1.सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12):

Continuity Class 12

सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) की संकल्पना का बोध कराने के लिए फलन की बायीं व दायीं सीमा व फलन का मान ज्ञात करना कुछ उदाहरणों के द्वारा समझेंगे।
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2.सांतत्य कक्षा 12 के उदाहरण (Continuity Class 12 Examples):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=5x-3,x=0,x=-3 तथा x=5 पर संतत है।
Solution:f(x)=5x-3
x=0 पर फलन का मान f(0)=5×0-3=-3
x=0 पर L.H.L.

\underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(0-h)=\underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(0-h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-5 h-3) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) =-3
x=0 पर R.H.L.

\underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(0+h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5 h-3) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =-3 \\ \underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
x=-3 पर फलन का मान f(-3)=5×-3-3=-15-3=-18
x=-3 पर L.H.L.

\underset{h \rightarrow -3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(-3-h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-15-5 h-3) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-18-5 h) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow -3^{-}}{\lim} f(x)=-18
x=-3 पर R.H.L.

\underset{h \rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(-3+h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-15+5 h-3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-18+5 h) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)=-18 \\ \underset{h \rightarrow -3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)=f(-3)
अतः फलन x=-3 पर संतत है।
x=5 पर फलन का मान f(5)=5×5-3=25-3=22
x=5 पर L.H.L.

\underset{h \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(5-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(5-h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(25-5 h-3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(22-5 h) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x) =22
x=5 पर R.H.L.

\underset{h \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(5+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 5(5+h)-3 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(25+5 h-3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(22+5 h) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x) =22 \\ \underset{h \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x)=f(5)
अतः फलन x=5 पर संतत है।
Example:2.x=3 पर फलन f(x)=2 x^2-1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।
Solution: f(x)=2 x^2-1
x=3 पर फलन का मान f(3)=2 \times 3^2-1=18-1=17
x=3 पर L.H.L.

\underset{h \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(3-h)^2-1 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2\left(9-6 h+h^2\right)-1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(18-12 h+2 h^2-1\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(17-12 h+2 h^2\right) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=17
x=3 पर R.H.L.

\underset{h \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(3+h)^2-1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2\left(9+6 h+h^2\right)-1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(18+12 h+2 h^2-1\right) \\=\lim _{h \rightarrow 0}\left(17+2 h+2 h^2\right) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x) =17 \\ \underset{h \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=f(3)
अतः फलन x=3 पर संतत है।
Example:3.निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए:
Example:3(a).f(x)=x-5
Solution:f(x)=x-5
x=c पर फलन का मान f(c)=c-5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim}(x-5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x) =c-5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=f(c)
अतः फलन f(x) सर्वत्र संतत है जहाँ x \in R
Example:3(b). f(x)=\frac{1}{x-5}, x \neq 5
Solution: f(x)=\frac{1}{x-5}, x \neq 5
x=c पर फलन का मान

f(c)=\frac{1}{c-5}, c \neq 5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim} \frac{1}{x-5} \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\frac{1}{c-5} \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=f(c)
अतः फलन प्रान्त x \in R-\{5\} में सर्वत्र संतत है।
Example:3(c). f(x)=\frac{x^2-25}{x+5}, x \neq-5
Solution: f(x)=\frac{x^2-25}{x+5}, x \neq-5 \\ f(x) =\frac{(x-5 x+5)}{(x+5)} \\ \Rightarrow f(x)=x-5
x=c पर फलन का मान f(c)=c-5

\underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim} (x-5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=c-5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=f(c)
अतः फलन प्रान्त R-\{-5\} में सर्वत्र संतत है।
Example:3(d). f(x)=|x-5|
Solution: f(x)=|x-5|
x=5 पर फलन का मान f(5)=|5-5|=0 \\ \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 5}{\lim}|x-5| \\ =|5-5| \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x)=0 \\ \underset{x \rightarrow 5}{\lim} f(x) =f(5)
अतः फलन x=5 पर संतत है।
x=c>5 \\ f(c)=|c-5|=c-5 \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim}|x-5| \\ =|c-5| \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=c-5
अतः फलन x=c>5 पर संतत है।
x=c<5 पर फलन का मान

f(c)=|-(5-c)| \\ \Rightarrow f(c)=5-c \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c}{\lim}|x-5| \\ =|-(5-c)| \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x) =5-c \\ \underset{x \rightarrow c}{\lim} f(x) =f(c)
अतः फलन x=c<5 पर संतत है।
फलतः फलन सर्वत्र संतत है।
Example:4.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=x^n ,x=n पर संतत है,जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
Solution: f(x)=x^n
x=n पर फलन का मान

f(n)=n^n \\ \underset{x \rightarrow n}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow n}{\lim} x^n \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow n}{\lim} f(x)=n^n \\ \underset{x \rightarrow n}{\lim} f(x)=f(n)
अतः फलन सर्वत्र संतत है।
Example:5.क्या f(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { यदि } x \leq 1 \\ 5, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.   द्वारा परिभाषित फलन f
x=0,x=1 तथा x=2 संतत है?
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { यदि } x \leq 1 \\ 5, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान f(0)=0
x=0 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(0-h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=0
x=0 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(0+h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=0 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
x=1 पर फलन का मान f(1)=1
x=1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1-h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=1
x=1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =5 \\ \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=f(1)
अतः x=1 पर फलन संतत नहीं है।
x=2 पर फलन का मान f(2)=5
x=2 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x) =5
x=2 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=5 \\ \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=f(2)
अतः फलन x=2 पर संतत है।

Continuity Class 12

f के सभी असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए,जबकि f निम्नांकित प्रकार से परिभाषित है:
Example:6. f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 x+3, \text { यदि } x \leq 2 \\ 2 x-3 , \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 x+3, \text { यदि } x \leq 2 \\ 2 x-3 , \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
x=2 पर फलन का मान
f(2)=2×2+3=4+3=7
x=2 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(2-h)+3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(4-2 h+3) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x) =7
x=2 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2(2+h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(4+2 h-3) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=1 \\ \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=f(2)
अतः फलन x=2 पर संतत नहीं है फलतः x=2 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
Example:7. f(x)=\left\{\begin{array}{l} |x|+3, \text { यदि } x \leq-3 \\ -2 x, \text { यदि }-3<x \leq 3 \\ 6 x+2, \text { याद } x \geq 3 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} |x|+3, \text { यदि } x \leq-3 \\ -2 x, \text { यदि }-3<x \leq 3 \\ 6 x+2, \text { याद } x \geq 3 \end{array}\right.
x=-3 पर फलन का मान

f(-3)=|-3|+3=3+3=6
x=-3 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}|-3-h|+3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(3+h+3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(6+h) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) =6
x=-3 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}|-3+h|+3 \\ = \underset{h \rightarrow 0}{\lim} |-(3-h)|+3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 3-h+3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 6-h \\ \underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=6 \\ \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=f(-3)
अतः फलन x=-3 पर संतत है।
x=3 पर फलन का मान
f(3)=6(3)+2=18+2=20
x=3 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -2(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -6+2 h \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)=-6
x=3 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 6(3+h)+2 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 18+6 h+2 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=18 \\ \underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x)=f(3) \neq \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=3 पर संतत नहीं है फलतः x=3 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
Example:8. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{|x|}{x}, & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text { यदि } x=0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{|x|}{x}, & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text { यदि } x=0 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान f(0)=0
x=0 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{|0-h|}{0-h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h}{-h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=-1
x=0 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{|0+h|}{0+h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=1 \\ \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(0) \neq \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(0) \neq f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत नहीं है फलतः x=0 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
Example:9. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x}{|x|}, & \text { यदि } x<0 \\ -1, & \text { यदि } x \geq 0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x}{|x|}, & \text { यदि } x<0 \\ -1, & \text { यदि } x \geq 0 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान f(0)=-1
x=0 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{0-h}{|0-h|} \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-h}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=-1
x=0 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=-1
अतः फलन x=0 पर संतत है फलतः फलन का कोई असांतत्य बिन्दु नहीं है।
Example:10. f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1, \text { यदि } x \geq 1 \\ x^2+1, \text { यदि } x<1 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1, \text { यदि } x \geq 1 \\ x^2+1, \text { यदि } x<1 \end{array}\right.
x=1 पर फलन का मान f(1)=1+1=2
x=1 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1-h)^2+1 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(1-2 h+h^2+1\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(2-2 h+h^2\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=2
x=1 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+h+1 \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=2 \\ \underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) =\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) =f(1)
अतः फलन x=1 पर संतत है फलतः फलन का कोई असांतत्य का बिन्दु नहीं है।
Example:11. f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^3-3, \text { यदि } x \leq 2 \\ x^2+1, \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^3-3, \text { यदि } x \leq 2 \\ x^2+1, \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
x=2 पर फलन का मान

f(2)=2^3-3=8-3=5
x=2 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(2-h)^3-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(8-12 h+6 h^2-h^3-3\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(5-12 h+6 h^2-h^3\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=5
x=2 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (2+h)^2+1 \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(4+4 h+h^2+1\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(5+4 h+h^2\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=5 \\ \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=f(2)
अतः फलन x=2 पर संतत है फलतः फलन का कोई असांतत्य बिन्दु नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.सांतत्य कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Continuity Class 12):

Continuity Class 12

(1.) f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x, x \leq 3 \\ 7-x, x>3,\end{array}\right. , x=3 पर
(2.) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0,\end{array}\right. , x=0पर
उत्तर (Answers):(1.)संतत (2.)संतत
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Determinants in Class 12

4.सांतत्य कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Continuity Class 12),कक्षा 12 में सांतत्य (Continuity in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) की संकल्पना का बोध कराने के लिए
फलन की बायीं व दायीं सीमा व फलन का मान ज्ञात करना कुछ उदाहरणों के द्वारा समझेंगे।