1.एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण (Conversion of Solid to Another Shape),एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण कक्षा 10 (Conversion of Solid from One Shape to Another Class 10):

Conversion of Solid to Another Shape

एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण (Conversion of Solid to Another Shape) करके आयतन,त्रिज्या अथवा भुजा इत्यादि ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।इस पर आधारित उदाहरण निम्नलिखित हैं:
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2.एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण के साधित उदाहरण (Conversion of Solid to Another Shape Solved Examples):

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, \pi=\frac{22}{7} लीजिए)
Example:1.त्रिज्या 4.2cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है।बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:गोले की त्रिज्या (r)=4.2cm
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \pi \times 42 \times 4.2 \times 4.2
बेलन की त्रिज्या (R)=6cm
बेलन का आयतन=\pi R^2 h \\ =\pi \times 6 \times 6 \times h \\ \Rightarrow \pi \times 6 \times 6 \times h=\frac{4}{3} \pi \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2 \\ \Rightarrow h=\frac{4 \pi \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{3 \times 7 \times 6 \times 6} \\ =2.744 \mathrm{~cm} \\ \Rightarrow h \approx 2.74 \mathrm{~cm}
Example:2.क्रमशः 6cm,8cm और 10cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है।इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution:पहले गोले की त्रिज्या \left(r_1\right)=6cm
दूसरे गोले की त्रिज्या \left(r_2\right)=8cm
तीसरे गोले की त्रिज्या \left(r_3\right)=10cm
पहले गोले का आयतन=\frac{4 \pi}{3} \pi r_1^3
दूसरे गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r_2^3
तीसरे गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r_3^3
बड़े गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi R_2^3
प्रश्नानुसार

\frac{4}{3} \pi r_1^3+\frac{4}{3} \pi r_2^3+\frac{4}{3} \pi r_3^3=\frac{4}{3} \pi R^3 \\ \Rightarrow \frac{4}{3} \pi\left(r_1^3+r_2^3+r_3^3\right)=\frac{4}{3} \pi R^3 \\ \Rightarrow R^3 =r_1^3+r_2^3+r_2^2 \\ =6^3+8^3+10^3 \\ =216+512+1000 \\ =1728 \\ \Rightarrow R^3 =12^3 \Rightarrow R=12 cm
Example:3.व्यास 7m वाला 20m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22m×14m वाला एक चबूतरा बनाया गया है।इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलनकार कुएँ की त्रिज्या (r)=\frac{7}{2} m
बेलनकार कुएँ की गहराई (h)=20m
बेलनकार कुएँ का आयतन=\pi r^2 h \\ =\pi \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20
चबूतरे (घनाभ) का आयतन=lbh
=22×14×h
प्रश्नानुसार

22 \times 14 \times h=\pi \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20 \\ \Rightarrow 22 \times 14 \times h=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20 \\ \Rightarrow h=\frac{22 \times 7 \times 7 \times 20}{7 \times 2 \times 2 \times 22 \times 14} \\ \Rightarrow h=2.5 \mathrm{~m}
Example:4.व्यास 3m का एक कुआँ 14m की गहराई तक खोदा जाता है।इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए,समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है।इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:कुएँ की त्रिज्या (r)=\frac{3}{2}
कुएँ की गहराई (h)=14m
कुएँ का आयतन=\pi r^2 h \\ =\pi \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 14=\pi \times 1.5 \times 1.5 \times 14
कुएँ के चारों ओर बेलनाकार बाँध की भीतरी त्रिज्या \left(r_{2}\right)=\frac{3}{2}=1.5 \mathrm{~m}
कुएँ के चारों ओर बेलनाकार बाँध की बाहरी त्रिज्या \left(r_1\right)=\frac{3}{2}+4=5.5 \mathrm{~m}
बेलनाकार वृत्ताकार वलय का आयतन=\pi\left(r_1^2-r_2^2\right)H \\ =\pi\left(5.5^2-1.5^2\right)H
प्रश्नानुसार

\pi\left(5-5^2-1.5^2\right) H=\pi \times 1.5 \times 1.5 \times 14 \\ \Rightarrow H=\frac{\pi \times 1.5 \times 1.5 \times 14}{\pi\left(5.5^2-1.5^2\right)} \\ =\frac{1.5 \times 1.5 \times 14}{7 \times 4} \\ \Rightarrow H=1.125 m
Example:5.व्यास 12cm और ऊँचाई 15cm वाले एक लम्ब्वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है।इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12cm और 6cm वाले शंकुओं से भरा जाना है,जिसका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा।उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
Solution:बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (r)=6cm
बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई (h)=15cm
बेलनाकार बर्तन का आयतन=\pi r^2 h \\ =\pi \times 6 \times 6 \times 15=540 \pi
शंकु की त्रिज्या \left(r_1\right)=3cm
शंकु की ऊँचाई \left(h_1\right)=12cm
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 \\ =\frac{1}{3} \times \pi \times 3 \times 3 \times 12 \\ =36 \pi
शंकु के ऊपरी सिरे अर्द्ध गोलाकार आइसक्रीम का आयतन=\frac{2}{3} \pi r_{1}^3 \\ =\frac{2}{3} \pi \times 3 \times 3 \times 3=18 \pi
एक आइसक्रीम का आयतन=36 \pi+18 \pi=54 \pi
शंकुओं की संख्या=\frac{\text{बेलनाकार बर्तन का आयतन}}{\text{एक आइसक्रीम का आयतन}} \\ =\frac{540 \pi}{54 \pi} \\ =10
अतः शंकुओं की संख्या=10

Conversion of Solid to Another Shape

Example:6.विमाओं 5.5cm×10cm×3.5cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए,17.5cm व्यास और 2mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
Solution:घनाभ का आयतन=lbh
=5.5×10×3.5
चाँदी के सिक्के की त्रिज्या (r)=\frac{1.75}{2} \mathrm{~cm}
चाँदी के सिक्के की मोटाई (h)=\frac{2}{10} सेमी
बेलनाकार चाँदी के एक सिक्के का आयतन=\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times\left(\frac{1.75}{2}\right)^2 \times \frac{2}{10} \\=\frac{2 \times 22 \times 1.75 \times 1.75}{2 \times 7 \times 2 \times 10}
चाँदी के सिक्कों की संख्या=\frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{चाँदी के एक सिक्के का आयतन}} \\ =\frac{5.5 \times 10 \times 3.5}{\frac{22 \times 1.75 \times 2 \times 1.75}{7 \times 2 \times 10 \times 2}} \\ =\frac{5.5 \times 10 \times 3.5 \times 7 \times 2 \times 10 \times 2}{22 \times 1.75 \times 2 \times 1.75} \\ =400
अतः चाँदी के सिक्कों की संख्या=400
Example:7.32cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है।इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24cm है,तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलनाकार बाल्टी की त्रिज्या (r)=18cm
बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई=32cm
बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन=\pi r^2 h\\ =\pi \times 18 \times 18 \times 32
शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई (h_1)=24सेमी
शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या=r_1
शंक्वाकार ढेरी का आयतन=\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 \\ =\frac{1}{3} \pi \times r_1^2 \times 24
प्रश्नानुसार

\frac{1}{3} \pi r_1^2 \times 24=\pi \times 18 \times 18 \times 32 \\ \Rightarrow r_1^2=\frac{\pi \times 18 \times 18 \times 32 \times 3}{\pi \times 24} \\ = 1296 \\ \Rightarrow r_1=\sqrt{1296}=36 सेमी
ढेरी की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{h_1^2+3_1^2} \\ =\sqrt{(24)^2+(36)^2} \\ =\sqrt{576+1296} \\ =\sqrt{1872} \\ =12 \sqrt{13} \\ \Rightarrow l=12 \sqrt{13}, r_1=36 सेमी
Example:8.6m चौड़ी और 1.5m गहरी एक नहर में पानी 10km/h की चाल से बह रहा है।30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी,जबकि सिंचाई के लिए 8cm गहरे पानी की आवश्यकता है।
Solution:नहर की चौड़ाई (h)=1.5 मीटर
नहर की लम्बाई=नहर में पानी की चाल=10km/h
=\frac{10000 \text{मी} }{60 \text{मिनट}}
नहर की लम्बाई (l)=नहर में पानी की 30 मिनट में मात्रा
=\frac{5000 \text{मीटर}}{30 \text{मिनट}}
नहर का आयतन=lbh
=6×1.5×5000
खेत का क्षेत्रफल=\frac{\text{नहर का आयतन}}{\text{सिंचाई के लिए पानी की गहराई}}
हेक्टेयर
अतः सिंचित खेत का क्षेत्रफल=562500 वर्गमीटर या 56.25 हेक्टेयर
Example:9.एक किसान अपने खेत में बनी 10m व्यास वाली और 2m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है।यदि पाइप में पानी 3km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी?
Solution:पानी की टंकी की त्रिज्या (r)=5 मीटर
टंकी गहराई (h)=2 मीटर
बेलनाकार टंकी का आयतन=\pi r^2 h \\ =\pi \times 5 \times 5 \times 2= 50 \pi
बेलनाकार पाइप की त्रिज्या (R)=\frac{20}{2}=10cm=\frac{10}{100} m=\frac{1}{10} m
बेलनाकार पाइप की लम्बाई=1 मिनट में पानी की मात्रा (H)=3km/h=\frac{3000 \text{m}}{60 \text{मिनट}}
बेलनाकार पाइप में पानी का आयतन (1 मिनट में)=\pi R^2 H \\ =\pi \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{3000}{60}=\frac{\pi}{2}
टंकी को पानी से भरने में लगा समय=\frac{\text{टंकी का आयतन}}{\text{बेलनाकार पाइप में पानी का आयतन}} \\ =\frac{50 \pi}{\frac{\pi}{2}}
=100 मिनट
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण (Conversion of Solid to Another Shape),एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण कक्षा 10 (Conversion of Solid from One Shape to Another Class 10) को समझ सकते हैं।

3.एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण के सवाल (Conversion of Solid to Another Shape Questions):

Conversion of Solid to Another Shape

(1.)धातु के एक गोले का व्यास 6 सेमी है।गोले को पिघलाकर एक समान वृत्तीय अनुप्रस्थ-परिच्छेद वाला तार बनाया गया है।यदि तार की लम्बाई 36 मीटर हो तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
(2.)सीसे के एक गोलीय कोश को,जिसका बाह्य व्यास 18 सेमी है,पिघलाकर पुनः एक ठोस लम्ब्वृत्तीय बेलन के रूप में ढाला जाता है जिसकी ऊँचाई 8 सेमी और आधार का व्यास 12 सेमी है।कोश का आंतरिक व्यास ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) 1 मिमी (2.) 6(19)^{\frac{1}{3}} सेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण (Conversion of Solid to Another Shape),एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण कक्षा 10 (Conversion of Solid from One Shape to Another Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण (Frequently Asked Questions Related to Conversion of Solid to Another Shape),एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण कक्षा 10 (Conversion of Solid from One Shape to Another Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण (Conversion of Solid to Another Shape)
करके आयतन,त्रिज्या अथवा भुजा इत्यादि ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।