1.प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integrals by Substitution),प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करना (Evaluation of Definite Integrals by Substitution):

Definite Integrals by Substitution

प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integrals by Substitution) के इस आर्टिकल में निश्चित समाकल के ऐसे सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे जिन्हें प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सके।
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2.प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Definite Integrals by Substitution):

1 से 8 तक के प्रश्नों समाकलनों का मान प्रतिस्थापन का प्रयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
Example:1. \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} d x
Solution: \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} d x \\ I=\int_0^1 \frac{x}{x^2+1} d x \\ \text { Put } x^2+1=t \Rightarrow 2 x d x=d t
जब x=0 तो t=0
जब x=1 तो t=1^2+1=2 \\ I=\frac{1}{2} \int_0^2 \frac{d t}{t} \\ I=\frac{1}{2}[\log t]_0^2 \\ I=\frac{1}{2}(\log 2-\log 0) \\ I=\frac{1}{2} \log 2
Example:2. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos ^5 \phi d \phi
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos ^5 \phi d \phi t \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos d \phi \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos ^4 \phi \cos \phi d \phi \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi}\left(1-\sin ^2 \phi\right)^2 \cos \phi d \phi \\ \text{ Put } \sin \phi=t \Rightarrow \cos \phi d \phi=d t
जब \phi=0 तो t=0
जब \phi=\frac{\pi}{2} तो t=1

I=\int_0^1 \sqrt{t}\left(1-t^2\right)^2 d t \\ =\int_0^1 \sqrt{t}\left(1-2 t^2+t^4\right) d t \\=\int_0^1\left(\sqrt{t}-2 t^{\frac{5}{2}}+t^{\frac{9}{2}}\right) d t \\ =\left[\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}-2 \times \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}+\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}}\right]_0^1 \\ =\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{7}(1)^{\frac{7}{2}}+\frac{2}{11}(1)^{\frac{11}{2}}-0 \\ =\frac{2}{3}-\frac{4}{7}+\frac{2}{11} \\ =\frac{154-132+42}{231} \\ \Rightarrow I=\frac{64}{231}
Example:3. \int_0^1 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x
Solution:  \int_0^1 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x \\ I=\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x \\ \text { put } x=\tan \theta \Rightarrow d x=\sec ^2 \theta d \theta \\ I=\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) \cdot \sec ^2 \theta d \theta \\ =\int \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) \cdot \sec ^2 \theta d \theta \\ =\int 2 \theta \sec ^2 \theta d \theta \\ =2 \theta \int \sec ^2 \theta d \theta-2 \int\left[\frac{d}{d \theta}(\theta) \int \sec ^2 \theta d \theta\right] d \theta \\ =2 \theta \tan \theta-2 \int \tan \theta d \theta \\ \Rightarrow I =2 \theta \tan \theta-2 \log \sec \theta \\ \tan \theta=\frac{x}{1} \Rightarrow \text { }=\sqrt{1+x^2} \\ \sec \theta=\sqrt{1+x^2} \\ I=2(\tan^{-1} x) \cdot x -2 \log \sqrt{1+x^2} \\ \Rightarrow I=2 x \tan^{-1} x-\log \left(1+x^2\right) \\ \int_0^1 \sin ^{-1} \left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x =\left[2 x \tan ^{-1} x-\log \left(1+x^2\right)\right]_0^1 \\ =2 (1) \tan ^{-1}(1)-\log \left(1+1^2\right)-2 (0) \tan ^{-1} 0-\log \left(1+0^2\right) \\ =2 (1) \frac{\pi}{4}-\log 2-0 \\ \Rightarrow \int_0^1 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\log 2
Example:4. \int_0^2 x \sqrt{x+2} d x
Solution: \int_0^2 x \sqrt{x+2} d x \\ \text{ put } x+2=t \Rightarrow d x=d t
जब x=0 तो t=2
जब x=2 तो t=4

I=\int_2^4(t-2) \sqrt{t} dt\\I=\int_2^4\left(t^{\frac{3}{2}}-2 t^{\frac{1}{2}}\right) d t \\c=\left[\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}-2 \times \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}\right]_2^4 \\I=\frac{2}{5} 4^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3} 4^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5} 2^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3} \times 2^{\frac{3}{2}} \\ =\frac{2}{5}\left(2^2\right) \frac{5}{2}-\frac{4}{3}\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5} \times 2^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{2} \times 2^{\frac{3}{2}} \\ =\frac{2}{5} \times 32-\frac{4}{3} \times 2^3-\frac{8}{5} \sqrt{2}+\frac{8}{3} \sqrt{2} \\ =\frac{64}{5}-\frac{32}{3}+\frac{24 \sqrt{2}}{15} \\ =\frac{192-160}{15}+\frac{16 \sqrt{2}}{15} \\ =\frac{32}{15}+\frac{16 \sqrt{2}}{15} \\ \Rightarrow I=\frac{16 \sqrt{2}}{15}(\sqrt{2}+1)
Example:5. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} d x \\ \text{put} \cos x=t \Rightarrow -\sin x d x=d t
जब x=0 तो t=1
जब x=\frac{\pi}{2} तो t=0

=-\int_1^0 \frac{1}{1+t^2} d t I\\I =\left[\tan ^{-1} t\right]_1^0 \\=-[\tan 0-\tan 1] \\=-\left[0-\frac{\pi}{4}\right] \\ \Rightarrow I =\frac{\pi}{4}

Definite Integrals by Substitution

Example:6. \int_0^2 \frac{d x}{x+4-x^2}
Solution: \int_0^2 \frac{d x}{x+4-x^2} \\ I=\int_0^2 \frac{d x}{4-\left(x^2-x\right)} \\ =\int_0^2 \frac{d x}{4-\left[x^2-x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]} \\ =\int_0^2 \frac{d x}{4+ \left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2} \\ =\int_0^2 \frac{d x}{\frac{17}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2} \\ =\int_0^2 \frac{d x}{\left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2} \\ \text { put } x-\frac{1}{2}=t \Rightarrow d x=d t
जब x=0 तो t=-\frac{1}{2}
जब x=2 तो t=\frac{3}{2} \\  =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{d t}{\left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^2-t^2} \\ =\frac{1}{2\left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)}\left[\log \left(\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}+t}{\frac{\sqrt{17}}{2}-t}\right)\right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{17}}  \left[\log \left(\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{3}{2}}\right)-\log \left(\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}}{\left(\frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{2}\right.}\right)\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{17}}  \left[\log \left( \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}\right)-\log \left(\frac{\sqrt{17}-1}{\sqrt{17}+1}\right)\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{17}}  \left[\log \left(\frac{\sqrt{17+3}}{\sqrt{17-3}} \times \frac{\sqrt{17}+1}{\sqrt{17}-1} \right)\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\log \left(\frac{17+\sqrt{17}+3 \sqrt{17}+3}{17-\sqrt{17}-3 \sqrt{17}+3}\right)\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\log \left(\frac{20+4 \sqrt{17}}{20-4 \sqrt{17}} \right)\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\log \left(\frac{5+\sqrt{17}}{5-\sqrt{17}}\right)\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\log \frac{(5+\sqrt{17})(5+\sqrt{17})}{(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17})}\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\log \frac{25+17+10 \sqrt{17}}{25-17}\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{17}} \log \left[\frac{42+10 \sqrt{17}}{8}\right] \\ \Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{17}} \log \left(\frac{21+5 \sqrt{17}}{4}\right)
Example:7. \int_{-1}^1 \frac{d x}{x^2+2 x+5}
Solution: \int_{-1}^1 \frac{d x}{x^2+2 x+5} \\ I=\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^2+2 x+5} \\ =\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^2+2 x+1+4} \\ =\int_{-1}^1 \frac{d x}{(x+1)^2+2^2} \\ \text{ Put } x+1=t \Rightarrow d x=d t
जब x=-1 तो t=0
जब x=1 तो t=2

I=\int_0^2 \frac{d t}{t^2+2^2} \\=\frac{1}{2}\left[\tan ^{-1} \frac{t}{2}\right]_0^2 \\ =\frac{1}{2} \left[\tan ^{-1}(1)-\tan (0)\right] \\ =\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{8}
Example:8. \int_1^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}\right) e^{2 x} d x
Solution: \int_1^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}\right) e^{2 x} d x \\ I=\int_1^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}\right) e^{2 x} d x \\ =\int_1^2 \frac{e^{2 x}}{x} d x-\int_1^2 \frac{e^{2 x}}{2 x^2} d x \\ =\frac{1}{x} \int_1^2 e^{2 x} d x-\int_1^2\left[\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x}\right) \int e^{2 x}\right] d x -\int_1^2 \frac{e^{2 x}}{2 x^2} d x \\ =\left[\frac{1}{x} \frac{e^{2 x}}{2}\right]_1^2+\int_1^2 \frac{1}{x^2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2} d x -\int_1^2 \frac{e^{2 x}}{2 x^2} d x \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 \times 2}}{2}-\frac{1}{1} \cdot \frac{e^{2 \times 1}}{2} \\ =\frac{1}{4} e^4-\frac{1}{2} e^2 \\ \Rightarrow I =\frac{1}{4} e^2\left(e^2-2\right)
प्रश्न 9 एवं 10 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
Example:9.समाकलन \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\left(x-x^3\right)^{\frac{1}{3}}}{x^4} d x का मान है:

(A) 6 (B) 0 (C) 3 (D) 4
Solution: \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\left(x-x^3\right)^{\frac{1}{3}}}{x^4} d x \\ \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{x\left(\frac{1}{x^2}-1\right)^{\frac{1}{3}}}{x^4} d x \\ \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\left(\frac{1}{x^2}-1\right)^{\frac{1}{3}}}{x^3} d x \\ \text { put } \frac{1}{x^2}-1=t \\ -\frac{2}{x^3} d x=d t
जब x=\frac{1}{3} तो t=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}-1=8
जब x=1 तो t=0

\int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}{x^3} d x=\int_8^0 t^{\frac{1}{3}}\left(-\frac{d t}{2}\right) \\=\frac{1}{2} \int_0^8 t^{\frac{1}{3}} d t \\=\frac{1}{2}\left[\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}\right]_0^8 \\ =\frac{3}{8}\left[8^{\frac{4}{3}}-(0)^{\frac{4}{3}}\right] \\ =\frac{3}{8} \times\left(2^3\right)^{\frac{4}{3}} \\ =\frac{3}{8} \times 16 \\=6
अतः विकल्प (A) सही है।
Example:10. यदि f(x)=\int_0^x t \sin t d t तब f^{\prime}(x) है :

(A) \cos x+x \sin x (B) x \sin x (C) x \cos x (D) \sin x+x \cos x
Solution: f(x)=\int_0^x t \sin t d t \\ =t \int_0^x \sin t d t-\int_0^x\left[\frac{d}{dt}(t) \int \sin t dt \right] dt \\ =[-t \cos t]_0^x-\int_0^x 1 \cdot(-\cos t) d t \\ =-x \cos x+0 \cos 0+[\sin t]_0^x \\ =-x \cos x+\sin x-\sin 0 \\ f(x)=-x \cos x+\sin x \\ f^{\prime}(x)=-\cos x+x \sin x+\cos x \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=x \sin x
विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integrals by Substitution),प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करना (Evaluation of Definite Integrals by Substitution) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलन की समस्याएँ (Definite Integrals by Substitution Problems):

Definite Integrals by Substitution

मान ज्ञात कीजिए:

(1.) \int_0^1 \frac{x \sin x}{\sqrt{1-x^2}} dx (2.) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x d x}{(1+\sin x)(2+\sin x)}
(3.) \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x
उत्तर (Answers): (1.) 1 (2.) \log \frac{4}{3} (3.) \sqrt{2} \pi
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integrals by Substitution),प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करना (Evaluation of Definite Integrals by Substitution) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलन (Frequently Asked Questions Related to Definite Integrals by Substitution),प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करना (Evaluation of Definite Integrals by Substitution) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integrals by Substitution) के इस आर्टिकल में निश्चित
समाकल के ऐसे सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे जिन्हें प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सके।