Double Integrals

द्वि-समाकल का परिचय (Introduction to Double Integrals):

Double Integrals

• द्वि-समाकल (Double Integrals):अभी तक हमने एक चर वाले फलनों के निश्चित समाकल का अध्ययन किया है।जैसे अवकलन गणित में एक से अधिक चर वाले फलनों के अवकलन की विधियों का अध्ययन करते हैं इसी प्रकार इस आर्टिकल में हम दो या तीन चर वाले फलनों के निश्चित समाकल का अध्ययन करेंगे।
  
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द्वि-समाकल (Double Integrals):

Double Integrals

• द्वि-समाकल का अर्थ (Meaning of a Double Integral):
  मान लो xy-समतल में निश्चित क्षेत्र A है तथा स्वतन्त्र चर (Independent Variable) x तथा y का फलन f(x,y) इसके प्रत्येक बिन्दु पर परिभाषित है।क्षेत्र A को n भागों में विभाजित करो जिनके क्षेत्रफल क्रमशः \delta{A_{1}},\delta{A_{2}},....,\delta{A_{n}} है।प्रत्येक \delta{A_{i}} में स्वेच्छ बिन्दु (x_{1},y_{1}) लो तब योगफल
  f(x_{1},y_{1})\delta{A_{1}}+f(x_{2},y_{2})\delta{A_{2}}+.....+f(x_{0},y_{0})\delta{A_{n}}
  अथवा \Sigma_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\delta{A_{i}} ….(1)
• विभाजित क्षेत्रों की संख्या n का मान इस प्रकार बढ़ाइए कि जब n\longrightarrow{\infin} तो \delta{A_{n}}\longrightarrow{0} अर्थात् \delta{A_{n}} की अधिकतम सीमा शून्य की ओर अग्रसर हो।यदि इन प्रतिबन्धों के साथ सीमा
  \lim_{n\longrightarrow{\infin}}\Sigma_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\delta{A_{i}}
  का अस्तित्व (existence) हो जो विभाजित क्षेत्रों के उपविभाजन के तरीके (mode of subdivision) से स्वतन्त्र हो तो उस सीमा को क्षेत्र A पर f(x,y) का द्वि-समाकलन (double integral) कहते हैं और इसे निम्न प्रकार से प्रकट (represent) कहते हैं:
  \int{\int_{A}}f(x,y)dA…. (3)
  अतः \int{\int_{A}}f(x,y)dA=\lim_{n\longrightarrow{\infin}}\Sigma_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\delta{A_{i}}
• यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि सीमा का अस्तित्व होगा यदि क्षेत्र A की सीमा (Boundary) पर या भीतर सभी बिन्दुओं पर f(x,y) पर या भीतर सभी बिन्दुओं पर f(x,y) संतत (continuous) हो या खण्डशः संतत (piece wise continuous) हो।

Double Integrals

• उपर्युक्त आर्टिकल में द्वि-समाकल (Double Integrals) के बारे में बताया गया है।