1.अवकल समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों (Differential Equations Solvable for x),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations for First Order But Not of First Degree):

Differential Equations Solvable for x

अवकल समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों (Differential Equations Solvable for x) पर आधारित सवालों को हल करके इस आर्टिकल में इन्हें समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अवकल समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों के साधित उदाहरण (Differential Equations Solvable for x Solved Examples):

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the differential equations):
Example:1. x=y+a \log p
Solution: x=y+a \log p \cdots(1)
अब (1) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=1+\frac{a}{b} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=1+\frac{a}{p} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}-1=\frac{a}{b} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow -\left(\frac{p-1}{p}\right)=\frac{a}{p} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow d y=-\frac{a}{p-1} d p
समाकलन करने पर:

\int dy=-\int \frac{a}{p-1} dp \\ \Rightarrow y =-a \log (p-1)+c \\ \Rightarrow y =c \cdot a \log (p-1)
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:

x=c-a \log (p-1)+a \log p \\ \Rightarrow x=c+a \log \left(\frac{p}{p-1}\right) \\ y=c-a \log (p-1)
Example:2. y^2 \log y=x y p+p^2 
Solution: y^2 \log y=x y p+p^2 \cdots(1)
x के पदों में हल करने पर:

\Rightarrow x y p =-p^2+y^2 \log y \\ \Rightarrow x =-\frac{p}{y}+\frac{y}{p} \log y \cdots(2)
अब (2) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=\frac{p}{y^2}-\frac{1}{d} \frac{d p}{d y}+\frac{1}{p} \log y+\frac{1}{p}-\frac{y}{p} \log y \frac{d p}{d y} \ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{p}{y^2}-\frac{1}{y} \frac{d p}{d y}+\frac{1}{p} \log y+\frac{1}{p}-\frac{y}{p} \log y \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{p}{y}-\frac{d p}{d y}\right)+\frac{y}{p^2} \log y\left(\frac{p}{y}-\frac{d r}{d y}\right)=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{y}+\frac{y}{p^2} \log y\right)\left(\frac{p}{y}-\frac{d p}{d y}\right)=0
यहाँ पर गुणनखण्ड \left(\frac{1}{y}+\frac{y}{p^2} \log y\right)  को छोड़ देते हैं।

\Rightarrow \frac{p}{y}-\frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d p}{p}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d y}{y}=\int \frac{d p}{p} \\ \Rightarrow \log y+\log c=\log p \\ \Rightarrow \log c y=\log p \\ \Rightarrow p=c y
p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y^2 \log y =x y c y+c^2 y^2 \\ \Rightarrow \log y =c x+c^2
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:3. y=2 p x+p^2 y
Solution: y=2 p x+p^2 y \cdots(1)
x के पदों में हल करने पर:

2p x=y-p^2 y \\ \Rightarrow x=\frac{y}{2 p}-\frac{1}{2} p y \cdots(2)
अब (2) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{p}{2}-\frac{y}{2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{p}{2}-\frac{y}{2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{2 p}+\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}+\frac{p}{2}+\frac{y}{2} \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2 p}\left(1+\frac{y}{p} \frac{d p}{d y}\right)+\frac{p}{2}\left(1+\frac{y}{p} \frac{d p}{d y} \right)=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{2 p}+\frac{p}{2}\right)\left(1+\frac{y}{p} \frac{d p}{d y}\right)=0
यहाँ पर गुणनखण्ड \left(\frac{1}{2 p}+\frac{p}{2}\right) को छोड़ देते हैं।

1+\frac{y}{p} \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{y}+\frac{d p}{p}=0
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int \frac{d y}{y}+\int \frac{d p}{p}=0 \\ \Rightarrow \log y+\log p=\log c \\ \Rightarrow p y=c \\ \Rightarrow p=\frac{c}{y}
p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=2 x \times \frac{c}{y}+\frac{c^2}{y^2} \times y \\ \Rightarrow y=\frac{2 c x}{y}+\frac{c^2}{y} \\ \Rightarrow y^2=2 c x+c^2
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:4. x p^3=a+b p
Solution: x p^3=a+b p
x के पदों में हल करने पर:

x=\frac{a}{p^3}+\frac{b}{p^2} \cdots(2)
अब (2) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=\left(-\frac{3 a}{p^4}-\frac{2 b}{p^3}\right) \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=-\frac{3 a}{p^4} \frac{d p}{d y}-\frac{2 b}{p^3} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow d y=-\frac{3 a}{p^3} d p-\frac{2 b}{p^2} dp
समाकलन करने पर:

\int d y=-3 a \int \frac{1}{p^3} d p-2 b \int \frac{1}{p^2} d p \\ \Rightarrow y=+\frac{3}{2} \cdot \frac{a}{p^2}+\frac{2 b}{p}+c \\ \Rightarrow y p^2=\frac{3}{2} a+2 b p+c p^2
दी हुई समीकरण के साथ
Example:5. p=\tan \left\{x-\frac{p}{(1+p^2)}\right\}
Solution: p=\tan \left\{x-\frac{p}{(1+p^2)}\right\}
x के पदों में हल करने पर:

\Rightarrow x=\frac{p}{1+p 2}+\tan^{-1} p \cdots(1)
अब (1) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=\frac{1}{1+p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{2 p^2}{\left(1+p^2\right)^2} \frac{d p}{d y}+\frac{1}{1+p^2} \frac{d p}{d y} \\ \frac{1}{p}=\left(\frac{2}{1+p^2}-\frac{2 p^2}{\left(1+ p^2 \right)^2}\right) \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{2+2 p^2-2 p^2}{\left(1+p^2\right)^2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow d y=\frac{2 p}{\left(1+p^2\right)^2} d p
समाकलन करने पर:
\Rightarrow \int d y=\int \frac{2 p}{\left(1+p^2\right)^2} d p \\ \Rightarrow y=-\frac{1}{1+p^2}+c \\ \Rightarrow y=c-\frac{1}{1+p^2}  तथा x=\tan ^{-1} p+\frac{p}{1+p^2}

Differential Equations Solvable for x

Example:6. p^3=y^4(y+x p)
Solution: p^3=y^4(y+x p)
x के पदों में हल करने पर:

p^3=y^5+x y^4 p \cdots(1)\\ \Rightarrow x y^4 p=p^3-y^5 \\ \Rightarrow x=\frac{p^2}{y^4}-\frac{y}{p} \cdots(2)
अब (2) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=-\frac{4 p^2}{y^5}+\frac{2 p}{y^4} \frac{d p}{d y}-\frac{1}{p}+\frac{y}{p^2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=-\frac{4 p^2}{y^5}+\frac{2 p}{y^4} \frac{d p}{d y}-\frac{1}{p}+\frac{y}{p^2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{-2}{b}-\frac{4 p^2}{y^5}+\frac{2 p}{y^4} \frac{d p}{d y}+\frac{y}{p^2} \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow -2\left(\frac{1}{p}+\frac{2 p^2}{y^5}\right)+\frac{y}{p} \frac{d p}{d y} \left(\frac{2 p^2}{y^5}+\frac{1}{p}\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{p}+\frac{2 p^2}{y^5}\right) \left(-2+\frac{y}{b} \frac{d p}{d y}\right)=0
यहाँ पर गुणनखण्ड \left(\frac{1}{p}+\frac{2 p^2}{y^5}\right) को छोड़ देते हैं।

-2+\frac{y}{p} \frac{dp}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{2}{y} d y=\frac{d p}{p}
समाकलन करने पर:

\Rightarrow 2 \log y+\log c=\log p \\ \Rightarrow \log c y^2=\log p \\ \Rightarrow p=c y^2
p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

c^3 y^6=y^5+x y^4 c y^2 \\ \Rightarrow c^3 y^6=y^5(x y c+1) \\ \Rightarrow x y c+1=c^3 y
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:7. a y p^2+(2 x-b) p-y=0
Solution: a y p^2+(2 x-b) p-y=0 \cdots(1)
x के पदों में हल करने पर:

x=\frac{b}{2}+\frac{y}{2 p}-\frac{a y p}{2} \cdots(2)
अब (2) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\Rightarrow \frac{d x}{d y}=0+\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{a p}{2}-\frac{a y}{2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{a p}{2}-\frac{a y}{2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{2 p}+\frac{a p}{2}+\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}+\frac{a y}{2} \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p}+a p\right)+\frac{y}{2 p} \frac{d p}{d y}\left( \frac{1}{p}+a p\right)=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{p}+a p\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{y}{2 p} \frac{d p}{d y}\right)=0
यहाँ गुणनखण्ड \left(\frac{1}{p}+a p\right) को छोड़ देते हैं।

\frac{1}{2}+\frac{y}{2 p} \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{y}+\frac{d p}{y}=0
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int \frac{d y}{y}+\int \frac{d p}{p}=0 \\ \Rightarrow \log y+\log p=\log c \\ \Rightarrow y p=c \Rightarrow p=\frac{c}{y}
p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

a y \times \frac{c^2}{y^2}+(2 x-b) \frac{c}{y}-y=0 \\ \Rightarrow a c^2+(2 x-b) c-y^2=0
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:8. y=2 p x+y^{n-1} p^n
Solution: y=2 p x+y^{n-1} p^n \cdots(1)
x के पदों में हल करने पर:

2px=y-y^{n-1} p^n \\ \Rightarrow x =\frac{y}{2 k}-\frac{y^{n-1} p^{n-1}}{2} \cdot(2)
अब (2) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{(n-1) y^{n-2} p^{n-1}}{2}-\frac{(n-1) y^{n-1} p^{n-2}}{2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{(n-1) y^{n-2} p^{n-1}}{2}-\frac{(n-1) y^{n-1} p^{n-2}}{2} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{2 p} +\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}+\frac{(n-1) y^{n-2} p^{n-1}}{2}+\frac{(-1) y^{n-1} p^{n-2}}{2} \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2 p}\left(1+\frac{y}{p} \frac{d p}{d y}\right)+\frac{(n-1) y^{n-2}}{2} p^{n-1} \left(1+ \frac{y}{p} \frac{d p}{d y}\right)=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{2 p}+\frac{(n-1) y^{n-2}p^{n-1}}{2} \right)\left(1+\frac{y}{p} \frac{d p}{d y}\right)=0
यहाँ गुणनखण्ड \left(\frac{1}{2p}+\frac{(n-1) y^{n-2} p^{n-1}}{2} \right) को छोड़ देते हैं।

1+\frac{y}{p} \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{y}+\frac{d p}{p}=0
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int \frac{d y}{y}+\int \frac{d p}{p}=0 \\ \Rightarrow \log y+\log p=\log c \\ \Rightarrow p=\frac{c}{y}
p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=\frac{2c x}{y}+y^{n-1} \frac{c^n}{y^n} \\ \Rightarrow y^2=2 c x+c^n
Example:9. x=y-p^2
Solution: x=y-p^2 \cdots(1)
(1) का y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=1-2 p \frac{d p}{d y} \\ \frac{1}{p}=1-2 p \frac{d p}{d y} \\ \frac{p-1}{p}=2 p \frac{d p}{d y} \\ d y=\frac{2 p^2}{p-1} d p
समाकलन करने पर:

\int d y=\int\left[2 p+2+\frac{2}{p-1}\right] d p \\ y=p^2+2 p+2 \log (p-1)+c
y का मान (1) में रखने पर:

x=2 p+2 \log (p-1)+c, y=p^2+2 p+2 \log (p-1)+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों (Differential Equations Solvable for x),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations for First Order But Not of First Degree) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों,की समस्याएँ (Differential Equations Solvable for x Problems):

Differential Equations Solvable for x

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the differential equations):

(1) y=3 p x+6 p^2 y^2
(2) y p^2-2 x p+y=0
उत्तर (Answers): (1.) y^2=3 c x+6 c^2
(2.) y^2=2 c x-c^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों (Differential Equations Solvable for x),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations for First Order But Not of First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Equations Solvable for p in DE 

4.अवकल समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों (Frequently Asked Questions Related to Differential Equations Solvable for x),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations for First Order But Not of First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों (Differential Equations Solvable for x)
पर आधारित सवालों को हल करके इस आर्टिकल में इन्हें समझने का प्रयास करेंगे।