1.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of Parametric Function),प्राचलिक अवकलन कक्षा 12 (Parametric Differentiation Class 12):

Derivative of Parametric Function

फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of Parametric Function) तब ज्ञात किए जाते हैं जब दी गई प्राचलिक समीकरण से प्राचल का विलोपन कठिन हो।यदि चरों x तथा y दोनों किसी अन्य चरों (जैसे t के पदों में) में व्यक्त किए जाते हैं तब उस चर राशि (जैसे t) को प्राचल कहते हैं।
कैलकुलस में, एक पैरामेट्रिक अवकलज एक आश्रित चर का एक आश्रित चर के सापेक्ष अवकलज होता है जिसे तब लिया जाता है जब दोनों चर एक स्वतंत्र तीसरे चर पर निर्भर करते हैं, जिसे आमतौर पर “समय” के रूप में माना जाता है (अर्थात् जब आश्रित चर x और y, स्वतन्त्र चर t में पैरामेट्रिक समीकरणों द्वारा दिए गए हैं)।
जैसे-x=f(t),y=\phi(t)
तब \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} जहाँ \frac{dx}{dt} \neq 0
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2.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज के उदाहरण (Derivative of Parametric Functions Example),प्राचलिक अवकलन की समस्याएं और हल (Parametric Differentiation Problems and Solutions):

\frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए जबकि
Example-1.x=a \sec t, y=b \tan t
Solution-x=a \sec t, y=b \tan t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d t} =a \sec t \tan t, \frac{d y}{d t}=b \sec ^{2} t \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\ =\frac{b \sec^{2} t}{a \sec t \tan t} \\ =\frac{b \sec t}{a \tan t} \\ =\frac{\frac{b}{\cos t}}{\frac{a \sin t}{\cos t}} \\ =\frac{b}{a \sin t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{b}{a} \operatorname{cosec} t
Example-2.x=\log t+\sin t, y=e^{t}+\cos t
Solution–x=\log t+\sin t, y=e^{t}+\cos t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d t}=\frac{1}{t} + \cos t, \frac{d y}{d t}=e^{t}-\sin t \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{1+t \cos t}{t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\ =\frac{e^{t}-\sin t}{\frac{1+t \cos t}{t}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{t\left(e^{t}-\sin t\right)}{1+\cos t}
Example-3.x=\log t, y=e^{t}+\cos t
Solution-x=\log t, y=e^{t}+\cos t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d t}=\frac{1}{t}, \frac{d y}{d t}=e^{t}-\sin t \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \\ =\frac{e^{t}-\sin t}{\frac{1}{t}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=t\left(e^{t}-\sin t\right)
Example-4.x=a \cos \theta, y=b \sin \theta
Solution-x=a \cos \theta, y=b \sin \theta
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d \theta}=-\operatorname{asin} \theta, \frac{d y}{d t}=b \cos \theta \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{b \cos \theta}{-a \sin \theta} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{b}{a} \cot \theta

Derivative of Parametric Function

Example-5.x=\cos \theta-\cos 2 \theta, y=\sin \theta-\sin 2 \theta
Solution-x=\cos \theta-\cos 2 \theta, y=\sin \theta-\sin 2 \theta
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta+2 \sin 2 \theta \\ \Rightarrow \frac{d y}{d \theta}=\cos \theta-2 \cos 2 \theta \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{\cos \theta-2 \cos 2 \theta}{-\sin \theta+2 \sin 2 \theta} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\cos \theta-2 \cos 2 \theta}{2 \sin 2 \theta-\sin \theta}
Example-6.x=\theta-\sin \theta, y=a(1+\cos \theta)
Solution-x=\theta-\sin \theta, y=a(1+\cos \theta)
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d \theta}= 1-cos \theta ,\quad \frac{d y}{d \theta}=-a \sin \theta \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{-a \sin \theta}{1-\cos \theta} \\ =\frac{-2 a \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right)} \\ =\frac{-2 a \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{1-1+2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-2 a \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-a \cot \frac{\theta}{2}
Example-7.x=\sqrt{\sin 2 \theta}, \quad y=\sqrt{\cos 2 \theta}
Solution–x=\sqrt{\sin 2 \theta}, \quad y=\sqrt{\cos 2 \theta}
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d \theta}=\frac{2 \cos 2 \theta}{2 \sqrt{\sin 2 \theta}}, \frac{d y}{d \theta}=-\frac{2 \sin 2 \theta}{2 \sqrt{\cos 2 \theta}} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d \theta}=\frac{\cos 2 \theta}{\sqrt{\sin 2 \theta}} , \frac{d y}{d \theta}=-\frac{\sin 2 \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{ \frac{d y}{d \theta} }{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{-\frac{\sin 2 \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}}}{ {\frac{\cos 2 \theta}{\sqrt{\sin 2 \theta}}}} \\ =-\left(\frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}\right)^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-(\tan 2 \theta)^{\frac{3}{2}}
Example-8.x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t
Solution-x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d t}=-3 a \cos ^{2} t \sin t \\ \frac{d y}{d t}=3 a \sin ^{2} t \cos t \\ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\ =\frac{3 a \sin ^{2} t \cos t}{-3 a \cos ^{2} t \sin t} \\=-\frac{\sin t}{\cos t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{dx} =-\tan t
Example-9.x=e^{\theta}\left(\theta+\frac{1}{\theta}\right), y=\bar{e}^{\theta}\left(\theta-\frac{1}{\theta}\right)
Solution–x=e^{\theta}\left(\theta+\frac{1}{\theta}\right), y=\bar{e}^{\theta}\left(\theta-\frac{1}{\theta}\right)
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d \theta} =e^{\theta}\left(\theta+\frac{1}{\theta}\right)+e^{\theta}\left(1-\frac{1}{\theta^{2}}\right) \\ =e^{\theta}\left[\theta+ \frac{1}{\theta}+1-\frac{1}{\theta^{2}}\right] \\ =e^{\theta}\left[\frac{\theta^{3} +\theta+ \theta^{2}-1}{\theta^{2}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d x}{d \theta} =\frac{e^{\theta}\left(\theta^{3}+\theta^{2} +\theta-1\right)}{\theta^{2}} \\ \frac{d y}{d \theta} =-e^{-\theta}\left(\theta-\frac{1}{\theta}\right)+e^{-\theta}\left(1+\frac{1}{\theta^{2}}\right) \\ =e^{-\theta}\left[-\theta+\frac{1}{\theta}+1+\frac{1}{\theta^{2}}\right] \\ =e^{-\theta}\left[\frac{-\theta^{3}+\theta+ \theta^{2} +1}{\theta^{2}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d \theta} =\frac{e^{\theta}\left(-\theta^{3} +\theta+\theta^{2}+1\right)}{\theta^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{\bar{e}^{\theta}\left(-\theta^{3}+\theta^{2}+\theta+1\right)}{\theta^{2}} \times \frac{\theta^{2}}{e^{\theta} \left(\theta^{3}+\theta^{2}+\theta-1\right)} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{ e^{-2 \theta}\left(-\theta^{3}+ \theta^{2}+\theta+1\right)}{\left(\theta^{3}+\theta^{2}+\theta-1\right)}
Example-10.x=\frac{3 a t}{1+t^{3}}, y=\frac{3 a t^{2}}{1+t^{3}}
Solution-x=\frac{3 a t}{1+t^{3}}, y=\frac{3 a t^{2}}{1+t^{3}}
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d x}{d t}=\frac{3 a\left[\left(1+t^{3}\right) \cdot 1-t \cdot 3 t^{2}\right]}{\left(1+t^{3}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{3 a\left(1+t^{3}-3 t^{3}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{3 a\left(1-2 t^{3}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{2}} \\ \frac{d y}{d t}=\frac{3 a\left[\left(1+t^{3}\right) \cdot 2 t-t^{2} \cdot 3 t^{2}\right]}{\left(1+t^{3}\right)^{2}} \\ =\frac{3 a\left[2 t+2 t^{4}-3 t^{4}\right]}{\left(1+t^{3}\right)^{2}} \\ \frac{d y}{d t}=\frac{3 a\left(2 t-t^{4}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{2}} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \\ =\frac{3 a\left(2 t-t^{4}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{2}} \cdot \frac{\left(1+t^{3}\right)^{2}}{3 a(1-2 t^{3})} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{t\left(2-t^{3}\right)}{\left(1-2 t^{3}\right)}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of Parametric Functions),प्राचलिक अवकलन कक्षा 12 (Parametric Differentiation Class 12) को समझ सकते हैं।

3.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज की समस्याएं (Derivative of Parametric Functions Problems):

Derivative of Parametric Function

\frac{d y}{d x} का मान ज्ञात कीजिए जबकि

(1) x=2 a t^{2}, y=a t^{4} \\  \text { 2. } x=\sin t, y=\cos 2 t \\ (3) x=4 t, y=\frac{4}{t} \\ \text { (4.) } x=\sin ^{-1}\left(\frac{2 t}{1+t^{2}}\right), y=\cos ^{-1}\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)
उत्तर (Answers):(1.) \frac{d y}{d x}=t^{2} \\ (2.) \frac{d y}{d x}=-4 \sin t \\ (3.) \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{t^{2}} \\ (4) \frac{d y}{d x}=1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of Parametric Function),प्राचलिक अवकलन कक्षा 12 (Parametric Differentiation Class 12) को ठीक समझ सकते हैं।

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4.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of Parametric Function) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Derivative of Parametric Function

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of Parametric Function),प्राचलिक अवकलन कक्षा 12 (Parametric Differentiation Class 12) को समझ सकते हैं।