Correlation by Karl Pearson Method

Mathematics Satyam February 16, 2023 Statistics No Comments

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1 1.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation):

1.1 2.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध के साधित उदाहरण (Correlation by Karl Pearson Method Solved Examples):

1.2 3.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध पर आधारित सवाल (Questions Based on Correlation by Karl Pearson Method):

1.2.1 4.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Frequently Asked Questions Related to Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.सहसम्बन्ध की अनुपस्थिति से आप क्या समझते हैं? (What Do You Understand by Absence of Correlation?):

1.2.3 प्रश्न:2.बहुगुणी सहसम्बन्ध से आप क्या समझते हैं? (What Do You Understand by Multiple Correlation?):

1.2.4 प्रश्न:3.रेखीय तथा वक्र रेखीय सहसम्बन्ध को स्पष्ट करो। (Explain Clearly Linear and Curvilinear Correlation):

1.2.4.1 Correlation by Karl Pearson Method

2 कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method)

2.1 Correlation by Karl Pearson Method

1.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation):

Correlation by Karl Pearson Method

कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method) गुणांक ज्ञात करने के लिए प्रत्यक्ष रीति तथा लघु रीति का प्रयोग किया जाता है।पिछले लेख में प्रत्यक्ष रीति से सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करना सीखा था।कुछ ओर उदाहरणों द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात करेंगे।
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2.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध के साधित उदाहरण (Correlation by Karl Pearson Method Solved Examples):

Example:10.समंकों द्वारा विनियोजित पूँजी एवं प्राप्त लाभ के मध्य कार्ल पियर्सन के सूत्र से सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of correlation between capital employed and profit obtained):

Capital employed	profit obtained
(Rs. Thousand)	(Rs. Thousand)
10	2
20	4
30	8
40	5
50	10
60	15
70	14
80	20
90	22
100	30

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

Capital	Deviation	Square of	Profit	Deviotions	Square of	Product of
(Rs. Thousand)	from mean	Deviation	(Rs. Thousand)	from mean	Deviation	Deviations
X	dx	$d^{2}x$	Y	dy	$d^{2}y$	dxdy
10	-45	2025	2	-11	121	495
20	-35	1225	4	-9	81	315
30	-25	625	8	-5	25	125
40	-15	225	5	-8	64	120
50	-5	25	10	-3	9	15
60	5	25	15	2	4	10
70	15	225	14	1	1	15
80	25	625	20	7	49	175
90	35	1225	22	9	81	315
100	45	2025	30	17	289	765
Total=550		8250	130		724	2350

capital Emplofed (X)
$\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{550}{10}=55 \\ \sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}}= \sqrt{\frac{8250}{10}} =\sqrt{825} \\ \sigma_x=28.7228$
Profit obtained (Y)
$\bar{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{130}{10}=13 \\ \sigma_y=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}} \\ =\sqrt{\frac{724}{10}}=8.5088 \\ \sigma_y=8.5088$
मूल सूत्र से :
$r=\frac{\Sigma d x d y}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{2350}{10 \times 28.7228 \times 8.5088} \\ =\frac{2350}{2443 .9656} \\=0.96155 \\ r \approx+0.96$
Example:11.निम्न समंकों के मध्य सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिए:
(Calculate the coefficient of correlation from the following data):

Marks in Statistics	Marks in Law
20	18
30	35
28	20
17	18
19	25
23	28
35	33
13	18
16	20
18	40

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

	Deviations	devations square		Deviations	devations square	product of
	from mean	of d		from mean	of d	Deviations
Marks(X)	dx	$d^{2}x$	Marks(Y)	dy	$d^{2}y$	dxdy
20	1	1	18	-7	49	-7
30	11	121	35	10	100	110
28	9	81	20	-5	25	-45
17	-2	4	18	-7	49	14
19	0	0	25	0	0	0
23	4	16	28	3	9	12
35	16	256	33	8	64	128
13	-6	36	18	-7	49	42
16	-3	9	20	-5	25	15
18	-1	1	40	15	225	-15
29		525		5	595	254

Marks in Statistics(X):
$\bar{X} =A_{x}+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =19+\frac{29}{10} \\ =19+2.9 \\ \bar{X} =21.9 \\ \sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\=\sqrt{\frac{525}{10}-\left(\frac{29}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{52.5-8.41}=\sqrt{44.09} \\ \sigma_x \approx 6.640$
Y-series
$\bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =25+\frac{5}{10} \\ =25+0.5 \\ \bar{Y}=25.5 \\ \sigma_y =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 Y}{N}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{595}{10}-\left(\frac{5}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{59.5-0.25} \\=\sqrt{59.25} \\ \sigma_y=7.6974 \\ r=\frac{\Sigma d x d y-N\left( \bar{X}-A_x\right)\left(\bar{Y}-A_y\right)}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{254-10(21.9-19)(25.5-25)}{10 \times 6.640 \times 7.6974} \\ =\frac{254-10 \times 2.9 \times 0.5}{511.10736} \\ =\frac{254-14.5}{511.10736} \\=\frac{239.5}{511.10736} \\ =0.0468590 \\ r \approx +0.4686$
Example:12.निम्नलिखित समंकों से कार्ल पियर्सन के सहसम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिए तथा उसकी प्रमाप विभ्रम भी ज्ञात कीजिए:
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of correlation from the following data and find out its standard error):

X	Y
105	101
104	103
102	100
101	98
100	95
99	96
98	104
96	92
93	97
92	94

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

	Deviations	devations square		Deviations	devations square	product of
	from mean	of d		from mean	od d	Deviations
X	dx	$d^{2}x$	Y	dy	$d^{2}y$	dxdy
105	5	25	101	6	36	30
104	4	16	103	8	64	32
102	2	4	100	5	25	10
101	1	1	98	3	9	3
100	0	0	95	0	0	0
99	-1	1	96	1	1	-1
98	-2	4	104	9	81	-18
96	-4	16	92	-3	9	12
93	-7	49	97	2	4	-14
92	-8	64	94	1	1	8
	-10	180		30	230	62

X-Series
$\bar{X}=A_{x}+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =100-\frac{10}{10} \\ =100-1 \\ \bar{X} =99 \\ \sigma_x =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{180}{10}-\left(\frac{-10}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{18-(-1)^2} \\ =\sqrt{18-1} \\=\sqrt{17} \\ \sigma =4.1231 \\ \sigma_{x} \approx 4.1231$
Y-Series
$\bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =95+\frac{30}{10} \\ =95+3 \\=98 \\ \bar{Y}=98 \\ \sigma_y= \sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^2} \\=\sqrt{\frac{230}{10}-\left(\frac{30}{10} \right)^2} \\ =\sqrt{23-9} \\ =\sqrt{14} \\ \sigma_y \approx 3.74165 \\ \sigma_y \approx 3.7417 \\r=\frac{\Sigma d x d y-N(\bar{X}-A_{x})(\bar{Y}-A_{y})}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{62-10(99-100)(98-95)}{10 \times 4.1231 \times 3.7417} \\ =\frac{62-10 \times-1 \times 3}{154.2740327} \\ =\frac{62+30}{154.2740327} \\ =\frac{92}{154.2740327} \\ =0.5963 \\ r \approx 0.60$
Q.E. of r = $\frac{1-r^2}{\sqrt{N}} \\ = \frac{1-(0.60)^2}{\sqrt{10}} \\ =\frac{(1-0.36)}{3.162277} \\ =\frac{0.64}{3.162277} \\= \frac{0.64}{3.162277} \\ =0.2023 \\ \text { S.E. of r } \approx 0.202$

Correlation by Karl Pearson Method

Example:13.निम्नलिखित से कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिएः
(Calculate Karl Pearson’s coefficient of correlation from the following.Take assumed mean 60 and 30.)

X	Y
50	22
54	25
56	34
59	28
60	26
62	30
61	32
65	30
67	28
71	34
71	36

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

	Deviations	Devations square		Deviations	Devations square	Product of
	from mean	of d		from mean	of d	Devations
X	dx	$d^{2}x$	Y	dy	$d^{2}y$	dxdy
50	-10	100	22	-8	64	80
54	-6	36	25	-5	25	30
56	-4	16	34	4	16	-16
59	-1	1	28	-2	4	2
60	0	0	26	-4	16	0
62	2	4	30	0	0	0
61	1	1	32	2	4	2
65	5	25	30	0	0	0
67	7	49	28	-2	4	-14
71	11	121	34	4	16	44
71	11	121	36	6	36	66
Total	16	474		-5	185	194

X-series
$\bar{X}=A_{x}+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =60+\frac{16}{11} \\ =60+1.4545 \\ =61.4545 \\ \bar{X}= 61.45 \\ \sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{474}{11}-\left(\frac{16}{11}\right)^2} \\ =\sqrt{43.0909-2.1157} \\ \sigma_x =\sqrt{40.9752} \\ =6.40118 \\ \sigma_x \approx 6.4012$
Y -series
$\bar{Y}=A_y+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =30-\frac{5}{11} \\ =30-0.4545 \\ \bar{y}=29.5455 \\ \sigma_y =\sqrt{\frac{185}{11}-\left(-\frac{5}{11}\right)^2} \\ =\sqrt{16.8181-0.2066} \\ =\sqrt{16.6115} \\ =4.07572 \\ \sigma_y \approx 4.0757 \\ r =\frac{\Sigma dx dy-N\left(\bar{x}-A_x\right)(\bar{Y}-A_{y})}{N \sigma_x \sigma_y} \\=\frac{194-11(61.45-60)(29.5455-30)}{11 \times 6.4012 \times 4.0757} \\ =\frac{194+11 \times 1.45 \times 0.4545}{286.9830792} \\ =\frac{194+7.249275}{286.9830792} \\ =\frac{201.249275}{286.9830792} \\=0.70125 \\ r \approx 0.7012$
Example:14.मुम्बई और कोलकता में समस्त वस्तुओं के मूल्य सूचकांक निम्नवत् थेः
(The index number of prices of all commodities in Mumbai and in Kolkata were as under):

Kolkata	Mumbai
169	204
182	222
182	225
192	228
198	229
209	233
227	249
238	266
250	255
253	255

(Do you think prices in Mumbai and Kolkata are correlated?)
Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

	Devations	Devations square		Devations	Devations square	product
	from mean	of d		from mean	of d	of Devations
X	dx	$d^{2}x$	Y	dy	$d^{2}y$	dxdy
169	-40	1600	204	-29	841	1160
182	-27	729	222	-11	121	297
182	-27	729	225	-8	64	216
192	-17	289	228	-5	25	85
198	-11	121	229	-4	16	44
209	0	0	233	0	0	0
227	18	324	249	16	256	288
238	29	841	266	33	1089	957
250	41	1681	255	22	484	902
253	44	1936	255	22	484	968
Total	10	2250		36	3380	4917

Kolkata Price Index(X):
$\bar{X} =A_x+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =209+\frac{10}{10} \\ =209+1 \\ \bar{x}=210 \\ \sigma_x =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{8250}{10}-\left(\frac{10}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{825-1} \\ =\sqrt{824} \\ =28.7054 \\ \sigma_x \approx 28.71$
Mumbai Price Index(Y):
$\bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =233+\frac{36}{10} \\ \bar{Y}=233+3.6 \\ \bar{Y}=236.6\\ \bar{Y}=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^2} \\ \sigma_y =\sqrt{\frac{3380}{10}-\left(\frac{36}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{338-12.96} \\ =\sqrt{325.04} \\ 18.0288 \\ \sigma_{y} \approx 18.029 \\ r=\frac{\Sigma dx dy-N\left(\bar{X}-A_{x}\right)\left(\bar{Y}-A_y\right)}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{4917-10(210-209)(236.6-233)}{10 \times 28.71 \times 18.029} \\ =\frac{4917-10 \times 1 \times (3.6)}{5176.1259} \\ =\frac{4917-36}{5176.1259} \\=\frac{4881}{5176.1259} \\=0.94298 \\ r \approx 0.94$
Example:15.निमानलिखित समंकों के आधार पर सहसम्बन्ध गुणांक की परिगणना कीजिए:
(From the following information calculate coefficient of correlation):

Year	No. of Worker(000)	Bales used(00000)
1995	368	22
1996	384	21
1997	385	24
1998	361	20
1999	347	22
2000	384	22
2001	395	26
2002	403	29
2003	400	28
2004	385	27

Solution:Calculation Table of Karl Pearson Coefficient of Correlation

		Deviations	Devations square		Deviations	Devations square	product of
	No.	from mean	of d	Bales	from mean	of d	Deviations
Year	X	dx	$d^{2}x$	Y	dy	$d^{2}y$	dxdy
1995	368	21	441	22	0	0	0
1996	384	37	1369	21	-1	1	-37
1997	385	38	1444	24	2	4	76
1998	361	14	196	20	-2	4	-28
1999	347	0	0	22	0	0	0
2000	384	37	1369	22	4	16	148
2001	395	48	2304	26	4	16	192
2002	403	56	3136	29	7	49	392
2003	400	53	2809	28	6	36	318
2004	385	38	1444	27	5	25	190
Total		342	14512		25	151	1251

No. of workers(X)
$\bar{X}=A_{x}+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =347+\frac{342}{10} \\ =347+34.2 \\ \bar{X} =381.2 \\ \sigma_x =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{14512}{10}-\left(\frac{342}{10}\right)} \\ =\sqrt{1451.2-1169.64} \\ =\sqrt{281.56} \\ \sigma_x=16.7797$
Bales used(Y)
$\bar{Y}=A_{y}+\frac{\Sigma d y}{N} \\ =22+\frac{25}{10} \\ \bar{Y}=22+2.5 \\ \bar{Y}=24.5 \\ \sigma_y= \sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{14}-\left(\frac{\Sigma d y}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{151}{10}-\left(\frac{25}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{15.1-6.25} \\ =\sqrt{8.85} \\ \sigma_y =2.97489 \\ \sigma_y \approx 2.9749 \\ r= \frac{\Sigma dx dy-N\left(\bar{X}-A_x\right)\left(\bar{y}-A_y\right)}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{1251-10(381.2-347)(24.5-22)}{10 \times 16.7797 \times 2.9749} \\ =\frac{1251-10 \times 34.2 \times 2.5}{499.1792953} \\ =\frac{1251-855}{499.1792953} \\ =\frac{396}{499.1792953} \\=0.7933 \\ r \approx 0.7933$

3.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध पर आधारित सवाल (Questions Based on Correlation by Karl Pearson Method):

Correlation by Karl Pearson Method

(1.)पिता व पुत्र की लम्बाई के निम्नलिखित समंकों से सहसम्बन्ध गुणांक निकालिएः
(Find coefficient of correlation from the following figures of height of father and sons):

Height of Fathers(inches)	Height of sons(inches)
65	67
66	68
67	64
67	68
68	72
69	70
71	69
73	70

(2.)निम्नांकित श्रेणियां एक वस्तु के मूल्य तथा पूर्ति से सम्बन्धित है।उनमें कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक मालूम कीजिएः
(The following series to the price and supply of an article,find Karl Pearson’s coefficient of correlation between them):

Price	Supply
11	30
12	29
13	29
14	25
15	24
16	24
17	24
18	21
19	18
20	15

उत्तर (Answers):(1.)r=+0.471 (2.)r=-0.962

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4.कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Frequently Asked Questions Related to Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सहसम्बन्ध की अनुपस्थिति से आप क्या समझते हैं? (What Do You Understand by Absence of Correlation?):

उत्तरःयदि दो चरों में आश्रितता बिल्कुल न पाई जाए अर्थात् उनके परिवर्तनों में कोई सहानुभूति पूर्ण सम्बन्ध न हो तो ऐसी स्थिति को सहसम्बन्ध का अभाव कहते हैं।

प्रश्न:2.बहुगुणी सहसम्बन्ध से आप क्या समझते हैं? (What Do You Understand by Multiple Correlation?):

उत्तरःदो से अधिक चर मूल्यों के मध्य सहसम्बन्ध ‘बहुगुणी सहसम्बन्ध’ (Multiple Correlation) कहलाता है।बहुगुणी सहसम्बन्ध में दो से अधिक स्वतन्त्र चर मूल्यों के एक आश्रित चर पर सम्मिलित प्रभाव का अध्ययन किया जाता है।उदाहरणार्थ यदि वर्षा एवं खाद (दोनों स्वतन्त्र) दोनों की चावल की उपज (आश्रित चर) पर परिवर्तन का अध्ययन किया जाय तो यह बहुगुणी सहसम्बन्ध होगा।

प्रश्न:3.रेखीय तथा वक्र रेखीय सहसम्बन्ध को स्पष्ट करो। (Explain Clearly Linear and Curvilinear Correlation):

उत्तरःदो चरों के मध्य उनमें होने वाले परिवर्तनों के अनुपात के आधार पर सहसम्बन्ध रेखीय या वक्र रेखीय हो सकता है।यदि दो चरों के मध्य परिवर्तन का अनुपात स्थिर रहता है तो ऐसा सहसम्बन्ध रेखीय कहलाता है।यदि ग्राफ पेपर पर अंकित किया जाए तो एक सीधी रेखा बनेगी।इस प्रकार का सहसम्बन्ध साधारणतया भौतिक तथा गणितीय विज्ञानों में पाया जाता है।सामाजिक तथा आर्थिक क्षेत्रों में ऐसा सहसम्बन्ध कम देखने को मिलता है।उदाहरणार्थ यदि किसी कारखाने में कच्चे माल की मात्रा या श्रमिकों की संख्या दुगुनी कर देने पर उत्पादन भी दुगुना हो जाए तो ऐसा सहसम्बन्ध रेखीय सहसम्बन्ध होगा।
यदि दो चर मूल्यों में परिवर्तन का अनुपात स्थायी रूप से समान नहीं रहता तब सहसम्बन्ध वक्र रेखीय या अ-रेखीय (curvilinear or non-linear) होगा।इसे ग्राफ पेपर पर अंकित किया जाय तो एक वक्र रेखा बनेगी।सामाजिक तथा आर्थिक क्षेत्रों से सम्बन्धित समंकों में प्रायः वक्र रेखीय सहसम्बन्ध देखने को मिलता है क्योंकि विज्ञापन एवं विक्रय में वक्र रेखीय सहसम्बन्ध ही होता है क्योंकि विज्ञापन व्ययों में एक निश्चित अनुपात में वृद्धि के फलस्वरूप विक्रय मात्रा उसी अनुपात में परिवर्तित नहीं होती है अर्थात् जब दो चरों में परिवर्तन समान अनुपात में न होकर एक चर में दूसरे की अपेक्षा कम या अधिक परिवर्तन होते हैं तो सहसम्बन्ध वक्र रेखीय होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध (Correlation by Karl Pearson Method),कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक (Karl Pearson Coefficient of Correlation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Correlation by Karl Pearson Method

कार्ल पियर्सन रीति से सहसम्बन्ध
(Correlation by Karl Pearson Method)