1.बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Algebra),रैखिक बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Linear Algebra):

Coordinate Representation in Algebra

बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Algebra) के इस आर्टिकल में सदिश आधार के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात करना सीखेंगे।निर्देशांक निरूपण की थ्योरी निम्नलिखित हैः
निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation):
यदि किसी परिमित विमीय सदिश समष्टि V(F) का S=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\} कोई स्वेच्छ आधार है।तब V के किसी भी सदिश v को आधार समुच्चय के अवयव (सदिशों) v_1, v_2, \ldots, v_n के एकघाती संचय के रूप में लिख सकते हैं अर्थात् v=a_1 v_1+a_2 v_2+\ldots \ldots+a_n v_n जहाँ इस एकघात संचय में प्रयुक्त n अदिशों के तपल (Tuple) (a_1, a_2,\ldots \ldots a_n) को आधार S के सापेक्ष v के निर्देशांक कहते हैं।किन्तु इन निर्देशांकों का क्रम आधार S के अवयवों के क्रम के अनुसार होता है।
यदि समुच्चय S के अवयवों को क्रमबद्ध करने का नियम सुपरिभाषित हो तब S के अवयवों को विशेष क्रम में लिखते हैं तथा ऐसी स्थिति में S को क्रमित आधार कहते हैं।
अब माना कि फील्ड F पर परिमित विमीय समष्टि V है तथा S=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\}  समष्टि V का क्रमित आधार है तब V के प्रत्येक अवयव v के लिए अदिशों \sum_{x=1}^n a_i v_i हम \left(a_1,a_2, \ldots, a_n\right) को v का क्रमित आधार S के सापेक्ष निर्देशांक कहते हैं।
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2.बीजगणित में निर्देशांक निरूपण के साधित उदाहरण (Coordinate Representation in Algebra Solved Examples):

Example:1.सदिश (2,1,-6) \in V_3(R) के आधार S=\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}  जहाँ \alpha_1=(1,1,2), \alpha_2=(3,-1,0) तथा \alpha_3=(2,0,-1) के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(Find the coordinates of the vector (2,1,-6) \in V_3(R) relative to the basis S=\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}  where \alpha_1=(1,1,2), \alpha_2=(3,-1,0), \alpha_3=(2,0,-1).)
Solution:(2,1,-6) के आधार समुच्चय S के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,
माना p, q, r \in R इस प्रकार हैं कि
p(1,1,2)+q(3,-1,0)+r(2,0,-1)=(2,1,-6)
\Rightarrow (p,p,2p)+(3q,-q,0)+(2r,0,-r)=(2,1,-6)
\Rightarrow (p+3q+2r,p-q,2p-r)=(2,1,-6)
p+3q+2r=2 …. (1)
p-q=1 …. (2)
2p-r=-6 …. (3)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने परः
3p-3q=3  …. (4)
p+3q+2r=2 …. (1)
जोड़ने पर
4p+2r=5 … (5)
समीकरण (3) को 2 से गुणा करने परः
4p-2r=-12  ….. (6)
4p+2r=5 …. (5)
जोड़ने पर
3p=-7

\Rightarrow p=-\frac{7}{8}
p का मान समीकरण (2) में रखने परः

–\frac{7}{8}-q=1 \\ \Rightarrow-q =1+\frac{7}{8} \\ \Rightarrow-q =\frac{15}{8} \\ \Rightarrow q=-\frac{15}{8}
p का मान समीकरण (3) में रखने परः

2(-\frac{7}{8})-r=-6 \\ -\frac{7}{4}-r=-6 \\ \Rightarrow-r=-6+\frac{7}{4} \\ \Rightarrow-r=-\frac{24+7}{4} \\ \Rightarrow-r=\frac{-17}{4} \\ \Rightarrow r=\frac{17}{4}
अतः सदिश (2,1,-6) के निर्देशांक \left(-\frac{7}{8},-\frac{15}{8}, \frac{17}{4}\right) हैं।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि S={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)},C^3(C) का एक आधार है।इस आधार के सापेक्ष सदिश (3+4i,6i,3+7i) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(Show that S={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} is a basis of C^3(C).Also find the coordinates of the vector (3+4i,6i,3+7i) relative to this basis.)
Solution:स्पष्टतः S \subset C^3(C)
अब हम सिद्ध करेंगे कि S एकघाततः स्वतन्त्र है।
माना कि a_1, a_2, a_3 \in R ऐसे विद्यमान हैं कि

a_1(1,0,0)+a_2(1,1,0)+a_3(1,1,1)=0 \\ \Rightarrow \left(a_{1}, 0,0\right)+\left(a_2, a_2, 0\right)+ \left(a_3, a_3, a_3\right)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(a_1+a_2+a_3, a_2+a_3, a_3\right)=(0,0,0) \\ \Rightarrow a_1+a_2+a_3=0 \cdots(1) \\ a_2+a_3=0 \cdots(2)\\ a_3=0 \cdots(3) \\ \Rightarrow a_1=a_2=a_3=0
S एकघाततः स्वतन्त्र है।
अब C^3(C) के मानक आधार {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} में केवल तीन सदिश है अतः dim C^3(C)=3
फलतः C^3(C) के तीन एकघाततः स्वतन्त्र सदिशों का कोई भी समुच्चय इसका एक आधार होगा।इससे यह स्पष्ट है कि S भी C^3(C) का एक आधार है।
अब (3+4i,6i,3+7i) के आधार समुच्चय S के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात करने के लिए
माना p, q,r \in C इस प्रकार हैं कि
\Rightarrow p(1,0,0)+q(1,1,0)+r(1,1,1)=(3+4i,6i,3+7i)
\Rightarrow (p,0,0)+(q,q,0)+(r,r,r)=(3+4i,6i,3+7i)
\Rightarrow (p+q+r,q+r,r)=(3+4i,6i,3+7i)
p+q+r=3+4i … (1)
q+r=6i …. (2)
r=3+7i … (3)
(2) सेः
 q+3+7i=6i
\Rightarrow q=-3-i
q व r का मान समीकरण (1) में रखने परः
p-3-i+3+7i=3+4i
\Rightarrow p+6i=3+4i
\Rightarrow p=3-2i
अतः सदिश (3+4i,6i,3+7i) के निर्देशांक (3-2i,-3-i,3+7i) हैं।

Coordinate Representation in Algebra

Example:3(a). V_3(R) के आधार {(1,1,1),(1,0,0),(1,1,0)} के सापेक्ष सदिश (4,-3,2) \in V_3(R) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(Find the coordinate of the vector (4,-3,2) \in V_3(R) relative to the basis {(1,1,1),(1,0,0),(1,1,0)}.)
Solution:(4,-3,2) के आधार समुच्चय के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,
माना P, q,r \in R इस प्रकार हैं कि
p(1,1,1)+q(1,0,0)+r(1,1,0)=(4,-3,2)
\Rightarrow (p,p,p)+(q,0,0)+(r,r,0)=(4,-3,2)
\Rightarrow (p+q+r,p+r,p)=(4,-3,2)
\Rightarrow p+q+r=4 …. (1)
p+r=-3  … (2)
p=2 …. (3)
(1),(2),(3) को हल करने परः
p=2,q=7,r=-5
अतः सदिश (4,-3,2) के निर्देशांक (2,7,-5) हैं।
Example:3(b). V_3(R) के आधार S={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} के सापेक्ष (3,1,-4) \in V_3(R) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(Find the coordinates of the the vector (3,1,-4) \in V_3(R) relative to its basis S={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.)
Solution:(3,1,-4) के आधार समुच्चय S के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,
माना p, q, r \in R इस प्रकार हैं कि
p(1,1,1)+q(1,1,0)+r(1,0,0)=(3,1,-4)
\Rightarrow (p,p,p)+(q,q,0)+(r,0,0)=(3,1,-4)
\Rightarrow (p+q+r,p+q,p)=(3,1,-4)
\Rightarrow p+q+r=3 … (1)
p+q=1  …. (2)
p=-4 …. (3)
(1),(2),(3) को हल करने परः
p=-4,q=5,r=2
अतः सदिश (3,1,-4) के निर्देशांक (-4,5,2) हैं।
Example:4.यदि वास्तविक संख्याओं के लिए फील्ड R पर 2×2 की सभी मैट्रिक्सों की V(R) सदिश समष्टि है तथा

S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\1 & 0 \end{array} \right],\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 0\end{array}\right]\right\}
इसका आधार है तो इस आधार के सापेक्ष \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\4 & -7\end{array}\right]  के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(If V(R) be a vector space over the field of the real number R of all 2×2 matrices and

S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 0\end{array}\right]\right\}
be a basis of it then find the coordinate of \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\4 & -7\end{array}\right] relative to the basis.)
Solution:दिया हुआ है कि S आधार समुच्चय है तब माना कि \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in R ऐसे हैं कि 

\alpha_1\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\1 & 1 \end{array}\right]+\alpha_2\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\1 & 0\end{array}\right]+\alpha_3\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\0 & 0\end{array}\right]+ \alpha_4\left[ \begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\4 & -7\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll}\alpha_1 & \alpha_1 \\\alpha_1 & \alpha_1\end{array}\right]+ \left[ \begin{array}{cc}0 & -\alpha_2 \\\alpha_2 & 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\alpha_3 & -\alpha_3 \\0 & 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\alpha_4 & 0 \\0 & 0\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ll} 2 & 3 \\4 & -7\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{cc}\alpha_1+ \alpha_3 +\alpha_4 & \alpha_1-\alpha_2-\alpha_3 \\\alpha_1+\alpha_2 & \alpha_1\end{array} \right]= \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\4 & -7\end{array}\right] \\ \Rightarrow \alpha_1+\alpha_3+ \alpha_4=2 \cdots(1) \\\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3=3 \cdots(2) \\\alpha_1+\alpha_2=4 \cdots \\\alpha_1=-7 \cdots(4)
(1),(2),(3),(4) को हल करने परः

\alpha_1=-7, \alpha_2=11, \alpha_3=-21, \alpha_4=30
अतः मैट्रिक्स \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\4 & -7\end{array}\right] के आधार के सापेक्ष निर्देशांक (-7,11,-21,30) हैं।
Example:5.यदि वास्तविक संख्याओं के फील्ड R पर सभी 2 या 2 से कम कोटि के बहुपदों का सदिश समष्टि V है एक स्थिर t \in R आधार के लिए माना कि

g_1(x)=1, g_2(x)=x+t, g_3(x)=(x+t)^2
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय S=\left\{g_1, g_2, g_3\right\}, V का एक आधार है और इस क्रमित आधार के सापेक्ष सदिश c_0+c_{1} x+c_2 x^2 के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(Let V be the vector space of all polynomial functions of degree less than or equal to 2 from the field of real numbers R into itself.For a fixed t \in R let

g_1(x)=1, g_2(x)=x+t, g_3(x)=(x+t)^2
Prove that S=\left\{g_1, g_2, g_3\right\} with respect to ordered bases.)
Solution:स्पष्टतः S \subset V
अब हम सिद्ध करेंगे कि S एकघाततः स्वतन्त्र है।
माना a_1, a_2, a_3 \in R ऐसे विद्यमान हैं कि

a_1(1)+a_2(x+t)+a_3(x+t)^2=0 \\ \Rightarrow a_1+a_2 x+a_2 t+a_3 x^2+2 a_3 x t+a_3 t^2=0 \\ \Rightarrow \left(a_1+a_2 t+a_3 t^2\right)+\left(a_2+2 a_3 t\right) x+a_3 x^2=शून्य बहुपद 

\Rightarrow a_1+a_2 t+a_3 t^2=0 \cdots(1) \\ a_2+2 a_3 t=0 \cdots(2) \\ a_3=0 \cdots(3)
(1),(2),(3) को हल करने परः

a_3=0, a_2=0, a_1=0 \\ \Rightarrow a_1=a_2=a_3=0
S एकघाततः स्वतन्त्र है।
अब V के मानक आधार \left\{g_1, g_2, g_3\right\}  में केवल तीन सदिश हैं अतः
dim V=3
फलतः V(R) के तीन एकघाततः स्वतन्त्र सदिशों का कोई भी समुच्चय इसका आधार होगा।इससे यह स्पष्ट है कि S भी V(R) का एक आधार है।
अब c_0+c_{1} x+c_2 x^2 के आधार समुच्चय S के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,
माना p, q,r \in R इस प्रकार हैं कि

p(1)+q(x+t)+r(x+t)^2=c_{0}+c_{1}x+c_{2} x^2 \\ \Rightarrow p+q x+q t+r x^2+2 r t x+r t^2=c_0 +c_{1} x+c_{2} x^2 \\ \Rightarrow\left(p+q t+r t^2\right)+(q+2 r t) x+r x^2=c_0+c_{1} x+c_{2} x^2 \\ \Rightarrow p+q t+r t^2=c_0 \cdots(4) \\ q+2 r t=c_1 \cdots(5) \\ r=c_2 \cdots(6)
(4),(5),(6) को हल करने परः

r=c_2, q=c_1-2 c_2 t, p=c_0-c_1 t+c_2 t^2
अतः सदिश c_0+c_1 x+c_2 x^2 के निर्देशांक हैं।

\left(c_0-c_1 t+c_2 t^2, c_1-2 c_2 t, c_2\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Algebra),रैखिक बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Linear Algebra) को समझ सकते हैं।

3.बीजगणित में निर्देशांक निरूपण की समस्याएं (Coordinate Representation in Algebra Problems):

Coordinate Representation in Algebra

(1.)सिद्ध कीजिए कि समुच्चय S={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}, V_3(R) का आधार है जहाँ R वास्तविक संख्याओं का फील्ड है।अतः सदिश (a,b,c) के उपर्युक्त आधार के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(Show that the set S={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} is a basis of V_3(R) where R is the field of real numbers.Hence find the coordinates of the vector (a,b,c) with respect to the above basis.)
(2.)मान लो कि बहुपदों (जिनकी कोटि \leq 2) का सदिश समष्टि है अर्थात्

V=\left\{a x^2+b x+c: a, b,c \in R\right\}
बहुपद P_1(x)=1, p_2(x)=x-1, p_3(x)=x^2-2 x+1 ; समष्टि V का आधार है।माना p(x)=2 x^2-5 x+6  तब p(x) के आधार \left(p_1, p_2, p_3\right) के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(Let V be the vector space of polynomial with degree \leq 2 i.e.

V=\left\{a x^2+b x+c: a, b,c  \in R\right\}
The polynomial P_1(x)=1, p_2(x)=x-1, p_3(x)=x^2-2 x+1 ; form a basis for V.Let p(x)=2 x^2-5 x+6  .Find the coordinates vector of p(x) relative to the basis \left(p_1, p_2, p_3\right).)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Algebra),रैखिक बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Linear Algebra) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Frequently Asked Questions Related to Coordinate Representation in Algebra),रैखिक बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Linear Algebra) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बीजगणित में निर्देशांक निरूपण (Coordinate Representation in Algebra) के इस
आर्टिकल में सदिश आधार के सापेक्ष निर्देशांक ज्ञात करना सीखेंगे।