1.सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता (Differentiability in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में सांतत्यता (Continuity in Complex Analysis):

Differentiability in Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता (Differentiability in Complex Analysis) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र फलनों का अवकलज,सांतत्यता को उदाहरणों द्वारा समझेंगे।साथ ही सीमा के बीजगणित का भी अध्ययन करेंगे।
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Also Read This Article:-Limits and Continuity Complex Analysis

2.सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Differentiability in Complex Analysis):

Example:5.सिद्ध कीजिए (Prove that)
Example:5(i). \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \{f(z) \pm g(z)\}=\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z) \pm \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)
Solution: \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \{f(z) \pm g(z)\}=\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z) \pm \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)
माना  \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)=l_1 \Rightarrow \text{ निर्दिष्ट } \varepsilon>0 \exists \delta_1>0
ताकि  |f(z)-l_{1}|<\frac{\varepsilon}{2} \text{ जबकि } 0<\left|z-z_0\right|<\delta_1 \cdots(1) \\ \because \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)=l_2 \Rightarrow \text{ निर्दिष्ट } \varepsilon>0 \exists \delta_2>0
ताकि |g(z)-l_{2}|<\frac{\varepsilon}{2} \text{ जबकि } 0<|z-z_{0}|<\delta_2
स्पष्ट है कि यदि \delta=\min \left\{\delta_1, \delta_2\right\}  तो तब
|f(z)-l_{1}|<\frac{\varepsilon}{2} तथा |g(z)-l_{2}|<\frac{\varepsilon}{2} जबकि 0<\left|z-z_0\right|<\delta \cdots(3) \\ \left|f(z)+g(z)-\left(l_1+l_2\right)\right|=\left|f(z)-l_1\right|+\left|g(z)-l_2\right| \leq \left|f(z)-l_1\right|+\left|g(z)-l_2\right| \\ <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} [समीकरण (3) से]
\Rightarrow\left|f(z)-y(z)-\left(l_1+l_2\right)\right|<\varepsilon \text { जबकि } 0<\left|z-z_0\right|<\delta
अतः \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \{f(z)+g(z)\}=\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)+ \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)
पुनः \left|f(z)-g(z)-\left(l_1-l_2\right)\right|=\left|f(z)-l_1+l_2-g(z)\right| \\ \leq\left|f(z)-l_1\right|+ \left|l_2-g(z)\right| \\ <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \\ <\varepsilon जबकि 0<\left|z-z_0\right|<\delta
अतः \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \{f(z)-g(z)\}=\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)-\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)
अतः \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \{f(z) \pm f(z)\}= \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z) \pm \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)
Example:5(ii). \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \left\{\frac{f(z)}{g(z)}\right\}=\frac{\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)}{\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)} \{g(z_0) \neq 0\}
Solution: \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \left\{\frac{f(z)}{g(z)}\right\}=\frac{\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)}{\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)}
माना  \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)=f\left(z_0\right) \Rightarrow \text{ निर्दिष्ट } \varepsilon>0 \exists \delta_1>0
ताकि  \left|f(z)-f\left(z_0\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2} \text { जबकि } 0<\left|z-z_0\right|<\delta_1 \cdots(1) \\ \because \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)=g\left(z_0\right) \Rightarrow \text { निर्दिष्ट } \varepsilon>0 \exists \delta_2>0
ताकि \left|g(z)-g\left(z_0\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2} जबकि 0<\left|z-z_0\right|<\delta_2 \cdots(2)
स्पष्ट है कि \delta=\min \left\{\delta_1, \delta_2\right\} हो तब
|f(z)-f(z_{0})|<\frac{\varepsilon}{2} \text { तथा }|g(z)-g(z_{0})|<\frac{\varepsilon}{2} जबकि 0<\left|z-z_0\right|< \delta \cdots(3)
माना कि h(z)=\frac{1}{g(z)} अतः h(z) g(z)=1 \\ \therefore \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} h(z) g(z)=1 \\ \varepsilon >0 कोई निर्दिष्ट छोटी संख्या है।

\mid f(z) h(z)- f\left(z_0\right) h\left(z_0\right)|=| h(z) f(z)-h\left(z_0\right) f(z)+h\left(z_0\right) f(z)-f\left(z_0\right) h\left(z_0\right) \mid \\ =\left|f(z)\left\{h(z)-h\left(z_0\right)\right\}+h\left(z_0\right) \{f(z)-f\left(z_0\right)\}\right| \\ \leq|f(z)|\left|h(z)-h\left(z_0\right)\right|+h\left(z_0\right)|| f(z)-f\left(z_0\right) \mid \cdots(4)
चूँकि \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)=f\left(z_0\right) \Rightarrow 0<\varepsilon^{\prime}<1  के लिए \exists \delta_1>0
ताकि \left|f(z)-f\left(z_0\right)\right|<\varepsilon^{\prime} जबकि 0<\left|z-z_0\right|<\delta_{1} \cdots(5)
पुनः \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} h(z)=h\left(z_0\right) \Rightarrow \varepsilon^{\prime} के लिए \exists \delta_2>0
ताकि \left|h(z)-h\left(z_0\right)\right|<\varepsilon^{\prime} जबकि 0<\left|z-z_0\right|<\delta_2 \cdots(6)
माना कि \delta=\min \left\{\delta_1, \delta_2\right\} तब (5) एवं (6) असमिकाएं एक साथ सन्तुष्ट होंगी।
अर्थात् 0 < \left|z-z_0\right|<\delta तब \left|f(z)-f\left(z_0\right)\right|<\varepsilon^{\prime}
एवं |h(z)-h(z_{0})|< \varepsilon^{\prime} \ldots(7)
पुनः |f(z)| =\left|f(z)-f\left(z_0\right)+f\left(z_0\right)\right| \\ \leq\left|f(z)-f\left(z_0\right)\right|+ f\left(z_0\right) \\ <\varepsilon^{\prime}+f\left(z_0\right) जबकि 0<\left|z-z_0\right|<\delta \cdots(8)
अब (4),(5),(6) एवं (8) सेः

\mid h(z) g(z)- h\left(z_0\right) f\left(z_0\right) \mid<\left(\varepsilon^{\prime}+f\left(z_0\right) \right) \varepsilon^{\prime}+\mid h\left(z_0\right)\mid \varepsilon^{\prime} \\ <f\left(z_0\right)+ h\left(z_0 \right)+1\left[ \because \varepsilon^{\prime}<1\right]
यदि हम \varepsilon^{\prime} का इस प्रकार चयन करें जिससे कि

\varepsilon^{\prime}<\frac{\varepsilon}{f\left(z_0\right)+h\left(z_0\right)+\mid 1 \mid}
जहाँ \varepsilon एक धनात्मक संख्या है तो

\mid h(z) f(z)-h\left(z_0\right) f\left(z_0\right) \mid<\varepsilon जबकि 0<\left|z-z_0\right|<\delta
फलतः \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} h(z) f(z)=\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} h(z) \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)=1 \\ \Rightarrow g\left(z_0\right) \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} h(z)=1 \\ \Rightarrow \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} h(z)=\frac{1}{g\left(z_0\right)} \left[\because g\left(z_0\right) \neq 0\right]
अब \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim}\left\{\frac{f(z)}{g(z)}\right\}=\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z) \cdot\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \frac{1}{g(z)} \\ \Rightarrow \underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} \left\{\frac{f(z)}{g(z)}\right\}=\frac{\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} f(z)}{\underset{z \rightarrow z_{0}}{\lim} g(z)} जहाँ g\left(z_0\right) \neq 0
Example:8.सिद्ध कीजिए कि फलन f(z)=\frac{z}{z^4+1} , इकाई त्रिज्या वाले वृत्त |z|=1 के अन्दर एवं ऊपर स्थित चार बिन्दुओं के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर संतत है,उन चार बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
(Prove that the function f(z)=\frac{z}{z^4+1} is continuous at all points inside and on the unit circle |z|=1 except at four points and determine these points.)
Solution: f(z)=\frac{z}{z^4+1} 
चार बिन्दु जिन पर संतत नहीं हैः

z^4+1=0 \Rightarrow z^4=-1 \\ \Rightarrow z^4=\cos (2n+1) \pi+i \sin (2 n+1) \pi \\ =e^{(2 n+1)(i \pi)} \\ \Rightarrow z= e^{\frac{(2 n+1)(i \pi)}{4}} \forall n=0,1,2,3
माना z तथा के अतिरिक्त कोई दो स्वेच्छ बिन्दु हैं तब

\left|\frac{z}{z^4+1}-\frac{z_0}{z_0^4+1}\right| =\left|\frac{z\left(z_0^4+1\right)-z_0\left(z^4+1 \right)} {\left(z^4+1\right)\left(z_0^4+1\right)}\right| \\ =\left|\frac{z z_0^4+z-z_0 z^4-z_0 \mid}{\left(z^4 +1\right)\left(z_0^4+1\right)}\right|\\ =\left|\frac{-z z_0\left(z^3-z_0^3\right)+z-z_0}{\left(z^4+ 1\right) \left(z_0^4+1\right)}\right| \\ =\left|\frac{-z z_0\left(z-z_0\right)\left(z^2+z z_0+z_0^2\right)+\left(z-z_0 \right)}{\left(z^4+1\right)\left(z_0^4+1\right)}\right| \\ =\left|\frac{\left(z-z_0\right)\left[-z z_0\left(z^2 + z z_0+z_0^2\right)+1\right]}{\left(z^4+1\right)\left(z_0^4+1\right)}\right| \\ \leq \left|z-z_0\right| \left|\frac{-z z_0\left(z^2+z z_0+z_0^2\right)+1}{\left(z^4+1\right) \left(z_0^4+1\right)}\right| \\ \leq \left|z-z_0\right| \left| \frac{-z^3 z_0-z^2 z_0^2-z z_0^3+1}{\left(z^4+1\right)\left(z_0^4+1\right)} \right|
अब यदि \left|z-z_0\right|<\delta तब

\left|f(z)-f\left(z_0\right)\right| \leq s\left|\frac{-z^3 z_0-z^2 z_0^2-z z_0^3+1}{\left(z^4+1\right) \left(z_0^4+1\right)}\right|
माना z=z_{0}=2 \\ <\delta\left|\frac{-16-16-16+1}{(16+1)(16+1)}\right| \\ <\delta\left| \frac{-47}{289}\right| \\ < \frac{47 \delta}{289}
माना कि \delta= \frac{289}{47} \varepsilon लेने पर
\left|f(z)-f\left(z_0\right)\right|<\varepsilon  जबकि \left|z-z_0\right|<\delta
स्पष्टतः \delta केवल \varepsilon पर निर्भर है न कि बिन्दु पर z_{0}।
अतः फलन f(z), |z|=1 के अन्दर एवं ऊपर स्थित बिन्दुओं के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर संतत है।
Example:9.सिद्ध कीजिए कि फलन f(z)=\frac{z^2+1}{z^2-3 z+2} वृत्त |z|=2 के बाहर स्थित सभी z के लिए संतत है।
(Prove that f(z)=\frac{z^2+1}{z^2-3 z+2} is continuous for all z outside the circle |z|=2.)
Solution: f(z)=\frac{z^2+1}{z^2-3 z+2}
माना z तथा z_{0},|z|=2 के बाहर कोई दो स्वेच्छ बिन्दु हैं तब

\left|f(z)-f\left(z_0\right)\right|=\left|\frac{z^2+1}{z^2-3 z+2}-\frac{z_0^2+1}{z_0^2-3 z_0+2}\right| \\ =\left|\frac{\left(z^2+1\right)\left(z_0^2-3 z_0+2\right)-\left(z_0^2+1\right)\left(z^2-3 z+2\right)}{\left(z^2-3 z+2\right)\left(z_0^2-3 z_0+2\right)}\right| \\ =\left|\frac{z^2 z_0^2-3 z_0 z^2+z z^2+z_0^2-3 z_0+2-z^2 z_0^2+3 z z_0^2-2 z_0^2-z^2+3 z-2 }{\left(z^2-3 z+2\right)\left(z_0^2-3 z_0+2\right)} \right|\\ =\left|\frac{-3 z_0 z^2+3 z z_0^2+z^2-z_0^2+3 z-3 z_0}{\left(z^2-3 z+2\right)\left(z_0^2-3 z_0 +2 \right)}\right| \\ =\left|\frac{-3 z_0 z\left(z-z_0\right)+\left(z-z_0\right)\left(z+z_0\right)+3\left(z-z_0 \right)}{\left(z^2-3 z+2\right)\left(z_0^2-3 z_0+2\right)}\right| \\ =\left|\frac{\left(z-z_0\right)\left(-3 z_0 z+z+z_0+3\right)}{\left(z^2-3 z+2\right)\left(z_0^2-3 z_0+2\right)}\right| \\ \leq\left|z-z_0\right| \left|\frac{-3 z_0 z+z+z_0+3}{\left(z^2-3 z+2\right)\left(z_0^2-3 z_0+2\right)}\right|
अतः यदि \left|z-z_0\right|< \delta तब

\leq \delta\left|\frac{-3 z_0 z+z+z_0+3}{\left(z^2-3 z+2\right)\left(z_0^2-3 z_0+2\right)}\right|
माना z=z_0=4 \\ <\delta\left|\frac{-48+4+4+3}{(16-12+2)(16-12+2)}\right| \\ <\delta\left|\frac{-37}{36}\right| \\ <\frac{37 \delta}{36}
माना कि \delta=\frac{36}{37} \varepsilon लेने पर
\Rightarrow| f(z)-f(z_{0}) \mid<\varepsilon जबकि \left|z-z_0\right|< \delta
स्पष्टतः केवल पर निर्भर है न कि बिन्दु z_{0} पर।
अतः फलन f(z), |z|=2 के बाहर स्थित सभी z के लिए संतत है।
Example:14.निम्न फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिएः
(Find derivatives of the following functions):
Example:14(i). \cos^2(2 z+3 i)
Solution: \cos^2(2 z+3 i) \\ \frac{d}{d z} \cos ^2(2 z+3 i)=\frac{d}{dz}\left(\frac{1+\cos (4 z+6 i)}{2}\right) \\ =\frac{d}{d z}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left\{e^{i(4 z+6 i)}+e^{-i(4 z-6 i)}\right\}\right] \\ =\frac{d}{d z} \left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left\{e^{4 i z+6 i^2}+e^{-4 i z-6 i^{2}}\right\}\right]\\=\frac{d}{d z} \left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left\{e^{4 i z} e^{6 i^2}+e^{-4 i z} e^{-6 i^{2}}\right\}\right] \\ =\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\left\{e^{6 i^2} \frac{d}{dz} \left(e^{4 i z}\right)+e^{-6 i^2} \frac{d}{dz} \left(e^{-4iz} \right)\right\} \\ =0+\frac{1}{4}\left\{4i \cdot e^{6 i^2} \cdot e^{4i z}-4 i \cdot e^{-6 i^2} \cdot e^{-4iz }\right\} \\=\frac{4 i}{4}\left(e^{4 i z+6 i^2}-e^{-4 i z-6 i^2}\right) \\ =\frac{2 i^{2}}{2 i}\left(e^{i(4 z+6 i}-e^{-i(4 z+6 i)}\right) \\ =-2\left(\frac{e^{i(4 z+6 i)}-e^{-i(4 z+6 i)}}{2 i}\right) \\ =-2 \sin (4 z+6 i) \\ =-2 \sin 2(2 z+3 i) \\ =-4 \sin (2 z+3 i) \cos (2 z+3 i)
Example:14(ii). z \tan ^{-1}(\log z)
Solution:माना w=z \tan ^{-1}(\log z) \\ \frac{d \omega}{d z} =z \frac{d}{d z} \tan ^{-1}(\log z)+\tan^{-1} \left(\log z\right) \frac{d}{d z}(z) \\ =z \cdot \frac{1}{1+(\log z)^2} \frac{d}{d z}(\log z)+\tan^{-1} (\log z) \\ \Rightarrow \frac{d w}{d z}=\frac{z}{1+(\log z)^2} \cdot \frac{1}{z}+\tan ^{-1}(\log z) \\ \Rightarrow \frac{d \omega}{d z}=\frac{1}{1+(\log z)^2}+\tan ^{-1}(\log z)
Example:14(iii). \left\{\tanh ^{-1}(i z+2)\right\}^{-1}
Solution:माना w=\{\tanh^{-1} (i z+2)\}^{-1} \\ \frac{d w}{d z} =\frac{d}{d z}\left\{\tanh ^{-1}(i z+2) \right\}^{-1} \\ =-\left\{\tanh ^{-1}(i z+2)\right\}^{-2} \frac{d}{d z} \tanh ^{-1}(i z+2) \\ =-\left\{\tanh ^{-1}(i z+2\right\}^{-2} \frac{d}{d z}\left[\frac{1}{2} \log \left\{\frac{-i z-1}{3+i z}\right\}\right] \\=-\left\{\tanh ^{-1}(i z+2)\right\}^{-2} \frac{1}{2}\left(\frac{3+i z}{-i z-1}\right) \left[\frac{(3+i z)(-i)-(-i z-1 )i}{(3+i z)^2} \right]\\ \left[\because \tan ^{-1} z=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1-z}{1+z}\right)\right] \\ =-\left\{\tanh ^{-1}(i z+2)\right\}^{-2} \frac{1}{2} \frac{1}{(-i z-1)} \cdot \frac{-2 i}{(3+i z)} \\ =\frac{-\left\{\tanh ^{-1}(i z+2)^{-2} \right\}}{1-(i z+2)^2}

Alternate:- \frac{d}{d z} \tanh^{-1} (i z+2)=\frac{1}{1-(i z+2)^2}
Example:14(iv). (z-3 i)^{4 z+2}
Solution:माना w=(z-3 i)^{4 z+2} \\ \log \omega=(4 z+2) \log (z-3 i)
z के सापेक्ष अवकलन करने परः

Differentiability in Complex Analysis

Example:24.यदि \mid f^{\prime}(z) \mid,x के फलन तथा y के फलन दोनों की गुणा हो तो सिद्ध कीजिएः
(If \mid f^{\prime}(z) \mid is the product of a function of x and the function of y, Show that):

f(z)=\exp \left\{\alpha z^2+\beta z+\gamma\right\}
जहाँ वास्तविक,तथा सम्मिश्र अचर हैं।
(Where is real, and are conjugate constant.)
Solution:माना w=f(z) जहाँ z=x+i y, \bar{z} z x-i y \\ x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), y=\frac{-i}{2} \cdot(z-\bar{z}) \\ \frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z}\\=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right)
तथा \frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{z}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial }{\partial y}\right) \\ \therefore \frac{\partial}{\partial z} \cdot \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{4}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right) \\ \Rightarrow\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y z}\right)=4 \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial \bar{z}} \cdots(1) \\ \log \left|f^{\prime}(z)\right|=\frac{1}{2} \log \left|f^{\prime}(z)\right|^2=\frac{1}{2} \log \left\{f^{\prime}(z) f^{\prime}(\bar{z})\right\} \\ =\frac{1}{2}\left\{\log f^{\prime}(z)+\log f^{\prime}(\bar{z})\right\} \cdots(2)
(1) व (2) सेः

\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) \log \left|f^{\prime}(z)\right|= \frac{4}{2} \frac{\partial^2}{\partial z \partial \bar{z}}\left\{\log f^{\prime}(z)+\log \left|f^{\prime}(z)\right|\right\} \\ =2 \frac{\partial}{\partial z}\left\{0+\frac{f^{\prime \prime}(\bar{z})}{f^{\prime}(\bar{z})}\right\}=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) \log \left|f^{\prime}(z)\right|=0 \cdots(3)
दिया हैः f^{\prime}(z)=\phi(x) \psi(y) \cdots(4)

(3) व (4) सेः

\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y}\right) \log \{\phi(x) \psi(y)\}=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)(\log \phi(x)+\log \psi(y))=0 \\ \Rightarrow \frac{\partial^2}{\partial x^2} \log \phi(x)+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \log \psi(y)=0 \\ \phi(x) में y तथा \psi(y) में x नहीं हैं अतः स्वतन्त्र हैं।

\frac{d^2}{d x^2} \log \phi(x)=c(वास्तविक अचर )

\frac{d^2}{dy^{2}} \log \psi(y)=-c
दोनों का समाकलन करने परः

\log \phi(x)=\frac{1}{2} c x^2+c_1 x+c_2
तथा \log \psi(y)=-\frac{1}{2} c y^2+c_3 y+c_4 \\ \phi(x)=\exp \left\{\frac{1}{2} c x^2+c_{1} x+c_2\right\}
तथा \psi(y)=\exp \left\{-\frac{1}{2} c y^2+c_3 y+c_4\right\} \\ \therefore\left|f^{\prime}(z)\right|= |\phi(x) \psi(y)| \\ = \left| \exp \left(\frac{1}{2} cx^2+c_{1} x+c_2\right) \exp\left(-\frac{1}{2} c y^2+c_3 y+c_4\right) \right| \\ =\left| \exp \left\{\frac{1}{2} c\left(x^2-y^2\right)+c_{1} x+c_3 y+c_2+c_4\right\} \right| \cdots(5)\\ | \exp \left(\alpha z^2+\beta z+\gamma\right)|=| \exp \{\alpha(x+i y)^2 +(a+i b)(x+i y)+(s+i t)\} \mid \\ = \exp \left\{\alpha\left(x^2-y^2\right)+a x-b y+s\right\} \\ \left[\because \mid e^{A+i B}\mid=e^A \right]
जो कि (5) के समान है।
अतः \left|f^{\prime}(z)\right|=\mid \exp \left(\alpha z^2+\beta z+\gamma\right)

जहाँ \alpha वास्तविक \beta ,तथा \gamma सम्मिश्र अचर हैं।
Example:25.सिद्ध कीजिए कि \frac{d}{d z}\left(z^2 \bar{z}\right) कहीं भी विद्यमान नहीं है।
(Show that \frac{d}{d z}\left(z^2 \bar{z}\right) does not exist anywhere.)
Solution: \frac{d}{d z}\left(z^2 \bar{z}\right)=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{(z+\Delta z)^2(\overline{z+\Delta z})-z^2 \bar{z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{\left(z^2 +2 z \Delta z \Delta z^2\right)(\bar{z}+\Delta \bar{z})-z^2 \bar{z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{z^2 \bar{z}+z^2 \overline{\Delta z}+2 z \bar{z} \Delta z+ 2 z \Delta z \overline{\Delta z} +\bar{z} \Delta z^2+\Delta z^2 \overline{\Delta z}-z^2 \bar{z}}{\Delta z} \\ \Rightarrow \frac{d}{d z}(z^{2}\bar{z})=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} z^2 \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}+2 z \bar{z}+2 z \overline{\Delta z}+\bar{z} \Delta z+\Delta z \overline{\Delta z} \\ \frac{d}{d z} \left(z^2 \bar{z}\right)=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{z^2 \overline{\Delta z}}{\Delta z}+2 z \bar{z} \left [ \because  \Delta z \rightarrow 0 \text{ तब } \overline{\Delta z} \rightarrow 0 \right ]
माना \Delta z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta} \\ \overline{\Delta z}=r(\cos \theta-i \sin \theta)=r e^{i \theta} \\ \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}=e^{-2 i \theta}
उपर्युक्त अद्वितीय सीमा की ओर अग्रसर नहीं होता है बल्कि पर निर्भर है।अतः दिया हुआ \frac{d}{d z} \left(z^2 \bar{z}\right) कहीं भी विद्यमान नहीं है।
Example:26.निम्न फलनों की अवकलनीयता की विवेचना कीजिए एवं यह भी बताइए कि ये किन बिन्दुओं पर विश्लेषिक हैः
(Discuss the differentiability of the following functions and also mension the points at which they are analytic):
Example:26(i). z^2
Solution: z^2
माना f(z)=z^2 \\ f^{\prime}(z)=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{z^2+2 z \Delta z+\Delta z^2-z^2}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim}(2 z+\Delta z) \\ \Rightarrow f^{\prime}(z) =2 z
अतः फलन सर्वत्र अवकलनीय है तथा विश्लेषिक है।
Example:26(ii). \frac{1}{z}
Solution:  \frac{1}{z}
माना f(z)=\frac{1}{z} \\ f^{\prime}(z) =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{\frac{1}{z+\Delta z}-\frac{1}{z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{z-z-\Delta z}{z(z+\Delta z) \Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \left[-\frac{1}{z(z+\Delta z)}\right] \\ \Rightarrow f^{\prime}(z)=-\frac{1}{z^2}
f'(z) के परिमित मान के लिए फलन विश्लेषिक है परन्तु z=0 पर विश्लेषिक नहीं है।
Example:26(iii). |z|^2
Solution: |z|^2
माना f(z)=|z|^2 \\ f^{\prime}(z) =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{|z+\Delta z|^2-|z|^2}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{(z+\Delta z)(\bar{z}+\overline{\Delta z})-z \bar{z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{z \bar{z}+z \overline{\Delta z}+\bar{z} \Delta z+\Delta z \overline{\Delta z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \bar{z}+\overline{\Delta z}+z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \bar{z}+ z \frac{\overline{\Delta z}}{\overline{\Delta z}} \left [ \because \Delta z \rightarrow 0 \text{ तब } \overline{\Delta z} \rightarrow 0 \right ]
यदि z=0 तो f'(0)=0
अब यदि z \neq 0

  माना \Delta z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta} \\ \overline{\Delta z}=r(\cos \theta-i \sin \theta)=r e^{-i \theta} \\ \therefore \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}=\bar{e}^{-2 i \theta}
जो कि अद्वितीय सीमा की ओर अग्रसर नहीं होता है जब सीमा पर निर्भर है।
अतः दिया हुआ फलन z=0 के अलावा अवकलनीय तथा विश्लेषिक नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता (Differentiability in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में सांतत्यता (Continuity in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता पर आधारित सवाल (Questions Based on Differentiability in Complex Analysis):

Differentiability in Complex Analysis

(1.)यदि w=\log z तो \frac{d w}{d z} ज्ञात करो तथा w कहाँ विश्लेषिक नहीं है।
(If w=\log z , find \frac{d w}{d z} and determine where w is non-analytic):
(2.)यदि w=f(z)=\frac{1-z}{1+z} तो \frac{d w}{d z} ज्ञात करो तथा कहाँ पर f(z) विश्लेषिक नहीं है.)
उत्तर (Answers):(1.)\frac{d w}{d z}=\frac{1}{z},z=0 पर विश्लेषिक नहीं है।
(2.)\frac{d w}{d z}=\frac{2}{(1-z)^2}, z=1 पर विश्लेषिक नहीं है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता (Differentiability in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में सांतत्यता (Continuity in Complex Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता (Frequently Asked Questions Related to Differentiability in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में सांतत्यता (Continuity in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता (Differentiability in Complex Analysis) के इस आर्टिकल
में सम्मिश्र फलनों का अवकलज,सांतत्यता को उदाहरणों द्वारा समझेंगे।