1.न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सहसम्बन्ध (Correlation by Method of Least Squares),सांख्यिकी में संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method in Statistics):

Correlation by Method of Least Squares

न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सहसम्बन्ध (Correlation by Method of Least Squares) न्यूनतम वर्ग विधि के अनुसार खींची गई सर्वोत्कृष्ट रेखा (Line of best fit) पर आधारित है।न्यूनतम वर्ग रेखा,प्रसामान्य समीकरणों (Normal Equations) की सहायता से खींची जाने वाली एक सर्वोपयुक्त उपयुक्तता रेखा (Estimating line of the best fit) है जिसके लक्षण होते हैं
(i)अवलोकित मूल्यों (y) और उक्त रेखा से संगणित तत्संवादी मूल्यों (y_{c}) का योग शून्य होता है,अर्थात् \Sigma(y-y_{c})=0
(ii)इस रेखा द्वारा संगणित मूल्यों के अवलोकित मूल्यों (y_{c}) के विचलनों के वर्गों का योग,अन्य किसी भी रेखा से निकाले गए विचलनों के वर्गों की तुलना में न्यूनतम होता है।अतः इसे न्यूनतम वर्ग रीति के नाम से संबोधित करते हैं।
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2.न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सहसम्बन्ध के उदाहरण (Correlation by Method of Least Squares Examples):

Example:1.निम्नलिखित समंकों से न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(From the following data,calculate coefficient of correlation by the least squares method):

Solution:Calculation of Computed Values of Y by Least Squares

\Sigma X=N a+b \Sigma X \\ 60=6 a+36 b \cdots(1) \\ \Sigma XY \equiv a \Sigma X+b \Sigma X^2 \\ 293=36 a+266 b \cdots(2)

समीकरण (1) को (6) से गुणा करने परः

360=36 a+216 b \cdots(3)
समीकरण (3) में से (2) घटाने परः

67=-50 b \Rightarrow b=\frac{67}{-50}=-1.34
b का मान समीकरण (1) में रखने परः

Computation of S y^{2} and \sigma y^{2 }

Correlation by Method of Least Squares

Example:2.निम्न आंकड़ों से न्यूनतम वर्ग विधि द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक,निश्चयन गुणांक तथा असहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(From the following data compute r,the coefficient of determination and coefficient of alienation by method of least squares):

Solution:Calculation of Computed Values of Y by Least-Squares

\Sigma Y=N a+b \Sigma x \\ 1260=7 a+28 b \cdots(1) \\ \Sigma X Y=a \Sigma x+b \Sigma x^2 \\ 5152=28 a+140 b \cdots(2)
समीकरण (1) को 4 से गुणा करने परः

5040=28 a+112 b \cdots(3)
समीकरण (2) में से (3) घटाने परः

132=28 b \Rightarrow b=\frac{112}{28}=4
b का मान समीकरण (1) में रखने परः

1260=7 a+28 \times 4 \\ \Rightarrow 7 a=1260-112 \Rightarrow a=\frac{1148}{7} \\ \Rightarrow a=164
Computation of S y^{2} and \sigma_{y^{2 }}

S_{y^2}=\frac{\Sigma\left(Y-Y_{c}\right)^2}{N}=\frac{568}{7}=81.1429 \\ \sigma_{y^{2}} =\frac{\Sigma (Y-\bar{Y})^2}{N}=\frac{1016}{7}=145.1429 \\ r=\sqrt{\left[1-\frac{S_{y^2}}{\sigma_y^2}\right]}=\sqrt{1-\frac{81.1429}{145.1429}} \\ =\sqrt{\frac{145.1429-81.1429}{145.1429}} \\ =\sqrt{\frac{64}{145.5264}}=\sqrt{0.440944}\\ =0.66403 \\ r \approx+0.66 (b का मान धनात्मक है अतः सहसम्बन्ध गुणांक धनात्मक होगा)
निश्चयन गुणांक C of D=r^2 \\ =0.66^2=0.4356 \\ \approx+0.44
अनिश्चयन गुणांक k=\sqrt{1-r^2} \\ =\sqrt{1-(0.44)} \\ =\sqrt{0.56} \\ =0.7483 \\ k \approx+0.75
3.सांख्यिकी में संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक के उदाहरण (Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method in Statistics Examples):
Example:45.निम्नलिखित समंकों से संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Calculate Coefficient of Concurrent deviation from the following data):

Solution:Calculation Table of Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method

r(c)= \pm \sqrt{ \pm\left(\frac{2 c-N}{N}\right)} \\ = \pm \sqrt{ \pm\left(\frac{2 \times 1-6}{7}\right)} \\ =-\sqrt{-\left ( -\frac{4}{7} \right )} \\ =-\sqrt{\frac{4}{7}}=-\sqrt{0.66667} \\ =-0.81649 \\ \Rightarrow r(c) =-0.8165
Example:46.संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(Find out coefficient deviation method from the following data):

Solution:Calculation Table of Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method

r(c)= \pm \sqrt{ \pm\left(\frac{2 C-N}{N}\right)} \\ = \pm \sqrt{ \pm\left(\frac{2 \times 2-10}{10}\right)} \\ = \pm \sqrt{ \pm\left(\frac{4-10}{10}\right)} \\ =-\sqrt{-\left(-\frac{6}{10}\right)} \\=-\sqrt{\frac{3}{5}}=-\sqrt{0.6} \\ =-0.77459 \\ r(c) \approx-0.77
Example:47.सहसम्बन्ध गुणांक से क्या तात्पर्य है? निम्न आँकड़ों से संगामी विचलन रीति से सहसम्बन्ध गुणांक की गणना करो।
(What is meant by correlation? Calculate the coefficient of concurrent deviations from the following data):

Solution:Calculatuon Table of Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method

r(c)= \pm \sqrt{ \pm\left(\frac{2 C-N}{N}\right)} \\ = \pm \sqrt{ \pm\left(\frac{2 \times 0-6}{6}\right)} \\ = \pm \sqrt{ \pm\left(-\frac{6}{6}\right)} \\ =-\sqrt{-(-1)} \\ \Rightarrow r(c)=-1
Example:49(i).यदि एक्स तथा वाई के मध्य सह-विचरण की मात्रा 9.6 तथा एक्स व वाई के प्रसरण क्रमशः 16 व 9 हों तो सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(If covariance between x and y variable is 9.6 and variance of x and y variables are 16 and 9 respectively.Find coefficient of correlation.)
Solution: corviance =\frac{\Sigma x y}{N}=9.6 \\ \sigma_x^2=16 \Rightarrow \sigma_x=4, \sigma_y^2=9 \Rightarrow \sigma_y=3 \\ r=\frac{\text { Covariance }}{\sigma_x \cdot \sigma_y} \\ =\frac{9.6}{4 \times 3}=\frac{9.6}{12} \Rightarrow r=0.8
Example:49(ii).पति तथा पत्नी की आयु में सहसम्बन्ध के अध्ययन हेतु पति तथा पत्नियों के समग्र में से 104 युग्मों का चयन किया गया।उनका सहसम्बन्ध गुणांक +0.9 पाया गया।समग्र के सहसम्बन्ध गुणांक की सीमाएँ क्या हैं?
(The study the correlation between the ages of husbands and wives a sample of 104 pairs is taken from the universe.It gives the coefficient of correlation between variables to be +0.9.Within what limits it hold true for the universe)
Solution: N=104,  r=+0.9

S.E. of r =\frac{1-r^2}{N} \\ =\frac{1-(0.9)^2}{104} \\ =\frac{1-0.81}{104}=\frac{0.19}{104} \\ \Rightarrow S.E. of r =0.001826
Limits it hold =r \pm 3 \text{S.E.} \\ =0.9 \pm 0.001826
0.898174 to 0.901826
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सहसम्बन्ध (Correlation by Method of Least Squares),सांख्यिकी में संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method in Statistics) को समझ सकते हैं।

4.सांख्यिकी में संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक की समस्याएं (Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method in Statistics Problems):

Correlation by Method of Least Squares

(1.)निम्न आंकड़े एक फैक्ट्री के 11 मजदूरों की आय व खर्चे के सम्बन्ध में दिए गए हैं।संगामी विचलन विधि के द्वारा मालूम कीजिए कि आय और खर्चे में क्या कोई सहसम्बन्ध है?
(The following data relate to the income and expenditure of 11 workers of a factory.Find,by concurrent deviations method,whether there is any correlation between income and expenditure):

(2.)निम्न आँकड़ों से संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक निकालिएः
(Calculate the coefficient of concurrent deviation from the data given below):

Answers:- (1.)r_{c}=+0.89
(2.) r_c=-1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सहसम्बन्ध (Correlation by Method of Least Squares),सांख्यिकी में संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सहसम्बन्ध (Frequently Asked Questions Related to Correlation by Method of Least Squares),सांख्यिकी में संगामी विचलन रीति द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक (Coefficient of Correlation by Concurrent Deviation Method in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सहसम्बन्ध (Correlation by Method of Least Squares) न्यूनतम वर्ग
विधि के अनुसार खींची गई सर्वोत्कृष्ट रेखा (Line of best fit) पर आधारित है।