1.गुणधर्मों के उपयोग द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integral by Use of Properties),योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral as Limit of a Sum Class 12):

Definite Integral by Use of Properties

गुणधर्मों के उपयोग द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integral by Use of Properties) के इस आर्टिकल में समाकलन के कुछ गुणधर्मों तथा समाकलन के प्रथम सिद्धान्त पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.गुणधर्मों के उपयोग द्वारा निश्चित समाकलन पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Definite Integral by Use of Properties):

25 से 33 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।
Illustration:25. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right) d x
Solution: \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right) d x \\ I=\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi e^x\left(\frac{1}{1-\cos x}-\frac{\sin x}{1-\cos x}\right) d x

माना f(x)=-\frac{\sin x}{1-\cos x} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=-\left[\frac{(1-\cos x) \cos x-\sin x \cdot \sin x}{(1-\cos x)^2}\right] \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =-\left[\frac{\cos x-\cos ^2 x-\sin ^2 x}{(1-\cos x)^2}\right] \\ =-\left[\frac{\cos x-1}{(1-\cos x)^2}\right] \\ =\frac{1-\cos x}{(1-\cos x)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{1-\cos x}
अतः सूत्र \int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x=e^x f(x)+C से:

I=\left[\frac{-e^x \sin x}{1-\cos x}\right]_{\frac{\pi}{2}}^\pi \\ =-\frac{e^\pi \sin \pi}{1-\cos \pi}+ \frac{e^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2}}{1-\cos \frac{\pi}{2}} \\ =\frac{-e^\pi(0)}{1+1}+\frac{e^{\frac{\pi}{2}}(1)}{1-0} \\ \Rightarrow I=e^{\frac{\pi}{2}}
Illustration:26. \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x} d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x} d x
अंश व हर में \cos ^4 x का भाग देने पर:

put  \tan x=t \Rightarrow \sec ^2 x d x=d t
जब x=0 तो t=0
जब x=\frac{\pi}{4} तो t=\tan \frac{\pi}{4}=1 \\ I=\int_0^1 \frac{t}{1+t^4} d t \\ =\frac{1}{2}\left[\tan ^{-1} t^2\right]_0^1 \\ =\frac{1}{2}\left[\tan ^{-1}(1)^2-\tan ^{-1} 0^2\right] \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}
Illustration:27. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 x d x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x}
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 x d x}{\cos ^2 x+4 \sin^2 x} \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 x d x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 x d x}{\cos ^2 x\left(1+4 \tan ^2 x\right)} \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec ^2 x d x}{\sec ^2 x\left(1+4 \tan ^2 x\right)} \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec ^2 x d x}{\left(1+\tan ^2 x\right)\left(1+4 \tan ^2 x\right)}

Put \tan x=t=\sec ^2 x d x=d t
जब x=0 तो t=\tan 0=0
जब x=\frac{\pi}{2} तो t=\tan \frac{\pi}{2}=\infty \\ \int_0^{\infty} \frac{d t}{\left(1+t^2\right)\left(1+4 t^2\right)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

=\frac{1}{3} \int_0^{\infty}\left[\frac{4}{1+4 t^2}-\frac{1}{1+t^2}\right] d t \\ =\frac{4}{3} \int_0^{\infty} \frac{1}{1+4 t^2} d t-\frac{1}{3} \int_0^{\infty} \frac{1}{1+t^2} d t \\ =\frac{2}{3}\left[\tan ^{-1} 2 t\right]_0^{\infty}-\frac{1}{3}\left[\tan ^{-1} t\right]_0^{\infty} \\ =\frac{2}{3}\left(\tan ^{-1} \infty-\tan^{-1} 0\right)-\frac{1}{3}\left(\tan ^{-1} \infty- \tan^{-1} 0\right) \\ =\frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{2}-0 \right)-\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}-0\right) \\ =\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{2 \pi-\pi}{6} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{6}
Illustration:28. \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x
Solution: \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x \\ I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x \\ =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x+\cos x) d x}{\sqrt{1-(1-2 \sin x \cos x)}} \\ =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x+\cos x) d x}{\sqrt{1-(\sin 2 x+\cos 2 x-2 \sin x \cos x)}} \\ =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{(\sin x+\cos x)^2 x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}} \\ \text { put } \sin x-\cos x=t \\ (\cos x+\sin x) dx=dt
जब x=\frac{\pi}{6} तो t=\sin \frac{\pi}{6}-\cos \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow t=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}
जब x=\frac{\pi}{3} तो t=\sin \frac{\pi}{3}-\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \\ =\int_{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} d t \\ =\left[\sin ^{-1} t\right]_{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}} \\ =\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right)-\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ =\sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) \\ \Rightarrow I=2 \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)
Illustration:29. \int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}
Solution: \int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} \\ I=\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}} \\ =\int_0^1 \frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) dx}{1+x-x} \\ =\int_0^1(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) d x \\ =\left[\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 \\ =\frac{2}{3}(1+1)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(1+0)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} \times 0 \\ =\frac{2}{3} \times 2 \sqrt{2}+\frac{2}{3}-\frac{2}{3} \\ \Rightarrow I=\frac{4 \sqrt{2}}{3}
Illustration:30. \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x \\ I=\frac{1}{16} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\sin x+\cos x) d x}{\frac{9}{16}+2 \sin x \cos x} \\ =\frac{1}{16} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\sin x+\cos x) d x}{\frac{9}{16}+1-1+2 \sin x \cos x} \\ =\frac{1}{16} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\sin x+\cos x) d x}{\frac{25}{16}-(1-2 \sin x \cos x)} \\ =\frac{1}{16} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\sin x+\cos x) d x}{\frac{25}{16}-\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x-2 \sin x \cos x\right)} \\ =\frac{1}{16} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\sin x+\cos x) d x}{\frac{25}{16}-(\sin x-\cos x)^2} \\ \text { Put } \sin x-\cos x=t \Rightarrow(\sin x+\sin x) d x=d t
जब x=0 तो t=\sin 0-\cos 0=-1
जब x=\frac{\pi}{4} तो t=\sin \frac{\pi}{4}- \cos \frac{\pi}{4}=0 \\ =\frac{1}{16} \int_{-1}^0 \frac{d t}{\left(\frac{3}{4}\right)^2-t^2} \\ =\frac{1}{2\left(\frac{5}{4}\right)} \times \frac{1}{16}\left[\log \left|\frac{\frac{5}{4}-t}{\frac{5}{4}+t}\right|\right]_{0}^1 \\ =\frac{1}{40}\left[-\log \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}}+\log \frac{\frac{5}{4}+1}{\frac{5}{4}-1}\right] \\ =\frac{1}{40} \log 9 \\ \Rightarrow I =\frac{1}{40} \log 9
Illustration:31. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \tan^{-1} (\sin x) d x 
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \tan ^{-1}(\sin x) d x \\ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \tan ^{-1}( \sin x) d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \cos x \tan ^{-1}(\sin x) d x \\ \text{ put } \sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t
जब x=0 तो t=0
जब x=\frac{\pi}{2} तो t=1 \\ =2 \int_0^1 t \tan ^{-1} t d t
खण्डशः समाकलन करने पर:

=2 \tan ^{-1} t \int t d t-2 \int \left[\frac{d}{d t} \tan ^{-1} \int t dt \right] dt \\ =\left[t^2 \tan ^{-1} t\right]_0^1-\int_{0}^1 \frac{t^2}{1+t^2} d t \\ =(1)^2 \tan ^{-1} 1-0-\int_0^1 \frac{1+t^2-1}{1+t^2} d t \\ =\frac{\pi}{4}-\int_0^1 1 d t+\int_0^1 \frac{1}{1+t^2} d t \\ =\frac{\pi}{4}-[t]_0^1+\left[\tan ^{-1} t \right]_0^1 \\ \Rightarrow I =\frac{\pi}{4}-1+\tan ^{-1} 1-\tan ^1 0 \\ \Rightarrow I =\frac{\pi}{4} -1+\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{2}-1
Illustration:32. \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x
Solution: \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \\ I=\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \cdots(1) \\ =\int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan (\pi-x)}{\sec (\pi-x)+\tan (\pi-x)} d x \\ I=\int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=\int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x+x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \\ =\int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x+\tan x} d x \\ =\int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\sin x} d x \\ =\int_0^\pi \frac{\pi \sin x(1-\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} d x \\ =\pi \int_0^\pi \frac{\sin x-\sin ^2 x}{1-\sin ^2 x} d x \\ =\pi \int_0^\pi \frac{\sin x-\sin ^2 x}{\cos ^2 x} d x \\ =\pi \int_0^\pi\left(\frac{\sin x}{\cos ^2 x}-\frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}\right) d x \\ =\pi \int_0^\pi \left(\sec x \tan x-\tan ^2 x\right) d x \\ =\pi \int_0^\pi\left(\sec x \tan x-\left(\sec ^2 x-1\right)\right) d x \\ =\pi \int_0^\pi \sec x \tan x d x-\pi \int_0^\pi \sec ^2 x d x +\pi \int_0^\pi 1 d x \\ =\pi[\sec x]_0^\pi-\pi[\tan x]_0^\pi+\pi[x]_0^\pi \\ =\pi[\sec \pi-\sec 0]-\pi[\tan \pi-\tan 0] +\pi \cdot \pi \\ =\pi(-1-1)+\pi^2 \\ =\pi^2-2 \pi \\ =\pi(\pi-2) \\ \Rightarrow 2 I= \pi(\pi-2) \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{2}(\pi-2)
Illustration:33. \int_1^4 \left[ |x-1|+|x-2|+|x-3| \right] d x
Solution: \int_1^4 \left[ |x-1|+|x-2|+|x-3| \right] d x
[1,4] पर x-1 \geq 0 ,
[1,2] पर x-2 \leq 0 और [2,4] पर x-2 \geq 0
[1,3] पर x-3 \leq 0 और [3,4] पर x-3 \geq 0 \\ I= \int_1^4(x-1) d x-\int_1^2(x-2) d x+\int_2^4(x-2) d x- \int_1^3(x-3) d x+\int_3^4(x-3) d x \\ =\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^4-\left[\frac{x^2}{2}-2 x \right]_1^2 +\left[\frac{x^2}{2}-2 x\right]_2^4 -\left[\frac{x^2}{2}-3 x\right]_1^3+\left[\frac{x^2}{2}-3 x\right]_3^4 \\ = \frac{4^2}{2}-4-\frac{1^2}{2}+1-\left[\frac{2^2}{2}-2 \times 2-\frac{1^2}{2}+2 \times 1\right] +\left[\frac{4^2}{2}-2 \times 4-\frac{2^2}{2}+2 \times 2\right]-\left[\frac{3^2}{2}-3 \times 3-\frac{1^2}{2}+3 \times 1\right]+\frac{4^2}{2}-3 \times 4-\frac{3^2}{2}+3 \times 3 \\ =8-4-\frac{1}{2}+1-\left(2-4-\frac{1}{2}+2\right)+(8-8-2+2)-\left(\frac{9}{2}-9-\frac{1}{2}+3\right)+8-12 -\frac{9}{2}+9 \\ =4+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2+2-4-\frac{9}{2}+9 \\ =\frac{8+1+1+4+4-8-9+18}{2} \\ \Rightarrow I=\frac{19}{2}

Definite Integral by Use of Properties

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए (प्रश्न 34 से 39 तक)
Illustration:34. \int_1^3 \frac{d x}{x^2(x+1)}=\frac{2}{3}+\log \frac{2}{3}
Solution: \int_1^3 \frac{d x}{x^2(x+1)}=\frac{2}{3}+\log \frac{2}{3} \\ \text{L.H.S.} \int_1^3 \frac{d x}{x^2(x+1)} dx
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:

\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1} \\ =\frac{A x(x+1)+B(x+1)+C x^2}{x^2(x+1)} \\ \Rightarrow 1=A x(x+1)+B(x+1)+C x^2 \\ \text { put } x=0 \Rightarrow B=1 \\ \text { Put } x=-1 \Rightarrow C=1 \\ \text { put } x=2 \\ 1=6 A+3 B+4 C \\ \Rightarrow 1=6 A+3+4 \Rightarrow A=-1 \\ \int_1^3\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1}\right) d x \\ =\left[-\log x-\frac{1}{x}+\log (x+1)\right]_1^3 \\ =\left[\log \left(\frac{x+1}{x}\right)-\frac{1}{x}\right]_1^3 \\ =\log \frac{4}{3}-\log 2-\frac{1}{3}+1 \\ =\frac{2}{3}+\log \frac{2}{3}=R.H.S.
Illustration:35. \int_0^1 x e^x d x=1
Solution: \int_0^1 x e^x d x=1 \\ \text { L.H.S }= \int_0^1 x e^x d x \\ =x \int e^x d x-\int \left[ \frac{d}{d x}(x) \int e^x d x\right] d x \\ =\left[x e^x-e^x\right]_0^1 \\ =e-e-0 e^0+e^0 \\=1= R.H.S
Illustration:36. \int_{-1}^1 x^{17} \cos^4 x d x=0
Solution: \int_{-1}^1 x^{17} \cos ^4 x d x=0 \\ \text { L.H.S. } \int_{-1}^1 x^{17} \cos ^4 x d x \\ f(x)=x^{17} \cos ^4 x \\ f(-x)=(-x)^{17} \cos ^4(-x) \\ =-x^{17} \cos ^4 x \\ \Rightarrow f(-x)=-f(x)
अतः विषम फलन है
फलतः \int_{-1}^1 x^{17} \cos ^4 x d x=0
Illustration:37. \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 x dx=\frac{2}{3}
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 x dx=\frac{2}{3} \\ \text{L.H.S.} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 x d x \\ =\int_0^\pi \frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4} d x \\ =-\frac{3}{4}[\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{12}[\cos 3 x]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ =-\frac{3}{4}\left(\cos \frac{\pi}{2}-\cos 0\right)+\frac{1}{12}\left(\cos \frac{3 \pi}{2}-\cos 0\right) \\ =-\frac{3}{4} \times -1+\frac{1}{12}(-1) \\ =\frac{3}{4}-\frac{1}{12}=\frac{9-1}{12}=\frac{8}{12} \\ =\frac{2}{3}= \text{R.H.S}
Illustration:38. \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan ^3 x=1- \log 2
Solution: \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan ^3 x=1- \log 2 \\ \text{L.H.S.} \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan ^3 x d x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan ^2 x \cdot \tan x \\ =\int_0^{\frac{\pi}{4}} 2\left(\sec ^2 x-1\right) \tan x d x \\ =2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec ^2 x \tan x d x-2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x d x \\ =\left[\tan ^2 x\right]_0^{\frac{\pi}{4}}-2[\log \sec x]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ =\tan ^2 \frac{\pi}{4}-\tan ^2 0-2 \log \sec \frac{\pi}{4}+2 \log \sec 0 \\ =1-2 \log \sqrt{2}+2 \log 1 \\ I=1-\log 2 =R.H.S 
Illustration:39. \int \sin ^{-1} x d x=\frac{\pi}{2}-1
Solution: \int_0^1 \sin ^{-1} x d x=\frac{\pi}{2}-1 \\ \text{L.H.S.} \int_0^1 \sin ^{-1} x d x \\ =\sin ^{-1} x \int 1 \cdot d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right) \int 1 \cdot d x\right] d x \\ =\left[x \sin ^{-1} x\right]_0^1-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x \\ =(1) \sin ^{-1}(1)-0+\left[\sqrt{1-x^2}\right]_0^1 \\ =\frac{\pi}{2}+(0-1)=\frac{\pi}{2}-1 =R.H.S. 
Illustration:40.योगफल की सीमा के रूप में \int_0^1 e^{2-3 x} का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \int_0^1 e^{2-3 x} d x \\ f(x)=e^{2-3 x} \\ n h=b-a \Rightarrow n h=1-0=1
जब h \rightarrow 0 तो n \rightarrow \infty \\ f(0)=e^{2-3(0)}=e^2 \\ f(0+h)=e^{2-3(0+h)} =e^{2-3 h} \\ f(0+2 h)=e^{2-3(0+2 h)}=e^{2-6 h} \\ f(0+3 h)=e^{2-3(0+3 h)}=e^{2-9 h} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ f(0+(n-1) h)=e^{2-3(0+(n-1) h)}=e^{2-3(n-1)h} \\ \int_a^b f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} h [f(a)+ f(a+h) +f(a+2 h)+f(a+3 h)+\cdots \cdots +f(a+(n-1) h] \\ \int_0^1 e^{2-3 x} d x=\lim _{h \rightarrow 0} h [f(0)+f(0+h)+f(0+2 h)+f(0+3 h)+\cdots \cdots +f(0+(n-1) h] \\ =\lim _{h \rightarrow 0} h \left[e^2+e^{2-3 h}+e^{2-6 h}+e^{2-9 h}+\cdots+e^{2-3(n-h)}\right] \\ =e^2 \lim _{h \rightarrow 0} h\left[1+e^{-3 h}+e^{-6 h}+e^{-9 h}+\cdots+e^{-3(n-h)}\right] \\ =e^2 \lim _{h \rightarrow 0} h\left[\frac{\left(e^{-3 h}\right)^n-1}{e^{-3 h}-1}\right] \\ =e^2 \lim _{h \rightarrow 0} h\left[\frac{e^{-3 n h}-1}{e^{-3 h}-1}\right] \\ =\frac{e^2}{-3} \times \frac{e^{-3 \times 1}-1}{\lim _{h \rightarrow 0}\frac{e^{-3 h}-1}{-3 h}} \\ =\frac{e^2}{-3} \times \frac{e^{-3}-1}{1}\left[\because \lim _{h \rightarrow 0}\frac{e^{-3 h}-1}{-3 h}=1 \right] \\ \Rightarrow \int_0^1 e^{2-3 x} d x=\frac{1}{3}\left(e^2-\frac{1}{e}\right)
41 से 44 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
Illustration:41. \int \frac{d x}{e^x+e^{-x}}  बराबर है:

(A) \tan ^{-1}\left(e^x\right)+C   (B) \tan ^{-1}\left(e^{-x}\right)+C
(C) \log \left(e^x-e^{-x}\right)+C (D) \log \left(e^x+e^{-x}\right)+C
Solution: \int \frac{d x}{e^x+e^{-x}}=\int \frac{e^x}{e^{2 x}+1} dx \\ \text{put } e^x=t \Rightarrow e^x d x=d t \\ =\int \frac{1}{1+t^2} d t=\tan ^{-1} t=\tan ^{-1}\left(e^x\right)+c
अतः विकल्प (A) सही है।
Illustration:42. \int \frac{\cos 2 x}{(\sin x+\cos x)^2} d x बराबर है:

(A) \frac{-1}{\cos x+\sin x}+c      (B) \log |\sin x+\cos x|+c
(C) \log |\sin x-\cos x|+c             (D) \frac{1}{(\sin x+\cos x)^2} +c
Solution: \int \frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2} d x \\ =\int \frac{\cos ^2 x-\sin ^2 x}{(\cos x+\sin x)^2} d x \\ =\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x \\ \text { put }(\cos x+\sin x)=t \Rightarrow(\cos x-\sin x) d x=d t \\ =\int \frac{1}{t} d t \equiv \log t+C \\ =\log |\cos x+\sin x|+c
अतः विकल्प (B) सही है।
Illustration:43.यदि f(a+b-x)=f(x) तो \int_a^b x f(x) d x बराबर है:

(A) \frac{a+b}{2} \int_a^b f(b-x) dx (B) \frac{a+b}{2} \int_a^b f(b+x) d x
(C) \frac{b-a}{2} \int_a^b f(x) dx (D) \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x
Solution:  \int_a^b x f(x) \cdot d x= \int_a^b(a+b-x) f(a+b-x) d x \\ =\int_a^b f(x) [(a+b)-x] d x \\ =(a+b) \int_a^b f(x) d x = \int_a^b x f(x) d x \\ \Rightarrow \int_a^b x f(x)=\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x
अतः विकल्प (D) सही है।
Illustration:44. \int_0^1 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^2}\right) d x  का मान है:

(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) \frac{\pi}{4}
Solution: \int_0^1 \tan ^{-1}\left(\frac{x+(x-1)}{1-x(x-1)}\right) d x \\ I=\int_0^1\left(\tan ^{-1} x+\tan ^{-1}(x-1)\right) d x \\ =\int_0^1\left[\tan ^{-1}(1-x)+\tan ^{-1}(-x)\right] d x \\=-\int_0^1 \tan ^{-1} x+\tan ^{-1}(x-1) \\ \Rightarrow 2 I=0 \Rightarrow I=0
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों को हल करने पर गुणधर्मों के उपयोग द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integral by Use of Properties),योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral as Limit of a Sum Class 12) को समझ सकते हैं।

Definite Integral by Use of Properties

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3.गुणधर्मों के उपयोग द्वारा निश्चित समाकलन (Frequently Asked Questions Related to Definite Integral by Use of Properties),योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन कक्षा 12 (Definite Integral as Limit of a Sum Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गुणधर्मों के उपयोग द्वारा निश्चित समाकलन (Definite Integral by Use of Properties) के
इस आर्टिकल में समाकलन के कुछ गुणधर्मों तथा समाकलन के प्रथम सिद्धान्त पर आधारित
सवालों को हल करेंगे।