Determinants Class 12

Q: प्रश्न:1.सारणिक किसे कहते हैं? (What is a Determinant?):

उत्तर:हम n कोटि के प्रत्येक वर्ग आव्यूह A=\left[a_{ij}\right] को एक संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) द्वारा सम्बन्धित करा सकते हैं जिसे वर्ग आव्यूह का सारणिक कहते हैं।इसे एक फलन की तरह सोचा जा सकता है जो प्रत्येक आव्यूह को एक अद्वितीय संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) से सम्बन्धित करता है। यदि M वर्ग आव्यूहों का समुच्चय है, k सभी संख्याओं (वास्तविक या सम्मिश्र) का समुच्चय है और f: M \rightarrow k, f(A)=k के द्वारा परिभाषित है जहाँ A \in M और k \in K तब f(A), A का सारणिक कहलाता है।इसे |A| या det (A) या \Delta के द्वारा निरूपित किया जाता है।

Mathematics Satyam July 18, 2023 12th Mathematics, JEE MAINS Maths No Comments

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1 1.सारणिक कक्षा 12 (Determinants Class 12),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12):

1.1 2.सारणिक कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Determinants Class 12):

1.2 3.सारणिक कक्षा 12 के सवाल (Determinants Class 12 Questions):

1.2.1 4.सारणिक कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Determinants Class 12),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.सारणिक किसे कहते हैं? (What is a Determinant?):

1.2.3 प्रश्न:2.तृतीय कोटि के आव्यूह के बारे में बताएं। (Tell Us About Determinant of a Matrix of Order Three):

1.2.4 प्रश्न:3.सारणिक की गणना करते समय क्या ध्यान रखना चाहिए? (What Should Be Kept in Mind While Calculating Determinant?):

1.2.4.1 Determinants Class 12

2 सारणिक कक्षा 12 (Determinants Class 12)

2.1 Determinants Class 12

1.सारणिक कक्षा 12 (Determinants Class 12),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12):

Determinants Class 12

सारणिक कक्षा 12 (Determinants Class 12) में सारणिकों के गुणधर्म,उपसारणिक,सहखण्ड और त्रिभुज का क्षेत्रफल,रैखिक समीकरणों के निकायों की संगतता और असंगतता और एक आव्यूह के व्युत्क्रम का प्रयोग कर दो अथवा तीन चरणों के रैखिक समीकरणों को हल करने का अध्ययन करेंगे।
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2.सारणिक कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Determinants Class 12):

प्रश्न 1 से 2 तक में सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:
Example:1 $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -5 & -1\end{array}\right|$
Solution: $\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\ -5 & -1\end{array}\right| \\ =(2)(-1)-4(-5)=-2+20=18$
Example:2(i). $\left|\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right|$
Solution: $\left|\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right| \\ =\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1$
Example:2(ii). $\left|\begin{array}{ll}x^2-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{array}\right|$
Solution: $\left|\begin{array}{cc}x^2-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{array}\right| \\ =(x+1)\left(x^2-x+1\right) -(x-1)(x+1) \\ =x^3+1-\left(x^2-1\right) \\ =x^3+1-x^2+1 \\ =x^3-x^2+2$
Example:3.यदि $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 2\end{array}\right]$ , तो दिखाइए |2 A|=4|A|
Solution: $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 2\end{array}\right] \\ 2 A=2\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 8 & 4\end{array}\right] \\ |2 A|=2 \times 4-8 \times 4=8-32=-24 \ldots(1) \\ |A|=1 \times 2-4 \times 2=2-8=-6 \\ 4|A|=4 x-6=-24 \ldots(2)$
(1) व (2) सेः

|2 A|=4|A|
Example:4.यदि $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ हो, तो दिखाइए |3 A|=27 |A|
Solution: $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right] \\ 3 A= \left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right] \\ |3 A|=3\left|\begin{array}{ll}3 & 6 \\ 0 & 12\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 0 & 12\end{array}\right| +0\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 3 & 6\end{array}\right| \\ =3(36-6 \times 0)-0(0 \times 12-0 \times 3)+0(0 \times 6-3 \times 3) \\ \Rightarrow|3 A|=108 \ldots(1)\\ |A|=1\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right| -0 \left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 4 \end{array}\right| \\ =1(4-0 \times 2)-0+0=4 \\ 27|A|=27 \times 4=108 \ldots(2)$
(1) व (2) सेः

|3 A|=27 |A|

Determinants Class 12

Example:5.निम्नलिखित सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:
Example:5(i). $\left|\begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$
Solution:माना $|A|=\left|\begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$
|A| का द्वितीय पंक्ति के अनुसार प्रसरण करने परः

$|A|=-0\left|\begin{array}{cc}-1 & -2 \\ -5 & 0\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 3 & 0\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{ll}3 & -1 \\ 3 & -5\end{array}\right| \\ \Rightarrow|A|=(3)(-5)-(-1)(3)=-15+3=-12$
Example:5(ii). $\left|\begin{array}{ccc}3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right|$
Solution:माना $|A|=\left|\begin{array}{ccc}3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right|$
|A| का प्रथम पंक्ति के अनुसार प्रसरण करने परः

$|A|=3\left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{array}\right|+4\left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\right|+5\left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right| \\ =3(1 \times 1-3 \times-2)+4(1\times 1-2 \times-2)+5(1 \times 3-1 \times 2) \\ =3(1+6)+4(1+4)+5(3-2) \\ =21+20+5=46 \\ |A|=46$
Example:5(iii). $\left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0\end{array}\right|$
Solution:माना $|A|=\left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0\end{array}\right|$
|A| का प्रथम पंक्ति के अनुसार प्रसरण करने परः

$|A|=0\left|\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 3 & 0\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}-1 & -3 \\ -2 & 0\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ -2 & 3\end{array}\right| \\ =0-1\left[-1 \times 0-(-3)(-2)\right]+2(-1 \times 3-0 \times-2) \\ =-1(-6)+2(-3)=6-6=0 \\ \Rightarrow|A|=0$
Example:5(iv). $\left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$
Solution:माना $|A|=\left|\begin{array}{lll}2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$
|A| का तृतीय पंक्ति के अनुसार प्रसरण करने पर:

$|A|=3 \left|\begin{array}{cc}-1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\right|+5 \left| \begin{array}{rr}2 & -2 \\ 0 & -1 \end{array}\right|+0 \left|\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 0 & 2\end{array}\right| \\ =3(-1 \times-1-2 \times-2)+ 5(2 \times-1-0 \times-2)+0 \\ =3(1+4)+5(-2)=15-10=5 \\ \Rightarrow|A|=5$
Example:6.यदि $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9\end{array}\right]$ , हो तो |A| ज्ञात कीजिए।
Solution: $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9\end{array}\right]$
प्रथम पंक्ति के अनुसार प्रसरण करने पर:

$|A|=\left|\begin{array}{ll}1 & -3 \\ 4 & -9\end{array}\right|-1 \left| \begin{array}{cc}2 & -3 \\ 5 & -9\end{array}\right|-2 \left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 5 & -4\end{array}\right| \\ =1(1 \times-9-4 \times-3)-1(2 \times-9-5 \times-3)-2(2 \times 4-5 \times 1) \\ =(-9+12)-1(-18+15)-2(8-5) \\ =3-1 \times-3-2 \times 3=3+3-6=0 \\ \Rightarrow |A|=0$
Example:7.x के मान ज्ञात कीजिए यदि
Example:7(i). $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2 x & 4 \\ 6 & x\end{array}\right|$
Solution: $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2 x & 4 \\ 6 & x\end{array}\right| \\ \Rightarrow 2 \times 1-5 \times 4=2 x \times x-6 \times 4 \\ \Rightarrow 2-20=2 x^2-24 \\ \Rightarrow 2 x^2=24-18 \\ \Rightarrow 2 x^2=6 \Rightarrow x^2=3 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{3}$
Example:7(ii). $\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}x & 3 \\ 2 x & 5\end{array}\right|$
Solution: $\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}x & 3 \\ 2 x & 3\end{array}\right| \\ \Rightarrow 2 \times 5-3 \times 4=x \times 5-3 \times 2 x \\ \Rightarrow 10-12=5 x-6 x \\ \Rightarrow-x=-2 \\ \Rightarrow x=2$
Example:8.यदि $\left|\begin{array}{cc}x & 2 \\ 18 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}6 & 2 \\ 18 & 6\end{array}\right|$ हो तो x बराबर है:
(A) 6 (B) $\pm$ 6 (C) -6 (D) 0
Solution: $x \times x-2 \times 18=6 \times 6-2 \times 18 \\ \Rightarrow x^2-36=36-36 \\ \Rightarrow x^2=36 \\ \Rightarrow x=\sqrt{36} \\ \Rightarrow x= \pm 6$
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सारणिक कक्षा 12 (Determinants Class 12),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.सारणिक कक्षा 12 के सवाल (Determinants Class 12 Questions):

Determinants Class 12

(1.)यदि $\left|\begin{array}{cc}x & 3 \\ 24 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}9 & 5 \\ 9 & 6\end{array}\right|$ हो तो x का मान ज्ञात कीजिए:
(2.) $\Delta=\left|\begin{array}{lll}a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c\end{array}\right|$ का प्रसार कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) $\pm$ 9 (2.) $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सारणिक कक्षा 12 (Determinants Class 12),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सारणिक कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Determinants Class 12),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सारणिक किसे कहते हैं? (What is a Determinant?):

उत्तर:हम n कोटि के प्रत्येक वर्ग आव्यूह $A=\left[a_{ij}\right]$ को एक संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) द्वारा सम्बन्धित करा सकते हैं जिसे वर्ग आव्यूह का सारणिक कहते हैं।इसे एक फलन की तरह सोचा जा सकता है जो प्रत्येक आव्यूह को एक अद्वितीय संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) से सम्बन्धित करता है।
यदि M वर्ग आव्यूहों का समुच्चय है, k सभी संख्याओं (वास्तविक या सम्मिश्र) का समुच्चय है और $f: M \rightarrow k, f(A)=k$ के द्वारा परिभाषित है जहाँ $A \in M$ और $k \in K$ तब f(A), A का सारणिक कहलाता है।इसे |A| या det (A) या $\Delta$ के द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्रश्न:2.तृतीय कोटि के आव्यूह के बारे में बताएं। (Tell Us About Determinant of a Matrix of Order Three):

उत्तर:तृतीय कोटि के आव्यूह के सारणिक को द्वितीय कोटि के सारणिकों में व्यक्त करके ज्ञात किया जाता है।यह एक सारणिक का एक पंक्ति (या एक स्तम्भ) के अनुदिश प्रसरण कहलाता है।तृतीय कोटि के सारणिक को छह प्रकार से प्रसारित किया जाता है।तीनों पंक्तियों ( $R_{1},R_{2}$ तथा $R_{3}$ ) में से प्रत्येक के संगत और तीनों स्तम्भ ( $C_{1},C_{2}$ तथा $C_{3}$ ) में से प्रत्येक के संगत दर्शाए गए प्रसरण समान परिणाम देते हैं।

प्रश्न:3.सारणिक की गणना करते समय क्या ध्यान रखना चाहिए? (What Should Be Kept in Mind While Calculating Determinant?):

उत्तर:(1.)गणना को सरल करने के लिए हम सारणिक का उस पंक्ति या स्तम्भ के अनुदिश प्रसरण करेंगे जिसमें शून्यों की संख्या अधिकतम है।
(2.)सारणिकों का प्रसरण करते समय $(-1)^{i+j}$ से गुणा करने के स्थान पर,हम (i+j) के सम या विषम होने के अनुसार +1 या -1 से गुणा करते हैं।
3×3 के किसी सारणिक का प्रसरण करने के लिए (+) या (-) का चिन्ह प्रकार प्रयुक्त किया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc}a_{11}^+ & a_{12}^- & a_{13}^+ \\ a_{21}^- & a_{22}^+ & a_{23}^- \\ a_{31}^+ & a_{32}^- & a_{33}^-\end{array}\right|$ या $\left|\begin{array}{lll}+ & - &+ \\ - &+&- \\ +& - &+\end{array}\right|$
(3.)मान लीजिए $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 \\ 4 & 0\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right]$ है तो यह सिद्ध करना सरल है कि $A=2B \Rightarrow |A|=2^{n} |B|$
जहाँ n वर्ग आव्यूहों की कोटि है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सारणिक कक्षा 12 (Determinants Class 12),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.