1.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का परिचय (Introduction to Differential Equations of First order, Differential Equations of First order but not of First Degree)-

Differential Equations of First order

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण  जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First order, Differential Equations of First order but not of First Degree) ऐसे समीकरण कहलाते हैं जो प्रथम कोटि के हों और उनकी घात एक से अधिक हो।
सामान्य रूप से dy/dx को p द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।प्रथम कोटि एवं n घात का अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप का होता है

{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ n }+{ P }_{ 1 }{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ n-1 }+{ P }_{ 2 }{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ n-2 }+......+{ P }_{ n-1 }{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }=0....(1)
या { p }^{ n }+{ P }_{ 1 }{ p }^{ n-1 }+{ P }_{ 2 }{ p }^{ n-2 }+....+{ P }_{ n-1 }{ p }+{ P }_{ n }=0
या F\left( x,y,p \right) =0
जहां { P }_{ 1 },{ P }_{ 2 },........,{ P }_{ n }; x एवं y के फलन हैं।
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2.समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों (Equations solvable for p)-

Differential Equations of First order

यदि किसी अवकल समीकरण को p के लिए हल कर सकते हैं तो n घात वाले समीकरण को हम प्रथम घात वाले n समीकरणों में बदल सकते हैं प्रत्येक का अलग-अलग हल इससे पूर्व आर्टिकल में दी गई विधियों से कर सकते हैं।
माना कि समीकरण (1) में दिए गए वाम पक्ष को प्रथम घात के n गुणनखंड में विभक्त किया जा सकता है, अर्थात्

\left( P-{ Q }_{ 1 } \right) \left( P-{ Q }_{ 2 } \right) .....\left( P-{ Q }_{ n } \right) =0....(2)
जहां { Q }_{ 1 },{ Q }_{ 2 }......,{ Q }_{ n }; x एवं y के फलन हैं।
समीकरण (1),p के उन सभी मानों द्वारा सन्तुष्ट होगा जो कि (2) के किसी भी गुणनखंड को शून्य करने से प्राप्त होता है।
अतः समीकरण (1) का हल ज्ञात करने के लिए,हमको प्रथम घात के निम्नलिखित n, समीकरणों का हल प्राप्त करना होगा:

\left( P-{ Q }_{ 1 } \right) =0,\left( P-{ Q }_{ 2 } \right) =0,.....\left( P-{ Q }_{ n } \right) =0
माना कि इनका हल क्रमशः

{ f }_{ 1 }\left( x,y,{ c }_{ 1 } \right) =0,{ f }_{ 2 }\left( x,y,{ c }_{ 2 } \right) =0,........{ f }_{ n }\left( x,y,{ c }_{ n } \right) =0

जहां { c }_{ 1 },{ c }_{ 2 },......{ c }_{ n }  स्वेच्छ अचर हैं।
चूंकि हमारा अवकल समीकरण (1) प्रथम कोटि का है, इसलिए व्यापक हल में केवल स्वेच्छ अचर आना चाहिए। अतः

{ c }_{ 1 }={ c }_{ 2 }=......={ c }_{ n }=c
तथा { f }_{ 1 }\left( x,y,{ c } \right) =0,{ f }_{ 2 }\left( x,y,{ c } \right) =0,........{ f }_{ n }\left( x,y,{ c } \right) =0
साधारणतः समीकरण (1) का व्यापक हल निम्न रूप में लिखा जाता है:

{ f }_{ 1 }\left( x,y,{ c } \right) ,{ f }_{ 2 }\left( x,y,{ c } \right) ,........{ f }_{ n }\left( x,y,{ c } \right) =0

3.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First order, Differential Equations of First order but not of First Degree) पर आधारित सवाल,पी उदाहरणों के लिए अवकल समीकरण (differential equation solvable for p examples)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए-
(Solve the following differential equations:)
Question-1.{ x }^{ 2 }{ p }^{ 3 }+y\left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) { p }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }p=0
Solution-{ x }^{ 2 }{ p }^{ 3 }+y\left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) { p }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }p=0\\ \Rightarrow p\left[ { x }^{ 2 }{ p }^{ 2 }+y\left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) { p }+{ y }^{ 3 } \right] =0\\ \Rightarrow p=0,{ x }^{ 2 }{ p }^{ 2 }+y\left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) { p }+{ y }^{ 3 }=0\\ \Rightarrow p=0\\ \frac { dy }{ dx } =0
समाकलन करने पर-

\int { dy } =\int { 0 } \\ \Rightarrow y=c\Rightarrow y-c=0...(1)\\ { x }^{ 2 }{ p }^{ 2 }+y\left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) { p }+{ y }^{ 3 }=0\\ \Rightarrow p=\frac { -y\left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) \pm \sqrt { { y }^{ 2 }{ \left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) }^{ 2 }-4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { -y\left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) \pm \sqrt { { y }^{ 2 }{ \left( 1+2{ x }^{ 2 }y+{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 } \right) }-4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { -y\left( 1+{ x }^{ 2 }y \right) \pm \sqrt { { y }^{ 2 }+2{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }+{ x }^{ 4 }{ y }^{ 4 }-4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { \left( -y-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } \right) \pm \sqrt { { y }^{ 2 }-2{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }+{ x }^{ 4 }{ y }^{ 4 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { \left( -y-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } \right) \pm \sqrt { { \left( y-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { -y-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\pm \left( y-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } \right) }{ 2{ x }^{ 2 } }
धनात्मक मान लेने पर-

\Rightarrow p=\frac { -y-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+y-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { -2{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=-{ y }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { dy }{ { y }^{ 2 } } =-dx
समाकलन करने पर-

\Rightarrow -\int { \frac { dy }{ { y }^{ 2 } } } =\int { dx } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =x+c\\ \Rightarrow xy+cy-1=0...(2)
ऋणात्मक मान लेने पर-

\Rightarrow p=\frac { -y-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-y+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { -2y }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =-\frac { y }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ y } =-\frac { dx }{ { x }^{ 2 } }
समाकलन करने पर-

\int { \frac { dy }{ y } } =-\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow \log { y } =\frac { 1 }{ x } +\log { c } \\ \Rightarrow y=c{ e }^{ \frac { 1 }{ x } }\\ \Rightarrow y-c{ e }^{ \frac { 1 }{ x } }=0....(3)
(1),(2) तथा (3) से अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा-

\left( y-c \right) \left( xy+cy-1 \right) \left( y-c{ e }^{ \frac { 1 }{ x } } \right) =0
Question-2.\left( 1-{ y }^{ 2 }+\frac { { y }^{ 4 } }{ { x }^{ 2 } } \right) { p }^{ 2 }-2\frac { y }{ x } p+\frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } =0
Solution–\left( 1-{ y }^{ 2 }+\frac { { y }^{ 4 } }{ { x }^{ 2 } } \right) { p }^{ 2 }-2\frac { y }{ x } p+\frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow { p }^{ 2 }-2\frac { y }{ x } p+\frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } ={ y }^{ 2 }{ p }^{ 2 }-\frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } { p }^{ 2 }\\ \Rightarrow { \left( p-\frac { y }{ x } \right) }^{ 2 }={ y }^{ 2 }{ p }^{ 2 }\left( 1-\frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \right) \\ \Rightarrow p-\frac { y }{ x } =yp\sqrt { 1-\frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } -\frac { y }{ x } =\frac { yp }{ x } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ x } \left( 1+p\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \right) \\ \Rightarrow px-y=\pm yp\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p\left[ x\pm y\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \right] -y=0\\ \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { x\pm y\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } }{ y } \\ put\quad x=vy\\ \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =v+y\frac { dv }{ dy } \\ \Rightarrow v+y\frac { dv }{ dy } =\frac { vy\pm y\sqrt { { v }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } }{ y } \\ \Rightarrow v+y\frac { dv }{ dy } =v\pm y\sqrt { { v }^{ 2 }-1 } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dy } =\pm \sqrt { { v }^{ 2 }-1 } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ \sqrt { v^{ 2 }-1 } } =\pm dy
समाकलन करने पर-

\int { \frac { dv }{ \sqrt { { v }^{ 2 }-1 } } } =\pm \int { dy } \\ \Rightarrow \log { \left[ v+\sqrt { { v }^{ 2 }-1 } \right] } =\pm y+c\\ \Rightarrow \log { \left[ \frac { x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } }{ y } \right] } =\pm y+c{ x }^{ 2 }{ p }^{ 2 }-2xyp+{ y }^{ 2 }={ x }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right)

Differential Equations of First order

Question-3.{ x }^{ 2 }{ p }^{ 2 }-2xyp+{ y }^{ 2 }={ x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }
Solution–{ x }^{ 2 }{ p }^{ 2 }-2xyp+{ y }^{ 2 }={ x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\\ \Rightarrow { p }^{ 2 }{ x }^{ 2 }-2xyp+{ y }^{ 2 }-{ x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow p=\frac { 2xy\pm \sqrt { { \left( -2xy \right) }^{ 2 }-4{ x }^{ 2 }\left( { y }^{ 2 }-{ x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } \right) } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy\pm \sqrt { { 4x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+4{ x }^{ 6 }+4{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }-4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy\pm \sqrt { { 4x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+4{ x }^{ 6 }+4{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }-4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy\pm \sqrt { 4{ x }^{ 6 }+4{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy\pm 2{ x }^{ 2 }\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow p=\frac { y\pm { x }\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } }{ { x } } \\ put\quad y=vx\\ \frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { vx\pm { x }\sqrt { { x }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } } }{ { x } } \\ \Rightarrow v+x\frac { dV }{ dx } =\frac { vx\pm { { x }^{ 2 } }\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } }{ { x } } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =v\pm { { x } }\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\pm { { x } }\sqrt { 1+{ v }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ \sqrt { 1+v^{ 2 } } } =\pm { { x } }dx

समाकलन करने पर-

\Rightarrow { sinh }^{ -1 }v=\pm { { x } }+c\\ \Rightarrow { sinh }^{ -1 }\left( \frac { y }{ x } \right) =x+c,{ sinh }^{ -1 }\left( \frac { y }{ x } \right) =-x+c\\ \Rightarrow \frac { y }{ x } =sinh\left( x+c \right) ,\frac { y }{ x } =sinh\left( c-x \right) \\ \Rightarrow y=xsinh\left( x+c \right) ,y=xsinh\left( c-x \right) \\ y-xsinh\left( x+c \right) =0,y-xsinh\left( c-x \right) =0
अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा

\left[ y-xsinh\left( x+c \right) \right] \left[ y-xsinh\left( x+c \right) \right] =0
Question-4.{ p }^{ 3 }\left( x+2y \right) +3{ p }^{ 2 }\left( x+y \right) +\left( y+2x \right) p=0
Solution-{ p }^{ 3 }\left( x+2y \right) +3{ p }^{ 2 }\left( x+y \right) +\left( y+2x \right) p=0\\ \Rightarrow p\left[ { p }^{ 2 }\left( x+2y \right) +3{ p }\left( x+y \right) +\left( y+2x \right) \right] =0\\ \Rightarrow p=0,{ p }^{ 2 }\left( x+2y \right) +3{ p }\left( x+y \right) +\left( y+2x \right) =0\\ \frac { dy }{ dx } =0\\ y=c\\ \Rightarrow y-c=0...(1)\\ { p }^{ 2 }\left( x+2y \right) +3{ p }\left( x+y \right) +\left( y+2x \right) =0\\ \Rightarrow p=\frac { -3\left( x+y \right) \pm \sqrt { { \left\{ 3\left( x+y \right) \right\} }^{ 2 }-4\left( x+2y \right) \left( y+2x \right) } }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow p=\frac { -3\left( x+y \right) \pm \sqrt { { 9\left( x+y \right) }^{ 2 }-4\left( xy+2{ x }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 }+4xy \right) } }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow p=\frac { -3\left( x+y \right) \pm \sqrt { 9{ x }^{ 2 }+18xy+9{ y }^{ 2 }-4xy-8{ x }^{ 2 }-8{ y }^{ 2 }-16xy } }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow p=\frac { -3\left( x+y \right) \pm \sqrt { { x }^{ 2 }-2xy+{ y }^{ 2 } } }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow p=\frac { -3\left( x+y \right) \pm \sqrt { { \left( x-y \right) }^{ 2 } } }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -3\left( x+y \right) \pm \left( x-y \right) }{ 2\left( x+2y \right) }
धनात्मक चिन्ह लेने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { -3x-3y+x-y }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -2x-4y }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -2\left( x+2y \right) }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow dy=-dx
समाकलन करने पर-

y=-x+c\\ y+x-c=0...(2)
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर-

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -3\left( x+y \right) -\left( x-y \right) }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { -3x-3y-x+y }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -4x-2y }{ 2\left( x+2y \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -2\left( 2x+y \right) }{ 2\left( x+2y \right) } \\ put\quad y=vx\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -2\left( 2x+vx \right) }{ 2\left( x+2vx \right) } \\ \Rightarrow v+x\frac { dv }{ dx } =-\frac { \left( 2+v \right) }{ \left( 1+2v \right) } \\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =-\frac { \left( 2+v \right) }{ \left( 1+2v \right) } -v\\ \Rightarrow x\frac { dv }{ dx } =\frac { -2-v-v-2{ v }^{ 2 } }{ \left( 1+2v \right) } \\ \Rightarrow \frac { \left( 1+2v \right) }{ \left( { v }^{ 2 }+v+1 \right) } dv=-2\frac { dx }{ x }
समाकलन करने पर-

\log { \left( { v }^{ 2 }+v+1 \right) } =-2\log { x } +\log { c } \\ { v }^{ 2 }+v+1=\frac { c }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +\frac { y }{ x } +1=\frac { c }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+xy-c=0
समीकरण (1),(2),(3) से अवकल समीकरण का व्यापक हल-

\left( y-c \right) \left( y+x-c \right) \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+xy-c \right) =0
उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First order, Differential Equations of First order but not of First Degree) को समझ सकते हैं।

4.प्रथम क्रम प्रथम घात अवकल समीकरण क्या है?(What is first order first degree differential equation?)-

Differential Equations of First order

परिभाषा-प्रथम क्रम अवकल समीकरण फॉर्म F (t, y, y˙) = 0,F (t, y, y˙,) = 0 का एक समीकरण है। पहले क्रम के डिफरेंशियल इक्वेशन का एक हल फंक्शन f(t) f (t) है जो F (t, f (t), f(t)) = 0,F(t, f (t), f ′(t))=0, tt के हर मूल्य के लिए बनाता है।
यहाँ, FF तीन वेरिएबल्स का एक फंक्शन है जिसे हम tt, yy और y˙y˙ लेबल करते हैं।यह समझा जाता है कि y˙y˙ स्पष्ट रूप से समीकरण में दिखाई देगा,हालांकि tt और yy की आवश्यकता नहीं है।”प्रथम क्रम” शब्द का अर्थ है कि yy का प्रथम अवकलज प्रतीत होता है, लेकिन कोई उच्चतर क्रम अवकलज नहीं करता है।

5.प्रथम क्रम और द्वितीय क्रम के अवकल समीकरणों में क्या अंतर है? (What is the difference between first order and second order differential equations?)-

Differential Equations of First order

निम्नलिखित अवकल समीकरणों पर विचार करें
{ y }^{ \prime }+a\left( x \right) y=b\left( x \right)
तथा
{ y }^{ \prime \prime }+{ a }_{ 1 }\left( x \right) { y }^{ \prime }+{ a }_{ 2 }\left( x \right) y=f\left( x \right)
अज्ञात y (x) में।
समीकरण (1) प्रथम क्रम है क्योंकि इसमें उच्चतम व
अवकलज दिखाई देता है
एक प्रथम क्रम अवकलज है। उसी तरह, समीकरण (2) द्वितीय क्रम है
यह भी { y }^{ \prime \prime } प्रकट होता है।
वे दोनों रैखिक हैं, क्योंकि y, { y }^{ \prime } और { y }^{ \prime \prime } स्क्वेर्ड या क्यूबेड आदि नहीं हैं और उनका गुणा दिखाई नहीं देता है। दूसरे शब्दों में, हमारे पास शब्द नहीं हैं { \left( { y }^{ \prime } \right) }^{ 2 },{ \left( { y }^{ \prime \prime } \right) }^{ 5 } या y{ y }^{ \prime }
यदि f (x) (b (x), क्रमशः) शून्य है, तो (2) ((1), क्रमशः) समरूपता है,
अन्यथा यह गैर सजातीय है।
यदि { a }_{ 1 }\left( x \right) और { a }_{ 2 }\left( x \right) स्थिर हैं, तो (2) में अचर गुणांक होते हैं।

6.अवकल समीकरण की डिग्री कब परिभाषित नहीं की जाती है? (When degree of differential equation is not defined)-

किसी भी अवकल समीकरण की घात तब मिल सकती है जब वह बहुपद के रूप में हो; अन्यथा, डिग्री को परिभाषित नहीं किया जा सकता है।मान लीजिए कि डिफरेंशियल इक्वेशन dy / dx =tan(x + y) में घात 1 है, जबकि डिफरेंशियल इक्वेशन tan (dy / dx) = x + y के लिए, घात परिभाषित नहीं है।

7.प्रथम क्रम और उच्च डिग्री के अवकल समीकरण,प्रथम ऑर्डर उच्च डिग्री डिफरेंशियल समीकरण (Differential equations of first order and higher degree,First order higher degree differential equation )-

Differential Equations of First order

प्रथम क्रम और उच्च डिग्री के अंतर समीकरण ● p के लिए हल करने योग्य समीकरण ● x के लिए हल करने योग्य समीकरण ● y के लिए सॉल्व करने योग्य है।पूर्व आर्टिकल्स में, हमने रैखिक समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा की है जिसमें आश्रित चर और इसके डेरिवेटिव पहले क्रम और पहली डिग्री के हैं।

8.प्रथम क्रम अवकल समीकरण (First order differential equation)-

Differential Equations of First order

एक पहला ऑर्डर डिफरेंशियल समीकरण फॉर्म F (t, y, y˙) = 0 का एक समीकरण है।प्रथम क्रम के डिफरेंशियल इक्वेशन का एक हल एक फ़ंक्शन f (t) है जो T के प्रत्येक मान के लिए F (t, f (t), f'(t)) = 0 बनाता है। यहाँ, F तीन वेरिएबल्स का एक फंक्शन है जिसे हम t, y औरy˙ लेबल करते हैं।

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