Double integral

द्वि-समाकल का परिचय (Introduction to Double Integral):

Double Integral

• द्वि-समाकल (Double Integral):कक्षा 12 तक हमने एक चर वाले फलनों के निश्चित समाकलन का अध्ययन किया है।जैसे अवकलन गणित में एक चर वाले फलनों के अवकलन की विधियों का अध्ययन करते हैं इसी प्रकार द्वि व त्रि-समाकल में हम दो तथा तीन चर वाले फलनों के निश्चित समाकल का अध्ययन करते हैं।
  
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द्वि-समाकल (Double Integral):

Double Integral

• द्वि-समाकल का अर्थ (Meaning of a Double Integral)
  मान लो xy-समतल में निश्चित क्षेत्र A है तथा स्वतन्त्र चर (Independent Variable) x तथा y का फलन f(x,y) इसके प्रत्येक बिन्दु पर परिभाषित है।क्षेत्र A को n भागों में विभाजित करो जिनके क्षेत्रफल क्रमशः \delta{A_{1}},\delta{A_{2}},.....,\delta{A_{n}} है।प्रत्येक क्षेत्र \delta{A_{i}} में स्वेच्छ बिन्दु \left(x_{i},y_{i}\right) लो तब योगफल
  f(x_{1},y_{1})\delta{A_{1}}+f(x_{2},y_{2})\delta{A_{2}}+.....+f(x_{n},y_{n})\delta{A_{n}}
  अथवा \Sigma_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\delta{A_{i}} …(1)
  विभाजित श्रेत्रों की संख्या n का मान इस प्रकार बढ़ाइए कि जब n\rightarrow{\infin} तो \delta{A_{n}} \rightarrow{0} अर्थात् \delta{A_{n}} की अधिकतम सीमा शून्य की ओर अग्रसर हो।यदि इन प्रतिबन्धों के साथ सीमा
  \lim_{n\rightarrow{\infin}}\Sigma_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\delta{A_{i}}
  का अस्तित्व (existence) हो जो विभाजित क्षेत्रों के उपविभाजन के तरीके (mode of subdivision) से स्वतन्त्र हो तो उस सीमा को क्षेत्र A पर f(x,y) का द्वि-समाकलन (double Integral) कहते हैं और इसे निम्न प्रकार से प्रकट (represent) कहते हैंः
  \int{\int_{A}}f(x,y)dA
  अतः \int{\int_{A}}f(x,y)dA=\lim_{n\rightarrow{\infin}}\Sigma_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\delta{A_{i}}
• यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि सीमा का अस्तित्व होगा यदि क्षेत्र A की सीमा (Boundary) पर या भीतर सभी बिन्दुओं पर f(x,y) संतत (continuous) हो या खण्डशः संतत (piece wise continuous) हो।

Double Integral

• उपर्युक्त आर्टिकल में द्वि-समाकल (Double Integration) के बारे में बताया गया है।