1.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE)रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित होने योग्य अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Linear Differential Equation):

Differential Equation Reducible to LDE

रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE) से तात्पर्य ऐसी अवकल समीकरण से है जिनमें y और x में किसी चर को अन्य चर में प्रतिस्थापन से रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित करने वह रैखिक अवकल में परिवर्तित हो जाती है।
बर्नूली समीकरण (Bernoulli Equation):

\frac{d y}{d x}+P y=Q y^{n} \cdots(1)
उपर्युक्त प्रकार की अवकल समीकरणों को y^{n} से विभाजित करके रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।अतः दोनों तरफ y^{n} का भाग देने पर:

y^{-n}\left(\frac{d y}{d x}\right)+P y^{1-n}=Q \cdots(2)
माना y^{1-n}=v \\ (1-n) y^{-n}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow y^{-n} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{(1-n)}\left(\frac{d y}{d x}\right)
समीकरण (2) में उपर्युक्त मान प्रतिस्थापित करने पर:

\frac{1}{(1-n)} \frac{d v}{d x}+P v=Q \\ \Rightarrow \left(\frac{d v}{d x}\right)+(1-n) Pv=(1-n) Q
जो कि रैखिक समीकरण है।
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2.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Differential Equation Reducible to LDE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
Example:1.\frac{d y}{d x} + x y=x^{3} y^{3}
Solution:\frac{d y}{d x} + x y=x^{3} y^{3}
दोनों पक्षों को y^{-3} से गुणा करने पर:

y^{-3}\left(\frac{d y}{d x}\right)+x y^{-2}=x^{3}
Put y^{-2}=v \\ -2 y^{-3}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow y^{-3}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{d v}{d x}\right) \\ \Rightarrow-\frac{1}{2}\left(\frac{d v}{d x}\right)+x v=x^{3} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}-2 x v=-2 x^{3}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.) =e^{\int P d x}=e^{\int(-2 x) d x} \\ \Rightarrow I.F.=e^{-x^{2}}
समीकरण का व्यापक हल: v (I.F)=\int (I.F)Q dx+C \\ \Rightarrow v \cdot e^{-x^{2}}=\int e^{-x^{2}}\left(-2 x^{3}\right) d x+C \\ \Rightarrow v \cdot e^{-x^{2}}=-2 \int x\left(x^{2} e^{-x^{2}}\right) d x+C

Put -x^{2}=t \Rightarrow-2 x d x=d t \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}=- \int t e^{t} d t+C \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}=-t \int e^{t} d t+\int\left[\frac{d}{d t}(t) \int e^{t} d t\right] dt+C \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}=-t e^{t}+\int e^{t} d t+C \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}=-t e^{t}+e^{t} +C \\ \Rightarrow v e^{-x^{2}}= x^{2} e^{-x^{2}}+e^{-x^{2}}+C \\ \Rightarrow y^{-2} e^{-x^{2}}=x^{2} e^{-x^{2}}+e^{-x^{2}}+C \\ \Rightarrow y^{-2}=x^{2}+1+c e^{x^{2}}
Example:2.\frac{d y}{d x}=e^{x-y}\left(e^{x}-e^{y}\right)
Solution:\frac{d y}{d x}=e^{x-y}\left(e^{x}-e^{y}\right)
दोनों पक्षों को e^{y} से गुणा करने पर:

e^{y}\left(\frac{d y}{d x}\right) =e^{x}\left(e^{x}-e^{y}\right) \\ \Rightarrow e^{y}\left(\frac{d y}{d x}\right) =e^{2 x}-e^{x} \cdot e^{y} \\ \Rightarrow e^{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)+e^{x} e^{y}=e^{2 x}
Put e^{y}=v \Rightarrow e^{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+v e^{x}=e^{2 x}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x}=e^{\int e^{x} d x} \\ =e^{e^{x}}
समीकरण का व्यापक हल: v (I.F)=\int(I.F.)Q d x+c \\ \Rightarrow v\left(e^{e^{x}}\right)=\int e^{x^{x}} \cdot e^{2 x} d x+c
Put e^{x}=t \Rightarrow e^{x} d x=d t \\ \Rightarrow v\left(e^{e^{x}}\right)=\int e^{t} \cdot t d t+c \\ \Rightarrow v\left(e^{e^{x}}\right)=t \int e^{t} d t-\int\left[\frac{d}{dt}(t) \int e^{t} d t\right] d t+c \\ =t e^{t}-e^{t}+c \\ \Rightarrow v \left(e^{e^{x}}\right)=e^{x} \cdot e^{e^{x}}-e^{e^{x}}+c \\ \Rightarrow e^{y} \cdot e^{e^{x}}=e^{x} \cdot e^{e^{x}}-e^{e^{x}}+c \\ \Rightarrow e^{y}=e^{x}-1+C e^{-e^{x}}
Example:3.\frac{d y}{d x}-y \tan x=-y^{2} \sec x
Solution:\frac{d y}{d x}-y \tan x=-y^{2} \sec x
दोनों पक्षों को y^{2} से भाग देने पर:

y^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)-y^{-1} \tan x=-\sec x
Put y^{-1}=v \Rightarrow-{y}^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow-\frac{d v}{d x}-v \tan x=-\sec x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+v \tan x=\sec x
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \tan x d x} \\ =e^{\log \sec x} \\ =\sec x
समीकरण का व्यापक हल: v (I.F.) =\int(I.F) Q d x+C \\ v \sec x =\int \sec x \cdot \sec x d x+C \\ =\int \sec ^{2} x d x+C \\ =\tan x+C \\ v \sec x=\tan x+C \\ \Rightarrow y^{-1} \sec x=\tan x+C \\ \Rightarrow \frac{1}{y}=\sin x+C \cos x

Differential Equation Reducible to LDE

Example:4.\tan x \cos y \frac{d y}{d x}+\sin y+e^{\sin x}=0
Solution:\tan x \cos y \frac{d y}{d x}+\sin y+e^{\sin x}=0

\cos y \left ( \frac{dy}{dx} \right )+\sin y \cot x=-e^{\sin x} \cot x
Put \sin y=v \Rightarrow \cos y\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow \left(\frac{d v}{d x}\right)+v \cot x=-e^{\sin x} \cot x
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=\int e^{\cot x d x} \\ =e^{\log (\sin x)}=\sin x
समीकरण का व्यापक हल: 

v.(I .F)=\int(I \cdot F) Q d x+C \\ v (\sin x)=\int \sin x\left(-e^{\sin x} \cdot \cot x\right) d x+C \\ =-\int \cos x e^{\sin x} d x+C
Put \sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t \\ v \sin x=-\int e^{t} d t+C \\ \Rightarrow v \sin x=-e^{t}+C \\ \sin x \sin y=-e^{\sin x}+C

Example:5.\frac{d y}{d x}+x \sin 2 y=x^{3} \cos ^{2} y
Solution:\frac{d y}{d x}+x \sin 2 y=x^{3} \cos ^{2} y
दोनों पक्षों को \cos ^{2} y से भाग देने पर:

\sec ^{2} y\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{2 x \sin y \cos y}{\cos ^{2} y}=x^{3} \\ \Rightarrow \sec ^{2} y\left(\frac{d y}{d x}\right)+2 x \tan y=x^{3}
Put \tan y=v \\ \sec^{2} \left(\frac{d y}{d x}\right)=\left(\frac{d v}{d x}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{d v}{d x}\right)+2 x v=x^{3}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int 2 x d x} \\ =e^{x^{2}}
समीकरण का व्यापक हल:

v (I .F)=\int(I \cdot F) Q d x+C \\ v e^{x^{2}}=\int e^{x^{2}} \cdot x^{3} d x+C
Put x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ \Rightarrow v e^{x^{2}}=\frac{1}{2} \int t e^{t} d t+C \\ \Rightarrow e^{x^{2}} \tan y=\frac{1}{2} t \int e^{t} d t-\frac{1}{2} \int\left[\frac{d}{d t}(t) \int e^{t} d t\right] d t+C \\ =\frac{1}{2} t e^{t}-\frac{1}{2} e^{t}+C \\ \Rightarrow e^{x^{2}} \tan y=\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}- \frac{1}{2} e^{x^{2}}+C \\ \Rightarrow \tan y=\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)+C e^{-x^{2}}
Example:6.\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(\frac{y}{x}\right) \log y=\frac{y}{x^{2}}(\log y)^{2}
Solution:\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(\frac{y}{x}\right) \log y=\frac{y}{x^{2}}(\log y)^{2}
दोनों पक्षों को \frac{1}{y}(\log y)^{-2} से गुणा करने पर:

\frac{1}{y}(\log y)^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{(\log y)^{-1}}{x}=\frac{1}{x^{2}}
Put (\log y)^{-1}=v \Rightarrow-\frac{1}{y}(\log y)^{-2} \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow -\frac{d v}{d x}+\frac{v}{x}=\frac{1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{dv}{d x}-\frac{v}{x}=-\frac{1}{x^{2}}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int\left(-\frac{1}{x}\right) d x} \\ \Rightarrow I.F.=\frac{1}{x}
समीकरण का व्यापक हल:

v (I.F)=\int(I.F) Q d x+C \\ \Rightarrow (\log y)^{-1} \cdot \frac{1}{x}=\int \frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) d x+C \\ \Rightarrow \frac{1}{x \log y}=-\int \frac{1}{x^{3}} d x+C \\ \Rightarrow \frac{1}{x \log y}=\frac{1}{2 x^{2}}+C \\ \Rightarrow \frac{1}{\log y}=\frac{1}{2 x}+C x
Example:7. \left(1+x^{2}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}} यदि x=1,y=0
Solution:\left(1+x^{2}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}
दोनों पक्षों में \frac{1}{1+x^{2}} का भाग देने पर:

\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{1+x^{2}} y=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}
जो कि रैखिक अवकल समीकरण है।अतः
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x} \\ =e^{\log \left(1+x^{2}\right)} \\ \Rightarrow I.F=1+x^{2}
समीकरण का व्यापक हल:

y. (I.F)=\int(I.F) \quad Q d x+C \\ y\left(1+x^{2}\right)=\int\left(1+x^{2}\right) \cdot \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^{2}\right)=\int \frac{1}{1+x^{2}} d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^{2}\right)=\tan ^{-1} x+C
जब x=1 तो y=0

\Rightarrow 0=\tan (1)+C \Rightarrow C=-\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow y\left(1+x^{2}\right)=\tan ^{-1} x-\frac{\pi}{4}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE)रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित होने योग्य अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Linear Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Differential Equation Reducible to LDE):

Differential Equation Reducible to LDE

(1.)हल कीजिए: \left(\frac{d y}{d x}\right)+y=x^{3} y^{6}
(2.)हल कीजिए: \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{e^{y}}{x^{2}}-\frac{1}{x}
(3.)समीकरण \left(\frac{d y}{d x}\right)+2 y \tan x=\sin x का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।यदि x=\frac{\pi}{3}
उत्तर (Answers):(1)y^{-5}=\frac{5}{2} x^{3}+6 x^{5} \\ (2)2 x e^{-y}-1=2 x^{2} C \\ (3)y=\cos x-2 \cos ^{2} x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE)रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित होने योग्य अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Linear Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to LDE) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक अवकल समीकरण में समानेय अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible
to LDE) से तात्पर्य ऐसी अवकल समीकरण से है जिनमें y और x में किसी चर को अन्य चर में
प्रतिस्थापन से रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित करने वह रैखिक अवकल में परिवर्तित हो जाती है।