping Cone Equation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अन्वालोपी शंकु परिभाषा (Enveloping Cone Definition):किसी दिए हुए बिन्दु से गुजरने वाली तथा किसी
दिए हुए पृष्ठ को स्पर्श करनेवाली रेखाएँ जिस पृष्ठ को जनित करती है उसे अन्वालोपी शंकु (Enveloping Cone)
कहते हैं।