1.कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics):

Differentiation Class 12

कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12) में अवकलन से तात्पर्य है कि किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया।हम वाक्यांश x के सापेक्ष f(x) का अवकलन कीजिए का भी प्रयोग करते हैं जिसका अर्थ होता है कि f'(x) ज्ञात कीजिए।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Rolle Theorem in Differential Calculus

2.कक्षा 12 में अवकलन के साधित उदाहरण (Differentiation Class 12 Solved Examples):

प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
Example:1. \left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{9}
Solution: y=\left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{9}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x} =9\left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{8} \frac{d}{d x}\left(3 x^{2}-9 x+3\right) \\ =9\left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{8}(6 x-9) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =27(2 x-3)\left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{8}
Example:2. \sin ^{3} x+\cos ^{6} x
Solution: y=\sin ^{3} x+\cos ^{6} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=3 \sin ^{2} x \frac{d}{d x}(\sin x)+6 \cos ^{5} x \frac{d}{d x} (\cos x)\\ =3 \sin ^{2} x \cdot \cos x+6 \cos ^{5} x(-\sin x)\\ =3 \sin ^{2} x \cos x-6 \cos ^{5} x \sin x\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 \sin x \cos x(\sin x-2 \cos^{4} x)
Example:3. (5 x)^{3 \cos 2 x}
Solution: y=(5 x)^{3 \cos 2 x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log y=\log (5 x)^{3 \cos 2 x} \\ \Rightarrow \log y =3 \cos 2 x \log (5 x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{y} \cdot\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 \cos 2 x \frac{d}{d x} \log (5 x)+3 \log (5 x) \frac{d}{d x}(\cos 2 x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y\left[3 \cos 2 x \cdot \frac{1}{5 x} \cdot 5+3 \log (5 x) (-2 \sin 2x)\right]\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=(5 x)^{3 \cos x}\left[\frac{3 \cos 2 x}{x}-6 \sin 2 x \log (5 x)\right]
Example:4. \sin ^{-1}(x \sqrt{x}), 0 \leq x \leq 1
Solution:y=\sin ^{-1}(x \sqrt{x})
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x} =\frac{1}{\sqrt{1-(x \sqrt{x})^{2}}} \frac{d}{d x}(x \sqrt{x}) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{3}}} \frac{d}{d x}\left(x^{\frac{3}{2}}\right) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{3}}} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{3}{2} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^{3}}}
Example:5. \frac{\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{(2 x+7)}},-2<x<2
Solution: y=\frac{\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{(2 x+7)}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{(2 x+7)} \frac{d}{d x}\left(\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \frac{d}{d x} \sqrt{(2 x+7)}}{(2x+7)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= \frac{\sqrt{(2 x+7)} \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}} \cdot \frac{1}{2}\right)-\cos^{-1} \left(\frac{x}{2}\right)\frac{1}{2 \sqrt{2 x+7}} \cdot 2}{(2 x+7)} \\ \frac{d y}{d x}=-\left[\frac{\sqrt{\frac{2 x+7}{4-x^{2}}}+\frac{\cos^{-1} \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{(2 x+7)}}}{2 x+7}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\left[\frac{1}{\sqrt{\left(4-x^{2}\right)} \sqrt{(2 x+7)}}+\frac{\cos^{-1} \left(\frac{x}{2}\right)}{(2 x+7)^{\frac{3}{2}}}\right]
Example:6. \cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{(1+\sin x)-\sqrt{1-\sin x}}}\right] ,0<x<\frac{\pi}{2}
Solution: y=\cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{(1+\sin x)-\sqrt{1-\sin x}}}\right] ,0<x<\frac{\pi}{2} \\ y=\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{(1+\sin x)}-\sqrt{1-\sin x}}\right] \\ \Rightarrow y=\cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}} \times \frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}} \right]\\ y=\cot^{-1} \left[\frac{1+\sin x+1-\sin x+2 \sqrt{1+\sin } \sqrt{1-\sin x}}{(1+\sin x)-(1-\sin x)}\right]\\ y=\cot^{-1} \left[\frac{2+2 \sqrt{1-\sin ^{2} x}}{1+\sin x-1+\sin x}\right]\\ y =\cot^{-1} \left[\frac{2+2 \sqrt{\cos ^{2} x}}{2 \sin x}\right] \\ =\cot ^{-1}\left[\frac{2(1+\cos x)}{2 \sin x}\right] \\ =\cot ^{-1}\left[\frac{1+2 \cos ^{2} \frac{x}{2}-1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right] \\ =\cot ^{-1}\left[\frac{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos ^{2} \frac{x}{2}}\right] \\ =\cot ^{-1}[\cot \frac{x}{2}] \\ =\frac{x}{2} \\ y =\frac{x}{2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}
Example:7. (\log x)^{\log x}, x>1
Solution: y=(\log x)^{\log x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log y =\log \left[(\log x)^{\log x}\right] \\ \log y =\log x \log (\log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

Differentiation Class 12

Example:8. \cos (a \cos x+b \sin x) किन्हीं अचर a तथा b के लिए
Solution: y=\cos (a \cos x+b \sin x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=-\sin (a \cos x+b \sin x) \frac{d}{d x}(a \cos x+b \sin x) \\ \frac{d y}{d x}=-\sin (a \cos x+b \sin x)(-a \sin x+b \cos x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= \sin (a \cos x+b \sin x)(a \sin x-b \cos x)
Example:9. (\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)}
Solution: y=(\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)},\frac{\pi}{4}<x<\frac{3 \pi}{4}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log y=\log (\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)} \\ \log y=(\sin x-\cos x) \log(\sin x-\cos x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=(\sin x-\cos x) \frac{d}{d x} \log (\sin x-\cos x)+\log (\sin x-\cos x) \frac{d}{d x}(\sin x-\cos x)\\ \frac{d y}{d x}=y\left[(\sin x-\cos x) \frac{1}{\sin x-\cos x} \frac{d}{d x}(\sin x-\cos x)+\log (\sin x-\cos x)(\cos x+\sin x)\right]\\ =y\left [ (\cos x+\sin x)+\log (\sin x-\cos x) (\sin x+\cos x) \right ]\\ \frac{d y}{d x}=(\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)}(\cos x+\sin x)[1+\log (\sin x-\cos x)]
Example:10. x^{x}+x^{a}+a^{x}+a^{a},किसी नियत a>0 तथा x>0 के लिए
Solution: y=x^{x}+x^{a}+a^{x}+a^{a}
माना y=u+v+w+t ………(1)

u=x^{x}, v=x^{a}, w=a^{x}, t=a^{a}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log u=\log x^{x}, \log v=\log x^{a}, \log w=\log a^{x} \\ \log u=x \log x, \quad \log v=a \log x, \log w=x \log a
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=1 \cdot \log x+1=(1+\log x) \\ \frac{d u}{d x}=u(1+\log x) \\ \frac{d u}{d x}=x^{x}(1+\log x) \cdots(2) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=\frac{a}{x} \Rightarrow \frac{d v}{d x}=v \cdot \frac{a}{x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^{a} \cdot \frac{a}{x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=a x^{a-1} \ldots(3) \\ \frac{1}{w} \cdot \frac{d w}{d x}=\log a \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=w \log a \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=a^{x} \log a \ldots(4) \\ \frac{d t}{d x}=0 \cdots(5)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}+\frac{d w}{d x}+\frac{d t}{d x} \cdots(6)
समीकरण (2),(3),(4),(5) से समीकरण (6) में मान रखने पर:

\frac{d y}{d x}=x^{x}(1+\log x)+a x^{a-1}+a^{x} \log a
Example:11. x^{x^{2}-3}+(x-3)^{x^{2}}, x>3 के लिए
Solution: y=x^{x^{2}-3}+(x-3)^{x^{2}}

y=u+v \cdots(1) \\ u=x^{x^{2}-3} \quad v=(x-3)^{x^{2}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log u=\log x^{x^{2}-3}, \quad \log v=\log (x-3)^{x^{2}} \\ \log u=\left(x^{2}-3\right) \log x, \quad \log v=x^{2} \log (x-3)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\left(x^{2}-3\right) \frac{d}{d x}(\log x)+\log x \frac{d}{d x}\left(x^{2}-3\right) \\ \frac{d u}{d x}=u\left[\left(x^{2}-3\right) \cdot \frac{1}{x}+\log x \cdot 2 x\right] \\ \frac{d u}{d x}=x^{x^{2}-3}\left[\frac{x^{2}-3}{x}+2x \log x\right] \cdots(2) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=x^{2} \frac{d}{d x} \log (x-3)+\log (x-3) \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \\ \frac{d v}{d x}=v\left[x^{2} \cdot \frac{1}{x-3}+\log (x-3) \cdot 2 x\right] \\ \frac{d v}{d x}=(x-3)^{x^{2}}\left[\frac{x^{2}}{x-3}+2 x \log (x-3)\right] \cdots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:

\frac{d y}{d x}=x^{x^{2}-3}\left[\frac{x^{2}-3}{x}+2 x \log x\right]+(x-3)^{x^{2}} \left [ \frac{x^{2}}{x-3} +2x \log(x-3) \right ]
Example:12. y=12(1-\cos t), x=10(t-\sin t),-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} यदि तो \frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए।
Solution: y=12(1-\cos t), x=10(t-\sin t)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d t} =12 \sin t, \frac{d x}{d t}=10(1-\cos t) \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{12 \sin t}{10(1-\cos t)} \\ =\frac{12 \times 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{10\left[1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{t}{2}\right)\right]} \\ =\frac{24 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{10\left[1-1+2 \sin \frac{t}{2}\right]} \\ =\frac{12 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{5 \times 2 \sin ^{2} \frac{t}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{6}{5} \cot \frac{t}{2}
Example:13.यदि y=\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} \sqrt{1-x^{2}},-1 \leq x \leq 1 है तो \frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए।
Solution: y=\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} \sqrt{1-x^{2}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x} =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}}} \frac{d}{d x} \left(\sqrt{1-x^{2}}\right)\\ \frac{d x}{d x} =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1}{\left.\sqrt{1-\left(1-x^{2}\right.}\right)} \frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}(-2 x) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-1+x^{2}}}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{x}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =0
Example:14.यदि – 1<x<1 के लिए x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}=0 है तो सिद्ध कीजिए कि \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(1+x)^{2}}
Solution: x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}=0 \\ x \sqrt{1+y}=-y \sqrt{1+x} \\ x^{2}(1+y)=y^{2}(1+x) \\ \Rightarrow x^{2}+x^{2} y=y^{2}+x y^{2} \\ \Rightarrow y^{2}+x y^{2}-x^{2} y=x^{2} \\ \Rightarrow y^{2}(1+x)-x^{2} y-x^{2}=0 \\ \Rightarrow y^{2}-x^{2}+y^{2} x-x^{2} y=0 \\ \Rightarrow(y-x)(y+x)+x y(y-x)=0 \\ \Rightarrow (y-x)(y+x+x y)=0 \\ y+x+x y=0 \\ \Rightarrow y(1+x)=-x \\ \Rightarrow y=-\frac{x}{1+x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=-\left[\frac{(1+x) \cdot 1-x \cdot 1}{(1+x)^{2}}\right] \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(1+x)^{2}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में अवकलन के सवाल (Differentiation Class 12 Questions):-

Differentiation Class 12

निम्न फलनों के x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए:

(1.) e^{\sqrt{\cot x}}  (2.) \sec \log _{e} x^{n} (3.) e^{\cos x^{2}}
उत्तर: (1.) -\frac{e^{\sqrt{\cot x}} \operatorname{cosec}^{2} x}{2 \sqrt{\cot x}} (2.) \frac{n}{x} \sec \left(\log _{e} x^{n}\right) \tan \left(\log _{e} x^{n}\right) (3.)-2 x \sin x^{2} \cdot e^{\cos x^{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Second Order Derivative Class 12

4.कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12) में अवकलन से तात्पर्य है कि किसी फलन का
अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया।हम वाक्यांश x के सापेक्ष f(x) का अवकलन कीजिए का
भी प्रयोग करते हैं