1.अवकलज कक्षा 11 (Derivatives Class 11),अवकलज (Derivatives):

Derivatives Class 11

अवकलज कक्षा 11 (Derivatives Class 11) से क्या तात्पर्य है? विविध समयान्तरालों पर पिण्ड की स्थिति को जानकर उस दर को ज्ञात करना सम्भव है जिससे पिण्ड की स्थिति परिवर्तित हो रही है।समय के विविध क्षणों पर एक निश्चित प्राचल (parameter) का जानना और उस दर को ज्ञात करने का प्रयास करना जिससे इसमें परिवर्तन हो रहा है,अत्यन्त व्यापक रुचि का विषय है।वास्तविक जीवन की अनेक स्थितियाँ होती है जिनमें ऐसी प्रक्रिया कार्यान्वित करने की आवश्यकता होती है।ऐसी स्थितियों में यह जानना अभीष्ट होता है कि एक प्राचल में दूसरे किसी प्राचल के सापेक्ष परिवर्तन किस प्रकार होता है? परिणाम के प्रान्त के प्रदत्त बिन्दु पर फलन का अवकलज इस विषय का मुख्य उद्देश्य है।
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2.अवकलज कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Derivatives Class 11 Solved Examples):

Example:1.x=10 पर x^2-2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution:माना f(x)=x^2-2 \\ \frac{d f(x)}{d x}=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(x+h)^2-2-\left(x^2-2\right)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2+2 x h+h^2-2-x^2+2}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 x h+h^2}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h(2 x+h)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(2 x+h) \\ \frac{d f(x)}{d x}=2 x \\ \Rightarrow \frac{d f(20)}{d x}=2 \times 10=20
Example:2.x=100 पर 99x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution:माना f(x)=99 x \\ \frac{d f(100)}{d x} =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(100+h)-f(100)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{99(100+h)-99 \times 100}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{9900+99 h-9900}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{99 h}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(99) \\ \Rightarrow \frac{d f(100)}{d x} =99
Example:3.x=1 पर x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution:माना y=f(x)=x \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=1)} =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(1+h)-1}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1+h-1}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{h}{h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1) \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=1)} =1

Derivatives Class 11

Example:4.प्रथम सिद्धान्त से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिएः
Example:4(i). x^2-27
Solution:माना f(x)=x^2-27 \\ f^{\prime}(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(x+h)^3-\left(x^3-27\right)-27}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^3+3 x^2 h+h^3-x^3+27-27+3 x h^{2}}{h} \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{3 x^2 h+h^3+3 x h^2}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h\left(3 x^2+h^2+3 x h\right)}{h} \\ =4 \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(3 x^2+h^2+3 x h\right) \\ =3 x^2 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =3 x^2
Example:4(ii).(x-1)(x-2)
Solution:माना y=x^2-3 x+2 \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(x+h)^2-3(x+h)+2-\left(x^2-3 x+2\right)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2+2 x h+h^2-3 x-3 h+2-x^2+3 x-2}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 x h+h^2-3 h}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h(2 x+h-3)}{h} \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (2 x+h-3) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =2 x-3
Example:4(iii). \frac{1}{x^2} 
Solution:माना f(x)=y=\frac{1}{x^2} \\ \frac{d y}{d x}=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2-(x+h)^2}{h x^2(x+h)^2} \\= \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2-x^2-2 x h-h^2}{h x^2(x+h)^2} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-h(2 x+h)}{h x^2(x+h)^2} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-(2 x+h)}{x^2\left(x+h\right)^{2}} \\ =\frac{-2 x}{x^4} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{2}{x^3}
Example:4(iv). \frac{x+1}{x-1}
Solution:माना f(x)=y=\frac{x+1}{x-1} \\ \frac{d y}{d x}=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\frac{x+h+1}{x+h-1}-\frac{x+1}{x-1}}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(x-1)(x+h+1)-(x+h-1)(x+1)}{h(x+h-1)(x-1)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2+x h+x-x-h-1-\left(x^2+x+h x+h-x-1\right)}{h(x+h-1)(x-1)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2+xh-h-1-x^{2}-hx-h+1}{h(x+h-1)(x-1)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-2 h}{h(x+h-1)(x-1)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-2}{(x+h-1)(x-1)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= \frac{-2}{(x-1)^2}
Example:5.फलन f(x)=\frac{x^{100}}{100}+\frac{x^{99}}{99}+\ldots \ldots+\frac{x^2}{2}+x+1 के लिए सिद्ध कीजिए कि f'(1)=100 f'(0).
Solution: f(x)=\frac{x^{100}}{100}+\frac{x^{99}}{99}+\ldots \ldots+\frac{x^2}{2}+x+1 \\ f^{\prime}(x)=\frac{100 x^{99}}{100}+\frac{99 x^{98}}{99}+\cdots+\frac{2 x}{2}+1 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)= x^{99}+x^{98}+\cdots+x+1 \\ \Rightarrow f^{\prime}(1)=(1)^{99}+1^{98}+\cdots+1+1 \\ \Rightarrow f^{\prime}(1)=100 \\ f^{\prime}(0)=0^{99}+0^{98}+\cdots+0^{0}+1 \\ f^{\prime}(0)=1 \\ \Rightarrow f^{\prime}(1)=100 f^{\prime}(0)=100
Example:6.किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए f(x)=x^n+a x^{n-1}+a^2 x^{n-2}+\ldots \ldots+a^{n-1} x+a^{n} का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution:माना f(x)=x^n+a x^{n-1}+a^2 x^{n-2}+\ldots \ldots+a^{n-1} x+a^{n} \\ f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+a(n-1) x^{n-2}+a^2(n-2) x^{n-3}+\ldots+a^{n-1}
Example:7.किन्हीं अचरों a और b के लिए
(i) (x-a)(x-b)
(ii)\left(a x^2+b\right)^2
(iii)\frac{x-a}{x-b}
Example:7(i).(x-a)(x-b)
Solution:माना f(x)=x^2-(a+b) x+ab \\ f^{\prime}(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(x+h)^2-a(x+h)-b(x+h)+a b-\left[x^2-(a+b) x+a b\right]}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2+2 x h+h^2-a x-a h-b x-b h+a b-x^2+a x+b x-ab}{h}\\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 x h+h^2-a h-b h}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h(2 x+h-a-b)}{h}\\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 x-a-b
Example:7(ii). \left(a x^2+b\right)^2
Solution:माना f(x)=\left(a x^2+b\right)^2 \\ \Rightarrow f(x)=a^2 x^4+2 a b x^2+b^2 \\ f^{\prime}(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{ a^2 (x+b)^4+2 a b(x+h)^2+b^2-\left(a^2 x^4+2 a b x^2+b^2\right)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{a^2 x^4+4 a^2 x^3 h+6 a^2 x^{2} h^2 +4 a^2 x h^3+a^2 h^4+2 a b x^2+4 a b x h+2 a b h^2 +b^2 -a^2 x^4-2 a b x^2-b^2}{h}\\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{4 a^2 x^3 h+6 a^2 x^2 h^2+4 a^2 x h^2+a^2 h^3+4abx+2abh}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h\left[4 a^2 x^3+6 a^2 x^2 h+4 a^2 x h^2+a^2 h^3+4 a b x+2 abh\right]}{h} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=4 a^2 x^3+4 a b x \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=4 a x\left(a x^2+b\right)
Example:7(iii). \frac{x-a}{x-b}
Solution:माना f(x)=\frac{x-a}{x-b}
भागफल नियम सेः 
\frac{d f(x)}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\frac{x-a}{x-b}\right)
माना u=x-a,v=x-b 

f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2} \text{ से }\\ =\frac{(x-a)^{\prime}(x-b)-(x-a)(x-b)^{\prime}}{(x-b)^2} \\ =\frac{1 \cdot(x-b)-(x-a) \cdot 1}{(x-b)^2} \\ =\frac{x-b-x+a}{(x-b)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =\frac{a-b}{(x-b)^2}
Example:8.किसी अचर a के लिए का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution:माना f(x)=\frac{x^n-a^n}{x-a}
माना x^n-a^n=u, x-a=v
भागफल नियम सेः 
\frac{d}{d x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{(x-a) \frac{d}{d x}\left(x^n-a^n\right)-\left(x^n-a^n\right) \cdot 1}{(x-a)^2} \\ =\frac{(x-a)\left(n x^n-1\right)-\left(x^n-a^n\right)}{(x-a)^2} \\ =\frac{(x-a) n x^{n-1}-x^n+a^n}{(x-a)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =\frac{n x^n-a n x^{n-1}-x^n+a^n}{(x-a)^2}
Example:9.निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए।
Example:9(i). 2 x-\frac{3}{4}
Solution:माना y=2 x-\frac{3}{4} \\ \frac{d y}{d x}=2
Example:9(ii). \left(5 x^3+3 x-1\right)(x-1)
Solution:माना y=\left(5 x^3+3 x-1\right)(x-1)
Leibnitz गुणन सूत्र से

\frac{d y}{d x} =\left(5 x^3+3 x-1\right)(x-1)^{\prime}+\left(5 x^3+3 x-1\right)^{\prime}(x-1) \\ =\left(5 x^3+3 x-1\right) \cdot 1+\left(15 x^2+3\right)(x-1) \\ =5 x^3+3 x-1+15 x^3-15 x^2+3 x-3 \\ \frac{d y}{d x}=20 x^3-15 x^2+6 x-4
Example:9(iii). x^{-3}(5+3 x)
Solution:माना y=x^{-3}(5+3 x)
Leibnitz गुणन सूत्र सेः

\frac{d y}{d x} =x^{-3}(5+3 x)^{\prime}+\left(x^{-3}\right)^{\prime} (5+3 x) \\ =x^{-3}(3)-3 x^{-4}(5+3 x) \\ =3 x^{-3}-15 x^{-4}-9 x^{-3} \\ =\frac{3}{x^3}-\frac{15}{x^4}-\frac{9}{x^3} \\ =\frac{3 x-15-9 x}{x^4} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{3}{x^4}(5+2 x)
Example:9(iv). x^5\left(3-6 x^{-9}\right)
Solution:माना y=x^5\left(3-6 x^{-9}\right)
Leibnitz गुणन सूत्र सेः

\frac{d y}{d x} =x^5\left(3-6 x^{-9}\right)^{\prime}+\left(x^5\right)^{\prime}\left(3-6 x^{-9}\right) \\ =x^5\left(54 x^{-10}\right)+5 x^4\left(3-6 x^{-9}\right) \\ =54 x^{-5}+15 x^4-30 x^{-5} \\ =24 x^{-5}+15 x^4 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=15 x^4+\frac{24}{x^5}
Example:9(v). x^{-4}\left(3-4 x^{-5}\right)
Solution:माना y=x^{-4}\left(3-4 x^{-5}\right)
Leibnitz गुणन सूत्र सेः

\frac{d y}{d x} =x^{-4}\left(3-4 x^{-5}\right)^{\prime}+\left(x^{-4}\right)^{\prime}\left(3-4 x^{-5}\right) \\ =x^{-4}\left(20 x^{-6}\right)-4 x^{-5}\left(3-4 x^{-5}\right) \\ =20 x^{-10}-12 x^{-5}+16 x^{-10} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{12}{x^5}+\frac{36}{x^{10}}
Example:9(vi). \frac{2}{x+1}-\frac{x^2}{3 x-1}
Solution:माना f(x)=\frac{2}{x+1}-\frac{x^2}{3 x-1}
भागफल सूत्र \frac{d}{d x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2} सेः

f^{\prime}(x)=\frac{(x+1)(2)^{\prime}-2(x+1)^{\prime}}{(x+1)^2}-\frac{\left[(3 x1)\left( x^2\right)^{\prime}- x^2(3 x-1)^2\right]}{(3 x-1)^{2}} \\ =\frac{(x+1)(0)-2(1)}{(x+1)^2}-\frac{\left[(3 x-1) \cdot 2 x-x^2 \cdot (3)\right]}{(3 x-1)^2} \\ =-\frac{2}{(x+1)^2}-\frac{6 x^2-2 x-3 x^2}{(3 x-1)^2} \\ f^{\prime}(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}-\frac{x(3 x-2)}{(3 x-1)^2}
Example:10.प्रथम अवकलज से \cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution:माना कि y=\cos x \cdots(1) \\ y+\delta y=\cos (x+3 x) \cdots(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः

\delta y =\cos (x+\delta x)-\cos x \\ =2 \sin \left(\frac{x+\delta x+x}{2}\right) \sin \left(\frac{x-x-\delta x}{2}\right) \\=2 \sin \left(x+\frac{\delta x}{2}\right) \sin \left ( -\frac{\delta x}{2} \right )
दोनों पक्षों को से भाग देने परः

\frac{\delta y}{\delta x}=-2 \sin \left(x+\frac{\delta x}{2}\right) \frac{\sin \frac{\delta x}{2}}{\delta x} \\ \therefore \underset{\delta x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\delta y}{\delta x}=\underset{\delta x \rightarrow 0}{\lim} -\sin \left(x+\frac{\delta x}{2} \right) \underset{\delta x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin \left(\frac{\delta x}{2}\right)}{\left(\frac{\delta x}{2}\right)}\\ =-\sin x \cdot (1) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\sin x \\ \Rightarrow \frac{d}{d x}(\cos x)=-\sin x
Example:11.निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए।
Example:11(i). \sin x \cos x
Solution:माना f(x)=\sin x \cos x
Leibnitz के गुणन नियम सेः

f(x)=\sin x \cos x \\ \frac{d f(x)}{d x} =\frac{d}{d x}(\sin x \cos x) \\ =(\sin x)^{\prime} \cos x+\sin x \left(\cos x\right)^{\prime} \\ =\cos x \cdot \cos x+\sin x(-\sin x) \\ \Rightarrow \frac{d f(x)}{d x} =\cos ^2 x-\sin ^2 x \\ \Rightarrow \frac{d f(x)}{d x}=\cos 2 x
Example:11(ii). \sec x
Solution:माना y=\sec x \\ f(x)=y=\frac{1}{\cos x} \\ \frac{d y}{d x} =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\frac{1}{\cos (x+h)}-\frac{1}{\cos x}}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\cos x-\cos (x+h)}{h \cos x \cos (x+h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 \sin \left(\frac{x+x+h}{2}\right) \sin \left(\frac{x+h-x}{2}\right)}{h \cos (x+h) \cos x } \\ \frac{d y}{d x} =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin \left(x+\frac{h}{2}\right)}{\cos x \cos (x+h)} \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\left(\frac{h}{2}\right)} \\ =\frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos x} \times (1) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\sec x \tan x
Example:11(iii). 5 \sec x+4 \cos x
Solution:माना y=5 \sec x+4 \cos x \\ \frac{d y}{d x}=5 \frac{d}{d x}(\sec x)+4 \frac{d}{d x}(\cos x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=5 \sec x \tan x-4 \sin x
Example:11(iv). \operatorname{cosec} x
Solution:माना f(x)=\operatorname{cosec} x \\ f^{\prime}(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\frac{1}{\sin (x+h)}-\frac{1}{\sin x}}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin x-\sin (x+h)}{h \sin x \sin (x+h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 \cos \left(\frac{x+x+h}{2}\right) \sin \left(\frac{x-x-h)}{2}\right)}{h \sin x \sin (x+h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 \cos \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \left(-\frac{h}{2}\right)}{h \sin x \sin (x+h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -\frac{\cos (x+\frac{h}{2})}{\sin x \sin (x+h)} \cdot \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \\ =\frac{-\cos x}{\sin x \cdot \sin x} \times 1 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=-\operatorname{cosec} x \cot x
Example:11(v). 3 \cot x+5 \operatorname{cosec} x
Solution:माना f(x)=3 \cot x+5 \operatorname{cosec} x \\ \Rightarrow f(x)=\frac{3 \cos x}{\sin x}+\frac{5}{\sin x}
भागफल नियम f\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2} सेः

f^{\prime}(x)=\frac{3 \sin x \frac{d}{d x}(\cos x)-3 \cos x \frac{d}{d x}(\sin x)}{\sin ^2 x} +\frac{\sin x \frac{d}{d x}(5)-5 \frac{d}{d x}(\sin x)}{\sin ^2 x} \\ =\frac{-3 \sin x \sin x-3 \cos x \cdot \cos x}{\sin ^2 x} +\frac{\sin x(0)-5 \cos x}{\sin ^2 x} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)= \frac{-3\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)}{\sin ^2 x} +\frac{5 \cos x}{\sin ^2 x} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=-3 \operatorname{cosec}^2 x-5 \operatorname{cosec} x \cot x
Example:11(vi). 5 \sin x-6 \cos x+7
Solution:माना y=5 \sin x-6 \cos x+7 \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}(5 \sin x-6 \cos x+7) \\ =5 \cos x+6 \sin x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =5 \cos x+6 \sin x
Example:11(vii). 2 \tan x-7 \sec x
Solution:माना f(x)=2 \tan x-7 \sec x \\ \Rightarrow f(x)=2 \frac{\sin x}{\cos x}-\frac{7}{\cos x} \\ f^{\prime}(x)=\frac{2 \cos x \frac{d}{d x} \sin x-2 \sin x \frac{d}{d x}(\cos x)}{\cos ^2 x} \\ =\frac{-\left[\cos x \frac{d}{d x}(7)-7 \frac{d}{d x} \cos x\right]}{\cos ^2 x} \\ = \frac{2 \cos x \cdot \cos x-2 \sin x(-\sin x)}{\cos ^2 x}-\frac{[\cos x \cdot (0)-7(-\sin x)]}{\cos ^2 x} \\=\frac{2 \cos ^2 x+2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x}-\frac{7 \sin x}{\cos ^2 x} \\ =\frac{2\left(\cos ^2 x+\sin ^2 x\right)}{\cos ^2 x}-7 \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} \\ =\frac{2(1)}{\cos ^2 x}-7 \tan x \sec x \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =2 \sec ^2 x-7 \sec x \tan x
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकलज कक्षा 11 (Derivatives Class 11),अवकलज (Derivatives) को समझ सकते हैं।

3.अवकलज कक्षा 11 की समस्याएँ (Derivatives Class 11 Problems):

Derivatives Class 11

निम्न फलनों का प्रथम सिद्धान्त से अवकलन कीजिएः

(1.) \sqrt{\cot x}

(2.) \log_e(a x+b)
निम्न फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिएः

(3.) \frac{\sec x-1}{\sec x+1}
(4.) \frac{1+\log _e x}{1-\log _e x}
उत्तर (Answers): (1.) \frac{-\operatorname{cosec}^2 x}{2 \sqrt{\cot x}(2)}
(2.) \frac{a}{a x+b}
(3.) \frac{2 \sin x}{(1+\cos x)^2}
(4.) \frac{2}{x\left(1-\log _e x\right)^2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकलज कक्षा 11 (Derivatives Class 11),अवकलज (Derivatives) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकलज कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Derivatives Class 11),अवकलज (Derivatives) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकलज कक्षा 11 (Derivatives Class 11) से क्या तात्पर्य है? विविध समयान्तरालों पर पिण्ड की
स्थिति को जानकर उस दर को ज्ञात करना सम्भव है जिससे पिण्ड की स्थिति परिवर्तित हो रही है।