1.असपष्ट फलनों के अवकलज (Derivatives of Implicit Functions),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of Inverse Trigonometric Functions):

Derivatives of Implicit Functions

असपष्ट फलनों के अवकलज (Derivatives of Implicit Functions) से पूर्व हम y=f(x) के रूप के विविध फलनों के अवकलन करते रहे हैं।परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि फलनों का सदैव इसी रूप में व्यक्त किया जाए।उदाहरणार्थ x और y के बीच निम्नलिखित सम्बन्धों में से एक पर विशेष रूप से विचार कीजिए:

x-y-\pi=0, x+\sin x y-y=0
पहली दशा में हम y के लिए सरल कर सकते हैं और सम्बन्ध को y=x-\pi के रूप में लिख सकते हैं।दूसरी दशा में, ऐसा नहीं लगता है कि सम्बन्ध y को सरल करने का कोई आसान तरीका है।फिर भी दोनों में से किसी भी दशा में y की x पर निर्भरता के बारे में कोई सन्देह नहीं है।जब x और y के बीच का सम्बन्ध इस प्रकार व्यक्त किया गया हो कि उसे y के लिए सरल करना आसान हो और y=f(x) के रूप में लिखा जा सके तो हम कहते हैं कि y को x के स्पष्ट (explicit) फलन के रूप में व्यक्त किया गया है।उपर्युक्त दूसरे सम्बन्ध में हम कहते हैं कि y को x के अस्पष्ट (implicit) फलन के रूप में व्यक्त किया गया है।
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2.असपष्ट फलनों के अवकलज के साधित उदाहरण (Derivatives of Implicit Functions Solved Examples):

निम्नलिखित प्रश्नों में \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए:
Example:1.2 x+3 y=\sin x
Solution: 2 x+3 y=\sin x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2+3 \frac{d y}{d x}=\cos x \\ \Rightarrow \frac{3 d y}{d x}=\cos x-2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-2+\cos x}{3}
Example:2.2 x+3 y=\sin y
Solution:2 x+3 y=\sin y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2+3 \frac{d y}{d x}=\cos y \cdot \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow 3 \frac{d y}{d x}-\cos y \frac{d y}{d x}=-2 \\ \Rightarrow(3-\cos y) \frac{d y}{d x}=-2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-2}{3-\cos y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2}{-3+\cos y}
Example:3.a x+b y^{2}=\cos y
Solution:a x+b y^{2}=\cos y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

a+2 b y\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\sin y \left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow 2 b y\left(\frac{d y}{d x}\right)+\sin y\left(\frac{d y}{d x}\right)=-a \\ \Rightarrow (2 b y+\sin y) \frac{d y}{d x}=-a \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-a}{2 b y+\sin y}
Example:4.x y+y^{2}=\tan x+y
Solution:x y+y^{2}=\tan x+y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

y+x \frac{d y}{d x}+2 y \frac{d y}{d x}=\sec ^{2} x+\frac{d y}{d x} \\ x d y+2 y \frac{d y}{d x}-\frac{d y}{d x}=\sec ^{2} x-y \\ \Rightarrow(x+2 y-1) \frac{d y}{d x}=-y+\sec ^{2} x \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-y+\sec ^{2} x}{x+2 y-1}
Example:5.x^{2}+x y+y^{2}=100
Solution:x^{2}+x y+y^{2}=100
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2 x+y+x \frac{d y}{d x}+2 y \left(\frac{d y}{d x}\right)=0 \\ \Rightarrow (x+2 y) \frac{d y}{d x}=-(2 x+y) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(2 x+y)}{x+2 y}
Example:6.x^{3}+x^{2} y+x y^{2}+y^{3}=81
Solution:x^{3}+x^{2} y+x y^{2}+y^{3}=81
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

Derivatives of Implicit Functions

Example:7.\sin ^{2} y+\cos x y=k
Solution:\sin ^{2} y+\cos x y=k
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2 \sin y \cos y\left(\frac{d y}{d x}\right)-\sin x y\left(y+x \frac{d y}{d x}\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \sin y \cos y \frac{d y}{d x}-y \sin x y-x \sin x y \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow (2 \sin y \cos y-x \sin x y) \frac{d y}{d x}=y \sin y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y \sin y}{(2 \sin y \cos y-x \sin x y)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y \sin y}{(\sin 2 y-x \sin x y)}
Example:8.\sin ^{2} x+\cos ^{2} y=1
Solution:\sin ^{2} x+\cos ^{2} y=1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2 \sin x \cos x-2 \cos y \sin y \frac{d y}{d x}=0 \\ 2 \cos y \sin y \frac{d y}{d x}=2 \sin x \cos x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\sin 2 x}{\sin 2 y}
Example:9.y=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)
Solution:y=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)

put x=\tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} x \\ y =\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right) \\ =\sin ^{-1}(\sin 2 \theta) \\ \Rightarrow y =2 \theta \\ \Rightarrow y=2 \tan ^{-1} x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^{2}}
Example:10.y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right),-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}
Solution:y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right)

put x=\tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} x \\ y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{2} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right) \\ =\tan ^{-1}(\tan 3 \theta) \\ \Rightarrow y=3 \theta \\ \Rightarrow y=3 \tan ^{-1} x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{3}{1+x^{2}}
Example:11. y=\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right),0<x<1
Solution: y=\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)

Put x=\tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} x \\ y=\cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right) \\ \Rightarrow y=\cos^{-1}(\cos 2 \theta) \\ \Rightarrow y=2 \theta \\ \Rightarrow y=2 \tan^{-1} x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^{2}}
Example:12. y=\sin ^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right), 0<x<1
Solution: y=\sin ^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)

Put x=\tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} x \\ y=\sin ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right) \\ \Rightarrow y=\sin ^{-1}(\cos 2 \theta) \\ \Rightarrow y=\sin ^{-1}\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)\right] \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-2 \theta \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-2 \tan ^{-1} x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=-\frac{2}{1+x^{2}}
Example:13. y=\cos ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right),-1<x<1
Solution:  y=\cos ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)

Put x=\tan \theta \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} x \\ y=\cos ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan \theta}\right) \\ \Rightarrow y=\cos^{-1} (\sin 2 \theta) \\ \Rightarrow y=\cos^{-1} \left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)\right] \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-2 \theta \\ \Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-2 \tan^{-1} x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=-\frac{2}{1+x^{2}}
Example:14.y=\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right),-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}
Solution: y=\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)

Put x =\sin \theta \Rightarrow \theta=\sin ^{-1} x \\ y= \sin ^{-1}\left(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}\right)\\ = \sin ^{-1}\left(2 \sin \theta \sqrt{\cos ^{2} \theta}\right) \\ = \sin^{-1} (2 \sin \theta \cos \theta) \\ = \sin^{-1} (\sin 2 \theta) \\ \Rightarrow y=2 \theta \\ \Rightarrow y=2 \sin ^{-1} x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}
Example:15. y=\sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 x^{2}-1}\right), 0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}
Solution: y=\sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 x^{2}-1}\right)

Put x =\cos \theta \Rightarrow \theta=\cos ^{-1} x \\ y =\sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 \cos ^{2} \theta-1}\right) \\ =\sec ^{-1}\left(\frac{1}{\cos 2 \theta}\right) \\ =\sec ^{-1}\left(\sec 2 \theta\right) \\ \Rightarrow y =2 \theta \\ \Rightarrow y =2 \cos ^{-1} x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा असपष्ट फलनों के अवकलज (Derivatives of Implicit Functions),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of Inverse Trigonometric Functions) को समझ सकते हैं।

3.असपष्ट फलनों के अवकलज के सवाल (Derivatives of Implicit Functions Questions):

Derivatives of Implicit Functions

निम्नलिखित फलनों से \frac{dy}{dx} ज्ञात कीजिए:

(1.) \tan (x+y)+\tan (x-y)=4 \\ (2.) x \sqrt{y}+y \sqrt{x}=1 \\ (3.) x^{a} \cdot y^{b}=(x-y)^{a+b} \\ (4.) \sqrt{e^{\sqrt{x}}}
उत्तर (Answers):\text { (1.) } \frac{d y}{d x}=\frac{\sec ^{2}(x+y)+\sec ^{2}(x-y)}{\sec^{2}(x-y)-\sec ^{2}(x+y)} \\ \text { (2.) } \frac{d y}{dx}=-\frac{y}{x}\left[\frac{\sqrt{y}+2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+2 \sqrt{y}}\right] \\ \text { (3.) } \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \\ \text { (4.) }\frac{e^{\sqrt{x}}}{4 \sqrt{x e^{\sqrt{x}}}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर असपष्ट फलनों के अवकलज (Derivatives of Implicit Functions),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of Inverse Trigonometric Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.असपष्ट फलनों के अवकलज (Derivatives of Implicit Functions),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivatives of Inverse Trigonometric Functions) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

असपष्ट फलनों के अवकलज (Derivatives of Implicit Functions) से पूर्व हम y=f(x) के
रूप के विविध फलनों के अवकलन करते रहे हैं।परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि फलनों का
सदैव इसी रूप में व्यक्त किया जाए।