गणित में अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Differential Equation in Mathematics):

Differential Equation in Mathematics

• गणित में अवकल समीकरण (Differential Equation in Mathematics):अवकल समीकरणों का उपयोग मुख्य रूप से भौतिकी,रसायन विज्ञान,जीव विज्ञान,मानव विज्ञान,भूविज्ञान,अर्थशास्त्र आदि विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।अतः सभी अत्याधुनिक वैज्ञानिक अन्वेषणों के लिए अवकल समीकरणों के गहन अध्ययन की आवश्यकता है। इस आर्टिकल में अवकल समीकरण की कुछ आधारभूत संकल्पनाओं,अवकल समीकरण के व्यापक एवं विशिष्ट हल,अवकल समीकरण का हल,प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरण को हल करने की कुछ विधियाँ और विभिन्न क्षेत्रों में अवकल समीकरणों के कुछ उपयोगों के बारे में अध्ययन करेंगे।
  
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गणित में अवकल समीकरण (Differential Equation in Mathematics):

Differential Equation in Mathematics

• आधारभूत संकल्पनाएँ (Basic Concepts):
  हम पहले ही निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों से परिचित हैं:
  x^{2}-3x+3=0…(1)
  \sin{x}+\cos{x}=0…(2)
  x+y=7… (3)
  आइए निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:
  x\frac{dy}{dx}+y=0 …(4)
• हम पाते हैं कि समीकरणों (1),(2) एवं (3) में केवल स्वतन्त्र और /अथवा आश्रित चर (एक या अधिक) शामिल हैं जबकि समीकरण (4) में चर के साथ-साथ स्वतन्त्र चर (x) के सापेक्ष आश्रित चर (y) का अवकलज भी शामिल है। इस प्रकार का समीकरण अवकल समीकरण कहलाता है।
  सामान्यतः एक ऐसा समीकरण जिसमें केवल एक स्वतन्त्र चर के सापेक्ष,आश्रित चर के अवकलज शामिल हों,सामान्य अवकल समीकरण कहलाता है। उदाहरणार्थ:
  2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}=0
  एक सामान्य अवकल समीकरण है।
• नि:सन्देह ऐसे भी अवकल समीकरण होते हैं जिनमें एक से अधिक स्वतन्त्र चरों के सापेक्ष अवकलज शामिल होते हैं इस प्रकार के अवकल समीकरण आंशिक अवकल समीकरण कहलाते हैं।लेकिन इस स्तर पर हम अपने आपको केवल सामान्य अवकल समीकरणों के अध्ययन तक सीमित रखेंगे।

Differential Equation in Mathematics

• उपर्युक्त आर्टिकल में गणित में अवकल समीकरण (Differential Equation in Mathematics) के बारे में बताया गया है।