1.अवकलन गणित में वक्रता (Curvature in Differential Calculus),वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature):

Curvature in Differential Calculus

अवकलन गणित में वक्रता (Curvature in Differential Calculus),वक्रता त्रिज्या का अध्ययन इस आर्टिकल में करेंगे।कुछ सवालों को हल करके वक्रता एवं वक्रता त्रिज्या की अवधारणा को समझेंगे।
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2.अवकलन गणित में वक्रता के उदाहरण (Curvature in Differential Calculus Examples):

Example:4(b). a y^2=x^3
Solution: a y^2=x^3
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2 a y \left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3 x^2}{2 a y}
पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{3}{2 a}\left[\frac{y \cdot 2 x-x^2 \frac{d y}{d x}}{y^2}\right] \\ =\frac{3}{2 a} \left[\frac{2 x y-x^{2} \times \frac{3 x^2}{2 a y}}{y^2}\right] \\ =\frac{3}{2 a}\left[\frac{4 a x y^2-3 x^4}{2 a y^3}\right] \\ =\frac{3}{2 a}\left[\frac{4 a x \cdot \frac{x^2}{a}-3 x^4}{2 ay \cdot\left(\frac{x^3}{a}\right)} \right] \left[\because y^2=\frac{x^3}{a}\right] \\ =\frac{3}{2 a}\left[\frac{4 x^4-3 x^4}{2 y x^3}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{3 x^4}{4ay x^3} \\ \rho=\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 \right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{d x^2}} \\ =\frac{\left[1+\left(\frac{3 x^2}{2 a y} \right)^{2} \right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{3 x^4}{4 ay x^3}} \\ =\left[\frac{4 a^2 y^2+9 x^4}{4 a^2 y^2}\right]^{\frac{3}{2}} \times \frac{4 a y x^3}{3 x^4} \\ =\frac{\left(4 a^2 \cdot \frac{x^3}{a}+9 x^4\right)^{\frac{3}{2}}}{a} \times \frac{4 a y x^3}{3 x^4} \left[\because y^2=\frac{x^3}{a}\right] \\ =\frac{\left(4 a x^3+9 x^4 \right)^{\frac{3}{2}}}{2 a^2 \frac{x^3}{a}} \cdot \frac{1}{3 x} \\ =\frac{x^{\frac{9}{2}}(4 a+9 x)^{\frac{3}{2}}}{6 a x^4} \\ \Rightarrow P=\frac{\sqrt{x}(4 a+9 x)^{\frac{3}{2}}}{6 a}
Example:4(c). xy=c^2
Solution: xy=c^2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

y+x \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}=-y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}
पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 y}{d x^2} =-\left[\frac{x \frac{d y}{d x}-y \cdot 1}{x^2}\right] \\ \frac{d^2 y}{d x^2} =-\left[ \frac{x \times -\frac{y}{x}-y}{x^2}\right] \\ =-\frac{(-y-y)}{x^2} \\ \frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{2 y}{x^2} \\ \rho=\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{d x^2}} \\ =\frac{\left[1+\left(-\frac{y}{x}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{2 y}{x^2}} \\ = \frac{\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{2 y}{x^2}} \\ = \left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{x^2}{2 y} \\ = \frac{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}{x^3} \cdot \frac{x^2}{2 y} \\ =\frac{\left(x^2+ y^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{2 x y} \\ \Rightarrow \rho =\frac{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}{2 c^2} \left[\because x y=c^2\right]
Example:8.सिद्ध कीजिए कि एस्ट्रायड x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} के किसी बिन्दु (x,y) पर वक्रता,मूलबिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचे गए लम्ब की लम्बाई की तीन गुनी होती है।
(Show that the radius of curvature at any point (x,y) of the astroid is three times perpendicular length dropped from the origin of the tangent.)
Solution: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}
माना वक्र पर कोई बिन्दु \left(a \cos ^3 \theta, a \sin ^3 \theta\right) है।

वक्र का प्राचलिक समीकरण है:
x=a \cos ^3 \theta, y=a \sin ^3 \theta \\  \therefore \frac{d x}{d \theta} =x^{\prime}=-3 a \cos ^2 \theta \sin \theta \\ \frac{d y}{d \theta} =y^{\prime}=3 a \sin ^2 \theta \cos \theta तथा \frac{d^2 x}{d \theta^2}=x^{\prime \prime}=6 a \cos \theta \sin ^2 \theta-3 a \cos ^3 \theta \\ \frac{d^2 y}{d \theta^2}=y^{\prime \prime}=-3 a \sin ^3 \theta+6 a \sin \theta \cos ^2 \theta \\ \rho= \frac{\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}{x^{\prime} y^{\prime \prime}-y^{\prime} x^{\prime \prime}} \\ =\frac{\left[\left(-3 a \cos ^2 \theta \sin \theta\right)^2+\left(3 a \sin ^2 \theta \cos \theta\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\begin{array}{c}-3 a \cos ^2 \theta \sin \theta\left(-3 a \sin ^3 \theta+6 a \sin \theta \cos ^2 \theta\right)\\-3 a \sin ^2 \theta \cos \theta\left(6 a \cos \theta \sin ^2 \theta-3 a \cos ^3 \theta\right)\end{array} } \\ = \frac{\left(9 a^2 \cos ^4 \theta \sin ^2 \theta+9 a^2 \sin ^4 \theta \cos ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}}{\begin{array}{c}-9 a^2 \cos ^2 \theta \sin ^2 \theta\left(-\sin ^2 \theta+2 \cos ^2 \theta\right) \\ -9 a^2 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta\left(2 \sin ^2 \theta-\cos ^2 \theta\right)\end{array}} \\ =\frac{\left(9 a^2 \cos ^2 \theta \sin ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}}{-9 a^2 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta\left(-\sin ^2 \theta+2 \cos ^2 \theta+2 \sin ^2 \theta-\cos ^2 \theta\right)} \\ =\frac{27 a^3 \cos ^3 \theta \sin ^3 \theta(1)^{\frac{3}{2}}}{-9 a^2 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta \right)} \\ =-3 a \sin \theta \cos \theta \\ \Rightarrow \rho=3 a \sin \theta \cos \theta (संख्यात्मक मान)…..(1)
\left(a \cos ^3 \theta, a \sin ^3 \theta\right) पर स्पर्श रेखा का समीकरण

y-y_1=\frac{d y}{d x}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-a \sin ^3 \theta=\frac{\left(\frac{d y}{d \theta}\right)}{\left(\frac{d x}{d \theta}\right)}\left(x-a \cos ^3 \theta\right) \\ \Rightarrow y-a \sin ^3 \theta=\frac{3 a \sin ^2 \theta \cos \theta}{-3 a \cos ^2 \theta \sin \theta}\left(x-a \cos ^3 \theta\right) \\ \Rightarrow y-a \sin ^3 \theta=-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\left(x-a \cos ^3 \theta\right) \\ \Rightarrow y \cos \theta-a \sin ^3 \theta \cos \theta=-x \sin \theta+a \cos ^3 \theta \sin \theta \\ \Rightarrow x \sin \theta+y \cos \theta-a \sin ^3 \theta \cos \theta-a \cos ^3 \theta \sin \theta=0 \\ \Rightarrow x \sin \theta+y \cos \theta-a \sin \theta \cos \theta\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right)=0 \\ \Rightarrow x \sin \theta+y \cos \theta-a \sin \theta \cos \theta=0
मूलबिन्दु (0,0) से स्पर्श रेखा पर लम्ब की लम्बाई

P=\frac{a \sin \theta \cos \theta}{\sqrt{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta}} \\ \Rightarrow P=a \sin \theta \cos \theta \cdots(2)
(1) व (2) से:

\rho=3 P
Example:9.सिद्ध कीजिए कि दीर्घवृत्त \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 के लिए \rho=\frac{a^2 b^2}{p^3},जहाँ p, बिन्दु (x,y) पर खींची गई स्पर्श रेखा पर केन्द्र से डाले गए लम्ब की लम्बाई है।
(Prove that for the ellipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 , \rho=\frac{a^2 b^2}{p^3} where p is the length of the perpendicular from the centre upon the tangent at (x,y).)
Solution: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
इसके प्राचलिक समीकरण होंगे:
x=a \cos \theta, y=b \sin \theta \\ x^{\prime}=\frac{d x}{d \theta}=-a \sin \theta, y^{\prime}= \frac{d y}{d \theta}=b \cos \theta

तथा x^{\prime \prime}=\frac{d^2 x}{d \theta^2}=-a \cos \theta, y^{\prime \prime}=\frac{d^2 y}{d \theta^2}=-b \sin \theta \\ \rho=\frac{\left(x^{\prime 2}+ y^{\prime 2} \right)^{\frac{3}{2}}}{x^{\prime} y^{\prime \prime}-y^{\prime} x^{\prime \prime}} \\=\frac{\left(a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}}{-a \sin \theta(-b \sin \theta)-b \cos \theta(-a \cos \theta)} \\ =\frac{\left(a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}}{a b \sin ^2 \theta+a b \cos ^2 \theta} \\ = \frac{\left(a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}}{a b\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right)} \\ \Rightarrow \rho=\frac{\left(a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}}{a b} \cdots(1)
बिन्दु (a \cos \theta, b \sin \theta) पर वक्र की स्पर्श रेखा की समीकरण:

\frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta=1
दीर्घवृत्त के केन्द्र (0,0) से स्पर्श रेखा पर लम्ब की लम्बाई

p=\frac{1}{\sqrt{\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}}} \\ \Rightarrow p=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta}{a^2 b^2}\right)}} \\ \Rightarrow p=\frac{a b}{\sqrt{\left(a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta\right)}} \\ \sqrt{a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta}=\frac{a b}{p} \\ \left(a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{a^3 b^3}{p^3} \cdots(2)
समीकरण (1) में (2) से मान रखने पर:

\rho=\frac{\frac{a^3 b^3}{p^3}}{ab} \\ \Rightarrow \rho=\frac{a^2 b^2}{p^3}
Example:10.किसी वक्र के लिए सिद्ध कीजिए कि:
(Prove for any curve):

\frac{1}{\rho}=\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d s}\right)
Solution: \frac{d s}{d x}=\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2} \\ \frac{d s}{d x}=\sqrt{1+\tan ^2 \psi} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d x}=\sec \psi \\ \Rightarrow \frac{d x}{d s}=\cos \psi \cdots(1) \\ \frac{d y}{d s}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d s}=\tan \psi \cos \psi \\ \Rightarrow \frac{d y}{d s}=\sin \psi \\ \frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d s}\right)=\frac{d}{d x}(\sin \psi) \\ =\frac{d}{d \psi}(\sin \psi) \frac{d \psi}{d x} \\ =\cos \psi \frac{d \psi}{d x} \\ =\frac{d x}{d s} \cdot \frac{d \psi}{d x} [(1)से] 
\Rightarrow \frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d s}\right)=\frac{d y}{d s} \\ =\frac{1}{\rho} \\ \Rightarrow \frac{1}{\rho}=\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d s}\right)

Curvature in Differential Calculus

Example:11(e).निम्नलिखित वक्र के किसी बिन्दु ‘t’ पर वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
(Find the radius of curvature at any point ‘t’ of the following curves):

x=a \cos t-a \cos 3 t, y=3 a \sin t-a \sin 3 t
Solution:  x=a \cos t-a \cos 3 t, y=3 a \sin t-a \sin 3 t \\ \frac{d x}{d t}=x^{\prime}=-3 a \sin t+3 a \sin 3 t, \frac{d y}{d t}=y^{\prime}=3 a \cos t-3 a \cos 3 t

तथा \frac{d^2 x}{d t^2}=x^{\prime \prime}=-3 a \cos t+9 a \cos 3 t, \frac{d^2 y}{d t^2}=y^{\prime \prime}=-3 a \sin t+9 a \sin 3 t \\ \rho=\frac{\left(x^{12}+y^{12}\right)^{\frac{3}{2}}}{x^{\prime} y^{\prime \prime}-y^{\prime} x^{\prime \prime}} \\ =\frac{\left[(-3 a \sin t+3 a \sin 3 t)^2+(3 a \cos t-3 a \cos 3 t)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\begin{array}{c}(-3 a \sin t+3 a \sin 3 t)(-3 a \sin t+9 a \sin 3 t)\\- (3 a \cos t-3 a \cos 3 t)(-3 a \cos t+9 a \cos 3 t)\end{array}} \\ \frac{\left[\begin{array}{c}9 a^2 \sin ^2 t+9 a^2 \sin ^2 3 t-18 a^2 \sin t \sin 3 t+ \\ 9 a^2 \cos ^2 t+9 a^2 \cos ^2 3 t-18 a^2 \cos t \cos 3 t\end{array} \right]^{\frac{3}{2}}}{\begin{array}{c}9 a^2 \sin ^2 t-36 a^2 \sin t \sin 3 t+27 a^2 \sin ^2 3 t \\ +9 a^2 \cos ^2 t-36 a^2 \cos t \cos 3 t+27 a^2 \cos ^2 3 t\end{array}} \\ =\frac{\left[\begin{array}{c}9 a^2 \left(\sin ^2 t+\cos ^2 t\right)+9 a^2\left(\sin ^2 3 t+\cos ^2 3 t\right)\\ -18 a^2(\cos t \cos 3 t+\sin t \sin 3 t)\end{array}\right]^{\frac{3}{2}}}{\begin{array}{c}9 a^2\left(\sin ^2 t+\cos ^2 t\right)+27 a^2 \left(\sin ^2 3 t+\cos ^2 3 t\right) \\ -36 a^2(\cos t \cos 3 t+\sin t \sin 3 t)\end{array}} \\=\frac{\left[9 a^2+9 a^2-18 a^2 \cos (3 t-t)\right]^{\frac{3}{2}}}{9 a^2+27 a^2-36 a^2 \cos (3 t-t)} \\ =\frac{\left[18 a^2-18 a^2 \cos 2 t\right]^{\frac{3}{2}}}{36 a^2-36 a^2 \cos 2 t} \\ =\frac{\left(18 a^2\right)^{\frac{3}{2}}(1-\cos 2 t)^{\frac{3}{2}}}{36 a^2(1-\cos 2 t)} \\ =\frac{54 \sqrt{2} a^3}{36 a^2}(1-\cos 2 t)^{\frac{1}{2}} \\ =\frac{3 \sqrt{2} a\left[1-\left(1-2 \sin ^2 t\right)\right]^{\frac{1}{2}}}{2} \\ =\frac{3 \sqrt{2} a\left[1-1+2 \sin ^2 t\right]^{\frac{1}{2}}}{2} \\ =\frac{3 \sqrt{2}}{2} a\left[1-1+2 \sin ^2 t\right]^{\frac{1}{2}} \\ =\frac{3 \sqrt{2} a}{2}\left(2 \sin ^2 t\right)^{\frac{1}{2}} \\ =\frac{3 \sqrt{2} a}{2} \times \sqrt{2} \sin t \\ =\frac{6 a}{2} \sin t \\ =3 a \sin t \\ \Rightarrow \rho =3 a \sin t
Example:12.उस वक्र के लिए वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए
(Find the radius of curvature for the curve for which)

x=c \log \left\{s+\sqrt{\left(c^2+s^2\right)}\right\} ; y=\sqrt{\left(c^2+s^2\right)}
Solution: x=c \log \left\{s+\sqrt{\left(c^2+s^2\right)}\right\} ; y=\sqrt{\left(c^2+s^2\right)} \\ \frac{d x}{d s}=c \cdot \frac{1}{s+\sqrt{c^2+s^2}}\left[1+\frac{s}{\sqrt{c^2+s^2}}\right] \\ =\frac{c}{s+\sqrt{c^2+s^2}} \times \frac{s+\sqrt{c^2+s^2}}{\sqrt{c^2+s^2}} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d s}=\frac{c}{\sqrt{c^2+s^2}} \\ \frac{d y}{d s}=\frac{s}{\sqrt{c^2+s^2}} \\ \frac{d^2 y}{d s^2}= \frac{\sqrt{c^2+s^2} \cdot 1-s \cdot \frac{S}{\sqrt{c^2+s^2}}}{c^2+s^2} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d s^2}=\frac{c^2+s^2-s^2}{\left(c^2+s^2\right)^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d s^2}=\frac{c^2}{\left(c^2 +s^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \\ \frac{1}{\rho} =-\frac{\left(\frac{d^2 y}{d s^2}\right)}{\left(\frac{d x}{d s}\right)} \\=\frac{\frac{-c^2}{\left(c^2+s^2\right)^{\frac{3}{2}}}}{\frac{c}{\sqrt{c^2+s^2}}} \\ =-\frac{c}{\left(c^2+ s^2\right)} \\ \rho=\frac{c^2+s^2}{c} (संख्यात्मक मान)
Example:13.सिद्ध कीजिए कि उस वक्र का,जिसके लिए S=\sqrt{(8 a y)} (चक्रज),नैज समीकरण S=4 a \sin \psi है तथा इससे सिद्ध कीजिए कि
(Show that the curve, for which S=\sqrt{(8 a y)}(cycloid) has its intrinsic equation S=4 a \sin \psi and hence prove that)

P=4 a \sqrt{\left(1-\frac{y}{2 a}\right)}
Solution: s=\sqrt{8 a y} \Rightarrow S^2=8 a y
s के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2 s=8 a\left(\frac{d y}{d s}\right) \\ \Rightarrow S=4 a \sin \psi\left[\because \frac{d y}{d s}=\sin \psi\right] \\ \rho=\frac{d s}{d \psi}=u a \cos \psi \\ =4 a \sqrt{1-\sin ^2 \psi} \\ =4 a \sqrt{1-\left(\frac{s}{4 a}\right)^2} \\ =4 a \sqrt{1-\frac{s^2}{16 a^2}} \\=4 a \sqrt{1-\frac{4 a y}{16 a^2}} \\ \Rightarrow \rho=4 a \sqrt{1-\frac{y}{4 a}}
Example:14.वक्र y=a e^{\frac{x}{a}} के लिए सिद्ध कीजिए कि
(For the curve y=a e^{\frac{x}{a}} , prove that)
\rho=a \sec ^2 \theta \operatorname{cosec} \theta जहाँ (where) \theta=\tan ^{-1} \left(\frac{y}{a}\right)
Solution: y=a e^{\frac{x}{a}} \cdots(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=e^{\frac{x}{a}} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{y}{a} [(1) से]….(2)
पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{1}{a} \cdot \frac{d y}{d x} \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{1}{a} \cdot \frac{y}{a} \\ \rho=\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{d x^2}} \\ =\frac{\left[1+ \left(\frac{y}{a}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{a} \cdot \frac{y}{a}} \\ =\frac{\left[1+\tan ^2 \theta \right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{a} \tan \theta} \\ \left[\because \tan \theta=\frac{y}{a}\right] \\ \rho= \frac{a\left(\sec ^2 \theta\right)^{\frac{3}{2}}}{\tan \theta} \\ \rho=a \sec^3 \theta \cot \theta \\ \rho=a \sec ^2 \theta \operatorname{cosec} \theta
जहाँ \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{y}{a}\right)
Example:15.सिद्ध कीजिए कि कैटिनरी y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right) के किसी बिन्दु पर वक्रता त्रिज्या \frac{y^2}{a} है तथा समान शक्ति वाली कैटिनरी की वक्रता त्रिज्या है।
(Prove that the radius of curvature of the catenary y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right) is \frac{y^2}{a}, and that of the catenary of the uniform strength is)
Solution: y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right)
पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{1}{2 a}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right) \\ =\frac{1}{2 a} \cdot \frac{2 y}{a} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{y}{a^2} \\ \rho =\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 \right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{d x^2}} \\ =\frac{\left[1+\frac{1}{4}\left(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{y}{a^2}} \\ =\frac{\left(4+e^{\frac{2 x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}-2\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{8 y}{a^2}} \\ =\frac{\left(e^{\frac{2 x}{a}}+e^{-\frac{2 x}{a}}+2 \right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{8 y}{a^2}} \\ =\frac{\left[\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)^2 \right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{8 y}{a^2}} \\ =\frac{\left(\frac{2 y}{a}\right)^3}{\frac{8 y}{a^2}} \\ =\frac{8 y^3}{a^3} \times \frac{a^2}{8 y} \\ \Rightarrow \rho =\frac{y^2}{a}
पुन: y=c \log \sec \left(\frac{x}{c}\right)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sec \left(\frac{x}{c}\right)} \cdot \sec \left(\frac{x}{c}\right) \tan \left(\frac{x}{c}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\tan \frac{x}{c}
पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{1}{c} \sec ^2\left(\frac{x}{c}\right) \\ \rho=\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x} \right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{d x^2}} \\ =\frac{\left[1+\tan ^2 \frac{x}{c}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{c} \sec ^2 \frac{x}{c}} \\ =\frac{\left(\sec ^2 \frac{x}{c} \right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{c} \sec ^2 x} \\ =\frac{c \sec ^3 \frac{x}{c}}{\sec ^2 \frac{x}{c}} \\ \Rightarrow \rho=c \sec \frac{x}{c}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकलन गणित में वक्रता (Curvature in Differential Calculus),वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature) को समझ सकते हैं।

3.अवकलन गणित में वक्रता की समस्याएँ (Curvature in Differential Calculus Problems):

Curvature in Differential Calculus

(1.)वक्र की वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसमें
(Find the radius of curvature for the curve in which)

x=2 a \sin ^{-1}\left(\frac{s}{4 a}\right)+\frac{1}{2} s \sqrt{\left[1-\left(\frac{s^2}{16 a^2}\right)\right]} ; y=\frac{s^2}{8 a}
(2.)वक्र r=6\left(1-\sin ^2 \frac{1}{2} \theta\right) के लिए सिद्ध करो:
(Show that for the curve r=6\left(1-\sin ^2 \frac{1}{2} \theta\right).)

\rho=4 \cos \frac{1}{2} \theta
उत्तर (Answer): (1.) \sqrt{\left(16 a^2-s^2\right)}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकलन गणित में वक्रता (Curvature in Differential Calculus),वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.वक्रता-त्रिज्या के लिए सूत्र,जबकि x तथा y दोनों s के फलन हों (Formula for Radius of curvature when x and y both are function of s):

हम जानते हैं कि \cos \psi=\frac{d x}{d s} तथा \sin \psi=\frac{d y}{d s}
प्रत्येक का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

-\sin \psi \frac{d \psi}{d s}=\frac{d^2 x}{d s^2}, \cos \psi \frac{d \psi}{d s}=\frac{d^2 y}{d s^2} \\ \frac{1}{\rho}=-\frac{\left(\frac{d^2 x}{d s^2}\right)}{\sin \psi} \\ =-\frac{\left(\frac{d^2 x}{d s^2}\right)}{\frac{d y}{d s}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\rho} \frac{d y}{d s}=-\frac{d^2 x}{d s^2} \cdots(1)
इसी प्रकार \frac{1}{\rho}=\frac{-\left(\frac{d^2 y}{d s^2}\right)}{\cos \psi} \\ =\frac{-\left(\frac{d^2 y}{d s^2}\right)}{\left(\frac{d x}{d s}\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{\rho}\left(\frac{d x}{d s}\right)=-\left(\frac{d^2 y}{d s^2}\right) \ldots(2)
अब (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर:

क्योंकि \left(\frac{d x}{d s}\right)^2+\left(\frac{d y}{d s}\right)^2=1

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5.अवकलन गणित में वक्रता (Frequently Asked Questions Related to Curvature in Differential Calculus),वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकलन गणित में वक्रता (Curvature in Differential Calculus),वक्रता त्रिज्या का अध्ययन इस
आर्टिकल में करेंगे।कुछ सवालों को हल करके वक्रता एवं वक्रता त्रिज्या की अवधारणा को समझेंगे।