Elementary Operation of Matrix Class12
1.आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 (Elementary Operation of Matrix Class12),आव्यूह रूपान्तरण कक्षा 12 (Transformation of a Matrix Class 12):
आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 (Elementary Operation of Matrix Class12) के इस आर्टिकल में आव्यूह पर छह प्रकार की संक्रियाएँ (रूपान्तरण) किए जाते हैं,जिनमें से तीन पंक्तियों तथा तीन स्तम्भों पर होती हैं,जिन्हें प्रारम्भिक संक्रिया या रूपान्तरण कहते हैं।
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2.आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Elementary Operation of Matrix Class12 Solved Examples):
प्रश्न संख्या 1 से 17 तक के आव्यूहों के व्युत्क्रम,यदि उनका अस्तित्व है,तो प्रारम्भिक रूपान्तरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिएः
Example:1. \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\Rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2-2 R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 \\ 0 & 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow \frac{1}{5} R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right]
Example:2. \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ C_{1} \rightarrow C_{1}-C_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right] A \\ C_{2} \rightarrow C_2-C_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]
Example:3. \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ C_2 \rightarrow C_2-3 C_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ C_{1} \rightarrow C_1-2 C_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}+7 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} +7 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]
Example:4. \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 5 & 7\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 5 & 7\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 5 & 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2-2 R_{1} संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -2 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2-R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -5 & 2\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+2 R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-7 & 3 \\ -5 & 2\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-7 & 3 \\ 5 & -2\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-7 & 3 \\ 5 & -2\end{array}\right]
Example:5. \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 7 & 4 \end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 7 & 4\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 7 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2-3 R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -3 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
4 & -1 \\-3 & 1 \end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_{2}-R_{1} संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\-7 & 2\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}4 & -1 \\-7 & 2\end{array}\right]
Example:6. \left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2-R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-2 R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ -1 & 2\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ -1 & 2\end{array}\right]
Example:7. \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ C_1 \rightarrow C_{1}-2 C_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right] A \\ C_2 \rightarrow C_2-C_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -2 & 3\end{array}\right] A \\ C_1 \rightarrow C_{1}-C_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\-5 & 3\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\-5 & 3\end{array}\right]
Example:8. \left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 3 & 4\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 3 & 4\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 3 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2-3 R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -3 & 4\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4 & -5 \\ -3 & 4\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}4 & -5 \\ -3 & 4\end{array}\right]
Example:9. \left[\begin{array}{cc}3 & 10 \\ 2 & 7\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}3 & 10 \\ 2 & 7\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{cc}3 & 10 \\ 2 & 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]A \\ C_2 \rightarrow C_{2}-3 C_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ C_1 \rightarrow C_{1}-2 C_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right] A \\ C_2 \rightarrow C_2-C_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7 & -10 \\ -2 & 3\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}7 & -10 \\ -2 & 3\end{array}\right]
Example:10. \left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -4 & 2\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -4 & 2\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -4 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2+R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+2 R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] A \\ R_{2} \rightarrow R_2+R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow \frac{1}{2} R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & \frac{3}{2}\end{array}\right] A \\ R_{1} \rightarrow R_1-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{3}{2}\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{3}{2}\end{array}\right]
Example:11. \left[\begin{array}{ll}2 & -6 \\ 1 & -2\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}2 & -6 \\ 1 & -2\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{cc}2 & -6 \\ 1 & -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2-R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & -4 \\ 0 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow \frac{1}{2} R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & -4 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+4 R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-1 & 3 \\-\frac{1}{2} & 1\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}-1 & 3 \\-\frac{1}{2} & 1\end{array}\right]
Example:12. \left[\begin{array}{cc}6 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{cc}6 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{cc}6 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+3 R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] A
प्रथम पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं अतः A^{-1} का अस्तित्व नहीं है।
Example:13. \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2+R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right]
Example:14. \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_{2} \rightarrow R_{2}-2R_{1} संक्रिया से
\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right] A
द्वितीय पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं अतः A^{-1} का अस्तित्व नहीं है।
Example:15. \left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2-R_1 तथा R_3 \rightarrow R_3-R_2[/katex] संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \\ 1 & -4 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow \frac{1}{5} R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-R_3 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] A \\ R_3 \rightarrow R_3-R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ -1 & -2 & 2\end{array}\right] A \\ R_3 \rightarrow \frac{-1}{5} R_3 संक्रिया से
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{2}{5}\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-4 R_3 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{2}{5}\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+3 R_2 तथा R_3 \rightarrow R_3-R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{2}{5} & 0 & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{2}{5} & 0 & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\end{array}\right]
Example:16. \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_2 \rightarrow R_2+3 R_1 तथा R_3 \rightarrow R_3-2 R_1 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -2 \\ 0 & 9 & -11 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1+3 R_3 तथा R_2 \rightarrow R_2+8 R_3 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 21 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-5 & 0 & 3 \\ -13 & 1 & 8 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right] A \\ R_3 \rightarrow R_3+R_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 21 \\ 0 & 0 & 25\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}-5 & 0 & 3 \\ -13 & 1 & 8 \\ -15 & 1 & 9\end{array}\right] A \\ R_3 \rightarrow \frac{1}{25} R_3 संक्रिया से
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 21 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-5 & 0 & 3 \\ 13 & 1 & 8 \\ -\frac{15}{25} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25}\end{array}\right] A \\ R_1 \rightarrow R_1-10 R_3 तथा R_2 \rightarrow R_2-2 R_3 संक्रिया से
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{4}{25} & \frac{11}{25} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25}\end{array}\right] A
अतः A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{4}{25} & \frac{11}{25} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25}\end{array}\right]
Example:17. \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग के लिए
A=IA
\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A \\ C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{3} संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right] A \\ C_{1} \rightarrow C_1-5 C_2 संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right] A \\ C_{3} \rightarrow C_{3}+C_{1} संक्रिया से
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -5 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right] A \\ C_1 \rightarrow C_1+2 C_3 तथा C_2 \rightarrow C_{2} -C_{3} संक्रिया से
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A
Example:18.आव्यूह A तथा B एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे केवल यदि
(A)AB=BA (B)AB=BA=O
(C),AB=O,BA=I (D)AB=BA=I
Solution:AB=BA=I तो A तथा B आपस में एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे।
अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 (Elementary Operation of Matrix Class12),आव्यूह रूपान्तरण कक्षा 12 (Transformation of a Matrix Class 12) को समझ सकते हैं।
3.आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 के सवाल (Elementary Operation of Matrix Class12 Questions):
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग द्वारा निम्न आव्यूहों का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए:
(
1.) A=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 4 & -2\end{array}\right]
(2.) A=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 4 & -2\end{array}\right]
(3.) A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]
उत्तर (Answers): (1.) A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{10} & \quad \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{10}\end{array}\right]
(2.)A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{10}\end{array}\right]
(3)A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 (Elementary Operation of Matrix Class12),आव्यूह रूपान्तरण कक्षा 12 (Transformation of a Matrix Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.व्युत्क्रम आव्यूह पर प्रमेय (Theorem on Inverse Matrix):
प्रमेय (Theorem):3.[व्युत्क्रम आव्यूह की अद्वितीयता (Uniqueness of Inverse)] किसी वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम आव्यूह,यदि उसका अस्तित्व है तो अद्वितीय होता है।
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए A=\left[a_{ij}\right] कोटि m का,एक वर्ग आव्यूह है।यदि सम्भव हो,तो मान लीजिए B तथा C आव्यूह A के दो व्युत्क्रम आव्यूह हैं।अब हम दिखाएंगे कि B=C है।
क्योंकि आव्यूह A का व्युत्क्रम B है
अतः AB=BA=I
क्योंकि आव्यूह A का व्युत्क्रम C भी है अतः
AC=CA=I
अब B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C
प्रमेय (Theorem):4.यदि A तथा B समान कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} हों तो
उपपत्ति (Proof):एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह की परिभाषा से
(A B)(A B)^{-1}=1 \\ \Rightarrow A^{-1}(A B) \cdot(A B)^{-1}=A^{-1} I ( A^{-1} का दोनों पक्षों से पूर्वगुणन करने पर)
\Rightarrow\left(A^{-1} A\right) \cdot B(A B^{-1})=A^{-1} (A^{-1} I=A^{-1} तथा आव्यूह गुणन साहचर्य होता है)
\Rightarrow I B(A B)^{-1}=A^{-1} \\ \Rightarrow B(A B)^{-1}=A^{-1} \\ \Rightarrow B^{-1} B(A B)^{-1}= B^{-1} A^{-1} \\ \Rightarrow I(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}
अतः (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}
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5.आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Elementary Operation of Matrix Class12),आव्यूह रूपान्तरण कक्षा 12 (Transformation of a Matrix Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया के मुख्य बिन्दु लिखिए। (Write the Main Points of Elementary Operation of a Matrix):
उत्तर:(1.)किसी दो पंक्तियों या दो स्तम्भों का परस्पर विनिमयः
प्रतीकात्मक रूप (Symbolically) में iवीं तथा jवीं पंक्तियों के विनिमय को R_{i} \Leftrightarrow R_{j} तथा iवें तथा jवें स्तम्भों के विनिमय को C_{i} \Leftrightarrow C_{j} द्वारा निरूपित करते हैं।उदाहरण के लिए
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & -\sqrt{3} & 1 \\ -5 & 6 & 7\end{array}\right] पर R_{1} \Leftrightarrow R_{2} का प्रयोग करने पर हमें आव्यूह \left[\begin{array}{ccc}-1 & \sqrt{3} & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 5 & 6 & 7\end{array}\right] प्राप्त होता है।
(2.)किसी पंक्ति या स्तम्भ के अवयवों को एक शून्येतर संख्या से गुणन करनाः
प्रतीकात्मक रूप में, iवीं पंक्ति के प्रत्येक अवयव को k, जहाँ K \neq 0 से गुणन करने R_{i} \rightarrow K R_{j} को द्वारा निरूपित करते हैं।
संगत स्तम्भ संक्रिया को C_{i} \rightarrow K C_{j} द्वारा निरूपित करते हैं।उदाहरणार्थ
B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & \sqrt{3} & 1\end{array}\right] पर C_3 \rightarrow \frac{1}{7} C_3 का प्रयोग करने पर हमें आव्यूह \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & \frac{1}{7} \\ -1 & \sqrt{3} & \frac{1}{7}\end{array}\right] प्राप्त होता है।
(3.)किसी पंक्ति अथवा स्तम्भ के अवयवों में किसी अन्य पंक्ति अथवा स्तम्भ के संगत अवयवों को किसी शून्येतर संख्या से गुणा करके जोड़नाः
प्रतीकात्मक रूप में,iवीं पंक्ति के अवयवों में jवीं पंक्ति के संगत अवयवों को k से गुणा करके जोड़ने को R_{i} \rightarrow R_{i}+k R_{j} से निरूपित करते हैं।
संगत स्तम्भ संक्रिया को C_{i} \rightarrow C_{i}+k C_{j} से निरूपित करते हैं।
उदाहरण के लिए C=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right] पर R_2 \rightarrow R_2-2 R_1 का प्रयोग करने पर,हमें आव्यूह \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & -5\end{array}\right] प्राप्त होता है।
प्रश्न:2.व्युत्क्रमणीय आव्यूह किसे कहते हैं? (What is An Inverse Matrix?):
उत्तर:यदि A, कोटि m का,एक वर्ग आव्यूह है और यदि एक अन्य वर्ग आव्यूह का अस्तित्व इस प्रकार है कि AB=BA=I तो B को आव्यूह A का व्युत्क्रम आव्यूह कहते हैं।और इसे A^{-1} द्वारा निरूपित करते हैं।ऐसी दशा में A व्युत्क्रमणीय कहलाता है।
टिप्पणी:किसी आयताकार (Rectangular) आव्यूह का व्युत्क्रम आव्यूह नहीं होता है,क्योंकि गुणनफल AB तथा BA के परिभाषित होने और समान होने के लिए यह अनिवार्य है कि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हों।
प्रश्न:3.प्रारम्भिक संक्रियाओं द्वारा एक आव्यूह का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करते हैं? (How to Find Inverse of a Matrix by Elementary Operations?):
उत्तर:मान लीजिए कि X,A तथा B समान कोटि के आव्यूह हैं तथा X=AB है।आव्यूह समीकरण X=AB पर प्रारम्भिक पंक्ति संक्रियाओं का प्रयोग करने के लिए,हम इन पंक्ति संक्रियाओं का बाएँ पक्ष में X पर तथा दाएँ पक्ष में प्रथम आव्यूह A पर, एक साथ प्रयोग करेंगे।
इसी प्रकार आव्यूह समीकरण X=AB पर प्रारम्भिक स्तम्भ संक्रियाओं का प्रयोग करने के लिए,हम इन स्तम्भ संक्रियाओं का बाएँ पक्ष में X पर तथा दाएँ पक्ष में गुणनफल AB में बाद वाले आव्यूह B पर,एक साथ प्रयोग करेंगे।
उपर्युक्त परिचर्चा को ध्यान में रखते हुए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि A एक ऐसा आव्यूह है कि का अस्तित्व है तो प्रारम्भिक पंक्ति संक्रियाओं के प्रयोग द्वारा ज्ञात करने के लिए A=IA लिखिए और पंक्ति संक्रियाओं का प्रयोग A=IA पर तब तक करते रहिए जब तक कि I=BA नहीं मिल जाता है।इस प्रकार प्राप्त आव्यूह B,आव्यूह A का व्युत्क्रम होगा।इसी प्रकार यदि स्तम्भ संक्रियाओं के प्रयोग द्वारा ज्ञात करना चाहते हैं तो A=IA लिखिए और A=AI पर स्तम्भ संक्रियाओं का प्रयोग तब तक करते रहिए जब तक हमें I=AB प्राप्त नहीं हो जाता है।
टिप्पणी:उस दशा में जब A=IA (A=AI) पर एक या अधिक प्रारम्भिक पंक्ति (स्तम्भ) संक्रियाओं के करने पर यदि बाएँ पक्ष के आव्यूह A की एक या अधिक पंक्तियों के सभी अवयव शून्य हो जाते हैं तो का अस्तित्व नहीं होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 (Elementary Operation of Matrix Class12),आव्यूह रूपान्तरण कक्षा 12 (Transformation of a Matrix Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Elementary Operation of Matrix Class12
आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12
(Elementary Operation of Matrix Class12)
Elementary Operation of Matrix Class12
आव्यूह पर प्रारम्भिक संक्रिया कक्षा 12 (Elementary Operation of Matrix Class12) के
इस आर्टिकल में आव्यूह पर छह प्रकार की संक्रियाएँ (रूपान्तरण) किए जाते हैं,जिनमें से
तीन पंक्तियों तथा तीन स्तम्भों पर होती हैं
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
