Divergence of Series in Calculus
1.कलन में श्रेणी का अपसरण (Divergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus):
कलन में श्रेणी का अपसरण (Divergence of Series in Calculus) तथा अभिसरण को तुलना परीक्षण तथा हाइपर-हारमोनिक श्रेणी के आधार पर ज्ञात करेंगे।इन्हें कुछ उदाहरणों के द्वारा समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कलन में श्रेणी का अपसरण के उदाहरण (Divergence of Series in Calculus Examples):
Example:13.निम्नलिखित व्यापक पद वाली श्रेणियों के अभिसरण का परीक्षण कीजिएः
(Examine the convergence of the following series whose general terms are):
Example:13(v). \sqrt{\left(n^3+1\right)}-\sqrt{n^3}
Solution:\sqrt{\left(n^3+1\right)}-\sqrt{n^3} \\ u_n =\sqrt{\left(n^3+1\right)}-\sqrt{n^3} \\ =n^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{3}{2}} \\ =n^{\frac{3}{2}} \left[\left(1+\frac{1}{n^3} \right)^{\frac{1}{2}}-1\right] \\ =n^{\frac{3}{2}}\left[1+\frac{1}{2 n^3} +\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} -1\right)}{2 !} \frac{1}{n^6}+\cdots-1\right] \\ =\frac{n^{\frac{3}{2}}}{2 n^3}\left[1-\frac{1}{4 n^3} +\cdots\right] \\ u_n =\frac{1}{2 n^{\frac{3}{2}}}\left[1-\frac{1}{4 n^3}+\cdots\right]
मानलो सहायक श्रेणी है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_{n}}{v_n}\right) =\frac{\frac{1}{2 n^{\frac{3}{2}}}\left[1-\frac{1}{4 n^3}+\cdots\right]}{ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}\\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{4 n^3}+\cdots\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{1}{2} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से तथा दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु अभिसारी है क्योंकि अतः भी अभिसारी होगी।
Example:13(vi). \sqrt{\left(n^2+1\right)}-\sqrt{\left(n^2-1\right)}
Solution: \sqrt{\left(n^2+1\right)}-\sqrt{\left(n^2-1\right)} \\ u_n=\sqrt{\left(n^2+1\right)}-\sqrt{n^2-1} \\ =n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{2}}-n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{2}} \\ =n^2 \left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{2}}-\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{2}}\right] \\ =n^2 \left[1+\frac{1}{2 n^2}+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)}{2 !} \cdot \frac{1}{n^4}+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}-2\right)}{3 !}\right. \cdot \frac{1}{n^6}+\cdots-\left(1-\frac{1}{2 n^2}+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)}{2!} \cdot \frac{1}{n^4}-\left.\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \left(\frac{1}{2}-2\right)}{3 !} \cdot \frac{1}{n^6}+\cdots\right)\right] \\ =n^2\left[1+\frac{1}{2 n^2}-\frac{1}{8 n^4}+\frac{1}{16 n^6}+\cdots \cdots-1+\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{8 n^4}+\frac{1}{16 n^6}-\cdots \right] \\ =n^2\left[\frac{1}{n^2}+\frac{1}{8 n^6}+\cdots\right] \\ =\frac{n^2}{n^2}\left[1+\frac{1}{8n^4}+\cdots\right] \\ u_n=\frac{1}{n^0}\left[1+\frac{1}{8n^4}+\cdots\right]
मानलो सहायक श्रेणी \Sigma v_{n} है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n^0} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n^0} \left[1+\frac{1}{8 n^4}+\cdots\right]}{\frac{1}{n^0}}\\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{8 n^4}+\cdots\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अपसारी है क्योंकि p=0=0 \leq 1 अतः \Sigma u_n भी अपसारी होगी।
Example:13(vii). \sqrt{\left(n^4+1\right)}-n^2
Solution: \sqrt{\left(n^4+1\right)}-n^2 \\ u_n =\sqrt{\left(n^4+1\right)}-n^2 \\ =n^2\left(1+\frac{1}{n^4}\right)^{\frac{1}{2}}-n^2 \\ =n^2\left[\left(1+\frac{1}{n^4} \right)^{\frac{1}{2}}-1\right] \\ =n^2 \left[1+\frac{1}{2 n^{4}}+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1 \right)}{2!} \cdot \frac{1}{n^{8}} \cdot \cdots-1\right] \\ =n^2\left[\frac{1}{2 n^4}-\frac{1}{8 n^8}+\cdots\right] \\ =\frac{n^2}{2 n^4}\left[1-\frac{1}{4 n^{4}}+\cdots\right] \\ \Rightarrow u_n =\frac{1}{2 n^2}\left[1-\frac{1}{4 n^{4}}+\cdots\right]
मानलो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
v_n =\frac{1}{n^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{2 n^2}\left[1-\frac{1}{4 n^4}+\cdots\right]}{\frac{1}{n^2}}\\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{4 n^4}-\cdots\right) \\ =\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{1}{2} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_{n} तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_{n} अभिसारी है क्योंकि p=2>1 अतः \Sigma u_{n} भी अभिसारी होगी।
Example:13(viii). \sin \left(\frac{1}{n}\right)
Solution: u_n=\sin \left(\frac{1}{n}\right) \\ =\frac{1}{n}-\frac{1}{3! n^3}+\frac{1}{5! n^5}-\cdots \\ \Rightarrow u_n =\frac{1}{n}\left[1-\frac{1}{6 n^2}+\frac{1}{120 n^4}- \cdots\right]
मानलो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n}\left[1-\frac{1}{6 n^2}+\frac{1}{120 n^4}- \cdots\right]}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{6 n^2}+\frac{1}{2 m n^4} \cdots\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_{n} तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_{n} अपसारी है क्योंकि p=1 \leq 1 अतः भी अपसारी होगी।
Example:13(ix). \frac{1}{\sqrt{n}} \tan \left(\frac{1}{n}\right)
Solution: \frac{1}{\sqrt{n}} \tan \left(\frac{1}{n}\right) \\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}} \tan \left(\frac{1}{n}\right) \\ =\frac{1}{\sqrt{n}}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{3 n^3}+\frac{2}{15 n^5}+ \cdots\right] \\ \Rightarrow u_n =\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\left(1+\frac{1}{3 n^2}+\frac{2}{15 n^4}+\cdots\right)
मानलो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\left(1+\frac{1}{3 n^2}+\frac{2}{15 n^4}+\cdots\right)}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{3 n^2}+\frac{2}{15 n^4}+\cdots\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अभिसारी है क्योंकि p=\frac{3}{2}>1 अतः \Sigma v_n भी अभिसारी होगी।
Example:13(x). \frac{1}{n} - \log \left(\frac{n+1}{n}\right)
Solution: \frac{1}{n}-\log \left(\frac{n+1}{n}\right) \\ u_n=\frac{1}{n}-\log \left(1+\frac{1}{n}\right) \\ =\frac{1}{n}-\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}-\cdots\right] \\ =\frac{1}{n}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2 n^2}-\frac{1}{3 n^3}+\frac{1}{4 n^4}-\cdots \\ =\frac{1}{2 n^2}-\frac{1}{3 n^3}+\frac{1}{4 n^4}-\cdots \\ \Rightarrow u_n =\frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3 n}+\frac{1}{4 n^2}-\cdots\right)
मानलो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3 n}+\frac{1}{4 n^2}-\cdots\right)}{\frac{1}{n^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3 n}+\frac{1}{4 n^2}-\cdots\right) \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{1}{2} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अभिसारी है क्योंकि p=2>1 अतः \Sigma u_n भी अभिसारी होगी।
Example:14.निम्न श्रेणी के अभिसरण का परीक्षण कीजिए।
(Examine the convergence of the following series):
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\cdots
जहाँ x एक धनात्मक संख्या है (where x is a positive fraction)
Solution: \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\cdots
प्रथम पद को छोड़ने पर मानलो
\Sigma u_n =\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-3}+\cdots \\ =\frac{2 x}{x^2-1^2}+\frac{2 x}{x^2-2^2}+\frac{2 x}{x^2-3^2}+\cdots \\ u_n =\frac{2 x}{x^2-n^2} \\ \Rightarrow u_n =\frac{2 x}{n^2\left(\frac{x^2}{n^2}-1\right)}
मानलो सहायक श्रेणी \Sigma v_{n} है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{2 x}{n^2\left(\frac{x^2}{n^2}-1\right)}}{\frac{1}{n^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2 x}{\left(\frac{x^2}{n^2}-1\right)} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_{n}}{v_n}\right)=-2 x (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अभिसारी है क्योंकि p=2>1 अतः \Sigma u_n भी अभिसारी होगी।
Example:15.यदि u_n=\frac{1}{n} तथा v_n=\log (n+1) -\log n हो तो सिद्ध कीजिए कि \Sigma v_n अपसारी श्रेणी है।
(If u_n=\frac{1}{n} and v_n=\log (n+1)-\log n, then prove that \Sigma v_n is divergent)
Solution: v_n=\log (n+1)-\log n \\ \Rightarrow v_n=\log \left(\frac{n+1}{n}\right) \\ =\log \left(1+\frac{1}{n}\right) \\ =\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}-\frac{1}{4 n^4}+ \cdots \\ \Rightarrow v_n=\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}-\frac{1}{4 n^3}+\cdots\right)
मानलो सहायक श्रेणी \Sigma u_n है,जहाँ
u_n=\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{v_n}{u_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}-\frac{1}{4 n^3}+\cdots \right)}{\frac{1}{n}} \\ = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}-\frac{1}{4 n^3}+\cdots\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{v_n}{u_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma u_n अपसारी है क्योंकि p=1 \leq 1 अतः \Sigma v_n भी अपसारी होगी।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कलन में श्रेणी का अपसरण (Divergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।
3.कलन में श्रेणी का अपसरण की समस्याएं (Divergence of Series in Calculus Problems):
श्रेणियों के अभिसरण का परीक्षण कीजिएः
(Examine the convergence of the following series whose general terms are):
(1.) \cos \left(\frac{1}{n}\right)
(2.) \sin ^2\left(\frac{1}{n}\right)
(3.) \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)
उत्तर (Answers):(1.)अपसारी (2.)अभिसारी (3.)अपसारी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कलन में श्रेणी का अपसरण (Divergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.कलन में श्रेणी का अपसरण (Frequently Asked Questions Related to Divergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्न:1.द्वितीय तुलना परीक्षण क्या है? (What is the Second Comparison Test?):
उत्तर:यदि \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दो धनात्मक पदों की श्रेणियां हैं तथा यदि
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=l \neq 0
जहाँ l एक परिमित संख्या है,तो दोनों श्रेणियां या तो अभिसारी होंगी या अपसारी
(If and are two series of opposite terms if
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u n}{v_n}\right)=l \neq 0
where l is a finite number, then either both the series are convergent or divergent)
प्रमाण (Proof):चूँकि \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=l
किसी दिये हुए \varepsilon>0 के संगत एक ऐसी प्राकृत संख्या m विद्यमान है कि
\left|\frac{u_n}{v_n}-l\right|<\varepsilon, \forall n>m \\ \Rightarrow l-\varepsilon <\frac{u_n}{v_n}m \cdots(1)
(1) की दूसरी असमिका सेः
u_n<(1+\varepsilon) v_n, \forall n>m \\ \Rightarrow \overset{\infty }{\underset{n=m+1}{\Sigma}} u_n<(1+\varepsilon) \overset{\infty }{\underset{n=m+1}{\Sigma}} v_n
अब यदि \Sigma v_n अभिसारी है तो \overset{\infty }{\underset{n=m+1}{\Sigma}} v_n भी अभिसारी होगी।
इसलिए \overset{\infty }{\underset{n=m+1}{\Sigma}} u_n भी अभिसारी होगी।अतः अभिसारी होगी।
पुनः (1) की प्रथम असमिका सेः
अतः यदि अपसारी है,तो भी अपसारी होगी।
इसलिए भी अपसारी होगी।अतः अपसारी होगी।
प्रश्न:2.तृतीय तुलना परीक्षण क्या है? (What is the Third Comparison Test?):
उत्तर:यदि \Sigma u_{n} तथा \Sigma v_{n} दो धनात्मक पदों की श्रेणियां हैं,तो
(a)यदि \Sigma v_{n} अभिसारी है,तो \Sigma u_{n} भी अभिसारी होगी,यदि किसी विशेष पद के पश्चात अर्थात् \forall n \geq n_{0} (एक निश्चित संख्या) के लिए
\frac{u_n}{u_n+1}>\frac{v_n}{v_{n+1}}
(b)यदि \Sigma v_{n} अपसारी है तो \Sigma u_{n} भी अपसारी होगी,यदि किसी विशेष पद के पश्चात अर्थात् \forall n \geq n_{0} (एक निश्चित संख्या) के लिए
\frac{u_n}{u_n+1}<\frac{v_n}{v_{n+1}}
If \Sigma u_{n} and \Sigma v_{n} are two series of positive terms,then
(a)If \Sigma v_{n} is convergent,then is also convergent, if after some particular term i.e. (a fixed number)
(b)If is divergent, the is also divergent,if after some particular i.e. \forall n \geq n_{0} (a fixed number)
\frac{u_n}{u_n+1}<\frac{v_n}{v_{n+1}}
प्रमाण (Proof):मानलो
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\cdots+u_n+v_n, \forall n \geq n_0 \\ =u_1 \left(1 +\frac{u_2}{u_1}+\frac{u_3}{u_1}+\cdots+\frac{u_n}{u_1}\right) \\ =u_1 \left(1 +\frac{u_2}{u_1}+\frac{u_2}{u_1}+\cdots \text{(n पदों तक)} \right) \\ <u_1\left(1 +\frac{v_2}{v_1}+\frac{v_3}{v_1}+\cdots \text{(n पदों तक)} \right) \\ <\frac{u_1}{v_1} \left(v_1+v_2+v_3 +\cdots+v_n\right),\forall n \geq n_{0} \ <\frac{u_1}{v_1} S_{n}^{\prime} जहाँ s_n^{\prime}=v_1+v_2+\cdots+v_n
परन्तु \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} s_n^{\prime}=l (एक परिमित संख्या), क्योंकि \Sigma v_{n} अभिसारी है।
अतः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} s_n भी परिमित होगी अर्थात् \Sigma u_{n} भी अभिसारी है।
इसी प्रकार दूसरे भाग को भी सिद्ध किया जा सकता है।
प्रश्न:3.तुलना परीक्षण के महत्त्वपूर्ण बिन्दु लिखिए। (Write Down the Important Points of the Comparison Test):
उत्तर:(1.)द्वितीय तुलना परीक्षण को व्यावहारिक तुलना परीक्षण (Practical comparison test) कहते हैं।यह अत्यन्त महत्त्वपूर्ण परीक्षण है,ज्यादातर इसी का प्रयोग किया जाता है।
(2.)तुलना परीक्षण द्वारा किसी श्रेणी \Sigma u_{n} का अभिसरण या अपसरण ज्ञात करने के लिए एक अन्य श्रेणी \Sigma v_{n} की आवश्यकता पड़ती है। \Sigma v_{n} को सहायक श्रेणी (auxiliary series) कहते हैं।यह श्रेणी इस प्रकार चुनी जानी चाहिए ताकि \lim \left(\frac{u_{n}}{v_n}\right) अशून्य एवं परिमित राशि हो।साधारणतया (सहायक श्रेणी का nवाँ पद) प्राप्त करने के लिए में n के घात का प्रतिधारण (retain) करते हैं।
(3.)गुणोत्तर श्रेणी एवं हाइपर-हारमोनिक श्रेणी, दो महत्त्वपूर्ण तुलनात्मक श्रेणियां है।गुणोत्तर श्रेणी तथा हाइपर-हारमोनिक श्रेणी के अभिसरण के बारे में पूर्व आर्टिकल में पढ़ चुके हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कलन में श्रेणी का अपसरण (Divergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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कलन में श्रेणी का अपसरण
(Divergence of Series in Calculus)
Divergence of Series in Calculus
कलन में श्रेणी का अपसरण (Divergence of Series in Calculus) तथा अभिसरण को तुलना
परीक्षण तथा हाइपर-हारमोनिक श्रेणी के आधार पर ज्ञात करेंगे।इन्हें कुछ उदाहरणों के द्वारा
समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
