1. उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक ) (Cosets of Subgroup),सहकुलक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cosets?):

Cosets of Subgroup

उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक  (Cosets of Subgroup)
उपसमूह का सूचकांक (Index of a Subgroup) परिभाषा:यदि H किसी ग्रुप G का एक उपग्रुप है तो H में G के विभिन्न असंयुक्त वाम (दक्षिण) सहसमुच्चयों की संख्या H का G में सूचकांक (index) कहलाता है तथा इसका संकेत [G:H] है।
अब यदि H के असंयुक्त वाम (दक्षिण) सहसमुच्चयों की संख्या k हो तो लैग्रेंज प्रमेय से:
o(G)=k o(H) \\ \Rightarrow[G : H]=\frac{o(G))}{o(H)}
चक्रीय ग्रुप के उपग्रुप (Subgroups of Cyclic Group):
प्रमेय (Theorem):1.एक चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय होता है।
(Every subgroup of a cyclic group is a cyclic group.)
उपपत्ति (Proof):मानलो कि G=[a] एक चक्रीय ग्रुप है जिसका जनक ‘a’ है तथा H,G का उपग्रुप है।
यदि H=G या H={e} जहाँ e तत्समक अवयव है तो स्पष्टतः H एक चक्रीय ग्रुप होगा।
माना H,G का उचित (Proper) उपग्रुप है।
H \subset G इसलिए H का प्रत्येक अवयव a की घात में होगा।
माना कि m न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार है कि a^{m} \in H साथ ही
माना कि a,H का स्वेच्छ अवयव है तो विभाजन कलन विधि से:
s=mq+r जहाँ 0 \leq r<m
या r=s-mq
और इसलिए a^{r}=a^{s-m q}
अब H,G का उपग्रुप है इसलिए
a^{S} \in H, a^{m} \in H \Rightarrow a^{S} \in H, a^{-m} \in H \\ \Rightarrow a^{s} \in H,\left(a^{-m}\right)^{q} \in H [H में संवृत्त गुणधर्म से]
\Rightarrow a^{S} \in H, a^{-m q} \in H \\ \Rightarrow a^{r} \in H जहाँ 0 \leq r<m
परन्तु m तो न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक है
जिसके लिए
a^{m} \in H तथा 0 \leq r<m
इसलिए a^{r} \in H सम्भव तभी है जबकि r=0 अर्थात् s=mq
परन्तु a^{r} तो H का स्वेच्छ (arbitrary) अवयव है
इसलिए a^{s}=a^{m q}=\left(a^{m}\right)^{q}
फलतः H का प्रत्येक अवयव  a^{m} की कोई है।

अतः H=\left[a^{m}\right] ,G का प्रत्येक उपग्रुप चक्रीय है।
प्रमेय (Theorem):2.अपरिमित चक्रीय ग्रुप का प्रत्येक उचित उपग्रुप अपरिमित होता है।
(Every proper subgroup of an infinite cyclic group is always infinite.)
Solution:माना G=[a] एक अपरिमित चक्रीय ग्रुप है जिसका जनक a है तथा H,G का उचित उपग्रुप है।स्पष्ट है कि H का प्रत्येक अवयव a की कोई पूर्णांक घात (Integral power) है।माना कि m वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए a^{m} \in H अत: प्रमेय 1 से H=\left[a^{m}\right]
अब यदि सम्भव हो तो मान लो कि H एक परिमित ग्रुप है तथा
o(H)=n \Rightarrow o\left(a^{m}\right)=n \\ \Rightarrow\left(a^{m}\right)^{n}=e \\ \Rightarrow a^{m n}=e अर्थात् a का अवयवांक परिमित
o(a)=mn या o(a) परिमित
\Rightarrow o(G) परिमित है \left [ \because o(G)=o(a) \right ]
जो कि असम्भव है क्योंकि दिया हुआ है G अपरिमित है।परिणामतः G का प्रत्येक उचित उपग्रुप अपरिमित है।
प्रमेय (Theorem):3.यदि अवयव a से जनित चक्रीय समूह G का समूहांक n है तो सिद्ध कीजिए कि a^{m} भी G का जनक होगा यदि और केवल यदि m,n परस्पर रूढ़ अर्थात् (m,n)=1 है।
(If a circle group G is generated by an element ‘a’ of order then a^{m} is also a generator iff (m,n)=1.)
उपपत्ति (Proof):माना कि H,G का उपग्रुप है तथा इसका जनक a^{m} है।
यदि m तथा n परस्पर रूढ़ हो तो x,y ऐसी दो पूर्ण संख्याएं प्राप्त की जा सकती हैं कि
mx+ny=1
अतः a^{m x+n y} =a^{1} \\ \Rightarrow a^{m x} \cdot a^{n y} =a \\ \Rightarrow\left(a^{m}\right)^{x} \cdot \left(a^{n} \right)^{y}=a \\ \Rightarrow \left(a^{m}\right)^{x} \cdot e=a \\ \Rightarrow\left(a^{m}\right)^{x}=a \\ \Rightarrow a \in H \\ \therefore a \in G \Rightarrow a \in H \Rightarrow G \subseteq H
किन्तु H,G का उपसमूह है अर्थात् उपसमुच्चय है इसलिए H \subseteq G
अतः G=H=\left[a^{m}\right] अर्थात् G का जनक a^{m} है।
विलोमत:माना कि a^{m }, ग्रुप का जनक है तो

G=\left[a^{m n} \mid n \in z\right]
परन्तु a \in G इसलिए एक ऐसा पूर्णांक x विद्यमान होगा कि

\left(a^{m}\right)^{x}=a \\ \Rightarrow a^{m x}=a \\ \Rightarrow a=a^{m x} e \\ =a^{m x}\left(a^{n}\right)[चूँकि] a^{n}=e

\Rightarrow a =a^{m} x\left(a^{n}\right)^{y} \\ =a^{m x} \cdot a^{n y} \\ =a^{m x+n y}
फलतः 1=mx+ny
अर्थात् m,n परस्पर रूढ़ हैं अर्थात् (m,n)=1
प्रमेय (Theorem):4.सिद्ध कीजिए कि रूढ़ (अभाज्य संख्या) कोटि वाला प्रत्येक समूह एक चक्रीय समूह होता है।
(Prove that every group of prime order is a cyclic group.)
उपपत्ति (Proof):माना कि G एक परिमित ग्रुप है जिसका ग्रुपांक एक अभाज्य संख्या p है तब हमें सिद्ध करना है कि G एक चक्रीय ग्रुप है।[अभाज्य संख्या की परिभाषा है कि कोई पूर्ण संख्या p अभाज्य कहलाती है यदि (i)p>1 (ii)1तथा p के अतिरिक्त p का कोई ओर धनात्मक भाजक नहीं हो।]क्योंकि G का ग्रुपांक एक अभाज्य संख्या p है इसलिए G में कम से कम 2 अवयव है।इसलिए एक ऐसा अवयव a का अस्तित्व होगा कि a \in G तथा a \neq तत्समक अवयव e।
क्योंकि a तत्समक अवयव नहीं है इसलिए o(a) \geq 2 ।
माना o(a)=m तब H=[a] एक चक्रीय ग्रुप G का है तथा o(H)=o(a)=m
लैग्रेंज प्रमेय (Lagrange’s Theorem) से m,p का भाजक होना चाहिए परन्तु p एक अभाज्य संख्या है तथा m \geq 2 अतः m=p
H=G क्योंकि H एक चक्रीय ग्रुप है इसलिए G भी एक चक्रीय ग्रुप है।
प्रमेय )Theorem):5.H और K किसी ग्रुप G के परिमित उपग्रुप हैं और उनकी कोटि क्रमशः o(H) व o(K) है तो सिद्ध कीजिए कि
(If H and K are finite subgroups of a group G and are of orders o(H) and o(K) respectively then show that 

o(H K)=\frac{o(H) \cdot o(K)}{o(H \cap K)}
Solution:HK,G का उपसमुच्चय है तथा यह आवश्यक नहीं है कि HK,G का उपग्रुप है।o((HK) से हमारा अभिप्राय HK के विभिन्न अवयवों से है।
माना कि C=H \cap K तब C,G का उपग्रुप है तथा H \cap K=C \subseteq K
इसलिए C,K का उपग्रुप है।चूँकि K एक सीमित ग्रुप है इसलिए इसके विभिन्न दक्षिण सहसमुच्चयों की संख्या भी सीमित होगी।माना कि इनकी संख्या m है तो लैग्रेंज प्रमेय (Lagrange’s Theorem) से

m=\frac{o(K)}{o(C)}=\frac{o(K)}{o(H \cap K)}
यदि CK_{1}, CK _{2}, CK _{3}, \ldots, C K_{m};K में C के विभिन्न सहसमुच्चय हैं
तब K=C K_{1} \cup C K_{2} \cup C K_{3} \cdots \cdots \cup C K_{m}=U_{i=1}^{m} C K_{i}
जहाँ K_{1} , K_{2}, K_{3}, \cdots K_{m} सभी K के विभिन्न अवयव हैं।
अब H K=H \left(U_{i=1}^{m} C K_{i}\right)=U_{i=1}^{m} H C k _{i} \\ =U_{i=1}^{m} H K_{i} [चूँकि C \subseteq H \Rightarrow H C=H ] 

=H K_{1} \cup HK_{2} \cup H K_{3} \ldots . . H K_{m} \cdots(1)
हम यह सिद्ध करेंगे कि HK_{1}, HK _{2}, \ldots H K_{m} के परस्पर (pair-wise) समुच्चय असंयुक्त हैं।
अब H K_{i}=H K_{j} \Rightarrow K_{i} K_{j}^{-1} \in H \\ \Rightarrow K_{i} K_{j}^{-1} \in H \cap K
[चूँकि K_{i} K_{j} \in K \Rightarrow K_{i} K_{j}^{-1} \in K ]
\Rightarrow K_{i} K_{j}^{-1} \in C \\ \Rightarrow C K_{i}=C K_{j} \\ \Rightarrow K_{i}= K_{j} जो असत्य है।
अतः HK_{1} ,HK_{2}, H K_{3} \ldots H K_{m} परस्पर असंयुक्त हैं तथा प्रत्येक में अवयवों की संख्या o(H) के समान है।
अतः (1) से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

o(H K)=m \times o(H) \\ \Rightarrow O(H K)=m \times o(H) =\frac{o(K)}{o(H \cap K)} \cdot O(H) \\ =\frac{o(K) \cdot o(H)}{o(H \cap K)}
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2. उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक ) के उदाहरण (Cosets of Subgroup):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि एक परिमित समूह की कोटि इसके उपसमूह की कोटि इसके उपसमूह की कोटि का गुणक है।
(Prove that order of a finite group is multiple of the order of its subgroup.)
Solution:मानलो कि G एक परिमित ग्रुप है जिसका ग्रुपांक n है और H,G का एक उपग्रुप है तथा H का ग्रुपांक m है अर्थात्
o(G)=n,o(H)=m
तथा किसी a \in G के लिए एक प्रतिचित्रण f: H \rightarrow a H से इस प्रकार परिभाषित है कि f(h)=ah
यह प्रतिचित्रण आच्छादक (onto) है क्योंकि aH का प्रत्येक अवयव का स्वरूप ah,h \in H का है, साथ ही किन्ही दो अवयवों
h_{1}, h_{2} \in H  \\ f\left(h_{1}\right)=f\left(h_{2}\right) \Rightarrow a h_{1}=a h_{2} \Rightarrow h_{1}=h_{2}(वाम निरसन नियम से)
अतः f एकैकी तथा आच्छादक (one-one onto) प्रतिचित्रण H का aH पर है।अर्थात्
o(H)=o(aH)
इसी प्रकार o(H)=o(Ha)
इसलिए o(H)=o(aH)=o(Ha)
हम जानते हैं कि G=U_{a \in G} aH
परन्तु H के सभी वाम सहसमुच्चय असंयुक्त नहीं होते अतः माना कि

a_{1} H, a_{2} H, a_{3} H, \ldots \cdots, a_{k} H
H के K असंयुक्त वाम सहसमुच्चय हैं।

\therefore G=a_{1} H \cup a _{2} H \cup a_{3} H \cup \ldots \cup a_{k} H
क्योंकि दाहिना पक्ष (R.H.S) में सभी सहसमुच्चय असंयुक्त हैं अतः

o(G)=o\left(a_{1}H\right)+o\left(a_{2} H\right)+ \cdots +o\left(a_{k}H\right)
परन्तु o(a H)=o(H) \forall a \in G \\ \therefore o(G)=o(H)+o(H)+o(H), \cdots k \text { बार } \\ \Rightarrow o(G)=k o(H)
अतः परिमित समूह की कोटि इसके उपसमूह की कोटि का गुणक है।
Example:2.समूह (I,+) में 5I के सभी सहकुलक (सहसमुच्चय) ज्ञात कीजिए जहाँ I पूर्णांकों का समुच्चय है।
(Find all the cosets of 5I in the additive group (I,+) of integers.)
Solution:I={…….-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,….}
5I={……..-25,-20,-15,-10,-5,0,5,10,15,20,25,………}
क्योंकि ग्रुप G क्रमविनिमेय है अतः दक्षिण समुच्चय (सहकुलक) तथा वाम सहसमुच्चय (सहकुलक) दोनों समान होंगे।अब हमें I में 5I के विभिन्न सहसमुच्चय निम्न प्रकार प्राप्त होते हैं:
0 \in I तथा 5I=5I+0={…-20,-15,-10,-5,0,5,10,15,20,…}=5I
1 \in I तथा 5I=5I+1={…-19,-14,-9,-4,1,6,11,16,21,…}=5I+1
2 \in I तथा 5I=5I+2={…-18,-13,-8,-3,2,7,12,17,22,…}=5I+2
3 \in I तथा 5I=5I+3={…-17,-12,-7,-2,3,8,13,18,23,…}=5I+3
4 \in I तथा 5I=5I+4={…,-16,-11,-6,-1,4,9,14,19,24,…}=5I+4
5 \in I तथा 5I=5I+5={…-15,-10,-5,0,5,10,15,…}=5I
…………………………………………………….
……………………………………………………..
-1 \in I तथा 5I=5I+(-1)={…-21,-16,-11,-6,-1,4,9,14,19…}=5I+4
-2 \in I तथा 5I=5I+(-2)={…,-22,-17,-12,-7,-2,3,8,13,18,…}=5I+3
-3 \in I तथा 5I=5I+(-3)={…,-23,-18,-13,-8,-3,2,7,12,17,…}=5I+2
यदि हम उपर्युक्त सभी सहसमुच्चयों का अवलोकन करें तो स्पष्ट है कि
5I+0=5I+5=5I+10=5I+15=……5I+(-5)=5I+(-10)=….
5I+1=5I+6=5I+11=….=5I+(-4)=5I+(-9)=…
5I+2=5I+7=5I+12=….=5I+(-3)=5I+(-8)=….
5I+3=5I+8=5I+13=…..=5I+(-2)=5I+(-7)=…
5I+4=5I+9=5I+14=…..=5I+(-1)=5I+(-6)=…
उपर्युक्त से स्पष्ट है कि I में से 5I के केवल निम्न सहसमुच्चय हैं
5I,5I+1,5I+2,5I+3,5I+4
साथ ही I=5I \cup 5I+1 \cup 5I+2 \cup 5I+3 \cup 5I+4

Cosets of Subgroup

Example:3.मान लें ग्रुप G का एक उपग्रुप है तथा x \in G तब सिद्ध कीजिए कि यदि y \in H x  तो Hx=Hy.
(Let H be a subgroup of a group G and x be an element of G,then Show that if y \in H x  then Hx=Hy)
Solution: y \in H x
तथा H,G का उपग्रुप है अतः
x^{-1} H=y^{-1} H \Rightarrow \exists h_{i} ; h_{j} \in H इस प्रकार कि

x^{-1} h_{i}=y^{-1} h_{j} \\ \Rightarrow\left(x x^{-1}\right) h_{i}=\left(x y^{-1}\right) h_{j} \\ \Rightarrow h_{i}=xy^{-1} h_{j} \\ \Rightarrow h_{i} h_{j}^{-1}=x y^{-1} \\ \Rightarrow H\left(h_{i} h_{j}^{-1}\right)=H\left(x y^{-1}\right) \\ \Rightarrow H=H x y^{-1} [चूँकि h_{i} h_{j}^{-1} \in H ]

\Rightarrow H=H x y^{-1} \\ \Rightarrow x y^{-1} \in H \\ \Rightarrow H x=H y
Example:4.यदि Hx और Hy ग्रुप G में H के दो दक्षिण सहसमुच्चय है तो सिद्ध कीजिए कि Hx से Hy में एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण विद्यमान है।यह भी सिद्ध कीजिए कि H x \cap H y \neq \phi \Rightarrow H x=H y
(If Hx and Hy be two right cosets of H in a group G then show that there exists one-one mapping of Hx onto Hy.Show also that H x \cap H y \neq \phi \Rightarrow H x=H y
Solution:Hx,Hy उपग्रुप H के दो दक्षिण सहसमुच्चय है तथा H,G का उपग्रुप है।माना f: H x \rightarrow H y परिभाषित है

f(h x)=h y \quad \forall h \in H
फलन एकैकी है यदि
h_{1}, h_{2} \in H  तब h_{1} x, h_{2} x \in H x
f की परिभाषा से:
f(h_{1} x)=h_{1} y तथा f\left(h_{2} x\right)=h_{2} y \\ f(h_{1} x)=f\left(h_{2} x\right) \\ \Rightarrow h_{1} y=h_{2} y \\ \Rightarrow h_{1}=h_{2} [दक्षिण निरसन से]

\Rightarrow h_{1} x=h_{2} x
अतः f एकैकी है।
फलन f आच्छादक होने के लिए:
माना h’y कोई स्वेच्छ है Hy का
तब h^{\prime} y \in H y \Rightarrow h^{\prime} \in H \Rightarrow h^{\prime} x=H x
अब f(h’y)=h’y (f की परिभाषा से)
इस प्रकार h^{\prime} y \in H y \Rightarrow \exists h^{\prime} x \in H x
f(h’x)=h’y अतः f आच्छादक है।
अतः Hx से Hy में एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण विद्यमान है।
H x \cap H y \neq \phi \\ \Rightarrow a, b \in H x \cap H y \\ \Rightarrow a \in H x \cap H y \\ \Rightarrow a \in H x तथा a \in H y
इसी प्रकार b \in H x \cap H y \\ \Rightarrow b \in H x तथा b \in H y \\ a \in H x, b \in H x \Rightarrow a b^{-1} \in Hx \cdots(1) \\ a \in H y, b \in H y \Rightarrow a b^{-1} \in H y \cdots(2)
(1) और (2) से:
Hx=Hy
Example:5.आबेली समूह \left\{G=\left\{1,-1, i,-i\right\}, *\right] में H={1,-1} के सभी वाम तथा दक्षिण सहसमुच्चय ज्ञात कीजिए।
(Find all left and right cosets of H={1,-1} in the abelian group \left\{G=\left\{1,-1, i,-i\right\}, *\right].)
Solution:G आबेली समूह है अतः दक्षिण तथा वाम सहसमुच्चय समान होंगे।
Solution:,H={1,-1}
1 \in G तथा H=H.1={1,-1}=H
-1 \in G तथा H=H.(-1)={-1,1}=H
i \in G तथा H=H.(i)={I,-i}=H(i)
-i \in G तथा H=H.(-i)={-i,i}=H(i)
G में H के सभी दक्षिण तथा वाम सहसमुच्चय
H,H(i)
उपर्युक्त उदाहरणों के सहकुलक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cosets?),उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक ) (Cosets of a Subgroup) को समझ सकते हैं।

3. उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक ) की समस्याएं (Cosets of a Subgroup):

Cosets of Subgroup

(1.)मान लीजिए कि H एक ग्रुप G का उपग्रुप है तो सिद्ध कीजिए कि दो दक्षिण सहसमुच्चय Ha,Hb भिन्न हैं यदि और केवल यदि दो वाम सहसमुच्चय a^{-1} H ,b^{ -1 } H भिन्न हैं।
(Let H be a subgroup of a group G.Prove that the two right cosets Ha,Hb are distinct if and only if the two left cosets a^{-1} H ,b^{ -1 } H are distinct.)
(2.)मान लें कि H तथा K ग्रुप G के परिमित सूचकांक वाले उपग्रुप हैं तथा मान लें कि सिद्ध कीजिए कि
[G:H]=[K:H].[G:K]
(Let H and K be subgroups of finite index in a group G and suppose Prove that 
[G:H]=[K:H].[G:K]
(3.)यदि H किसी समूह G का एक उपसमूह हो तथा g \in G हो तो सिद्ध कीजिए कि
(i)g H g^{-1}=\{g h g^{-1} \mid h \in H\},G का एक उपसमूह है।
(ii)यदि H सीमित है तो o(H)=o(g H g^{-1})
Let H be a subgroup of a group G and g \in G then prove that
(i)g H g^{-1}=\{g h g^{-1} \mid h \in H\},is a subgroup of G.
(ii)If H is finite then o(H)=o(g H g^{-1})
उपर्युक्त सवालों को हल करके सहकुलक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cosets?),उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक ) (Cosets of a Subgroup) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सहकुलक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cosets?),उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक ) (Cosets of a Subgroup) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

उपग्रुप (उपसूह) के सहकुलक ) (Cosets of Subgroup)
उपसमूह का सूचकांक (Index of a Subgroup) परिभाषा:यदि H किसी ग्रुप G का एक उपग्रुप है तो H
में G के विभिन्न असंयुक्त वाम (दक्षिण) सहसमुच्चयों की संख्या H का G में सूचकांक (index) कहलाता है