1.कक्षा 12 में अवकल समीकरण (Differential Equations in Class 12),अवकल समीकरण कक्षा 12 (Differential Equations Class 12):

Differential Equations in Class 12

कक्षा 12 में अवकल समीकरण (Differential Equations in Class 12) के इस आर्टिकल में अवकल समीकरण का व्यापक हल,विशिष्ट हल विभिन्न विधियों से ज्ञात करने वाले सवालों को हल करेंगे।
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2.कक्षा 12 में अवकल समीकरण के साधित उदाहरण (Differential Equations in Class 12 Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से प्रत्येक की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
Example:1(i). \frac{d^2 y}{d x^2}+5 y\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-6 y=\log x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+5 y\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-6 y=\log x
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \frac{d^2 y}{d x^2} है।इसकी कोटि 2 है।यह अवकल समीकरण \frac{d^2 y}{d x^2} एवं \left(\frac{d y}{d x}\right) में बहुपद है और \frac{d^2 y}{d x^2} की अधिकतम घातांक 1 है,इसलिए इस अवकल समीकरण की घात 1 है।
Example:1(ii). \left(\frac{d y}{d x}\right)^3-4\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+7 y=\sin x
Solution: \left(\frac{d y}{d x}\right)^3-4\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+7 y=\sin x
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \left(\frac{d y}{d x}\right) है।इसकी कोटि 1 है।यह अवकल समीकरण \left(\frac{d y}{d x}\right) में बहुपद है और \left(\frac{d y}{d x}\right) की अधिकतम घातांक 3 है,इसलिए इस अवकल समीकरण की घात 3 है।
Example:1(iii). \frac{d^4 y}{d x^4}-\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)=0
Solution: \frac{d^4 y}{d x^4}-\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)=0
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलज \frac{d^4 y}{d x^4} है।इसलिए इसकी कोटि 4 है।इस अवकल समीकरण का बायां पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।
Example:2.निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।
Example:2(i). x y=a e^x+b e^{-x}+x^2 : x \frac{d^2 y}{d x}+2 \frac{d y}{d x}-x y+x^2-2=0
Solution: x y=a e^x+b e^{-x}+x^2 \cdots(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
x \frac{d^2 y}{d x}+2 \frac{d y}{d x}-x y+x^2-2=0 \cdots(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने परः
x \frac{d 2 y}{d x^2}+2 \frac{d y}{d x}=a e^x+b e^{-x}+2 \cdots(3)
समीकरण (1) व (3) सेः
x \frac{d^2 y}{d x^2}+2 \frac{d y}{d x}=x y-x^2+2 \\ \Rightarrow x \frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{d y}{d x}-x y+x^2-2=0
अतः x y=a e^x+b e^{-x}+x^2 अवकल समीकरण का हल है।
Example:2(ii). y=e^x(a \cos x+b \sin x): \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0
Solution: y=e^x(a \cos x+b \sin x) \cdots(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=e^x(a \cos x+b \sin x)+e^x(-a \sin x+b \cos x) \cdots(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}=e^x(a \cos x+b \sin x)+2 e^x(-a \sin x+b \cos x)+e^x(-a \cos x-b \sin x) \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=2 e^x(-a \sin x+b \cos x)+2 e^x(a \cos x+b \sin x)- 2 e^x(a \cos x+b \sin x) \cdots(1)
समीकरण (1),(2) व (3) सेः
\frac{d^2 y}{d x^2}=2 \frac{d y}{d x}-2 y \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0
अतः समीकरण y=e^x(a \cos x+b \sin x) अवकल समीकरण का हल है।
Example:2(iii). y=x \sin 3 x : \frac{d^2 y}{d x^2}+9 y -6 \cos 3 x=0
Solution: y=x \sin 3 x \cdots(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\sin 3 x+3 x \cos 3 x+2 \cdots(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}=6 \cos 3 x-9 x \sin 3 x \cdots(3)
समीकरण (1) व (3) सेः
\frac{d^2 y}{d x^2}=6 \cos 3 x-9 y \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}+9 y-6 \cos 3 x=0
अतः y=x \sin 3 x अवकल समीकरण का हल है।
Example:2(iii). x^2=2 y^2 \log y : \left(x^2+y^2\right) \frac{d y}{d x}-x y=0
Solution: x^2=2 y^2 \log y \cdots(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
2 x=4 y \log y \frac{d y}{d x}+2 y \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow(2 y \log y+y) \frac{d y}{d x}=x \cdots(2)
समीकरण (1) से का मान समीकरण (2) में रखने परः
\left(2 y \times \frac{x^2}{2 y^2}+y\right) \frac{d y}{d x}=x \\ \Rightarrow\left(\frac{x^2}{y}+y\right) \frac{d y}{d x}=x \\ \Rightarrow\left(x^2+y^2\right) \frac{d y}{d x}=x y
अतः x^2=2 y^2 \log y अवकल समीकरण का हल है।
Example:3. (x-a)^2+2 y^2=a^2 ,द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है।
Solution: (x-a)^2+2 y^2=a^2 \\ x^2-2 a x+a^2+2 y^2=a^2 \\ \Rightarrow x^2-2 a x+2 y^2=0 \cdots(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
2 x-2 a+4 y \frac{d y}{d x}=0 \cdots(2)
समीकरण (1) से 2a का मान समीकरण (2) में रखने परः
2 x-\left(\frac{x^2+2 y^2}{x}\right)+4 y \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow 2 x^2-\left(x^2+2 y^2\right)+4 x y \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow 4 x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2-x^2}{4 x y} \\ \Rightarrow y^{\prime}=\frac{2 y^2-x^2}{4 x y}
जो कि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
Example:4.सिद्ध कीजिए कि x^2-y^2=c\left(x^2+y^2\right)^2 जहाँ C एक प्राचल है,अवकल समीकरण \left(x^3-3 x y^2\right) d x=\left(y^3-3 x^2 y\right) d y का व्यापक हल है।
Solution: x^2-y^2=c\left(x^2+y^2\right)^2 \cdots(1) \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x^3-3 x y^2}{y^3-3 x^2 y} \cdots(2)
समीकरण (2) समघात अवकल समीकरण है:
Put y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \\ v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3-3 x \cdot v^2 x^2}{v^3 x^3-3 x^2-v x} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3\left(1-3 v^2\right)}{x^3\left(v^3-3 v\right)}-v \\ \Rightarrow x \frac{dv}{dx}=\frac{1-3 v^2-v^4+3 v^2}{v^3-3 v} \\ \Rightarrow \frac{v^3-3 v}{1-v^4} d v=\frac{d x}{x}
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\Rightarrow \int \frac{v^3-3 v}{(1+v)(1-v)\left(1+v^2\right)} d v=\int \frac{d x}{x}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने परः
\frac{v^3-3 v}{(1+v)(1-v)\left(1+v^2\right)}=\frac{A}{1+v}+\frac{B}{1-v}+\frac{C v+D}{1+v^2} \\ \Rightarrow \frac{v^3-3 v}{(1+v)(1-v)\left(1+v^2\right)}= \frac{A(1-v)\left(1+v^2\right)+B(1+v)\left(1+v^2 \right) +(C v+D)\left(1-v^2\right)}{(1+v)(1-v)\left(1+v^2\right)} \\ \Rightarrow v^3-3 v=A(1-v)\left(1+v^2 \right)+B(1+v)\left(1+v^2\right)+(C v+1)\left(1-v^2\right)
v=1 रखने परः
\Rightarrow 1^3-3 \times 1=B(1+1)\left(1+1^2\right) \\ \Rightarrow B=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}
v=-1 रखने परः
(-1)^3-3(-1)=A(1+1)\left(1+(-1)^2\right) \\ \Rightarrow -1+3=4 A \Rightarrow A=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
v=0 रखने परः
0=A(1-0)\left(1+0^2\right)+B(1+0)\left(1+0^2\right)+D\left(1-0^2\right) \\ \Rightarrow 0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+D \Rightarrow D=0
v=2 रखने परः
2^3-3 \times 2=A(1-2)(1+2)+B(1+2)\left(1+2^2\right)+(2 C+D)\left(1-2^2\right) \\ \Rightarrow 8-6=\frac{1}{2}(-1)(5)-\frac{1}{2}(3)(5)+(2 C+0)(1-4) \\ \Rightarrow 2=-\frac{5}{2}-\frac{15}{2}-6 C \\ \Rightarrow -6C=12 \\ \Rightarrow C=-2 \\ \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+v} d v-\frac{1}{2} \int \frac{d v}{1-v}-2 \int \frac{v}{1+v^2} d v=\log x+\log C_1 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log (1+v)+\frac{1}{2} \log (1-v)-\log \left(1+v^2\right)=\log \left(C_1 x\right) \\ \Rightarrow \log \frac{(1+v)(1-v)}{\left(1+v^2\right)^2}=\log C_1^2 x^2 \\ \Rightarrow \frac{1-v^2}{\left(1+v^2\right)^2}=C_1^2 x^2 \\ \Rightarrow \frac{1-\frac{y^2}{x^2}}{\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)^2}=C_1^2 x^2\left[\because v=\frac{y}{x}\right] \\ \Rightarrow \frac{x^2-y^2}{\frac{x^2\left(x^2+y^2\right)^2}{x^4}}=C_1^2 x^2 \\ \Rightarrow\left(x^2-y^2\right) =C_{1}^2\left(x^2+y^2\right)^2 \\ \Rightarrow\left(x^2-y^2\right) =c\left(x^2+y^2 \right)^2\left[ \because C_{1}^2=c\right]
अतः उपर्युक्त व्यापक हल दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
Example:5.प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
Solution:वृत्तों के कुल का समीकरण जो प्रथम चतुर्थांश में निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं:
(x-a)^2+(y-a)^2=a^2 \cdots(1) \\ \Rightarrow x^2-2 a x+a^2+y^2-2 a y+a^2=a^2 \\ \Rightarrow x^2+y^2-2 a x-2 a y+a^2=0 \cdots(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
2 x+2 y \frac{d y}{d x}-2 a-2 a \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow x+y \frac{d y}{d x}=x+y \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow a\left(1+\frac{d y}{d x}\right)=x+y \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow a=\frac{x+y y{\prime}}{1+y^{\prime}} \cdots (3)
a का मान समीकरण (1) में रखने परः
\left(x-\frac{x+y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)^2+\left(y-\frac{x+y y^{\prime}}{1+y^{\prime}} \right)^2 =\left(\frac{x+y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{x+x y^{\prime}-x-y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)^2+\left(\frac{y+y^{\prime} y-x-y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)^2 =\left(\frac{x+y y^{\prime}}{1+y^{\prime}}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x y^{\prime}-y y^{\prime} \right)^2+(y-x)^2=\left(x+y y^{\prime}\right)^2 \\ \Rightarrow (y^{\prime})^2 (x-y)^2+(y-x)^2=\left(x+y y^{\prime}\right)^2 \\ \Rightarrow(x-y)^2\left(1+\left(y^{\prime}\right)^2\right)=\left(x+y y^{\prime} \right)^2
जो कि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
Example:6.अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}=0 ,जबकि x \neq 1 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Solution: \frac{d y}{d x}+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{\sqrt{1-y^2}}=-\frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\Rightarrow \int \frac{d y}{\sqrt{1-y^2}}=-\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \Rightarrow \sin ^{-1} y=-\sin ^{-1} x+c \\ \Rightarrow \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=c
जो कि अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:7.दर्शाइए कि अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}=0 का व्यापक हल (x+y+1)=A(1-x-y-2xy) है,जिसमें A एक प्राचल है।
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{y^2+y+1}=-\frac{d x}{x^2+x+1}
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\int \frac{d y}{y^2+y+1}=-\int \frac{d x}{x^2+x+1} \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{\left(y^{+}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=-\int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{y+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=-\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1} \left(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)+C \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{2 y+1}{\sqrt{3}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right) =\frac{\sqrt{3}}{2} C \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{2 y+1}{\sqrt{3}}+\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}}{1-\left(\frac{2 y+1}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} C \\ \Rightarrow \tan ^{-1} \left(\frac{2 y+1+2 x+1) \sqrt{3}}{3-4 x y-2 y-2 x-1}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} C \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{(2 x+2 y+2) \sqrt{3}}{2-2 x-2 y-4 x y}\right)=\tan ^{-1}(\sqrt{3} A) \\ \Rightarrow \frac{x+y+1 \sqrt{3}}{1-x-y-2 x y}=\sqrt{3} A \quad\left[ \because \frac{\sqrt{3}}{2} C=\tan ^{-1} \sqrt{3} A\right] \\ \Rightarrow(x+y+1)=A(1-x-y-2 x y)
जो कि अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
Example:8.बिन्दु \left(0, \frac{\pi}{4}\right) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण \sin x \cos y d x+\cos x \sin y d y=0 है।
Solution: \sin x \cos y d x+\cos x \sin y d y=0\\ \Rightarrow \tan y d y=-\tan x d x
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\Rightarrow \log (\sec y)=-\log (\sec x)+\log C \\ \Rightarrow (\sec y \sec x)=C \ldots(1)
समीकरण (1) बिन्दु \left(0, \frac{\pi}{4}\right) से गुजरता है:
\sec \frac{\pi}{4} \sec 0=C \\ \Rightarrow C=\sqrt{2} \\ \Rightarrow \sec y \sec x=\sqrt{2} \\ \Rightarrow \cos y=\frac{\sec x}{\sqrt{2}}
जो कि अभीष्ट वक्र का समीकरण है।

Differential Equations in Class 12

Example:9.अवकल समीकरण \left(1+e^{2 x}\right) d y+\left(1+y^2\right) e^x d x=0 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया हुआ है कि y=1 यदि x=0.
Solution: \left(1+e^{2 x}\right) d y+\left(1+y^2\right) e^x d x=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{1+y^2}=-\frac{e^x}{1+e^{2 x}}
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\int \frac{d y}{1+y^2}=-\int \frac{e^x d x}{\left(1+e^{2 x}\right)}
Put e^x=t \Rightarrow e^x dx=d t \\ \Rightarrow \tan ^{-1} y=-\int \frac{1}{1+t^2} d t \\ \Rightarrow \tan ^{-1} y=-\tan ^{-1} t+C \\ \Rightarrow \tan ^{-1} y+\tan ^{-1} (e^x)=C
x=0,y=1 रखने परः
\tan ^{-1}(1)+\tan ^{-1}\left(e^0\right)=C \\ \Rightarrow \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=C \Rightarrow C=\frac{\pi}{2}
C का मान रखने परः
\tan ^1(y)+\tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)=\frac{\pi}{2}
जो कि अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।
Example:10.अवकल समीकरण y e^{\frac{x}{y}} d x=\left(x e^{\frac{x}{y}}+y^2\right) d y (y \neq 0) का हल ज्ञात कीजिए।
Solution: y e^{\frac{x}{y}} d x=\left(x e^{\frac{x}{y}}+y^2\right) dy \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y} =\frac{x e^{\frac{x}{y}}+y^2}{y e^{\frac{x}{y}}} \\ \text { put } x=v y \Rightarrow \frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y} \\ v+y \frac{d v}{d y}=\frac{v y e^{\left(\frac{v y}{y}\right)}+y^2}{y e^{\left(\frac{v y}{y}\right)}} \\ \Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v y e^v+y^2}{y e^v}-v \\ \Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v y e^v+y^2-v y e^v}{y e^v} \\ \Rightarrow e^v d v = y d y
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
 \int e^v d v=\int d y \\ \Rightarrow e^v=y +C \\ \Rightarrow e^{\frac{x}{y}}=y+C
जो कि अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:11.अवकल समीकरण (x-y)(dx+dy)=dx-dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया हुआ है कि y=-1,यदि x=0।
Solution: (x-y)(d x+d y)=d x-d y \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{x-y}=d x+d y
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
 \int \frac{d x-d y}{x-y}=\int d x+\int d y \\ \text { put } x-y=t \Rightarrow d x-d y=d t \\ \Rightarrow \int \frac{1}{t} d t=x+y+c \\ \Rightarrow \log t=x+y+c \\ \Rightarrow \log (x-y)=x+y+c
x=0,y=-1 रखने परः 
\log 1=0-1+C \Rightarrow C=1
C का मान रखने परः
\log |x-y|=x+y+1
जो कि विशिष्ट हल है।
Example:12.अवकल समीकरण \left[\frac{e^{(-2\sqrt{x})} }{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}=1 (x \neq 0) का हल ज्ञात कीजिए।
Solution: \left[\frac{e^{(-2\sqrt{x})} }{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}=1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x} \\ \Rightarrow \text {I.F.}=e^{2 \sqrt{x}}
अवकल समीकरण का व्यापक हलः
y. \text{(I.F.)}=\int(I.F.) Q d x+c \\ \Rightarrow y^{2 \sqrt{x}}=\int e^{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x+c \\ = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x+c \\ \Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}}=2 \sqrt{x}+C
जो कि अभीष्ट व्यापक हल है।
Example:13.अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}+y \cot x=4 x \operatorname{cosec} x (x \neq 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया हुआ है कि y=0 यदि x=\frac{\pi}{2}
Solution: \frac{d y}{d x}+y \cot x=4 x \operatorname{cosec} x
यह रैखिक अवकल समीकरण है अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int \cot x d x}\\ \Rightarrow (\text{I.F.})=e^{\log \sin x}=\sin x
अवकल समीकरण का व्यापक हलः
y (\text{I.F.})=\int (\text{I.F.}) Q d x+c \\ \Rightarrow y \sin x=\int \sin x \cdot 4 x \operatorname{cosec} x d x+c \\ \Rightarrow y \sin x=4 \int x d x+c \\ \Rightarrow y \sin x=2 x^2+C \cdots(1) \\ x=\frac{\pi}{2} ,y=0 रखने परः
0\left(\sin \frac{\pi}{2}\right)=2\left(\frac{\pi}{2}\right)^2+C \Rightarrow C=-\frac{\pi^2}{2}
C का मान समीकरण (1) में रखने परः
y \sin x=2 x^2-\frac{\pi^2}{2}
Example:14.अवकल समीकरण (x+1) \frac{d y}{d x}=2 e^{-y}-1 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया हुआ है कि y=0 यदि x=0.
Solution: (x+1) \frac{d y}{d x}=2 e^{-y}-1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{2 e^{-y}-1}=\frac{d x}{x+1}
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\int \frac{e^y}{2-e^y} d y=\int \frac{d x}{x+1} \\ \Rightarrow \log \left(2-e^y\right)=-\log (x+1)+\log C \\ \Rightarrow \log \left(2-e^y\right)(1+x)=\log C \\ \Rightarrow \left(2-e^y\right)(1+x)=C \cdots(1)
x=0,y=0 रखने परः
\left(2-e^0\right)(1+0)=C \Rightarrow C=1
C का मान समीकरण (1) में रखने परः
\left(2-e^y\right)(1+x)=1 \\ \Rightarrow e^y=2-\frac{1}{1+x} \\ \Rightarrow e^y=\frac{2 x+1}{1+x} \\ \Rightarrow y=\log \left|\frac{2 x+1}{1+x}\right| ; x \neq -1
Example:15.किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि दर किसी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है।यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी,तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
Solution:माना किसी समय गाँव की जनसंख्या P है।
तब प्रश्नानुसारः \frac{d P}{d t} \alpha P \Rightarrow \frac{d P}{d t}=P k( k है)
\Rightarrow \frac{d P}{P}=K d t
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\int \frac{dP}{P}=\int k d t \\ \Rightarrow \log P=k t+C \cdots(1)
प्रारम्भ में जब P=20,000 तो t=0
\log 20,000=C
C का मान समीकरण (1) में रखने परः
\log P=k t+\log 20,000 \cdots(2)
समीकरण (2) में सन् 2004 में t=2004-1999=5,P=25000 रखने परः
\log 25000=5 k+\log 20,000 \cdots(3) \\ \frac{1}{5} \log \frac{25000}{20,000}=k \Rightarrow k=\frac{1}{5} \log \frac{5}{4}
k का मान समीकरण (2) में रखने परः
\log P=\frac{t}{5} \log \left(\frac{5}{4}\right)+\log (20,000) \cdots(4)
समीकरण (4) में t=2009-1999=10 रखने परः
\log P=\frac{10}{5} \log \left(\frac{5}{4}\right)+\log (20,000) \\ \Rightarrow \log P=\log \left(\frac{25}{16} \times 20,000\right) \\ \Rightarrow P=1250 \times 25=31250
Example:16.अवकल समीकरण \frac{y d x-x d y}{y}=0 का व्यापक हल हैः
(A)x y=C (B) x=C y^2 (C)y=C x (D) y=Cx^2
Solution: \frac{y d x-x d y}{y}=c \\ \int \frac{d y}{y}=\int \frac{dx}{x} \\ \Rightarrow \log y=\log x+\log C \Rightarrow y=C x
अतः विकल्प (C) सही है।
Example:17. \frac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1 के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल हैः
(A) y \cdot e^{\int P_1 d y}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d y}\right) d y+C
(B)y \cdot e^{\int P_1 d x}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d x}\right) d x+C
(C)x \cdot e^{\int P_1 d y}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d y}\right) d y+C
(D) x \cdot e^{\int P_1 d x}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d x}\right) d x+C
Solution:विकल्प (C) सही है।
Example:18.अवकल समीकरण e^{x} dy+\left(y e^x+2 x\right) d x=0 का व्यापक हल हैः
(A) x e^y+x^2=C (B)x e^y+y^2=C (C) y e^x+x^2=C (D)y e^y+x^2=C
Solution: \left(y e^x+2 x\right) d x+e^x d y=0 \\ \Rightarrow  \frac{d y}{d x}+y=-2 x e^{-x}
यह रैखिक अवकल समीकरण है अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int 1 \cdot d x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^x
समीकरण का व्यापक हलः
y \cdot (\text{I.F.})=\int (\text{I.F.}) Q d x+C \\ \Rightarrow y e^x=\int\left(-2 x e^{-x}\right) e^{x} d x+C \\ \Rightarrow y e^x+x^2=C
अतः विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में अवकल समीकरण (Differential Equations in Class 12),अवकल समीकरण कक्षा 12 (Differential Equations Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Differential Equations in Class 12):

Differential Equations in Class 12

(1.)अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}+2 x=e^{3 x} का व्यापक हल लिखिए।
(2.)अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} का व्यापक हल लिखिए।
उत्तर (Answers):(1.) y+x^2=\frac{1}{3} e^{3 x}+C
(2.) y=\log \left(e^x-e^{-x}\right)+C
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में अवकल समीकरण (Differential Equations in Class 12),अवकल समीकरण कक्षा 12 (Differential Equations Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12 में अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Differential Equations in Class 12),अवकल समीकरण कक्षा 12 (Differential Equations Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में अवकल समीकरण (Differential Equations in Class 12) के इस आर्टिकल में
अवकल समीकरण का व्यापक हल,विशिष्ट हल विभिन्न विधियों से ज्ञात करने वाले सवालों
को हल करेंगे।