1.कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12):

Continuity in Class 12

कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) के इस आर्टिकल में विभिन्न फलनों के सांतत्य का परीक्षण तथा विभिन्न फलनों के असांतत्य के बिन्दु ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.कक्षा 12 में सांतत्य के उदाहरण (Continuity in Class 12 Examples):

f के सभी असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए,जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
Example:12. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{10}-1, & \text { यदि } x \leq 1 \\ x^2, & \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{10}-1, & \text { यदि } x \leq 1 \\ x^2, & \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
x=1 पर फलन का मान

f(1)=(1)^{10}-1=1-1=0
x=1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1-h)^{10}-1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(1-10 h+45 h^2-\cdots+h^{10} -1\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(-10 h+45 h^2 \ldots+h^{10}\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=0
x=1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1+h)^2 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=1 \\ f(1)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)
x=1 पर फलन संतत नहीं है अतः x=1 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
Example:13.क्या f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+5, \text { यदि } x \leq 1 \\ x-5, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.  द्वारा परिभाषित फलन,एक संतत फलन है?
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+5, \text { यदि } x \leq 1 \\ x-5, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
x=1 पर फलन का मान f(1)=1+5=6
x=1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1-h+5 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 6-h \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=6
x=1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1+h-5) \\ =\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} (-4+h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=-4 \\ f(1)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=1 पर संतत नहीं है।
फलन f,के सांतत्य पर विचार कीजिए,जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
Example:14. f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3, \text { यदि } 0 \leq x \leq 1 \\ 4, \text { यदि } 1<x<3 \\ 5, \text { यह } 3 \leq x \leq 10 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3, \text { यदि } 0 \leq x \leq 1 \\ 4, \text { यदि } 1<x<3 \\ 5, \text { यह } 3 \leq x \leq 10 \end{array}\right.
x=1 पर फलन का मान
f(1)=3
x=1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (3) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=3
x=1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (4) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=4 \\ f(1)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=1 पर संतत नहीं है।
x=3 पर फलन का मान
f(3)=5
x=3 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (4) \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=4
x=3 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5) \\\Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=5 \\ f(3)=\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)\neq \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=3 पर संतत नहीं है।
Example:15. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x, & \text { यदि } x<0 \\ 0, & \text { यद } 0 \leq x \leq 1 \\ 4 x, & \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x, & \text { यदि } x<0 \\ 0, & \text { यद } 0 \leq x \leq 1 \\ 4 x, & \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान
f(0)=0
x=0 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-2 h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=0
x=0 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 0 \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0 \\ f(0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
x=1 पर फलन का मान
f(1)=0
x=1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0}(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(0) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=0
x=1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 4(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 4+4 h \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=4 \\ f(1)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=1 पर संतत नहीं है।
Example:16. f(x)=\left\{\begin{array}{l} -2, \text { यदि } x \leq-1 \\ 2 x, \text { यदि }-1<x \leq 1 \\ 2, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
Solution:f(x)=\left\{\begin{array}{l} -2, \text { यदि } x \leq-1 \\ 2 x, \text { यदि }-1<x \leq 1 \\ 2, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
x=-1 पर फलन का मान
f(-1)=-2
x=-1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow -1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-1-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-2) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow -1^{-}}{\lim} f(x)=-2
x=-1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow -1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(-1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-2+2 h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow -1^{+}}{\lim} f(x)=-2 \\ f(-1)=\underset{x \rightarrow -1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow -1^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=-1 पर संतत है।
x=1 पर फलन का मान
f(1)=2(1)=2
x=1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (2-2 h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) =2
x=1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (2) \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) =2 \\ f(x) =\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=1 पर संतत है।

Continuity in Class 12

Example:17.a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए
f(x)=\left\{\begin{array}{l} a x+1, \text { यदि } x \leq 3 \\ b x+3, \text { यदि } x>3 \end{array}\right.
द्वारा परिभाषित फलन x=3 पर संतत है।
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} a x+1, \text { यदि } x \leq 3 \\ b x+3, \text { यदि } x>3 \end{array}\right. 
x=3 पर फलन संतत है अतः
x=3 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a(3-h)+1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 3 a-a h+1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=3 a+1
x=3 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} b(3+h)+3 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 3 b+b h+3 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=3 b+3 \\ \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x) \\ 3 a+1=3 b+3 \\ \Rightarrow 3 a=3 b+2 \\ \Rightarrow a=\frac{3}{3} b+\frac{2}{3} \\ \Rightarrow a=b+\frac{2}{3}
Example:18. \lambda के किस मान के लिए
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda\left(x^2-2 x\right), & \text { यदि } x \leq 0 \\ 4 x+1, & \text { यदि } x>0\end{array}\right.
द्वारा परिभाषित फलन x=0 पर संतत है।x=1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda\left(x^2-2 x\right), & \text { यदि } x \leq 0 \\ 4 x+1, & \text { यदि } x>0\end{array}\right.
x=0 पर फलन संतत है अतः
x=0 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \lambda\left[(0-h)^2-2(0-h)\right] \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \lambda\left[h^2+2 h\right] \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =0
x=0 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 4(0+h)+1 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 4 h+1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \Rightarrow 0 \neq 1
अतः के किसी भी मान के लिए फलन x=0 पर संतत नहीं है।
x=1 पर फलन का मान
f(1)=4×1+1=4+1=5
x=1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 4(1-h)+1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (4-4 h+1) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (5-4 h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=5
x=1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 4(1+h)+1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (4+4 h+1) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (5+4 h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=5 \\ f(1)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=1 पर संतत है।
Example:19.दर्शाइए कि g(x)=x-[x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिन्दुओं पर असंतत है।यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है,जो x के बराबर या x से कम है।
Solution:g(x)=x-[x]
x=0 पर फलन का मान
g(0)=0-[0]=0
x=0 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} g(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} g(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 0-h-[0-h] \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -h-[-h] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -h-(-1) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -h+1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} g(x) =1
x=0 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} g(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} g(0+h) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 0+h-[0+h] \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h-[h] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h-0 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} g(x)=0 \\ g(0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} g(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} g(x)
अतः फलन x=0 पर संतत नहीं है।
x=c \neq 0 पर
x=c पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} g(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} g(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} c-h-[c-h] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} c-h-(c-1) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} c-h-c+1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}-h+1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} g(x)=1
x=c पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} g(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} g(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} c+h-[c+h] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} c+h-c \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} g(x)=0
x=c पर फलन का मान

g(c)=c-[c]=0 \\ g(c)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} g(x) \neq \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} g(x)
अतः फलन x=c पर संतत नहीं है।c एक स्वेच्छ पूर्णांक है अतः g(x) सभी पूर्णांकों पर असंतत है।
Example:20.क्या f(x)=x^2-\sin x+5 द्वारा परिभाषित फलन पर संतत है?
Solution:- f(x)=x^2-\sin x+5 \\ x=\pi पर फलन का मान
f(\pi)=\pi^2-\sin \pi+5 \\ \Rightarrow f(\pi)=\pi^2+5 \\ x=\pi पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow \pi^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(\pi-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(\pi-h)^2-\sin (\pi-h)+5 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \pi^2-2 \pi h+h^2-\sin \pi+5 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \pi^2-2 \pi h+h^2-0+5 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow \pi^{-}}{\lim} f(x)=\pi^2+5
पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow \pi^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(\pi+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (\pi+h)^2-\sin (\pi+h)+5 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \pi^2+2 \pi h+h^2+\sin \pi+5 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \pi^2+2 \pi h+h^2+0+5 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow \pi^{+}}{\lim} f(x)=\pi^2+5 \\ f(\pi)=\underset{x \rightarrow \pi^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow \pi^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन पर संतत है।
Example:21.निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए:
Example:21(a). f(x)=\sin x+\cos x
Solution: f(x)=\sin x+\cos x
माना x=c \in R (वास्तविक संख्या)
x=c पर फलन का मान

f(c)=\sin c+\cos c
x=c पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin (c-h)+\cos (c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (\sin c \cos h-\cos c \sin h+\cos c \cos h+\sin c \sin h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (\sin c \cos h)-\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (\cos c \sin h)+\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (\cos c \cos h)+\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (\sin c \sin h ) \\ =\sin c \cos 0-\cos c \sin 0+\cos c \cos 0 +\sin c \sin 0 \\ =\sin c \times 1-\cos c \times 0+\cos c \times 1+\sin c \times 0 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\sin c+\cos c
x=c पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[\sin (c+h)+\cos (c+h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[\sin c \cos h+\cos c \sin h + \cos c \cos h-\sin c \sin h ] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(\sin c \cos h)+\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(\cos c \sin h) +\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \cos c \cos h-\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin c \sinh \\ =\sin c \cos 0+\cos c \sin 0+\cos c \cos 0 -\sin c \sin 0 \\ =\sin c(1)+\cos c(0)+\cos c(1)-\sin c(0) \\ \underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\sin c+\cos c \\ f(c)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=c पर संतत है।
Example:21(b). f(x)=\sin x-\cos x
Solution: f(x)=\sin x-\cos x
माना x=c \in R (वास्तविक संख्या)
x=c पर फलन का मान
x=c पर L.H.L.

f(c)=\sin c-\cos c \\ \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin (c-h)-\cos (c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\sin c \cos h-\sin h \cos c\right)-\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\cos c \cos h+\sin c \sin h\right) \\ =\sin c \cos 0-\sin 0 \cos c-\cos c \cos 0 -\sin c \sin 0 \\ =\sin c(1)-\cos c(0)-\cos c(1)-\sin c(0) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\sin c-\cos c
x=c पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin (c+h)-\cos (c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} [\sin c \cos h+\cos c \sin h-\cos c \cos h + \sin c \sin h] \\ =\sin c \cos 0+\cos c \sin 0-\cos c \cos 0+\sin c \sin 0 \\ =\sin c(1)-\cos c(1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\sin c-\cos c \\ f(c)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में सांतत्य पर आधारित सवाल (Questions Based on Continuity in Class 12):

Continuity in Class 12

(1.)यदि f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+\lambda, x<3 \\ 4, x=3 \\ 3 x-5, x>3 \end{array}\right., x=3 पर संतत हो तब \lambda का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)a तथा b का मान ज्ञात कीजिए,यदि निम्न फलन संतत हो:

f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+a x+b, & 0 \leq x<2 \\ 4 x-1, & 2 \leq x \leq 4 \\ a x^2+17 b, & 4< x \leq 6 \end{array}\right.
उत्तर (Answers):(1.) \lambda=1
(2.)a=2,b=-1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12 में सांतत्य (Frequently Asked Questions Related to Continuity in Class 12),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) के इस आर्टिकल में विभिन्न फलनों के सांतत्य का
परीक्षण तथा विभिन्न फलनों के असांतत्य के बिन्दु ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।