1.गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12):

गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) का स्पष्ट ज्ञान हो चुका होगा।अब कुछ ओर उदाहरणों से अवकलन के कुछ विशिष्ट समस्याओं को हल करेंगे।
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2.गणित में अवकलन के साधित उदाहरण (Differentiation in Mathematics Solved Examples):

Example:1.यदि किसी c>0 के लिए (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2} है तो सिद्ध कीजिए कि \frac{\left[1+ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}, a और b से स्वतन्त्र एक स्थिर राशि है।
Solution: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2} \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2(x-a)+2(y-b) \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(x-a)}{y-b}

पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\left[\frac{(y-b) \cdot 1-(x-a) \frac{d y}{d x}}{(y-b)^{2}}\right]\\ =-\left[\frac{(y-b)^{2}+x-(x)^{2}}{(y-b)^{3}}\right] \\ =-\left[\frac{(y-b)-(x-a) \cdot\left\{-\frac{(x-a)}{y-b}\right\}}{(y-b)^{2}}\right] \\ =-\left[\frac{[y-b)^{2}+(x-a)^{2}}{(y-b)^{3}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} =-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}} [(1) से]
\frac{d y}{d x} तथा \frac{d^{2} y}{d x^{2}} का मान \frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}} में रखने पर:
\frac{\left[1+\frac{(x-a)^{2}}{(y-b)^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{-c^{2}}{(y-b)^{\frac{3}{2}}}} \\ \frac{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{(y-b)^{3} \times \frac{-c^{2}}{(y-b)^{\frac{3}{2}}}} \\ =\frac{\left[c^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{-c^{2}} [(1) से]

=\frac{c^{3}}{-c^{2}} \\ =c (संख्यात्मक मान)

\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=c
जो a और b से स्वतन्त्र राशि है।
Example:2.यदि \cos y=x \cos (a+y) तथा \cos a \neq 0 तो सिद्ध कीजिए कि \frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{2}(a+y)}{\sin a}
Solution: \cos y=x \cos (a+y) \\ \Rightarrow \frac{\cos y}{\cos (a+y)}=x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{\cos (a+y)\left\{-\sin y\right\} \frac{d y}{d x}-\cos y\{-\sin (a x+y)\}}{\cos ^{2}(a+y)} \frac{d y}{d x}=1\\ \Rightarrow \frac{[\cos y \sin (a+y)-\cos (a+y) \sin y]}{\cos ^{2}(a+y)} \frac{d y}{d x} =1\\ \Rightarrow \frac{\sin (a+y-y)}{\cos^{2} (a+y)} \frac{d y}{d x}=1 \\ \Rightarrow \frac{\sin a}{\cos ^{2}(a+y)} \frac{d y}{d x}=1\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{2}(a+y)}{\sin a}
Example:3.यदि x=a\left(\cos t+\sin t\right) और y=a(\sin t-t \cos t) तो \frac{d^{2} y}{d x^{2}} ज्ञात कीजिए।
Solution: x=a(\cos t+t \sin t) \\ y=a(\sin t-\cos t)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=a(-\sin t+\sin t+t \cos t) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=a t \cos t \\ \frac{d y}{d t}=a(\cos t-\cos t+t \sin t) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=a t \sin t \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d x}{d t}} \\ =\frac{a t \sin t}{a t \cos t} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\sin t}{\cos t}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =\frac{d}{d x} \frac{\sin t}{\cos t} \\ =\frac{d}{d t} \frac{\sin t}{\cos t} \cdot\frac{dt}{dx} \\ =\frac{\cos t \cos t-\sin t(-\sin t)}{\cos ^{2} t} \frac{d t}{d x} \\ =\frac{\cos ^{2} t+\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t} \frac{d t}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} t} \frac{d t}{d x}\\ \frac{dt}{dx} का मान रखने पर:

\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} t} \cdot \frac{1}{a t \cos t} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{\sec ^{3} t}{a t}, 0<t<\frac{\pi}{2}
Example:4.यदि f(x)=|x|^{3} तो प्रमाणित कीजिए कि f”(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
Solution: f(x)=|x|^{3}
यदि x>0 ; |x|=x तब f(x)=x^{3} \\ f(x)=x^{3}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d}{d x}[f(x)]=\frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \\ f^{\prime}(x)=3 x^{2}
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
f”(x)=6x… (1)
अतः f”(x) का अस्तित्व है।
जब x<0,|x|=-x

\therefore f(x)=\left(-x\right)^{3}=-x^{3} \\ \therefore f(x)=-x^{3}

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

f^{\prime}(x)=-3 x^{2}

पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

f”(x)=-6x …. (2)

अतः f”(x) का अस्तित्व है।

(1) व (2) से:

f^{\prime \prime}(x)=6|x|

जिससे प्रमाणित होता है कि f”(x) का अस्तित्व है।

Example:5.गणितीय आगमन के सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए \frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1} है।

Solution: \frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1}

माना P(n)=\frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1} \cdots(1)

n=1 रखने पर:

P(1): \frac{d}{d x}(x)=(1) x^{1-1} \\ \Rightarrow P(1): \frac{d}{d x}(x)=1

अतः दिया गया कथन n=1 के लिए सत्य है अर्थात् p(1) सत्य है। माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k)=\frac{d}{d x}\left(x^{k}\right)=k x^{k-1} \cdots(2)

अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1) =\frac{d}{d x}\left(x^{k+1}\right)-(k+1) x^{k} \\ \text { L.H.S. } \frac{d}{d x}\left(x^{k+1}\right) \\ =\frac{d}{d x}\left(x \cdot x^{k}\right) \\ =x^{k} \frac{d}{d x}(x)+x \frac{d}{d x}\left(x^{k}\right) \\ =x^{k} \cdot(1)+x \cdot\left[k x^{k-1}\right][(2) से]

=x^{k}+x \cdot k x^{k-1} \\ =x^{k}+k x^{k} \\ =(k+1) x^{k}

L. H. S=R. H. S

अतः कथन (k+1) के लिए सत्य सिद्ध हुआ।

फलतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से कथन सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।

Example:6. \sin (A+B)=\sin A \cos B का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।

Solution: \sin (A+B)=\sin A \cos B \cdots(1)

(1) के दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\cos (A+B) \cdot\left(\frac{d A}{d t}+\frac{d B}{d t}\right)=\sin A \frac{d}{d t} \cos B+\cos B \frac{d}{d t}(\sin A)+\cos A \frac{d}{d t}(\sin B)+\sin B \frac{d}{d t}(\cos A)\\ =-\sin A \sin B \frac{d B}{d t}+\cos B \cos A \frac{d A}{d t}+\cos A \cos B \frac{d B}{d t}+\sin B(-\sin A) \frac{d A}{d t} \\ =\cos A \cos B\left(\frac{d A}{d t}+\frac{d B}{d t}\right)-\sin A \sin B\left(\frac{d A}{d t}\right)\\ =(\cos A \cos B-\sin A \sin B)\left(\frac{d A}{d t}+\frac{d B}{d t}\right)\\ \Rightarrow \cos (A+B)\left(\frac{d A}{dt}+\frac{d B}{d t}\right)=(\cos A \cos B-\sin A \sin B) \left(\frac{d A}{d t}+\frac{d B}{d t}\right)\\ \Rightarrow \cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B

Example:7.क्या ऐसे फलन का अस्तित्व है जो प्रत्येक बिन्दु पर संतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

Solution:ऐसे कई फलन हैं जो सभी बिन्दुओं पर संतत है परन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय नहीं हैं। उदाहरणार्थ f(x)=|x-1|+|x-2|
मापांक रहित करने पर:

जब x<1 तो f(x)=-(x-1)-(x-2) =-x+1-x+2 f(x)=3-2x

1 \leq x<2  तो f(x)=x-1-(x-2) =x-1-x+2 f(x)=1

यदि x \geq 2 तो f(x)=x-1+x-2 f(x)=2x-3

f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3-2 x & \text { जब } x<1 \\ 1 & \text { जब } 1 \leq x<2 \\ 2 x-3 & \text { जब } x \geq 2 \end{array}\right. \\ x=c<1 \\ f(c)=3-2 c \\ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(3-2 x) \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow c} f(x)=3-2 c \\ f(c)=\lim _{x \rightarrow c} f(x)

जब जब जब c<1 के लिए फलन संतत है।

x=1 पर

f(1)=1

L.H.L.

\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(3-2 x)\\ =3-2(1)\\ =3-2\\ \lim _{x \rightarrow 1^{-}} =1

R.H.L.

\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1)\\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{+}}=1\\ \Rightarrow f(1)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)

अतः फलन x=1 पर संतत है। 

1 \leq c<2 \\ f(c)=1 \\ \lim _{h \rightarrow c} f(x)=\lim _{h \rightarrow c}(1) \\ \lim _{h \rightarrow c} f(x)=1 \\ f(c)=\lim _{h \rightarrow c}f(x)

अतः अन्तराल 1 \leq x <2 में फलन संतत है। 

x=c>2

f(c)=2 c-3 \\ \lim _{h \rightarrow c} f(x)=\lim _{h \rightarrow c}(2 x-3) \\ \lim _{h \rightarrow c} f(x)=2 c-3 \\ f(c)=\lim _{h \rightarrow c} f(x)

अतः x>2 के लिए फलन संतत है।
x=2 पर
f(2)=2×2-3=4-3=1

L.H.L.

\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} (1) \\ \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=1

R.H.L.

\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)= \lim _{x \rightarrow 2^{+}}(2 x-3) \\ =2 \times 2-3 \\ \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=1 \\ f(2)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
अतः फलन सर्वत्र संतत है।
अवकलनीयता

R f^{\prime}(1) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(1)-(1)}{h} \\ R f^{\prime}(1) =0 \\ L f^{\prime}(1) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3-2(1-h)-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3-2+2 h-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{2 h}{-h}\right) \\ Lf^{\prime}(1)=-2 \\ R f^{\prime}(1) \neq L f^{\prime}(1)
अतः x=1 पर अवकलनीय नहीं है।
x=2 पर

R f^{\prime}(2)= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2(2+h)-3-1}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{4+2 h-4}{h} \\ \Rightarrow R f^{\prime}(2)= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 h=2}{h} \\ L f^{\prime}(2)= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2-h)-f(2)}{-h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{-h} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(2)= 0 \\ R f^{\prime}(2) \neq L f^{\prime}(2)
अतः x=2 पर फलन अवकलनीय नहीं है।
Example:8.यदि y=\left|\begin{array}{ccc} f(x) & g(x) & h(x) \\ i & m & n \\ a & b & c \end{array}\right| है तो सिद्ध कीजिए कि \frac{d y}{d x}=\left|\begin{array}{ccc} f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right|
Solution: y=\left|\begin{array}{ccc} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right| \\ y=f(x) (m c-b n)-g(x)(l c-a n)+h(x) (l b-a m)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}= f^{\prime}(x)\left(mc-bn)-g^{\prime}(x)(lc-a n)\right.+h^{\prime}(x)(l b-a m) \\ \frac{d y}{d x}=\left|\begin{array}{ccc} f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right|
Example:9.यदि  y=e^{a \cos ^{-1} x},-1 \leq x \leq 1 तो दर्शाइए कि \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-a^{2} y=0
Solution: y=e^{a \cos ^{-1} x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x} =e^{a \cos ^{-1} x} \cdot \frac{d}{d x}(a \cos^{-1} x) \\ =e^{a \cos ^{-1} x}-\frac{a}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{a e^{a \cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=-a e^{a \cos^{-1} } x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{-2 x}{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{d y}{d x}+\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{a^{2} e^{a \cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=a^{2} e^{a \cos ^{-1} x} \\ \Rightarrow\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=a^{2} y \\ \Rightarrow\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-a^{2} y=0
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12) को समझ सकते हैं।

3.गणित में अवकलन के सवाल (Differentiation in Mathematics Questions):

(1.)y=\tan ^{-1}\left(\frac{x^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}}{1-x^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}}\right) यदि हो तो \frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए।
(2.)यदि \log _{e} x=\tan ^{-1}\left(\frac{y-x^{2}}{x^{2}}\right) तो \frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1)\frac{1}{3\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right) \cdot x^{\frac{2}{3}}}

(2)2 x\left[1+\tan \left(\log _{e} x\right)\right]+x \sec ^{2}\left(\log _{e} x\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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