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Distance Between Two Points in 3D

February 22, 2023 11th Mathematics, JEE MAINS Maths No Comments
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1 1.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points in 3D),दूरी सूत्र कक्षा 11 (Distance Formula Class 11):
1.1 2.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Distance Between Two Points in 3D):
1.2 3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी के सवाल (Distance Between Two Points in 3D Questions):
1.2.1 4.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Frequently Asked Questions Related to Distance Between Two Points in 3D),दूरी सूत्र कक्षा 11 (Distance Formula Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
1.2.2 प्रश्न:1.संश्लेषिक विधि किसे कहते हैं? (What is a Synthetic Approach?):
1.2.3 प्रश्न:2.निर्देशांक ज्यामिति किसे कहते हैं? (What is Coordinate Geometry?):
1.2.4 प्रश्न:3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति कक्षा 11 की मुख्य बातें लिखिए। (Write the HIGHLIGHTS of Three Dimensional Coordinate Geometry Class 11):
1.2.4.1 Distance Between Two Points in 3D
2 त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points in 3D)
2.1 Distance Between Two Points in 3D

1.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points in 3D),दूरी सूत्र कक्षा 11 (Distance Formula Class 11):

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points in 3D) ज्ञात करने का सूत्र निम्न प्रकार प्राप्त किया जाता है:
दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points):
मान लीजिए,समकोणिक अक्ष OX,OY तथा OZ के सापेक्ष दो बिन्दु P\left(x_1, y_1, z_1\right) तथा Q \left(x_2, y_2, z_2\right) हैं।

P तथा Q बिन्दुओं से निर्देशांक तलों के समान्तर तल खींचिए जिससे हमें ऐसा घनाभ मिलता है जिसका विकर्ण PQ है (देखिए आकृति)
क्योंकि \angle PAQ एक समकोण है अतः \triangle PAQ में

PQ^2=PA^2+AQ^2 \ldots(1)
पुनः क्योंकि \angle ANQ=एक समकोण, इसलिए \triangle ANQ में

AQ^2=AN^2+NQ^2 \ldots(2)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है कि

PQ^2=PA^2+AN^2+NQ^2
अब PA=y_2-y_1, AN=x_2-x_1  और NQ=z_2-z_1
इस प्रकार PQ^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2
अतः PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
यह दो बिन्दुओं P\left(x_{1}, y_{1}, z_1\right) और Q\left(x_2, y_2, z_2\right) के बीच की दूरी PQ के लिए सूत्र है।
विशेषतः यदि x_1=y_1=z_1=0 अर्थात् P, मूलबिन्दु O हो तो

OQ=\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}
जिससे हमें मूलबिन्दु O और किसी बिन्दु Q\left(x_2, y_2, z_2\right) के बीच दूरी प्राप्त होती है।
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2.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Distance Between Two Points in 3D):

Example:1.निम्नलिखित बिन्दु-युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिएः
Example:1(i).(2,3,5) और (4,3,1)
Solution:माना P(2,3,5) तथा Q(4,3,1)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \\ =\sqrt{(4-2)^2+(3-3)^2+(1-5)^2} \\ =\sqrt{(2)^2+0^2+(-4)^2} \\ =\sqrt{4+16} \\ \Rightarrow P Q =\sqrt{20}=2 \sqrt{5}
Example:1(ii).(-3,7,2) और (2,4,-1)
Solution:माना P(-3,7,2) तथा Q(2,4,-1)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \\ =\sqrt{(2+3)^2+(4-7)^2+(-1-2)^2} \\=\sqrt{(5)^2+(-3)^2+(-3)^2} \\ =\sqrt{25+9+9} \\=\sqrt{43} \\ \Rightarrow P Q =\sqrt{43}
Example:1(iii).(-1,3,-4) और (1,-3,4)
Solution:माना P(-1,3,-4) तथा Q(1,-3,4)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

P Q =\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \\ =\sqrt{(1+1)^2+(-3-3)^2+(4+4)^2} \\ =\sqrt{(2)^2+(-6)^2+(8)^2} \\ =\sqrt{4+36+64} \\ =\sqrt{104} \\ =\sqrt{4 \times 26} \\ \Rightarrow PQ=2 \sqrt{26}
Example:1(iv).(2,-1,3) और (-2,1,3)
Solution:माना P(2,-1,3) तथा Q(-2,1,3)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी

PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_{1}\right)^2} \\=\sqrt{(-2-2)^2+(1+1)^2+(3-3)^2} \\=\sqrt{(-4)^2+(2)^2+(0)^2} \\=\sqrt{16+4} \\=\sqrt{20} \\ =\sqrt{4 \times 5} \\ \Rightarrow P Q =2 \sqrt{5}
Example:2.दर्शाइए कि बिन्दु (-2,3,5),(1,2,3) और (7,0,-1) संरेख हैं।
Solution:माना P(-2,3,5), Q(1,2,3) तथा R(7,0,-1)

संरेख बिन्दु एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।

PQ=\sqrt{\left(x_2-x_{1}\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_{2}-z_1\right)^2} \\ \Rightarrow PQ =\sqrt{(1+2)^2+(2-3)^2+(3-5)^2} \\=\sqrt{(3)^2+(-1)^2+(-2)^2} \\=\sqrt{9+1+4} \\ \Rightarrow PQ=\sqrt{14} \\ QR=\sqrt{(7-1)^2+(0-2)^2+(-1-3)^2} \\ =\sqrt{36+4+16} \\=\sqrt{56} \\=\sqrt{4 \times 14} \\ =2 \sqrt{14} \\ PR=\sqrt{(7+2)^2+(0-3)^2+(-1-5)^2} \\ =\sqrt{9^2+(-3)^2+(-6)^2} \\ =\sqrt{81+9+36} \\ =\sqrt{126} \\ =\sqrt{9 \times 14} \\ \Rightarrow PR=3 \sqrt{14}
इस प्रकार PQ+QR=PR
अतः बिन्दु P,Q और R संरेख हैं।

Example:3.निम्नलिखित को सत्यापित कीजिएः
Example:3(i).(0,7,-10);(1,6,-6) और (4,9,-6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Solution:माना A(0,7,-10),B(1,6,-6) तथा C(4,9,-6)
दूरी सूत्र सेः PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_{1}\right)^2} \\ AB=\sqrt{(1-0)^2+(6-7)^2+(-6+10)^2} \\ =\sqrt{1^2+(-1)^2+(4)^2} \\ =\sqrt{1+1+16} \\=\sqrt{18} \\ =\sqrt{9 \times 2} \\ \Rightarrow AB=3 \sqrt{2} \\ BC=\sqrt{(4-1)^2+(9-6)^2+(-6+6)^2} \\ =\sqrt{(3)^2+(3)^2} \\ =\sqrt{9+9} \\ =\sqrt{18} \\ =\sqrt{9 \times 2} \\ \Rightarrow BC=3 \sqrt{2} \\ AC=\sqrt{(4-0)^2+(9-7)^2+(-6+10)^2} \\ =\sqrt{4^2+(2)^2+4^2} \\ =\sqrt{16+4+16} \\ =\sqrt{36} \\ \Rightarrow AC=6 \\ A B=B C=3 \sqrt{2}
अतः A,B, C समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Example:3(ii).(0,7,10),(-1,6,6) और (-4,9,6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Solution:माना A(0,7,10), B(-1,6,6) तथा C(-4,9,6)
दूरी सूत्र सेः PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_{1}\right)^2} \\ AB= \sqrt{(-1+0)^2+(6-7)^2+(6-10)^2} \\ =\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-4)^2} \\ =\sqrt{1+1+16} \\ =\sqrt{18} \\ =\sqrt{9 \times 2} \\ \Rightarrow AB=3 \sqrt{2} \\ BC=\sqrt{(-4+)^2+(9-6)^2+(6-6)^2} \\ =\sqrt{(-3)^2+(3)^2} \\ \Rightarrow B C=\sqrt{9+9} \\ \Rightarrow B C=\sqrt{18} \\ \Rightarrow B C=3 \sqrt{2} \\ AC=\sqrt{(-4-0)^2+(9-7)^2+(6-10)^2} \\ =\sqrt{(-4)^2+(2)^2+(-4)^2} \\ =\sqrt{16+4+16}=\sqrt{36} \\ \Rightarrow A C=6 \\ AB^2+BC^2=AC^2=36
अतः A, B, C एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Example:3(iii).(-1,2,1),(1,-2,5),(4,-7,8) और (2,-3,4) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Solution:माना A(-1,2,1),B(1,-2,5),C(4,-7,8) तथा D(2,-3,4)
दूरी सूत्र सेः PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_{1}\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \\ AB=\sqrt{(1+1)^2+(-2-2)^2+(5-1)^2} \\ AB=\sqrt{2^2+(-4)^2+(4)^2} \\ =\sqrt{4+16+16} \\ =\sqrt{36} \\ \Rightarrow A B =6 \\ BC=\sqrt{(4-1)^2+(-7+2)^2+(8-5)^2} \\ =\sqrt{(3)^2+(-5)^2+(3)^2} \\ =\sqrt{9+25+9} \\ \Rightarrow BC=\sqrt{43} \\ CD=\sqrt{(2-4)^2+(-3+7)^2+(4-8)^2} \\ =\sqrt{(-2)^2+(4)^2+(-4)^2} \\ =\sqrt{4+16+16} \\ =\sqrt{36} \\ \Rightarrow CD=6 \\ DA=\sqrt{(-1-2)^2+(2+3)^2+(1-4)^2} \\ =\sqrt{(-3)^2+(5)^2+(-3)^2} \\ =\sqrt{9+25+9} \\ \Rightarrow DA=\sqrt{43} \\ AC= \sqrt{(4+1)^2 +(-7-2)^2+(8-1)^2} \\ =\sqrt{(5)^2+(-9)^2+(7)^2} \\ =\sqrt{25+81+49} \\ \Rightarrow AC=\sqrt{155} \\ BD=\sqrt{(2-1)^2+(-3+2)^2+(4-5)^2} \\ =\sqrt{(1)^2+(-1)^2+(-1)^2} \\ =\sqrt{1+1+1} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{3} \\ \Rightarrow AB=CD=6,BC=DA=\sqrt{43} \\ \text { विकर्ण } AC \neq \text { विकर्ण } BD
अतः ABCD समान्तर चतुर्भुज है।
Example:4.ऐसे बिन्दुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1,2,3) और (3,2,-1) से समदूरस्थ है।
Solution:माना A(x,y,z) बिन्दुओं B(1,2,3) व C(3,2,-1) से समदूरस्थ है।
दूरी सूत्र सेः PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \\ AB= \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2} \\ \Rightarrow A C=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2} \\ \Rightarrow A B=A C \\ \Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^{2}} \\ \Rightarrow x^2-2 x+1+y^2-4 y+4+z^2-6 z+9 \\ =x^2-6 x+9+y^2-4 y+4+z^2+2 z+1 \\ \Rightarrow -2 x+6 x-4 y+4 y-6 z-2 z+14-14=0 \\ \Rightarrow 4 x-8 z=0 \\ \Rightarrow x-2 z=0
Example:5.बिन्दुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिन्दुओं A(4,0,0) और B(-4,0,0) से दूरियों का योगफल 10 है।
Solution:माना P(x,y,z) बिन्दुओं A(4,0,0) व B(-4,0,0) से दूरियों का योगफल 10 है।
दूरी सूत्र सेः PQ=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_2\right)^2} \\ PA=\sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2+(z-0)^2} \\ \Rightarrow P A=\sqrt{(x-4)^2+y^2+z^2} \\ PB=\sqrt{(x+4)^2+(y-0)^2+(z-0)^2} \\ \Rightarrow P B=\sqrt{(x+4)^2+y^2+z^2} \\ PA+P B=10 \\ \Rightarrow \sqrt{(x+4)^2+ y^2+z^2}+ \sqrt{(x+4)^2+y^2+z^2}=10
दोनों पक्षों का वर्ग करने परः

\Rightarrow (x-4)^2+y^2+z^2+(x+4)^2+y^2+z^2 +2 \sqrt{(x-4)^2+y^2+z^2} \sqrt{(x+4)^2+y^2 +z^2}=100 \\ \Rightarrow x^2-8 x+16+y^2+z^2+x^2+8 x+16+y^2+ z^2+2 \sqrt{(x-4)^2+y^2+z^2} \sqrt{(x+4)^2+y^2+z^2}=100 \\ \Rightarrow 2 x^2+2 y^2+2 z^2+32+2 \sqrt{(x-4)^2+y^2+z^2} \\ \sqrt{(x+4)^2+y^2+z^2}=100 \\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2+16+\sqrt{(x-4)^2+y^2+z^2} \sqrt{(x+4)^2 +y^2+z^{2}} \\ =50 \\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2-34=-\sqrt{(x-4)^2+y^2+z^2} \sqrt{\left(x+ 4\right)^2+y^2 +z^2}

दोनों पक्षों का वर्ग करने परः

\Rightarrow \left(x^2+y^2+z^2-34\right)^2=\left[(x-4)^2+y^2+z^2\right] \left[(x+4)^2+ y^2+z^2\right] \\ \Rightarrow x^4+y^4+z^4+2 x^2 y^2+2 x^2 z^2+2 y^2 z^2 -68 x^2-68 y^2-68 z^2+1156= x^4+ y^4+z^4 -32 x^2+32 y^2+32 z^2+2 x^2 y^2+2 y^2 z^2 +2 x^2 z^2+256 \\ \Rightarrow-36 x^2-100 y^2-100 z^2+900=0 \\ \Rightarrow 9 x^2+25 y^2+25 z^2-225=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points in 3D),दूरी सूत्र कक्षा 11 (Distance Formula Class 11) को समझ सकते हैं।

3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी के सवाल (Distance Between Two Points in 3D Questions):

(1.)दर्शाइए कि बिन्दु A(1,2,3),B(-1,-2,-1) समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं परन्तु यह एक आयत नहीं है।
(2.)YZ-समतल में वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c) से समान दूरी पर हो।
उत्तर (Answer):(2) \left(0, \frac{b^2-a^2}{2 b},\frac{c^2-a^2}{2 c}\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points in 3D),दूरी सूत्र कक्षा 11 (Distance Formula Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Frequently Asked Questions Related to Distance Between Two Points in 3D),दूरी सूत्र कक्षा 11 (Distance Formula Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.संश्लेषिक विधि किसे कहते हैं? (What is a Synthetic Approach?):

उत्तर:जब ज्यामितीय रचनाओं का अध्ययन कुछ स्वयं सिद्ध कथनों तथा अवधारणाओं के आधार पर किया जाता है जहाँ व्यक्ति का खोज परक गुण सदैव महत्त्वपूर्ण रहता है तथा गणनाएँ सदैव सहायक की भूमिका में उपस्थित रहती है।इस विधि को संश्लेषिक विधि कहते हैं।

प्रश्न:2.निर्देशांक ज्यामिति किसे कहते हैं? (What is Coordinate Geometry?):

उत्तर:संश्लेषिक विधि की स्थिति में कभी-कभी समस्याओं को हल करना कठिन हो जाता है अतः सभी ज्यामितीय समस्याओं को एक समान रूप से हल करने के लिए यह आवश्यक है कि व्यक्ति के खोज परक गुण के प्रभाव को नगण्य बना दिया जाए तथा गणनाओं को मुख्य आधार प्रदान किया जाए।निर्देशांक पद्धति इस कार्य में अत्यन्त सहायक सिद्ध हुई है,इस पद्धति में हम बिन्दु को विशिष्ट संख्याओं जिन्हें निर्देशांक कहते हैं से निरूपित करते हैं एवं ज्यामितीय चित्रों का अध्ययन करते हैं अतः इसे निर्देशांक ज्यामिति कहते हैं।

प्रश्न:3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति कक्षा 11 की मुख्य बातें लिखिए। (Write the HIGHLIGHTS of Three Dimensional Coordinate Geometry Class 11):

उत्तर:(1.)त्रिविमीय ज्यामिति के समकोणिक कार्तीय निर्देशांक निकाय में निर्देशांक्ष तीन परस्पर लम्बवत् रेखाएँ होती हैं।
(2.)निर्देशांक्षों के युग्म,तीन तल निर्धारित करते हैं जिन्हें निर्देशांक्ष तल XY-तल,YZ-तल व ZX-तल कहते हैं।
(3.)तीन निर्देशांक्ष तल अंतरिक्ष को आठ भागों में बांटते हैं जिन्हें अष्टांश (octant) कहते हैं।
(4.)त्रिविमीय ज्यामिति में किसी बिन्दु P के निर्देशांकों को सदैव एक त्रिदिक (x,y,z) के र में लिखा जाता है।यहाँ x,YZ-तल से, y, ZX-तल से व z, XY-तल से दूरी है।
(5.)(i)x-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (x,0,0) हैं।
(ii)y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (0,y,0) हैं।
(iii)z-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (0,0,z) हैं।
(6.)दो बिन्दुओं P\left(x_1, y_1, z_1\right) \text { तथा } Q\left(x_2, y_2, z_2\right) के बीच की दूरी का सूत्र हैः
PQ=\sqrt{\left(x_2-x_{1}\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
(7.)दो बिन्दुओं P\left(x_1, y_1, z_1\right) \text { तथा } Q\left(x_2, y_2, z_2\right) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को m:n अनुपात में अन्तः और बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक क्रमशः
\left(\frac{m x_2+nx_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}, \frac{m z_2+n z_1}{m+n}\right)\left(\frac{m x_2-nx_1}{m-n}, \frac{m y_2-n y_1}{m-n}, \frac{m z_2-n z_1}{m-n}\right) हैं।
(8.)दो बिन्दुओं P\left(x_1, y_1, z_1\right) \text { तथा } Q\left(x_2, y_2, z_2\right) को मिलाने वाले रेखाखण्ड PQ के मध्य बिन्दु के निर्देशांक हैंः
\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)
(9.)एक त्रिभुज जिसके शीर्षों के निर्देशांक \left(x_1, y_1, z_1\right),\left(x_2, y_2, z_2\right) और \left(x_3, y_3, z_3\right) हैं के केन्द्रक के निर्देशांक हैः
\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points in 3D),दूरी सूत्र कक्षा 11 (Distance Formula Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Distance Between Two Points in 3D

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी
(Distance Between Two Points in 3D)

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त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points
in 3D) ज्ञात करने का सूत्र निम्न प्रकार प्राप्त किया जाता है:

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Satyam

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