Convergence of Series in Calculus
1.कलन में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus):
कलन में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series in Calculus) श्रेणी के योगफल के आधार पर ज्ञात किया जा सकता है।यदि किसी अनन्त श्रेणी का योगफल एक परिमित राशि हो तो वह अभिसारी (Convergent) कहलाती है तथा योगफल परिमित न हो तो वह श्रेणी अपसारी कहलाती है।
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2.कलन में श्रेणी का अभिसरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Convergence of Series in Calculus):
निम्नलिखित श्रेणियों के अभिसरण या अपसरण का परीक्षण कीजिएः
(Test the convergence or divergence of the following series):
Example:1. \sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{4}{5}}+\cdots
Solution: \sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{4}{5}}+\cdots \\ 1,2,3,4, \cdots \quad \Rightarrow a_n=a+(n-1) d=1+(n-1)=n \\ 2,3,4,5, \cdots \Rightarrow a_n=2+(n-1)=n+1
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाये,तब u_n=\sqrt{\frac{n}{n+1}} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \sqrt{\frac{n}{n(n+\frac{1}{n})}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{n}}} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=1 \neq 0
अतः दी हुई श्रेणी अपसारी (divergent) है।
Example:2. 1+\frac{2}{5}+\frac{6}{9}+\cdots+\frac{2^n-1}{2^n+1}+\cdots
Solution: 1+\frac{2}{5}+\frac{6}{9}+\cdots+\frac{2^n-1}{2^n+1}+\cdots
प्रथम पद को छोड़ने पर मान लो
\Sigma u_n=\frac{2}{5}+\frac{6}{9}+\ldots+\frac{2^n-1}{2^n+1}+\ldots \\ u_n=\frac{2^n-1}{2^n+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \Sigma u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^n-1}{2^n+1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^n\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\right)} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{\left(1+\frac{1}{2^n}\right)} \\ =\frac{1-0}{1+0} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=1 \neq 0
अतः दी हुई श्रेणी अपसारी (divergent) है।
Example:3. \frac{1}{2}+\frac{1+a}{2+a}+\frac{1+2 a}{2+2 a}+\cdots+\frac{1+(n-1) a}{2+(n-1) a}+ \ldots(a>0)
Solution: \frac{1}{2}+\frac{1+a}{2+a}+\frac{1+2 a}{2+2 a}+\cdots+\frac{1+(n-1) a}{2+(n-1) a}+ \ldots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाये,तब u_n=\frac{1+(n-1) a}{2+(n-1) a} \\ \Rightarrow u_n=\frac{n\left[a+\frac{1-a}{n}\right]}{n\left[a+\frac{2-a}{n}\right]} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{a+\frac{1-a}{n}}{a+\frac{2-a}{n}}\right) =\frac{a+0}{a+0} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=1 \neq 0
अतः दी हुई श्रेणी अपसारी (divergent) है।
Example:4. \frac{3}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{4}{5^4}+\cdots
Solution: \frac{3}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{4}{5^4}+\cdots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाये,तब
\Sigma u_n =\frac{3}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{4}{5^4}+\cdots \\ =\left(\frac{3}{5}+ \frac{3}{5^3}+ \cdots\right)+\left(\frac{4}{5^2}+\frac{4}{5^4}+\cdots\right) \\ =3\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^3} +\cdots\right)+4\left(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\cdots\right) \\ =3\left(\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5^2}}\right)+4\left(\frac{\frac{1}{5^2}}{1-\frac{1}{5^2}}\right)\left[S_{\infty}=\frac{a}{1-r}\right] \\ =3\left(\frac{\frac{1}{5}}{\frac{24}{25}}\right)+4\left(\frac{\frac{1}{25}}{\frac{24}{25}}\right) \\ =\frac{3 \times 5}{24} +4 \times \frac{1}{24} \\ =\frac{15+4}{24} \\ \Rightarrow \Sigma u_{n}=\frac{19}{24}
चूँकि दी हुई श्रेणी के अनन्त पदों का योग एक परिमित संख्या है,अतः दी गई श्रेणी अभिसारी है।
Example:5. (1+1)^1+\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+\left(1+\frac{1}{3}\right)^3+\cdots
Solution: (1+1)^1+\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+\left(1+\frac{1}{3}\right)^3+\cdots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाये,तब
\Sigma u_n=(1+1)^1+\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+\left(1+\frac{1}{3}\right)^3+ \\ u_n= \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n \\ \log u_n=n \log \left(1+\frac{1}{n}\right) \\ =n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n} +\frac{1}{3 n^3}- \ldots\right) \\ =n \times \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}-\ldots\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log u_n =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{2 n} +\frac{1}{3 n^2}-\ldots\right) =1 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n =e \neq 0
अतः दी हुई श्रेणी अपसारी (divergent) है।
Example:6. \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{8}+\cdots+\frac{\sqrt{n}}{n^2-1}+\cdots
Solution: \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{8}+\cdots+\frac{\sqrt{n}}{n^2-1}+\cdots
प्रथम पद को छोड़ने पर मान लो
\Sigma u_n=\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{8}+\cdots+\frac{\sqrt{n}}{n^2-1}+\cdots \\ u_n=\frac{\sqrt{n}}{n^2-1}=\frac{\sqrt{n}}{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)} \\ \Rightarrow u_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_{n} है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{n^2}\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{V_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_{n} तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_{n} अभिसारी है क्योंकि अतः \Sigma u_{n} भी अभिसारी है।
Example:7. \frac{\sqrt{3}}{1 \cdot 2}+\frac{\sqrt{5}}{3 \cdot 4}+\frac{\sqrt{7}}{5 \cdot 6}+\cdots
Solution: \frac{\sqrt{3}}{1 \cdot 2}+\frac{\sqrt{5}}{3 \cdot 4}+\frac{\sqrt{7}}{5 \cdot 6}+\cdots \\ 3,5,7, \ldots \quad a_n=a+(n-1) d=3+(n-1) 2=2 n+1 \\ 1,3,5, \ldots \quad a_n=1+(n-1) 2=2 n-1 \\ 2,4,6 \ldots \quad a_n=2+(n-1) 2=2 n
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाये,तब
\Sigma u_{n} =\frac{\sqrt{3}}{1 \cdot 2}+\frac{\sqrt{5}}{3 \cdot 4}+\frac{\sqrt{7}}{5 \cdot 6}+ \ldots+\frac{\sqrt{2 n+1}}{2 n(2 n-1)}+\ldots \\ u_n=\frac{\sqrt{2 n-1}}{2 n(2 n-1)}=\frac{n^{\frac{1}{2}} \sqrt{2-\frac{1}{n}}}{2 n^2(2-\frac{1}{n})} \\ u_n=\frac{\sqrt{2-\frac{1}{n}}}{2 n^{\frac{3}{2}}(2-\frac{1}{n})}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_{n} है,जहाँ
v_n=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{\sqrt{2-\frac{1}{n}}}{2 n^{\frac{3}{2}}\left(2-\frac{1}{n}\right)}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\sqrt{2-\frac{1}{n}}}{2(2-\frac{1}{n})} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_{n} तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_{n} अभिसारी है क्योंकि p=\frac{3}{2}>1 अतः \Sigma u_{n} भी अभिसारी है।
Example:8. \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{3}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{5}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots
Solution: \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{3}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{5}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots \\ 1,3,5, \ldots a_n=a+(n-1) d=1+(n-1) 2=2 n-1 \\ 1,2,3, \ldots a_n=1+(n-1) 1=n \\ 2,3,4, \ldots a_n=2+(n-1) 1=n+1 \\ 3,4,5, \ldots a_n=3+(n-1) 1=n+2
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाये,तब
u_n=\frac{2 n-1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(2-\frac{1}{n})}{n^3(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})} \\ \Rightarrow u_n =\frac{(2-\frac{1}{n})}{n^2(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_{n} है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_{n}}{v_n}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{(2-\frac{1}{n})}{n^2(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})}}{\frac{1}{n^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2-\frac{1}{n})}{n^2(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_{n}}{v_n}\right)=2 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_{n} तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_{n} अभिसारी है क्योंकि p=2>1 अतः \Sigma v_{n} भी अभिसारी होगी।
Example:9. \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 5 \cdot 6}+\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 6 \cdot 7}+\ldots
Solution: \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 5 \cdot 6}+\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 6 \cdot 7}+\ldots \\ 1,2,3, \ldots a_n=1+(n-1)=n \\ 2,3,4 \ldots a_n=2+(n+1)=n+1 \\ 3,4,5, \ldots a_n=3+(n+1)=n+2 \\ 4,5,6 \ldots a_n=4+(n-1) 1=n+3 \\ 5,6,7, \ldots a_n=5+(n-1) 1=n+4
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाये,तब
u_n=\frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)(n+4)} \\ u_n=\frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{n^3(1+\frac{2}{n})(1+\frac{3}{n})(1+\frac{4}{n})} \\ u_n=\frac{(1+\frac{1}{n})}{n (1+\frac{2}{n})(1+\frac{3}{n})(1+\frac{4}{n})}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_{n} है,जहाँ
V_{n}=\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_{n}}{v_n}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n(1+\frac{2}{n})(1+\frac{3}{n})\left(1+\frac{4}{n}\right)}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n(1+\frac{2}{n})(1+\frac{3}{n})\left(1+\frac{4}{n}\right)} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_{n} तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_{n} अपसारी है क्योंकि p=1 \leq 1 अतः \Sigma v_{n} भी अपसारी होगी।
Example:10. \sqrt{\frac{1}{2^3}}+\sqrt{\frac{2}{3^3}}+\sqrt{\frac{3}{4^3}}+\cdots
Solution: \sqrt{\frac{1}{2^3}}+\sqrt{\frac{2}{3^3}}+\sqrt{\frac{3}{4^3}}+\cdots \\ 1,2,3, \cdots a_n=a+(n-1) d=1+(n+1)=n \\ 2,3,4 \ldots a_n=2+(n-1)=n+1
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाये,तब
u_n=\sqrt{\frac{n}{(n+1)^3}}=\frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{(1+\frac{1}{n})^3}} \\ \Rightarrow u_n=\frac{1}{n \cdot \sqrt{(1+\frac{1}{n})^3}}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
V_{n}=\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_{n}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अपसारी है क्योंकि p=1 \leq 1 अतः \Sigma u_n भी अपसारी होगी।
Example:11. \frac{1}{a \cdot 1^2+b}+\frac{2}{a \cdot 2^2+b}+\ldots+\frac{n}{a \cdot n^2+b}+\ldots
Solution: \frac{1}{a \cdot 1^2+b}+\frac{2}{a \cdot 2^2+b}+\ldots+\frac{n}{a \cdot n^2+b} +\ldots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाये,तब
u_n=\frac{n}{a \cdot n^2+b}=\frac{n}{n^2\left(a+\frac{b}{n^2}\right)}=\frac{1}{n\left(a+\frac{b}{n^2} \right)}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
v_{n}=\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n\left(a+\frac{b}{n^2}\right)}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n\left(a+\frac{b}{n^2}\right)} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{1}{a} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अपसारी है क्योंकि p=1 \leq 1 अतः \Sigma u_n भी अपसारी होगी।
Example:12. \frac{2}{1^p}+\frac{3}{2^p}+\frac{4}{3^p}+\ldots
Solution: \frac{2}{1^p}+\frac{3}{2^p}+\frac{4}{3^p}+\ldots \\ 2,3,4, \ldots a_n=a+(n-1) d=2+(n-1)1 =n+1 \\ 1,2,3, \ldots a_n=1+(n-1)=n
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाये,तब
u_n=\frac{n+1}{n^p}=\frac{1+\frac{1}{n}}{n^{p-1}}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
v_{n}=\frac{1}{n^{p-1}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{(1+\frac{1}{n})}{n^{p-1}}}{\frac{1}{n^{p-1}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{n}\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी। \Sigma v_n अभिसारी है p-1>1 \Rightarrow p>2 तथा p-1 \leq 1 \Rightarrow p \leq 2 अपसारी होगी जब
फलतः जब p>2, \Sigma u_n अभिसारी है तथा जब p \leq 2, \Sigma u_n अपसारी है।
Example:13.निम्नलिखित व्यापक पद वाली श्रेणियों के अभिसरण का परीक्षण कीजिएः
(Examine the convergence of the following series whose general term are):
Example:13(i). \frac{\sqrt{n}}{n^2+1}
Solution: u_n=\frac{\sqrt{n}}{n^2+1} \\ \Rightarrow u_{n}=\frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma u_n है,जहाँ
= \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अभिसारी है क्योंकि p > \frac{3}{2} अतः भी अभिसारी होगी।
Example:13(ii). \frac{n}{(a+n b)^2}
Solution: \frac{n}{(a+n b)^2} \\ \Rightarrow u_n=\frac{n}{n^2(a+\frac{b}{n})^2}=\frac{1}{n(a+\frac{b}{n})^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n\left(a+\frac{b}{n}\right)^2}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
v_{n}=\frac{1}{n} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n\left(a+\frac{b}{n}\right)^2}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left(a+\frac{b}{n}\right)^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) =\frac{1}{a} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अपसारी है क्योंकि p=1 \leq 1 अतः \Sigma u_n भी अपसारी होगी।
Example:13(iii). \frac{n^p}{(n+1)^q}
Solution: u_n=\frac{n^p}{(n+1)^q}=\frac{n^p}{n^q\left(1+\frac{1}{n}\right)^q} \\ \Rightarrow u_n=\frac{1}{n^{q-p}\left(1+\frac{1}{n}\right)^q}
मान लो सहायक श्रेणी है,जहाँ v_n=\frac{1}{n^{q-p}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_{n}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n^{q-p}\left(1+\frac{1}{n}\right)^q}}{\frac{1}{n^{q-p}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_{n}}\right)=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अभिसारी है क्योंकि q-p>1 \Rightarrow p-q+1<0 अतः भी अभिसारी होगी।
अपसारी है जब q-p \leq 1 \Rightarrow p-q+1 \geq 0 फलतः भी अपसारी होगी।
Example:13(iv). \frac{\sqrt{(n+1)}-\sqrt{n}}{n^p}
Solution: \frac{\sqrt{(n+1)}-\sqrt{n}}{n^p}\\ =\frac{(\sqrt{(n+1)}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{n^{p} (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \\ =\frac{n+1-n}{ n^{p} \cdot n^{\frac{1}{2}}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}+1\right]} \\ \Rightarrow u_n=\frac{1}{n^{p+\frac{1}{2} }\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}+1\right]}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_n है,जहाँ
v_n=\frac{1}{n^{p+\frac{1}{2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_{n}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n^{p+\frac{1}{2} }\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}+1\right]}}{\frac{1}{n^{p+\frac{1}{2}}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left[ \left(1 +\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}+1\right]}\\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_{n}}\right)=\frac{1}{2} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से तथा दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होंगी परन्तु \Sigma v_n अभिसारी है क्योंकि p+\frac{1}{2}>1 \Rightarrow p>\frac{1}{2} अतः \Sigma v_n भी अभिसारी होगी।
\Sigma v_n अपसारी है जब p+\frac{1}{2} \leq 1 \Rightarrow p \leq \frac{1}{2} अतः भी \Sigma u_n अपसारी होगी।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कलन में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।
3.कलन में श्रेणी का अभिसरण की समस्याएँ (Convergence of Series in Calculus Problems):
निम्नलिखित श्रेणियों के अभिसरण या अपसरण का परीक्षण कीजिएः
(Test the convergence and divergence of the following series):
(1.) \frac{2}{1}+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+\frac{5}{16}+\ldots+\frac{n+1}{n^2}+\ldots
(2.) \frac{1}{5}+\frac{\sqrt{2}}{7}+\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{\sqrt{4}}{11}+\cdots
(3.) \frac{\sqrt{1}}{1+\sqrt{1}}+\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\ldots
उत्तर (Answers):(1.)अपसारी (2.)अपसारी (3.)अपसारी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कलन में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.कलन में श्रेणी का अभिसरण (Frequently Asked Questions Related to Convergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.श्रेणी का अभिसरण कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Convergence of Series?):
उत्तर:यदि \Sigma u_n से सम्बन्धित आंशिक योगफलों का अनुक्रम \{S_{n} \} अभिसारी है तथा इसकी सीमा कोई वास्तविक संख्या S है तो श्रेणी अभिसारी (convergent) कहलाती है तथा S उस श्रेणी का योगफल (sum) कहलाता है अर्थात्
\Sigma_{n=1}^{\infty} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \Sigma_{n=1}^{\infty} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_n=s
अथवा यदि किसी अनन्त श्रेणी का योगफल एक परिमित राशि हो तो वह अभिसारी (convergent) कहलाती है।दूसरे शब्दों में n को अपरिमित रूप से बढ़ाते चले जाने पर एक परिमित राशि S की ओर इस प्रकार अग्रसर हो कि n के पर्याप्त बड़े मान के लिए S_{n} व S का अन्तर इच्छानुसार कम किया जा सके तो अनन्त श्रेणी \Sigma u_n अभिसारी कहलाती है।
यदि \Sigma u_n से सम्बद्ध आंशिक योगफलों का अनुक्रम S_{n} अपसारी हो तो श्रेणी \Sigma u_n अपसारी (divergent) कहलाती है अथवा वह श्रेणी जिसका योग S_{n} एक परिमित राशि न हो वरन् n का मान अपरिमित रूप से बढ़ाने पर \{S_{n}\} भी अपरिमित रूप से बढ़ता चला जाए और सीमा में एक निश्चित चिन्ह वाली धनात्मक या ऋणात्मक अनन्त राशि हो जाए अर्थात् \lim S_n=+\infty या \lim S_n=-\infty
तो \Sigma u_n अपसारी कहलाती है।
ऐसी श्रेणी जिसमें S_{n} का मान n का मान अनन्त की ओर अग्रसर होने पर,न तो किसी परिमित राशि S की ओर अग्रसर होता है और न ही धनात्मक या ऋणात्मक अनन्त राशि की ओर, दोलायमान श्रेणी (oscillating series) कहलाती है।
प्रश्न:2.गुणोत्तर श्रेणी का अपसरण कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find the Convergence of the Geometric Series?):
उत्तर:गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Series)
1+x+x^{2}+\ldots+x^{n}+\ldots
(i.)अभिसारी है,यदि (is convergent, if) – 1<x<1 अर्थात् (ii) अपसारी है,यदि x \geq 1\\ S_n=\frac{1-x^n}{1-x}, यदि x<1 या S_n=\frac{x^n-1}{x-1} यदि x>1
(i.)जबकि (when): -1<x<1,तब
-1<x<1 \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x^n=0 \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_n=\frac{1}{1-x} (परिमित काजिए)
\Rightarrow \{S_{n}\}
(ii) जबकि (when): x \geq 1
यदि x=1 हो तो ।
S_n=1+1+\ldots+1=n \\ \therefore \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_n= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n=\infty
अतः दी हुई श्रेणी अपसारी होगी।
यदि x>1, तब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x^n=\infty \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^n-1}{x-1}=\infty
अतः दी हुई श्रेणी अपसारी होगी।
प्रश्न:3.अनन्त श्रेणियों के गुणधर्म क्या हैं? (What are the Properties of Infinite Series?):
उत्तर:(1.)किसी भी श्रेणी में परिमित संख्या के पद जोड़ने अथवा हटा लेने पर श्रेणी का अभिसरण तथा अपसरण प्रभावित नहीं होता है।
(2.)किसी भी श्रेणी के पदों को एक अशून्य अचर राशि से गुणा करने पर श्रेणी का अभिसरण तथा अपसरण प्रभावित नहीं होता है।
(3.)किसी भी धन पदों की श्रेणी के पदों को किसी प्रकार समूहित करके नये पद बनाने पर श्रेणी का अभिसरण तथा अपसरण प्रभावित नहीं होता है।
(4.)यदि दो श्रेणियों \Sigma u_n तथा \Sigma v_n अभिसारी श्रेणियाँ हैं तो \Sigma \left(u_n+v_{n}\right) और \Sigma \left(u_n-v_{n}\right) भी अभिसारी श्रेणियाँ होती हैं।
प्रश्न:4.श्रेणी के अभिसरण के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध क्या है? (What are the Necessary Condition for the Convergence of a Series?):
उत्तर: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=0 प्रतिबन्ध श्रेणी \Sigma u_n के अभिसरण होने के लिए आवश्यक शर्त है परन्तु पर्याप्त (sufficient) शर्त नहीं है।अतः \lim u_{n}=0 से निश्चित तौर पर यह नहीं कहा जा सकता है कि श्रेणी अभिसारी होगी परन्तु \lim u_{n} \neq 0 से निश्चित तौर पर श्रेणी \Sigma u_n अपसारी होगी।
प्रश्न:5.अभिसरण तथा अपसरण का प्रथम तुलना परीक्षण क्या है? (What is the First Comparison Test of Convergence and Divergence?):
उत्तर:(a)प्रथम तुलना परीक्षण (First Comparison Test):
यदि तथा दो धनात्मक पदों की श्रेणियाँ है,तब
(1.)यदि अभिसारी है तथा तो भी अभिसारी होगी।
(2.)यदि अपसारी है तथा तो भी अपसारी होगी।
(If and are two series of positive terms,then
(1.)If is convergent and, then is also convergent
(2.)If is divergent then then is also divergent)
प्रमाण (Proof):(1.)माना कि S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n तथा S_n^{\prime}=v_1+v_2+\cdots+v_n
चूँकि \Sigma v_{n} अभिसारी है,अतः \left\{ S_{n}^{\prime}\right\} अभिसारी होगा
\Rightarrow \left\{ S_{n}^{\prime}\right\} परिबद्ध होगा
\Rightarrow S_{n}^{\prime} <k, \forall n \in N (k परिमित है)
अब S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n \\ \leq v_1+v_2+\cdots+v_n =S_n^{\prime}\left[\because u_n \leq v_n \forall ,n \in N\right]\ k \forall n \in N \\ \Rightarrow \left\{ S_{n}\right\} ऊपर से परिबद्ध है।
अब चूँकि एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम होता है,
अनुक्रम \left\{ S_{n}^{\prime}\right\} अभिसारी होगा
\Rightarrow \Sigma v_{n} अभिसारी होगा।
चूँकि \Sigma v_{n} अभिसारी होगा।
(2.)चूँकि \Sigma v_{n} अपसारी है अतः \left\{ S_{n}^{\prime}\right\} अपसारी होगा।
\Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime}=\infty
अब S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n \\ \geq v_1+v_2+\cdots+v_n =S_n^{\prime} \left[\because u_n \geq v_n , \forall n \in N\right] \\ \Rightarrow S_n \geq S_n^{\prime} \forall n \in N \\ \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} S_n \geq \lim_{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime}=\infty \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\infty \\ \therefore \left\{ S_{n}\right\}
अपसारी होगा \Sigma v_{n} अपसारी होगा।
प्रश्न:6.हाइपर-हारमोनिक श्रेणी का अभिसरण कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Convergence of the Hyper-harmonic Series?):
उत्तर:हाइपर-हारमोनिक श्रेणी (Hyper-harmonic series):
\Sigma \frac{1}{n p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p} +\cdots+\frac{1}{n^p}+ \ldots
(1.)अभिसारी होगी, यदि p>1 (will be convergent, if p>1)
(2.)अपसारी होगी, यदि (will be divergent, if)
प्रमाण (Proof):स्थिति I.जबकि p>1 धनात्मक पदों की श्रेणी के पदों को किसी भी प्रकार समूहित (grouping) करके नए पद बनाने से उसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता है।अतः दी हुई श्रेणी को निम्न प्रकार समूहित करने पर
\sum \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\left(\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}\right) +\left(\frac{1}{4^p}+\frac{1}{5^p}+\frac{1}{6^p}+\frac{1}{7^p}\right)+\ldots
अब \frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}<\frac{1}{2^p}+\frac{1}{2^p}=\frac{2}{2^p} \left[\because 3>2 \Rightarrow 3^p > 2^p \Rightarrow \frac{1}{2^ p}>\frac{1}{3^p}\right]
इसी प्रकार \frac{1}{4^p}+\frac{1}{5^p}+\frac{1}{6^p}+\frac{1}{7^p}<\frac{1}{4^p}+ \frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{4}{4^p} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \frac{1}{n^p}<1+\frac{2}{2^ p}+\frac{4}{4^p}+\cdots
परन्तु दायें पक्ष में श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात \frac{2}{2^p}=\frac{1}{2^{p-1}}<1 \left[\because p>1 \right ] है, इसलिए अभिसारी है।अतः दी हुई श्रेणी p>1 के लिए अभिसारी होगी।
स्थिति:II.जबकि p=1
इस स्थिति में दी हुई श्रेणी होगी
\Sigma \frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots
इस श्रेणी को निम्न प्रकार समूहित करने पर
\sum \frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
अब 1+\frac{1}{2}>\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \\ \therefore \frac{1}{n p}>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots
परन्तु दायें पक्ष में श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका सार्व अनुपात 1 है,इसलिए अपसारी है।अतः दी हुई श्रेणी p=1 के लिए अपसारी होगी।
स्थिति:III.जबकि p<1
चूँकि p<1 \Rightarrow \frac{1}{n^p}>\frac{1}{n}, \forall x \in N \\ \therefore \sum \frac{1}{n^p}>\sum \frac{1}{n}
परन्तु स्थिति II से \sum \frac{1}{n} अपसारी है।अतः दी हुई श्रेणी p<1 के लिए अपसारी होगी।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कलन में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series in Calculus),अवकलन गणित में अभिसरण तथा अपसरण का तुलना परीक्षण (Comparison Test of Convergence and Divergence in Differential Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Convergence of Series in Calculus
कलन में श्रेणी का अभिसरण
(Convergence of Series in Calculus)
Convergence of Series in Calculus
कलन में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series in Calculus) श्रेणी के योगफल
केआधार पर ज्ञात किया जा सकता है।यदि किसी अनन्त श्रेणी का योगफल एक परिमित
राशि हो तो वह अभिसारी (Convergent) कहलाती है
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Satyam
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