1.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज का परिचय (Introduction to Derivative of parametric functions)-

Derivative of parametric functions

फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of parametric functions) को जानने के लिए यह जानना आवश्यक है कि प्राचल तथा प्राचलिक समीकरण किसे कहते हैं?यदि चरों x तथा y दोनों चर एक-दूसरे से सम्बन्धित न होकर एक तीसरे चर t से सम्बन्धित हों तो t को प्राचल कहते हैं तथा x व y को t के पदों में व्यक्त करने को प्राचलिक समीकरण कहते हैं।
जैसे x=f(t) , y=\phi \left( t \right) तब चर राशि t को प्राचल कहते हैं तथा इस प्रकार की समीकरण को प्राचलिक समीकरण कहते हैं।यदि दी गई प्राचलिक समीकरण से प्राचल का विलोपन कठिन हो तो अवकल गुणांक\frac { dy }{ dx } निम्न प्रकार ज्ञात किया जाता है।

\frac { dy }{ dx } =\frac { { dy }/{ dt } }{ { dx }/{ dt } }
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2.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज ( Derivative of parametric functions)-

निम्नलिखित प्रश्नों की सहायता से फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of parametric functions) को समझा जा सकता है।
Question-1. x=\frac { { sin }^{ 3 }t }{ \sqrt { cos2t } } ,y=\frac { { cos }^{ 3 }t }{ \sqrt { cos2t } } तो \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए।
Solution-x=\frac { { sin }^{ 3 }t }{ \sqrt { cos2t } }
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dx }{ dt } =\frac { \sqrt { cos2t } .3{ sin }^{ 2 }t\quad cost-{ sin }^{ 3 }t.\frac { 1 }{ 2\sqrt { cos2t } } (-2sin2t) }{ cos2t } \\ \frac { dx }{ dt } =\frac { 3{ sin }^{ 2 }t\quad cost\quad cos2t\quad +\quad { sin }^{ 3 }t.sin2t }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dx }{ dt } =\frac { 3{ sin }^{ 2 }t\quad cost\left( 1-2{ sin }^{ 2 }t \right) +{ sin }^{ 3 }t.sin2t }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dx }{ dt } =\frac { 3{ sin }^{ 2 }t\quad cost-4{ sin }^{ 4 }t.cost }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dx }{ dt } =\frac { { sin }^{ 2 }t\quad cost\left( 3-4{ sin }^{ 2 }t \right) }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } .........(1)\\ y=\frac { { cos }^{ 3 }t }{ \sqrt { cos2t } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { \sqrt { cos2t } .3{ cos }^{ 2 }t\left( -sint \right) -{ cos }^{ 3 }t.\frac { 1 }{ 2\sqrt { cos2t } } (-2sin2t) }{ cos2t } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -3{ cos }^{ 2 }t\quad sint\quad cos2t\quad +\quad { cos }^{ 3 }t.sin2t }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -3{ cos }^{ 2 }t\quad sint\left( 2{ cos }^{ 2 }t-1 \right) +{ cos }^{ 3 }t.2sintcost }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -6{ cos }^{ 4 }t\quad sint+3{ cos }^{ 2 }tsint+2{ cos }^{ 4 }t\quad sint }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -4{ cos }^{ 4 }t\quad sint+3{ cos }^{ 2 }t\quad sint }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -{ cos }^{ 2 }t\quad sint\left( { 4cos }^{ 2 }t-3 \right) }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } ........(2)\\ \frac { dy }{ dx } =\frac { { dy }/{ dt } }{ { dx }/{ dt } }

समीकरण (1) व (2) से मान रखने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ cos }^{ 2 }t\quad sint\left( { 4cos }^{ 2 }t-3 \right) }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \times \frac { { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { sin }^{ 2 }t\quad cost\left( 3-4{ sin }^{ 2 }t \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =-\frac { cost\left( { 4cos }^{ 2 }t-3 \right) }{ sint\left( 3-4{ sin }^{ 2 }t \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =-\frac { \left( { 4cos }^{ 3 }t-3cost \right) }{ \left( 3sint-4{ sin }^{ 3 }t \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =-\frac { cos3t }{ sin3t } \\ \frac { dy }{ dx } =-cot3t

Derivative of parametric functions

Question-2.यदि { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }=t-\frac { 1 }{ t }  \quad तथा\quad { x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ t }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } तब सिद्ध कीजिए कि{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =1
Solution-{ x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ t }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } -2+2\\ { x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ \left( t-\frac { 1 }{ t } \right) }^{ 2 }+2\\ { x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ \left( { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 } \right) }^{ 2 }+2\\ \left[ \because { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }=t-\frac { 1 }{ t } \right] \\ { x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }+2{ x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+2\\ 2{ x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+2=0\\ { x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+1=0......(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }+3{ x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =0\\ { x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =-{ x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }

समीकरण (1) से मान रखने पर-

{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =1
Question-3. \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए जबकि x=a\left( cost+\log { tan\frac { t }{ 2 } } \right) ,y=asint

Solution-x=a\left( cost+\log { tan\frac { t }{ 2 } } \right)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dx }{ dt } =a\left[ -sint+\frac { 1 }{ tan\frac { t }{ 2 } } { sec }^{ 2 }\frac { t }{ 2 } .\frac { 1 }{ 2 } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ -sint+\frac { { sec }^{ 2 }\frac { t }{ 2 } }{ 2tan\frac { t }{ 2 } } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ -sint+\frac { 1 }{ 2sin\frac { t }{ 2 } cos\frac { t }{ 2 } } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ -sint+\frac { 1 }{ sint } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ \frac { -{ sin }^{ 2 }t+1 }{ sint } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ \frac { cos^{ 2 }t }{ sint } \right] .......(1)\\ y=asint
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dt } =a\quad cost.......(2)\\ \frac { dy }{ dx } =\frac { { dy }/{ dt } }{ { dx }/{ dt } }
समीकरण (1) व (2) से मान रखने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { a\quad cost }{ a\left[ \frac { cos^{ 2 }t }{ sint } \right] } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { sint }{ cost } \\ \frac { dy }{ dx } =tant
इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरणों की सहायता से फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of parametric functions) को समझा जा सकता है।

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