1.पृक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण कक्षा 12 (DE with Variables Separable Class 12),प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधि (Method of Solving First Order and First Degree Differential Equations):

DE with Variables Separable Class 12

पृक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण कक्षा 12 (DE with Variables Separable Class 12) के इस आर्टिकल में अवकल समीकरण का व्यापक हल चरों के पृथक्करण विधि से ज्ञात करेंगे।
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2.पृक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण कक्षा 12 के उदाहरण (DE with Variables Separable Class 12 Examples):

1 से 10 तक के प्रश्नों में,प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Example:1. \frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{1-\left(1-2 \sin ^2 \frac{x}{2}\right)}{1+2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1} \\ =\frac{1-1+2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}} \\ =\frac{\sin ^2 \frac{x}{2}}{\cos ^2 \frac{x}{2}} \\ =\tan ^2 \frac{x}{2}
चरों को पृथक करने पर:
\Rightarrow \int d y=\int \tan ^2 \frac{x}{2} d x \\ \Rightarrow y=\int\left(\sec ^2 \frac{x}{2}-1\right) d x \\ \Rightarrow y=2 \tan \frac{x}{2}-x+c
Example:2. \frac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^2} \quad(-2< y < 2)
Solution: \frac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^2}
चरों को पृथक करने पर:
\Rightarrow \int \frac{d y}{\sqrt{4-y^2}}=\int d x \\ \Rightarrow \sin^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=x+c \\ \Rightarrow y=2 \sin (x+c)
Example:3. \frac{d y}{d x}+y=1(y \neq 1)
Solution: \frac{d y}{d x}+y=1
चरों को पृथक करने पर:
\frac{d y}{d x}=1-y \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{1-y}=\int d x \\ -\log (1-y)=x+\log C \\ \Rightarrow \log c+\log (1-y)=-x \\ \Rightarrow \log c(1-y)=-x \\ \Rightarrow c(1-y)=e^{-x} \\ \Rightarrow 1-y=\frac{1}{c} e^{-x} \\ \Rightarrow y=1-\frac{1}{c} e^{-x} \\ \Rightarrow y=1+A e^{-x}\left( A=-\frac{1}{c} \right)
Example:4. \sec ^2 x \tan y d x+\sec ^2 y \tan x d y=0
Solution: \sec ^2 x \tan y d x+\sec ^2 y \tan x d y=0
चरों को पृथक करने पर:
\sec ^2 y \tan x d y=-\sec ^2 x \tan y d x \\ \Rightarrow \int \frac{\sec ^2 y}{\tan y} d y=-\int \frac{\sec ^2 u}{\tan x} d u \\ \Rightarrow \text { Put } \tan y=u \Rightarrow \sec ^2 y d y=d u \\ \text { put } \tan x=v \Rightarrow \sec ^2 x d x=d v \\ \Rightarrow \int \frac{1}{u} d u=-\int \frac{1}{v} d v \\ \Rightarrow \log u=-\log v+\log C \\ \Rightarrow \log (\tan y)=-\log (\tan x)+\log C \\ \Rightarrow \log (\tan y)=\log \left(\frac{C}{\tan x}\right) \\ \Rightarrow \tan y=\frac{c}{\tan x} \\ \Rightarrow \tan x \tan y=C
Example:5. \left(e^x+e^{-x}\right) d y-\left(e^x-e^{-x}\right) d x=0
Solution: \left(e^x+e^{-x}\right) d y-\left(e^x-e^{-x}\right) d x=0
चरों को पृथक करने पर:
\Rightarrow\left(e^x+e^{-x}\right) d y=\left(e^x-e^{-x}\right) d x \\ \Rightarrow \int d y=\int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} d x \\ \text{ Put } \left(e^x+e^{-x}\right)=t \\ \Rightarrow\left(e^x-e^{-x}\right) d x=d t \\ y=\int \frac{1}{t} d t \\ \Rightarrow y =\log t+C \\ \Rightarrow y =\log \left(e^x+e^{-x}\right)+C
Example:6. \frac{d y}{d x}=\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)
Solution: \frac{d y}{d x}=\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)
चरों को पृथक करने पर:
\int \frac{d y}{1+y^2}=\int \left(1+x^2\right) d x \\ \tan ^{-1} y=x+\frac{x^3}{3}+c
Example:7. y \log y dx-x d y=0
Solution: y \log y dx-x d y=0
चरों को पृथक करने पर:
y \log y d x=x d y \\ \Rightarrow \frac{d y}{\log y}=\int \frac{d x}{x} \\ \text { put } \log y=t \Rightarrow \frac{1}{y} d y=d t \\ \Rightarrow \int \frac{d t}{t}=\log x+\log C \\ \Rightarrow \log t=\log C x \\ \Rightarrow t=Cx \\ \Rightarrow \log y=C x \\ \Rightarrow y=e^{c x}
Example:8. x^5 \frac{d y}{d x}=-y^5
Solution: x^5 \frac{d y}{d x}=-y^5
चरों को पृथक करने पर:
-\int \frac{d y}{y^5}=\int \frac{d x}{x^5} \\ -\left(\frac{y^{-5+1}}{-5+1}\right)=\left(\frac{x^{-5+1}}{-5+1}\right)+C^{\prime} \\ \Rightarrow \frac{1}{4 y^4}=-\frac{1}{4 x^4}+C^{\prime} \\ \Rightarrow x^{-4}+y^{-4}=C \quad\left[C=4 C^{\prime}\right]
Example:9. \frac{d y}{d x}=\sin ^{-1} x
Solution: \frac{d y}{d x}=\sin ^{-1} x
चरों को पृथक करने पर:
\Rightarrow \int d y=\int \sin ^{-1} x d x \\ \Rightarrow y=\sin ^{-1} x \int 1 \cdot d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\sin^{-1} x) \int 1 \cdot dx \right] dx \\ \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x+C \\ \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{1-x^2}+C

DE with Variables Separable Class 12

Example:10. e^x \tan y d x+\left(1-e^x\right) \sec ^2 y d y=0
Solution: e^x \tan y d x+\left(1-e^x\right) \sec ^2 y d y=0
चरों को पृथक करने पर:
\left(1-e^x\right) \sec ^2 y d y=-e^x \tan y d x \\ \Rightarrow \int \frac{\sec ^2 y}{\tan y} d y=-\int \frac{e^x}{1-e^x} d x \\ \text { Put } \tan y=u \Rightarrow \sec ^2 y d y=d u \\ \text { Put } 1-e^x=v \Rightarrow-e^x d x=d v \\ \Rightarrow \int \frac{1}{u} d u=\int \frac{1}{v} d v \\ \Rightarrow \log u=\log v+\log C \\ \Rightarrow u=C v \\ \Rightarrow \tan y=C\left(1-e^x\right)
11 से 14 तक के प्रश्नों में,प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
Example:11. \left(x^3+x^2+x+1\right) \frac{d y}{d x}=2 x^2+x ; y=1 यदि x=0
Solution: \left(x^3+x^2+x+1\right) \frac{d y}{d x}=2 x^2+x
चरों को पृथक करने पर:
\int d y=\int \frac{2 x^2+x}{x^3+x^2+x+1} dx
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
\frac{2 x^2+x}{x^3+x^2+x+1} =\frac{2 x^2+x}{x^2(x+1)+1(x+1)} \\ =\frac{2 x^2+x}{(x+1) \left(x^2+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{2 x^2+x}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^2+1} \\ \Rightarrow 2 x^2+x=A\left(x^2+1\right)+(B x+C)(x+1) \\ \text{ put } x=-1 \\ 2(-1)^2-1= A\left[(-1)^2 +1\right] \\ \Rightarrow 2-1=2 A \Rightarrow A=\frac{1}{2} \\ \text{ put } x=0 \\ 0=A+C \\\Rightarrow C+\frac{1}{2}=0 \Rightarrow C=-\frac{1}{2} \\ \text{ Put } x=1 \\ \Rightarrow 2(1)^2+1=A\left(1^2+1\right) +(B+C)(2) \\ \Rightarrow 3=2 A+2 B+2 C \\ \Rightarrow 3=2 \times \frac{1}{2}+2 B+2 \times-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2 B=3 \Rightarrow B=\frac{3}{2} \\ y=\int \frac{1}{2(x+1)} d x+\int \frac{\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}}{x^2+1} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1)} d x+\frac{3}{2} \int \frac{x}{x^2+1} d x-\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x^2+1\right) d x} \\ =\frac{1}{2} \log (x+1)+\frac{3}{4} \log \left(x^2+1\right) -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x +C \\ \Rightarrow y=\frac{1}{4} \log \left[(x+1)^2\left(x^2+1\right)^3\right]-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C जब x=0 तो y=1
\Rightarrow 1=c \\ \Rightarrow y=\frac{1}{4} \log \left[(x+1)^2\left(x^2+1\right)^3\right]-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+1
Example:12. x \left(x^2-1\right) \frac{d y}{d x}=1 ; y=0 यदि x=2
Solution: x \left(x^2-1\right) \frac{d y}{d x}=1
चरों को पृथक करने पर:
\int d y=\int \frac{d x}{x\left(x^2-1\right)} \\ \Rightarrow y =\int \frac{d x}{x(x-1)(x+1)}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
\frac{1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1} \\ \frac{1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A\left(x^2-1\right)+B x(x+1)+C x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} \\ \Rightarrow 1=A\left(x^2-1\right)+B x(x+1)+C x(x-1) \\ \text{ put } x=1 \\ 1=B(1)(1+1) \Rightarrow B=\frac{1}{2} \\ \text{ put } x=-1 \\ 1=c(-1)(-1-1) \Rightarrow c= \frac{1}{2} \\ \text{ put } x=0 \\ 1=A(0-1) \Rightarrow A=-1 \\ y=\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-1)}+ \frac{1}{2(x+1)}\right) d x \\ =-\int \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} d x \\ =-\log x+\frac{1}{2} \log (x-1)+\frac{1}{2} \log (x+1)+C \\ =-\log x+\frac{1}{2} \log \left(x^2-1\right)+C \\ =-\frac{1}{2} \log x^2+\frac{1}{2} \log \left(x^2-1\right)+C \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \log \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)+c \\ \text { Put } x=2, y=0=\frac{1}{2} \log \left(\frac{2^2-1}{2^2}\right)+c \\ C=-\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{4}\right) \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \log \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)-\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{4}\right)
Example:13. \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=a(a \in R) ;y=1 यदि x=0
Solution: \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=a
चरों को पृथक करने पर:
\left(\frac{d y}{d x}\right)=\cos ^{-1}(a) \\ \Rightarrow \int d y=\cos ^{-1} a \int d x \\ \Rightarrow y=x \cos ^{-1} a+c \\ \text { put } y=1, x=0 \\ \Rightarrow 1=0+c \Rightarrow c=1 \\ y=x \cos ^{-1}(a)+1 \\ \Rightarrow \cos \left(\frac{y-1}{x}\right)=a
Example:14. \frac{d y}{d x}=y \tan x ; y=2 यदि x=0
Solution: \frac{d y}{d x}=y tan x \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y}=\int \tan x d x \\ \Rightarrow \log y=\log (\sec x)+\log c \\ \Rightarrow \log y=\log (c \sec x) \\ \Rightarrow y=c \sec x \\ \text{ put } x=0, y=2 \\ \Rightarrow 2=c \sec 0 \Rightarrow c=2 \\ y=2 \sec x
Example:15.बिन्दु (0,0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y^{\prime}=e^x \sin x है।
Solution: y^{\prime}=e^x \sin x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^x \sin x
चरों को पृथक करने पर:
\Rightarrow \int d y=\int e^x \sin x d x \\ \Rightarrow y= \sin x \int e^x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\sin x) \int e^x d x \right] dx \\ =e^x \sin x-\int \cos x \cdot e^x d x \\ =e^x \sin x-\cos x \int e^x d x+\int\left[\frac{d}{d x}(\cos x )\int e^x d x\right] d x \\ =e^x \sin x-e^x \cos x-\int e^x \sin x d x \\ \Rightarrow y= \frac{1}{2} e^x \sin x-\frac{1}{2} e^x \cos x+c
यह (0,0) से गुजरता है अतः
0=\frac{1}{2} e^0 \sin 0-\frac{1}{2} e^0 \cos 0+c \\ \Rightarrow C=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} e^x(\sin x-\cos x)+\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2 y-1=e^x(\sin x-\cos x)
Example:16.अवकल समीकरण x y \frac{d y}{d x}=(x+2)(y+2) के लिए बिन्दु (1,-1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
Solution: x y \frac{d y}{d x}=(x+2)(y+2)
चरों को पृथक करने पर:
\int \frac{y d y}{y+2}=\int \frac{x+2}{x} d x \\ \Rightarrow \int \frac{y+2-2}{y+2} d y=\int\left(1+\frac{2}{x}\right) d x \\ \Rightarrow \int \frac{y+2}{y+2} d y-\int \frac{2}{y+2} d y=\int d x+\int \frac{2}{x} d x \\ \Rightarrow \int 1 d y-2 \log (y+2)=x+2 \log x \\ \Rightarrow y-2 \log (y+2)=x+2 \log x+C
यह (1,-1) से गुजरता है अतः
-1-2 \log (-1+2)=1+2 \log 1+c \\ \Rightarrow c=-2 \\ y-2 \log (y+2)=x+2 \log x-2 \\ \Rightarrow y-x+2=2 \log (y+2)+2 \log x \\ \Rightarrow y-x+2=\log \left[x^2(y+2)^2\right]
Example:17.बिन्दु (0,-2) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु (x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के y निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
Solution:प्रश्नानुसार
y \frac{d y}{d x}=x \\ \Rightarrow y d y=\int x d x \\ \Rightarrow y^2=x^2+C
यह (0,-2) से गुजरता है अतः
(-2)^2=(0)^2+C \Rightarrow C=4 \\ \Rightarrow y^2=x^2+4 \\ \Rightarrow y^2-x^2=4

Example:18.एक वक्र के किसी बिन्दु (x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता,स्पर्श बिन्दु को,बिन्दु (-4,-3) से मिलाने वाले रेखाखण्ड की प्रवणता की दुगुनी है।यदि वक्र बिन्दु (-2,1) से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रश्नानुसार
\frac{d y}{d x}=2\left(\frac{-3-y}{-4-x}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2\left(\frac{y+3}{x+4}\right)

\Rightarrow \int \frac{d y}{y+3}=2 \int \frac{1}{x+4} d x \\ \Rightarrow \log (y+3)=2 \log (x+4)+\log c \\ \Rightarrow \log (y+3)=\log c(x+4)^2 \\ \Rightarrow y+3=c(x+4)^2
यह (-2,1) से गुजरता है अतः
1+3=c(-2+4)^2 \Rightarrow c=1 \\ \Rightarrow y+3=(x+4)^2
Example:19.एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन,जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है,स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है,तो t सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रश्नानुसार
\frac{d V}{d t}=K \\ \frac{d}{d t}\left(\frac{4}{3} \pi r^3\right)=K \\ \Rightarrow 4 \pi r^2 \frac{d r}{d t}=K \\ \Rightarrow 4 \pi r^2 dr=K dt
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
4 \pi  \int r^2 d r=k \int d t \\ \Rightarrow \frac{4}{3} \pi r^3=k t+c \cdots(1)
प्रारम्भ में t=0,r=3
\frac{4}{3} \pi \times 3^3=C \\ \Rightarrow C=36 \pi
C का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\frac{4}{3} \pi r^3=k t+36 \pi \cdots(2)
पुनः जब t=3 तो r=6
\frac{4 \pi}{3} \times(6)^3=3 k+36 \pi \\ \Rightarrow \frac{288 \pi-36 \pi}{3}=k \\ \Rightarrow k=84 \pi
k का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\frac{4}{3} \pi r^3=84 \pi t+36 \pi \\ \Rightarrow \frac{r^3}{3}=21 t+9 \\ \Rightarrow r^3=63 t+27 \\ \Rightarrow r=(63 t+27)^{\frac{1}{3}}
Example:20.किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है।यदि 100 रुपये 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं,तो r का मान ज्ञात कीजिए। \left(\log _e 2=0.6931\right)
Solution:प्रश्नानुसार
\frac{d p}{d t}=p \times r \% \\ \Rightarrow \int \frac{d p}{p}=\int \frac{r}{100} d t \\ \Rightarrow 100 \log p=r t+C \cdots(1)
जब t=0 तो P=100
100 \log 100=c
समीकरण (1) में C का मान रखने पर:
100 \log p=r t+100 \log 100
जब t=10 तो P=200
100 \log 200=10 r+100 \log 100 \\ 100 \log 200-100 \log 100=10 r \\ \Rightarrow 100 \log \left(\frac{200}{100}\right)=10 r \\ \Rightarrow 100 \log 2=10 r \\ \Rightarrow \frac{100 \times 0.6931}{10}=r \\ \Rightarrow 6.931=r
अतः r%=6.931%
Example:21.किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है।इस बैंक में Rs 1000 जमा कराए जाते हैं।ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? \left(e^{0.5}=1.648\right)
Solution:प्रश्नानुसार
\frac{d p}{d t}=p \times 5 \% \\ \Rightarrow \int \frac{d p}{p}=\int \frac{5}{160} d t \\ \Rightarrow 100 \log p=5 t+c \cdots(1)
जब t=0 तो P=1000
100 \log 1000=C
C का मान समीकरण (1) में रखने पर:
100 \log p=5 t+100 \log 1000 \\ \Rightarrow 100 \log \left(\frac{p}{1000}\right)=5 t \\ \Rightarrow \log \left(\frac{p}{1000}\right)=\frac{5}{100} t
जब t=10 तो P=?
\log \left(\frac{p}{1000}\right)=\frac{5}{100} \times 10 \\ \Rightarrow \frac{P}{1000}=e^{0.5} \\ \Rightarrow \frac{P}{100}=1.648 \\ \Rightarrow P= 1648
Example:22.किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है।2 घंटों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है।कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी,यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के अनुपाती है।
Solution:प्रश्नानुसार
\frac{d p}{d t} \propto P \\ \Rightarrow \frac{d p}{d t}=P k \\ \Rightarrow \int \frac{d p}{d t}= \int k dt \\ \Rightarrow \log p=k t+c \cdots(1)
जब t=0 तो P=100000
\Rightarrow \log 100000=C
समीकरण (1) में C का मान रखने पर:
\log p=k t+\log 100000 \cdots(2)
जब t=2 तो
P=100000 \times \frac{110}{100}=110000 \\ \log 110000=2 k+\log 100000 \\ \Rightarrow 2 k=\log \frac{110000}{100000} \\ \Rightarrow k=\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right)
k का मान (2) में रखने पर:
\log p=\frac{t}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right)+\log 100000 \cdots(3)
जब P=2,00,000 तो t=?
\log 200000=\frac{t}{2} \log \left(\frac{11}{\log }\right)+\log 100000 \\ \Rightarrow \log \left(\frac{200000}{100000}\right)=\frac{t}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right) \\ \Rightarrow t=\frac{2 \log 2}{\log \left(\frac{11}{10}\right)}
Example:23.अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=e^{x+y} का व्यापक हल है:
(A) e^x+e^{-y}=c (B) e^x+e^y=c
(C) e^{-x}+e^y=c (D)e^{-x}+e^{-y}=c
Solution: \frac{d y}{d x}=e^x+e^y \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{e^y}=\int e^x d x \\ \Rightarrow-e^{-y}=e^x+C_1 \\ \Rightarrow-e^x-e^{-y}=C_1 \\ \Rightarrow e^x+e^{-y}=C \quad(C=-C_1)
अतः विकल्प (A) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पृक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण कक्षा 12 (DE with Variables Separable Class 12),प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधि (Method of Solving First Order and First Degree Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.पृक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण कक्षा 12 पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on DE with Variables Separable Class 12):

DE with Variables Separable Class 12

(1.)हल कीजिए: \frac{d y}{d x}=\sin x-x
(2.)हल कीजिए: \left(e^y+1\right) \cos x d x+e^y \sin x d y=0
उत्तर (Answers): (1.) y=-\cos x-\frac{x^2}{2}+c
(2.) \sin x\left(1+e^y\right)=c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पृक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण कक्षा 12 (DE with Variables Separable Class 12),प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधि (Method of Solving First Order and First Degree Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Solution of Differential Equation 12th

4.पृक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to DE with Variables Separable Class 12),प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधि (Method of Solving First Order and First Degree Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

पृक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण कक्षा 12 (DE with Variables Separable Class 12)
के इस आर्टिकल में अवकल समीकरण का व्यापक हल चरों के पृथक्करण विधि से ज्ञात करेंगे।