सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th) के इस आर्टिकल में कुछ फलनों के सांतत्य को ज्ञात करने के अलावा कुछ फलनों के असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे। आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
2.सांतत्य कक्षा 12वीं के उदाहरण (Continuity Class 12th Examples):
Example:21(c). f(x)=sinx⋅cosx Solution: f(x)=sinx⋅cosx माना x=c∈R (वास्तविक संख्या) x=c पर फलन का मान
f(c)=sinc⋅cosc x=c पर L.H.L.
h→c−limf(x)=h→0limf(c−h)=h→0limsin(c−h)cos(c−h)=[h→0limsinccosh−limh→0coscsinh][h→0limcosccosh+limh→0sincsinh]=(sinccos0−coscsin0)(cosccos0+sincsin0)=[sinc⋅(1)−cosc⋅(0)][cosc⋅(1)+sinc⋅(0)]⇒h→c−lim=sinccosc x=c पर R.H.L.
⇒h→c+limf(x)=h→0limf(c+h)=h→0limsin(c+h)cos(c+h)=(h→0limsinccosh+h→0limcoscsinh)(h→0limcosccosh−h→0limsincsinh)=(sinccos(0)+coscsin0)(coscos0−sincsin0)=(sinc×1+cosc⋅0)(cosc⋅(1)−sinc⋅(0))⇒h→c+limf(x)=sinccoscf(c)=h→c−limf(x)=h→c+limf(x) अतः फलन x=c पर संतत है। Example:22. cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए। Solution:माना f(x)=cosx माना x=c∈R (वास्तविक संख्या)
x=c पर फलन का मान
f(c)=cosc x=c पर L.H.L.
x→c−limf(x)=h→0limf(c−h)=h→0limcos(c−h)=h→0limcosccosh+h→0limsincsinh=cosccos0+sincsin0=cosc(1)+sinc(0)⇒x→c−limf(x)=cosc x=c पर R.H.L.
x→c+limf(x)=h→0limf(c+h)=h→0limcos(c+h)=h→0limcosccosh−h→0limsincsinh=cosccos0−sincsin0=cosc⋅(1)−sinc⋅(0)⇒limx→c+f(x)=coscf(c)=x→c−limf(x)=x→c+limf(x) अतः cosine सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है। cosecant की सांतत्यता माना f(x)=cosecxx=c∈R−{nπ},n∈Z (n पूर्णांक है) क्योंकि x=nπ के लिए cosec x परिभाषित नहीं है। x=c पर फलन का मान
f(c)=cosecc,c∈R−{nπ} x=c पर L.H.L. [c∈R−{nπ}]x→c−limf(x)=h→0limf(c−h)=h→0limcosec(c−h)=h→0limsin(c−h)1=h→0limsinccosh−h→0limcoscsinh1=sinccos0−coscsin01=sinc⋅(1)−cosc⋅(0)1=sinc1⇒x→c−limf(x)=cosecc x=c पर R.H.L.
h→c+limf(x)=h→0limf(c+h)=h→0limcosec(c+h)=h→0limsin(c+h)1=h→0limsinccosh+h→0limcoscsinh1=sinccos0+coscsin01=sinc⋅(1)+cosc⋅(0)1=sinc1⇒h→c+limf(x)=coseccf(c)=h→c−limf(x)=h→c+limf(x) अतः फलन x=c पर संतत है जहाँ c∈R−{nπ} फलतः फलन cosecant प्रान्त R−{nπ} में संतत है। secant फलन की सांतत्यता माना f(x)=secxx=c∈R−{(2n+1)2π} पर फलन का मान
f(c)=secc,c∈R−{(2n+1)2π} [क्योंकि secx,(2n+1)2π पर परिभाषित नहीं है,जहाँ n∈Z] x=c पर L.H.L. [c∈R−{(2n+1)2π}]h→c−limf(x)=h→0limf(c−h)=h→0limsec(c−h)=h→0limcos(c−h)=h→0limcos(c−h)1=h→0limcosccosh+h→0limsincsinh1=cosccos0+sincsin01=cosc⋅(1)+sinc⋅(0)1=cosc1⇒h→c−limf(x)=secc x=c पर R.H.L. [c∈R−{(2n+1)2π}]h→c+limf(x)=h→0limf(c+h)=h→0limsec(c+h)=h→0limcos(c+h)1=h→0limcosccosh−h→0limsincsinh1=cosccos0−sincsin01=cosc⋅(1)−sinc⋅(0)1=cosc1⇒h→c+limf(x)=seccf(c)=h→c−limf(x)=h→c+limf(x) अतः फलन x=c पर संतत है जहाँ फलतः फलन secant प्रान्त R−{(2n+1)2π} में संतत है। cotangent की सांतत्यता माना f(x)=cotx c∈R−{nπ},x∈Z क्योंकि cotx,x=nπ पर परिभाषित नहीं है। x=c पर फलन का मान
f(c)=cotc x=c पर L.H.L. [C∈R−{nπ}]h→c−limf(x)=h→0limf(c−h)=h→0limcot(c−h)=h→0limsin(c−h)h→0limcos(c−h)=h→0limsinccosh−h→0limcoscsinhh→0limcosccosh+h→0limsincsinh=sinccos0−coscsin(0)cosccos0+sincsin0=sinc⋅(1)−cosc⋅(0)cosc⋅(1)+sinc⋅(0)=sinccosc⇒h→c−limf(x)=cotc x=c पर R.H.L. [C∈R−{nπ}]x→c+limf(x)=h→0limf(c+h)=h→0limcot(c+h)=h→0limsin(c+h)h→0limcos(c+h)=h→0limsinccosh+h→0limcoscsinhh→0limcosccosh−h→0limsincsinh=sinccos0+coscsin0cosccos0−sincsin0=sinc⋅(1)+cosc⋅(0)cosc⋅(1)−sinc⋅(0)=sinccosc⇒x→c+limf(x)=cotclimx→c+fim f(x)f(c)=x→c−limf(x)=x→c+limf(x) अतः फलन x=c∈R−{nπ} पर संतत है। फलतः फलन cotangent प्रान्त R−{nπ} में संतत है।
Example:23.f के सभी असांतत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए,जहाँ f(x)={xsinx,यदिx<0x+1,यदिx≥0 Solution: f(x)={xsinx,यदिx<0x+1,यदिx≥0 x=0 पर फलन का मान f(x)=x+1⇒f(0)=0+1=1 x=0 पर L.H.L.
x→0−limf(x)=h→0limf(0−h)=h→0lim0−hsin(0−h)=h→0lim(−h−sinh)=h→0lim(hsinh)⇒x→0−limf(x)=1 x=0 पर R.H.L.
x→0+limf(x)=h→0limf(0+h)=h→0lim(0+h)+1=h→0lim(h+1)⇒limx→0+f(x)=1f(0)=x→0−limf(x)=x→0+limf(x) फलन x=0 पर संतत है। अतः फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है फलतः फलन की असांतत्यता का कोई बिन्दु नहीं है। Example:24.निर्धारित कीजिए कि फलन f f(x)={x2sinx1,यदिx=00,यदिx=0 द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है। Solution: f(x)={x2sinx1,यदिx=00,यदिx=0 x=0 पर फलन का मान f(x)=0⇒f(0)=0 x=0 पर L.H.L. = x→0−limf(x)=h→0limf(0−h)=h→0lim(0−h)2sin(0−h1)=h→0limh2×[sin(−h1)]=0×−h→0limsin(h1)0×[-1 से 1 केबीचपरिमितमान]⇒x→0−limf(x)=0 x=0 पर R.H.L. x→0+limf(x)=h→0limf(0+h)=h→0lim(0+h)2sin(0+h1)=h→0limh2×h→0limsin(h1)0×[-1 से 1 केबीचपरिमितमान]x→0+limf(x)=0f(0)=x→0−limf(x)=x→0+limf(x) फलन x=0 पर संतत है। फलतः फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है। Example:25.f के सांतत्य की जाँच कीजिए,जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है f(x)={sinx−cosx, यदिx=0−1,यदिx=0 Solution: f(x)={sinx−cosx, यदिx=0−1,यदिx=0 x=0 पर फलन का मान f(0)=-1 x=0 पर L.H.L.
x→0−limf(x)=h→0limf(0−h)=h→0lim[sin(0−h)−cos(0−h)]=h→0lim(−sinh−cosh)=−sin0−cos0⇒x→0−limf(x)=−1 x=0 पर R.H.L.
x→0+limf(x)=h→0limf(0+h)=h→0lim[sin(0+h)−cos(0+h)]=h→0lim(sinh−cosh)=sin0−cos0⇒x→0+limf(x)=−1f(0)=x→0−limf(x)=x→0+limf(x) फलन x=0 पर संतत है। फलतः फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है। प्रश्न 26 से 29 में k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिन्दु पर संतत हो: Example:26. f(x)={π−2xkcosx,3,यदिx=2πयदिx=2π द्वारा परिभाषित फलन x=2π पर Solution: f(x)={π−2xkcosx,3,यदिx=2πयदिx=2πx=2π पर फलन का मान f(2π)=3x=2π पर L.H.L.
x→2π−limf(x)=h→0limf(2π−h)=h→0limπ−2(2π−h)kcos(2π−h)=h→0limπ−π+2hksinh=h→0lim2hksinh=2kh→0lim(hsinh)=2k×1⇒x→2π−limf(x)=2k फलन संतत है अतः
f(2π)=x→2π−limf(x)⇒3=2k⇒k=6 Example:27. f(x)={kx2,3,यदिx≤2यदिx>2 द्वारा परिभाषित फलन x=2 पर Solution: f(x)={kx2,3,यदिx≤2यदिx>2 x=2 पर फलन का मान
f(2)=k(2)2=4k
x=2 पर R.H.L.
x→2+limf(x)=h→0limf(2+h)=h→0lim(3)⇒x→2+limf(x)=3 x=2 पर फलन संतत है अतः
f(2)=x→2+limf(x)⇒4k=3⇒k=43 Example:28. f(x)={kx+1,यदिx≤πcosx,यदिx>π द्वारा परिभाषित फलन x=π पर Solution: f(x)={kx+1,यदिx≤πcosx,यदिx>πx=π पर L.H.L. x→π−limf(x)=limh→0′f(π−h)=h→0limk(π−h)+1=h→0lim(kπ−kh+1)⇒x→π−limf(x)=Kπ+1x=π पर R.H.L. x→π+limf(x)=h→0limf(π+h)=h→0limcos(π+h)=h→0lim(−cosh)=−cos0⇒x→π+limf(x)=−1x=π पर संतत है अतः x→π−limf(x)=x→π+limf(x)⇒kπ+1=−1⇒kπ=−2⇒k=−π2 Example:29. f(x)={kx+1,यदिx≤53x−5,यदिx>5 द्वारा परिभाषित फलन x=5 पर Solution: f(x)={kx+1,यदिx≤53x−5,यदिx>5 x=5 पर L.H.L.
x→5−limf(x)=h→0limf(5−h)=h→0limk(5−h)+1=h→0lim(5k−5h+1)x→5−limf(x)=5k+1 x=5 पर R.H.L.
x→5+limf(x)=h→0limf(5+h)=h→0lim3(5+h)−52=h→0lim15+h=5=h→0lim10+h⇒x→5+limf(x)=10 x=5 पर फलन संतत है अतः
x→5−limf(x)=x→5+limf(x)⇒5K+1=10⇒5k=9⇒K=59 Example:30.a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि f(x)=⎩⎨⎧5,यदिx≤2ax+b,यदि2<x<1021,यदिx≥10 Solution: f(x)=⎩⎨⎧5,यदिx≤2ax+b,यदि2<x<1021,यदिx≥10 x=2 पर L.H.L.
x→2−limf(x)=h→0limlimf(2−h)=h→0lim(5)⇒x→2−limf(x)=5 x=2 पर R.H.L.
x→2+limf(x)=h→0limf(2+h)=h→0lima(2+b)+b=h→0lim(2a+ah+b)⇒x→2+limf(x)=2a+b x=2 पर फलन संतत है अतः
x→2−limf(x)=x→2+limf(x)⇒2a+b=5⋯(1) x=10 पर L.H.L.
x→10−limf(x)=h→0limf(10−h)=h→0lim[a(10−h)+b]=h→0lim(10a−ah+b)⇒x→10−limf(x)=10a+b x=10 पर R.H.L.
x→10+limf(x)=h→0limf(10+h)=h→0lim(21)⇒x→10+limf(x)=21 x=10 पर फलन संतत है अतः
x→10−limf(x)=x→10+limf(x)10a+b=21…(2)2a+b=5⋯(1) (1) व (2) को हल करने परः a=2,b=1 Example:31.दर्शाइए कि f(x)=cos(x2) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है। Solution: f(x)=cos(x2) माना g(x)=cosx तथा h(x)=x2g(x)=cosx संतत फलन है तथा h(x)=x2 बहुपद फलन सर्वत्र संतत होता है।
f(x)=goh(x)=g[h(x)]=g[x2]f(x)=cosx2=goh(x) दो संतत फलनों का संयुक्त फलन संतत होता है।अतः f(x) भी संतत फलन है।अर्थात् f(x)=cosx2 संतत फलन है। विकल्पतः (alternate): x=c∈R पर L.H.L.
x→c−limf(x)=h→0limf(c−h)=h→0limcos(c−h)2⇒x→c−limf(x)=cosc2 x=c∈R पर R.H.L.
x→c+limf(x)=h→0limf(c+h)=h→0limcos(c+h)2⇒x→c+limf(x)=cosc2 x=c पर फलन का मान
f(c)=cosc2f(c)=x→c−limf(x)=x→c+limf(x) अतः फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है। उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) को समझ सकते हैं।
3.सांतत्य कक्षा 12वीं पर आधारित सवाल (Questions Based on Continuity Class 12th):
(1.)फलन f(x) की x=a पर सांतत्यता का परीक्षण कीजिए,यदि f(x)=⎩⎨⎧ax2−a0a−x2a3जब0<x<aजबx>aजबx>a (2.)a और b के मान ज्ञात कीजिए यदि निम्न फलन x=1 पर संतत हो। f(x)=⎩⎨⎧2x+aजबx>1bजबx=15x−2जबx<1 उत्तर (Answers):(1.)x=a पर फलन संतत है। (2.)a=1,b=3 उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.सांतत्य कक्षा 12वीं (Frequently Asked Questions Related to Continuity Class 12th),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:`
प्रश्न:1.संतत फलन किसे कहते हैं? (What is a Continuous Function?):
उत्तर: यदि x=c पर बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा तथा फलन के मान का यदि अस्तित्व (existence) है और ये सभी एक दूसरे के बराबर हो तो x=c पर f संतत कहलाता है। x→climf(x)=f(c)
प्रश्न:2.असंतत फलन किसे कहते हैं? (What is a Discontinuous Function?):
उत्तर:यदि x=c पर फलन संतत नहीं है तो हम कहते हैं कि c पर f असंतत (discontinuous) है।
प्रश्न:3.असांतत्य का बिन्दु कैसे ज्ञात करते हैं? (How is the Point of Discontinuity Found?):
उत्तर:c पर f यदि असंतत है तो c को f का एक असांतत्य का बिन्दु (point of discontinuity) कहते हैं। उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th) के इस आर्टिकल में कुछ फलनों के सांतत्य को ज्ञात करने के अलावा कुछ फलनों के असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
About my self
I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
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