1.चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc):

Derivative of Length of an Arc

चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc):यदि वक्र के किसी स्थिर बिन्दु से मापी गई चाप की लम्बाई s को x का फलन मान लें अर्थात् s=f(x) तो s का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात किया जा सकता है।
समीकरण x=g(y) के साथ एक वक्र के लिए जहाँ g(y) संतत है और अन्तराल c ≤ y ≤ d पर संतत अवकलज है।हम y=c तथा y=d के बीच वक्र की चाप की लम्बाई के लिए एक समरूप सूत्र का अवकलज प्राप्त कर सकते है।
(1.)कार्तीय सूत्र (Cartesian Formula):

Derivative of Length of an Arc

\frac{dS}{d x}=\pm \sqrt{\left\{1+\left ( \frac{d y}{d x} \right )^{2}\right\}}
(2.)ध्रुवीय सूत्र (Polar Formula):

Derivative of Length of an Arc

\left(\frac{d s}{d \theta}\right)=\sqrt{\left\{r^{2}+\left(\frac{dr}{d \theta}\right)^{2}\right\}} \\ \left(\frac{d s}{d r}\right)=\sqrt{\left\{\left(r \frac{d \theta}{d r}\right)^{2}+1\right\}}
(3.)अन्य सूत्र (Other Formulae):
(i)यदि वक्र का समीकरण प्राचल (Parameter) t के पदों में हो

\frac{d s}{d t}=\sqrt{\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\right]}
(ii)\frac{d x}{ds}=\cos \psi, \quad \frac{d y}{d s}=\sin \psi
(iii)\sin \phi=r \left(\frac{d \theta}{d s}\right), \cos \phi=\left(\frac{d r}{d s}\right)
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2.चाप की लम्बाई का अवकलज के उदाहरण (Derivative of Length of an Arc Examples):

निम्न वक्रों के लिए \frac{d s}{d x} का मान ज्ञात कीजिए:
(Find \frac{d s}{d x} for the following curves ):
Example:1.y^{2}=4 a x
Solution:y^{2}=4 a x \\ 2 y \frac{d y}{d x}=4a \\ \frac{d y}{d x} = \frac{4 a}{2 y} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{2a}{y} \\ \frac{d s}{d x} =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\left(\frac{2 a}{y}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\frac{4 a^{2}}{y^{2}}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d s}{d x}\right) =\sqrt{\frac{y^{2}+4 a^{2}}{y^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{4 a x+4 a^{2}}{y^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{4 a(a+x)}{4 a x}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{dx}=\sqrt{\frac{a+x}{x}}
Example:2.y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right)
Solution:y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right) \\ \frac{d y}{d x}=\sinh \left(\frac{x}{c}\right) \\ \frac{d s}{d x} =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\sinh ^{2}\left(\frac{x}{c}\right)} \\ =\sqrt{\cosh ^{2}\left(\frac{x}{c}\right)} \\ \frac{d s}{d x} =\cos h\left(\frac{x}{c}\right)
Example:3.y=\log (\cos x)
Solution:y=\log (\cos x) \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{\sin x}{\cos x} \\ \frac{d y}{d x} =-\tan x \\ \frac{d s}{d x} =\sqrt{1 +\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\tan ^{2} x} \\ =\sqrt{\sec ^{2} x} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d x}=\sec x
Example:4.3 a y^{2}=x(x-a)^{2}
Solution:3 a y^{2}=x(x-a)^{2} \\ 6 a y \left(\frac{d y}{d x}\right)=(x-a)^{2}+2x(x-a) \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x-a)(x-a+2 x)}{6 a y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{(x-a)(3 x-a)}{6 a y} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} =\frac{(x-a)^{2}(3 x-a)^{2}}{36 a^{2} y^{2}} \\ =\frac{(x-a)^{2}(3 x-a)^{2}}{36 a^{2} \times \frac{x(x-a)^{2}}{3 a}} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} =\frac{(3 x-a)^{2}}{12 a x} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d x} =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\  =\sqrt{1+\frac{(3 x-a)^{2}}{12 a x}} \\ =\sqrt{\frac{12 a x+9 x^{2}-64 x+a^{2}}{12 a x}} \\ =\sqrt{\frac{9 x^{2}+6 a x+a^{2}}{12 a x}} \\ =\sqrt{\frac{(3 x+a)^{2}}{12 a x}} \\ \Rightarrow \frac{ds}{dx}=\frac{3 x+a}{2 \sqrt{3 a x}}
Example:5.y=\log \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)
Solution:y=\log \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{\left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)} \left[\frac{\left(e^{x}+1\right) e^{x}-\left(e^{x}-1\right) e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}\right] \\ =\frac{e^{x} \left(e^{x}+ 1-e^{x}+1\right)}{\left(e^{x}-1\right)\left(e^{x}+1\right)} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{2 e^{x}}{e^{2 x}-1} \\ \frac{d s}{d x} =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\frac{4 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}+4 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{e^{4 x}-2 e^{2 x}+1+4 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}-1 \right)^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{e^{4 x}+2 e^{2 x}+1}{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{\left(e^{2 x}+1 \right)^{2}}{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}} }\\ \Rightarrow \frac{d s}{d x}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{2 x}-1}

Derivative of Length of an Arc

निम्न वक्रों के लिए \frac{d s}{d \theta} ज्ञात कीजिए:
(Calculate \frac{d s}{d \theta} for the following curves):
Example:6.x^{2}=a^{2} \cos 2 \theta
Solution:x^{2}=a^{2} \cos 2 \theta \\ 2r \left(\frac{d r}{d \theta}\right)=-2 a^{2} \sin 2 \theta \\ \frac{d s}{d \theta}= \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} \\ =\sqrt{\left(a^{2} \cos 2 \theta\right) +\frac{\left(-2 a^{2} \sin 2 \theta\right)^{2}}{4 r^{2}}} \\ =\sqrt{a^{2} \cos 2 \theta+\frac{4 a^{4} \sin ^{2} 2 \theta}{4 r^{2}}} \\ =\sqrt{a^{2} \cos 2 \theta+\frac{a^{4} \sin ^{2} 2 \theta}{a^{2} \cos 2 \theta}} \\ =\sqrt{\frac{a^{4} \cos ^{2} 2 \theta+a^{4} \sin ^{2} 2 \theta}{a^{2} \cos 2 \theta}} \\ =\sqrt{\frac{a^{4}\left(\cos ^{2} 2 \theta+\sin ^{2} 2 \theta\right)}{a^{2} \cos 2 \theta}}\\ =\sqrt{\frac{a^{2}}{\cos 2 \theta}}\\ \frac{d s}{d \theta}=a \sqrt{\sec 2 \theta}
Example:7.r=\log \left ( \sin 3 \theta \right )
Solution:r=\log \left ( \sin 3 \theta \right ) \\ \frac{d r}{d \theta}=\frac{3 \cos 3 \theta}{\sin 3 \theta} \\ \left( \frac{d r}{d \theta} \right)=3 \cot 3 \theta \\ \frac{d s}{d \theta} =\sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} \\ =\sqrt{r^{2}+(3 \cot 3 \theta)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d \theta} =\sqrt{((\log (\sin 3 \theta))^{2}+9 \cot ^{2} 3 \theta}
Example:8.r=a\left(\theta^{2}-1\right)
Solution:r=a\left(\theta^{2}-1\right) \\ \frac{d x}{d \theta}=2 a \theta \\ \frac{d s}{d \theta} =\sqrt{r^{2}+ \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} \\ =\sqrt{r^{2}+4 a^{2} \theta^{2}} \\ =\sqrt{a^{2}\left(\theta^{2}-1\right)^{2}+4 a^{2} \theta^{2}} \\ =\sqrt{a^{2}\left(\theta^{4}-2 \theta^{2}+1\right)+4 a^{2} \theta^{2}} \\ =\sqrt{a^{2} \left(\theta^{4}-2 \theta^{2}+1+4 \theta^{2}\right)} \\ =\sqrt{a^{2}\left(\theta^{4}+2 \theta^{2}+1\right)} \\ =\sqrt{a^{2}\left(\theta^{2}+1\right)^{2}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d s}{d \theta}\right) =a\left(\theta^{2}+1\right)
Example:9.r =\frac{a}{\theta^{2}-1}
Solution:r =\frac{a}{\theta^{2}-1} \\ \frac{d r}{d \theta} =\frac{-a(2 \theta)}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta} =-\frac{2 a \theta}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \\ \frac{d s}{d \theta} =\sqrt{\left\{r^{2}+ \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^{2}\right\}} \\ =\sqrt{\frac{a^{2}}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} \theta^{2}}{\left(\theta^{2}-1\right)^{4}}} \\ =\sqrt{\frac{a^{2}}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \left[1+\frac{4 \theta^{2}}{\left( \theta^{2}-1\right)^{2}}\right]} \\ \frac{d s}{d \theta}=\sqrt{\frac{a^{2}\left[\left(\theta^{2}-1\right)^{2}+4 \theta^{2} \right]}{\left(\theta^{2}-1\right)^{4}}} \\ \frac{d s}{d \theta} =\frac{a}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \sqrt{\left[\theta^{4}-2 \theta^{2}+1+4 \theta^{2}\right]}\\ =\frac{a}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \sqrt{\left(\theta^{4}+2 \theta^{2}+1\right)} \\ =\frac{a}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \sqrt{\left(\theta^{2}+1\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d \theta}= \frac{a\left( \theta^{2}+1\right)}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}}
निम्न वक्रों के लिए \frac{d s}{d t} ज्ञात कीजिए जहाँ t प्राचल है:
(Calculate \frac{d s}{d t}for the following curves where t is a parameter):
Example:10.x=a \cos ^{3} t, y=b \sin ^{3} t
Solution:x=a \cos ^{3} t, y=b \sin ^{3} t \\ \frac{d x}{d t}=3 a \cos ^{2} t (-\sin t) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=-3 a \cos ^{2} t \sin t \\ \frac{d y}{d t}=3 b \sin ^{2} t \cos t \\ \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} \\ =\sqrt{\left(-3 a \cos ^{2} t \sin t\right)^{2}+\left(3 b \sin ^{2}t \cos t\right)} \\ =\sqrt{9 a^{2} \cos ^{4} t \sin ^{2} t+9 b^{2} \sin ^{4} t \cos ^{2} t} \\ =\sqrt{9 \sin ^{2} t \cos ^{2} t\left(a^{2} \cos ^{2} t+b^{2} \sin ^{2} t\right)} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=3 \sin t \cos t \sqrt{a^{2} \cos ^{2} t+b^{2} \sin ^{2} t}
Example:11.x=a \cos t, y=b \sin t
Solution: x=a \cos t, y=b \sin t \\ \frac{d x}{d t}=-a \sin t, \frac{d y}{d t}=b \cos t \\ \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left[\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2}\right]} \\ =\sqrt{(-a \sin t)^{2}+(b \cos t)^{2}} \\ =\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+b^{2} \cos ^{2} t} \\ b^{2} =a^{2}\left(1-e^{2}\right) \\ \frac{d s}{d t} =\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+a^{2}\left(1-e^{2}\right) \cos ^{2} t} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+a^{2} \cos ^{2} t-a^{2} e^{2} \cos^{2} t} \\ \Rightarrow =\sqrt{a^{2}\left(\sin ^{2} t+\cos ^{2} t\right)-a^{2} e^{2} \cos ^{2} t} \\ =\sqrt{a^{2}-a^{2} e^{2} \cos ^{2} t} \\ =\sqrt{a^{2}\left(1-e^{2} \cos ^{2} t\right)} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t} =a \sqrt{\left(1-e^{2} \cos ^{2} t\right)}
Example:12.x=a \sec t, y=b \tan t
Solution:x=a \sec t, y=b \tan t \\ \frac{d x}{d t}=a \sec t \tan t \quad , \frac{d y}{d t}=b \sec^{2} t \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left(\frac{dx}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} \\ =\sqrt{a^{2} \sec ^{2} t \tan ^{2} t+b^{2} \sec^{4}t} \\ =\sqrt{a^{2} \sec ^{2} t \frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t}+b^{2} \cos^{4} t} \\ =\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t \sec ^{4} t+b^{2} \sec ^{4} t} \\ =\sqrt{\sec ^{4} t\left(a^{2} \sin ^{2} t+b^{2}\right)} \\ \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left(a^{2} \sin ^{2} t+b^{2}\right) } \sec ^{2} t
Example:13.यदि (If) x \sin t+y \cos t=f^{\prime}(t) तथा (and) x \cos t-y \sin t=f^{\prime \prime}(t) तो सिद्ध कीजिए कि (Then prove that) \frac{d s}{d t}=f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime}(t)
Solution: x \sin t+y \cos t=f^{\prime}(t) \\ x \cos t-y \sin t=f^{\prime \prime}(t) \\ \frac{dx}{dt} \sin t +x \cos t+ \frac{dy}{dt} \cos t -y \sin t=f^{\prime \prime}(t)\\ \Rightarrow \frac{d x}{d t} \sin t+\frac{d y}{d t} \cos t+f^{\prime \prime}(t)=f^{\prime \prime}(t) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t} \sin t+\frac{d y}{d t} \cos t=0 \cdots(1)\\ x \cos t-y \sin t=f^{\prime \prime}(t) \\ \frac{d x}{d t} \cos t-x \sin t-\frac{d y}{d t} \sin t -y \cos t=f^{\prime \prime \prime}(t) \\ \frac{d x}{d t} \cos t-\frac{d y}{d t} \sin t=f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime}(t) \cdots(2)

 समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर 

\left ( \frac{dx}{d t} \sin t+\frac{dy}{d t} \cos t \right )^{2}+\left(\frac{d x}{d t} \cos t-\frac{dy}{d t} \sin t\right)^{2} =(0)^{2}+\left[f^{\prime}(t)+f^{ \prime \prime \prime}(t)\right]^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} \sin ^{2} t+\left(\frac{d y}{d t} \cos t\right)^{2} +2\left(\frac{d x}{d t}\right)\left(\frac{d y}{d t}\right) \sin t \cos t +\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} \cos ^{2} t+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2} \sin ^{2} t-2\left(\frac{d x}{d t}\right)\left(\frac{d y}{d t}\right) \cos t \sin t =\left[f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime}(t)\right]^{2} \\ \Rightarrow\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}\left[\sin ^{2} t+\cos ^{2} t\right]+ \left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\left[\cos ^{2} t+\sin ^{2} t \right]= \left[f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime}(t)\right]^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+ \left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}= \left[f^{\prime}(t) +f^{\prime \prime \prime}(t)\right]^{2} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+ \left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left[f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime }(t)\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime }(t)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc) को समझ सकते हैं।

3.चाप की लम्बाई का अवकलज की समस्याएं (Derivative of Length of an Arc Problems):

Derivative of Length of an Arc

(1.)वक्र y=a \log \sec(\frac{x}{a}) के लिए सिद्ध कीजिए कि (For the curve y=a \log \sec(\frac{x}{a}) ,prove that) \frac{ds}{dx}=\sec \left(\frac{x}{a}\right) and \frac{d^{2} x}{d s^{2}}=-\frac{1}{2a} \sin \left(\frac{2 x}{a}\right)
(2.)दीर्घवृत्त x=a \cos \theta, y=b \sin \theta के लिए सिद्ध कीजिए कि
(For the ellipse x=a \cos \theta, y=b \sin \theta prove that) \frac{d s}{d \theta}=a \sqrt{\left(1-e^{2} \cos ^{2} \theta\right)}
(3.)साइक्लाइड x=a(1-\cos t) ; y=a(t+\sin t) के लिए निम्न ज्ञात कीजिए।
(For the cycloid x=a(1-\cos t) ; y=a(t+\sin t) ,Find \frac{d s}{d t},\frac{d s}{d x} तथा (and) \frac{d s}{d y}
उत्तर (Answers):\text { (3.) } \frac{d s}{d t}=2 a \cos (\frac{t}{2}), \frac{ds}{dx}=\operatorname{cosec}(\frac{t}{2}), \frac{d s}{d y}=\sec (\frac{t}{2})
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Derivative of Length of an Arc

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।