1.सांख्यिकी में प्रतिबन्ध प्रायिकता (Conditional Probability in Statistics),कम से कम एक घटना घटने की प्रायिकता (Probability of Atleast One Events):

Conditional Probability in Statistics

सांख्यिकी में प्रतिबन्ध प्रायिकता (Conditional Probability in Statistics) के इस आर्टिकल में जब अनेक परिस्थितियों में एक घटना के एक परीक्षण (trial) में घटने या न घटने का उसके भावी परीक्षणों में घटित होने की प्रायिकता पर प्रभाव पड़ता है।प्रायिकता के इस प्रकार के सवालों को हल करेंगे।
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2.सांख्यिकी में प्रतिबन्ध प्रायिकता के उदाहरण (Conditional Probability in Statistics Illustrations):

Illustration:24(i).यदि ताश के 52 पत्तों की गड्डी में से 4 पत्ते खींचे जाएं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से प्रत्येक अलग-अलग वर्ग (Different suit) का होगा?
Solution:13 चिड़ी के पत्तों में से एक पत्ता निकालने के तरीके={}^{13} C_1
13 हुकुम के पत्तों में से एक पत्ता निकालने के तरीके={}^{13} C_1
13 पान के पत्तों में से एक पत्ता निकालने के तरीके={}^{13} C_1
13 ईंट के पत्तों में से एक पत्ता निकालने के तरीके={}^{13} C_1
अतः 52 ताश के पत्तों में से 4 पत्ते अलग-अलग वर्ग के निकालने की प्रायिकता=\frac{{}^{13} C_1 \times {}^{13} C_1 \times {}^{13} C_1 \times {}^{13} C_1}{{}^{52} C_4} \\ =\frac{\frac{13!}{12! 1!} \times \frac{13!}{12!1!} \times \frac{13!}{12! 1!} \times \frac{13!}{12! 1!}}{\frac{52!}{(52-4)!4!}} \\ =\frac{13 \times 13 \times 13 \times 13 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{52 \times 51 \times 50 \times 49} \\ =\frac{2197}{20825}
Illustration:24(ii).चार पत्ते बिना पुनर्स्थापित किए (without replacement) खींचे जाते हैं।इसकी क्या प्रायिकता है कि चारों इक्के होंगे?
Solution:चारों पत्ते बिना प्रतिस्थापन किए इक्के निकलने के तरीके={}^4 C_{1}, {}^3 C_{1},{}^2 C_{1} ,{}^1 C_{1}
अतः चारों पत्ते बिना पुनर्स्थापित किए निकालने की प्रायिकता=\frac{{}^4 C_{1}}{{}^{52} C_{1}} \times \frac{{}^3 C_{1}}{{}^{51} C_{1}} \times \frac{{}^2 C_{1}}{{}^{50} C_{1}} \times \frac{{}^1 C_{1}}{{}^{49} C_{1}} \\ =\frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{52 \times 51 \times 50 \times 49} \\=\frac{1}{270725}
Illustration:24(iii).दो थैले हैं जिनमें एक में 5 लाल और 7 सफेद गेंदें हैं तथा दूसरे में 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं।दोनों थैलों में से किसी एक में से एक गेंद (क)लाल होगी; (ख)सफेद होगी?
Solution:(क)दो थैलों में से एक थैले के चयन की प्रायिकता=\frac{1}{2}
पहले थैले में से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{2} \times \frac{5}{12}=\frac{5}{24}
दूसरे थैले में से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{2} \times \frac{3}{15}=\frac{1}{10}
दोनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{24}+\frac{1}{10} \\ =\frac{25+12}{120}=\frac{37}{120}
(ख)पहले थैले में से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{2} \times \frac{7}{12}=\frac{7}{24}
दूसरे थैले में से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{2} \times \frac{12}{15}=\frac{4}{10}
दोनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{7}{24}+\frac{4}{10} \\ =\frac{35+48}{120}=\frac{83}{120}
Illustration:25(i).ताश के 52 पत्तों की किसी गड्डी में से एक पत्ता यदृच्छया निकालने पर इसकी क्या सम्भावना है कि वह पत्ता या तो कोई पान (heart) का या कोई चिड़ी (club) या कोई सत्ता (seven) होगा?
Solution:माना पान का पत्ता होने की घटना=A
चिड़ी का पत्ता होने की घटना=B
कोई सत्ता होने की घटना=C
A \cap B= \phi , B \cap C={चिड़ी का सत्ता}
A \cap C={पान का सत्ता}
A \cap B \cap C=\phi \\ P(A)=\frac{13}{52}, P(B)=\frac{13}{52}, P(C)=\frac{4}{52} \\ P(A \cap B)=0, P(B \cap C)=\frac{1}{52}, P(A \cap C)=\frac{1}{52} \\ P(A \cap B \cap C)=0 \\ P(A \cup B \cup C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(A \cap C)+P(A \cap B \cap C) \\ =\frac{13}{52}+\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-0-\frac{1}{52}-\frac{1}{52}-0 \\ =\frac{28}{52} \\ \Rightarrow P(A \cup B \cup C)=\frac{7}{13}
Illustration:25(ii).दो सिपाहियों में से प्रत्येक एक बार निशाना लेता है।पहले सिपाही के निशाना मारने की सम्भावना 0.7 है और दूसरे की लक्ष्य भेदने की सम्भावना 0.6 है।कम से कम एक के द्वारा निशाना मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:पहले सिपाही के निशाना मारने की प्रायिकता P_1=0.7
दूसरे सिपाही के निशाना मारने की प्रायिकता P_2=0.6
कम से कम एक के द्वारा निशाना मारे जाने की प्रायिकता=1-\left(1-P_1\right)\left(1-P_2\right) \\ =1-(1-0.7)(1-0.6) \\ =1-0.3 \times 0.4 \\ =1-0.12=0.88
Illustration:26(i).एक कलश में 7 सफेद और 3 काली गेंदें हैं।तीन गेंदें एक-एक करके,वापस रखते हुए यदृच्छया निकाली जाती है।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (क)कम से कम एक गेंद काली होगी; (ख)पहली और अन्तिम गेंद विभिन्न रंगों की होगी।
Solution:(क).एक गेंद काली तथा दो गेंद सफेद निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10}=\frac{147}{1000}
दो गेंद काली तथा एक गेंद सफेद निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} \times \frac{7}{10}=\frac{63}{1000}
तीनों गेंद काली निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} \times \frac{3}{10}=\frac{27}{1000}
अतः कम से कम एक गेंद काली निकालने की प्रायिकता (तीनों अपवर्जी घटनाएँ हैं) अतः=\frac{147}{1000}+\frac{63}{1000}+\frac{27}{1000}=\frac{237}{1000}
(ख)पहली गेंद काली दूसरी गेंद काली व तीसरी गेंद सफेद निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} \\ =\frac{63}{1000}
पहली गेंद काली दूसरी सफेद तथा तीसरी गेंद सफेद निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10}=\frac{147}{1000}
पहली गेंद सफेद दूसरी गेंद सफेद तथा तीसरी गेंद काली निकालने की प्रायिकता=\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{10}=\frac{147}{1000}
पहली गेंद सफेद,दूसरी गेंद काली व तीसरी गेंद काली निकालने की प्रायिकता =\frac{7}{10} \times \frac{3}{10} \times \frac{3}{10} \\ =\frac{63}{1000}
चारों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः पहली व अन्तिम गेंद भिन्न रंग की निकालने की प्रायिकता=\frac{63}{1000}+\frac{147}{1000}+\frac{147}{1000}+\frac{63}{1000} \\ =\frac{420}{1000}=\frac{21}{50}
Illustration:26(ii).एक घड़े ‘अ’ में 2 सफेद और 4 काली गेंदें हैं।दूसरे घड़े ‘ब’ में 5 सफेद और 7 काली गेंदें हैं।एक गेंद ‘अ’ घड़े से लेकर ‘ब’ घड़े में रख दी जाती है।अब घड़े ‘ब’ से एक गेंद निकाली जाए तो ज्ञात कीजिए कि इस गेंद के सफेद होने की क्या सम्भाविता है?
Solution:यदि ‘अ’ घड़े से सफेद गेंद निकालकर ‘ब’ घड़े में रख दी जाती है तो घड़े ‘ब’ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{6}{13} \times \frac{2}{6}=\frac{12}{78}
यदि ‘अ’ घड़े से काली गेंद निकालकर ‘ब’ घड़े में रख दी जाती है तो घड़े ‘ब’ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{13} \times \frac{4}{6}=\frac{20}{78}
दोनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः घड़े ‘ब’ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{12}{78}+\frac{20}{78} \\ =\frac{32}{78}=\frac{16}{39}
Illustration:27(i).एक घड़े में 3 काली व 7 सफेद गेंदें हैं;दूसरे घड़े में 7 काली व 3 सफेद गेंदें हैं और तीसरे घड़े में 4 काली व 6 सफेद गेंदें हैं।एक अन्धा आदमी इनमें से एक घड़ा उठाता है और उसमें से एक गेंद निकालता है।इस बात की क्या सम्भावना है कि यह गेंद काली होगी?
Solution:तीन घड़ों में से एक घड़े के चयन की प्रायिकता=\frac{1}{3}
पहले घड़े का चयन करने पर काली गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}=\frac{1}{10}
दूसरे घड़े का चयन करने पर काली गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{3} \times \frac{7}{10}=\frac{7}{30}
तीसरे घड़े का चयन करने पर काली गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}=\frac{2}{15}
तीनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{1}{10}+\frac{7}{30}+\frac{2}{15} \\ =\frac{3+7+4}{30}=\frac{14}{30} \\ =\frac{7}{15}
Illustration:27(ii).तीन एक जैसे पात्रों में क्रमशः 1 सफेद और 4 काली;2 सफेद और 3 काली ;तथा 3 सफेद और 2 काली गेंदें हैं।एक पात्र का यादृच्छिक चयन करके उसमें से दो गेंदें बेतरतीब निकाली गई।यदि दूसरी गेंद निकालने से पूर्व पहली गेंद प्रतिस्थापित की गई हो तो बताइए कि क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें सफेद होंगी?
Solution:तीन पात्रों में से एक पात्र का चयन करने की प्रायिकता=\frac{1}{3}
पहले पात्र में पहली गेंद सफेद तथा दूसरी गेंद सफेद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{75}
दूसरे पात्र से पहली गेंद सफेद तथा दूसरी गेंद सफेद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5}=\frac{4}{75}
तीसरे पात्र से पहली गेंद सफेद व दूसरी गेंद सफेद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}
तीनों पात्रों से पहली व दूसरी गेंद सफेद निकालने की घटनाएँ अपवर्जी हैं अतः एक पात्र का चयन करके उसमें से पहली व दूसरी गेंद सफेद निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{75}+\frac{4}{75}+\frac{9}{75}=\frac{14}{75}

Conditional Probability in Statistics

Illustration:28.एक कलश में 10 सफेद और 3 काली गेंदें हैं।दूसरे कलश में 3 सफेद और 5 काली गेंदें हैं।पहले कलश से दूसरे कलश में 2 गेंदें हस्तान्तरित कर दी जाती हैं,फिर दूसरे कलश में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है।इसकी क्या सम्भावना है कि निकाली गई गेंद सफेद है?
Solution:(1.)यदि पहले कलश से दूसरे कलश में स्थानान्तरित दोनों गेंदें सफेद हों:
पहले कलश में से दोनों सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{10}{13} \times \frac{9}{12}=\frac{15}{26}
अब दूसरे कलश में 5 सफेद और 5 काली गेंद हो गयी।
अतः दूसरे कलश में से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
मिश्रित घटना:पहले कलश में से दूसरे कलश में दोनों सफेद गेंद हस्तान्तरित होने और फिर दूसरे कलश में से सफेद गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{15}{26} \times \frac{1}{2}=\frac{15}{52}
(2.)यदि पहले कलश से पहली गेंद सफेद व दूसरी काली या पहली काली और दूसरी सफेद गेंदें स्थानान्तरित की गई हों
पहले कलश में से पहली सफेद व दूसरी काली या पहली काली और दूसरी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{10}{13} \times \frac{3}{12}+\frac{3}{13} \times \frac{10}{12} \\ =\frac{5}{26}+\frac{5}{26}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}
अब दूसरे कलश में 4 सफेद और 6 काली गेंदें हो गयीं।
अतः दूसरे कलश में से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
मिश्रित घटना:पहले कलश में से पहली सफेद व दूसरी काली या पहली काली और दूसरी सफेद दोनों गेंदों को दूसरे कलश में स्थानान्तरित करने और फिर दूसरे कलश में से सफेद गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{5}{13} \times \frac{2}{5}=\frac{2}{13}
(3.)यदि पहले कलश में से दूसरे में हस्तान्तरित होने वाली दोनों गेंदें काली हों
पहले कलश से दोनों गेंदें काली निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{13} \times \frac{2}{12}=\frac{1}{26}
अब दूसरे कलश में 3 सफेद और 7 काली गेंदें हो गयीं।
अतः दूसरे कलश में से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{10}
मिश्रित घटना:पहले कलश से दो काली गेंदें दूसरे कलश में स्थानान्तरित करने और दूसरे कलश में से सफेद गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{1}{26} \times \frac{3}{10}=\frac{3}{260}
(1),(2) व (3) तीनों परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{15}{52}+\frac{2}{13}+\frac{3}{260} \\ =\frac{75+40+3}{260}=\frac{118}{260} \\ =\frac{59}{130}
Illustration:29(i).एक व्यक्ति जो आज 40 वर्ष का है उसके 70 वर्ष तक जीवित रहने के प्रतिकूल संयोगानुपात (odd against) 8:5 है और एक दूसरा व्यक्ति जो आज 50 वर्ष का है उसके 80 वर्ष तक जीवित रहने के विपक्ष में संयोगानुपात 4:3 है।सम्भाविता निकालिए कि इन दोनों में से कम से कम एक व्यक्ति आज से 30 वर्ष आगे तक जीवित रहेगा।
Solution:पहले व्यक्ति (40 वर्ष) के मरने की प्रायिकता=\frac{8}{13}
दूसरे व्यक्ति (50 वर्ष) के मरने की प्रायिकता=\frac{4}{7}
दोनों के मरने की संयुक्त प्रायिकता=\frac{8}{13} \times \frac{4}{7}=\frac{32}{91}
कम से कम एक के जीवित रहने की प्रायिकता=1-\frac{32}{91}=\frac{59}{91}
Illustration:29(ii).X द्वारा एक खेल में Y के विरुद्ध जीतने के पक्ष में संयोगानुपात 4:3 है।7 खेलों में Y द्वारा 3 खेल जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (परिकलन को सरल करना आवश्यक नहीं है।)
Solution:Y के जीतने की प्रायिकता=\frac{3}{7}
p=\frac{3}{7}, q=\frac{4}{7}, n=7, r=3
अतः Y द्वारा 7 में से 3 खेल जीतने की प्रायिकता={}^n C_r p^r q^{n-r} \\ ={}^7 C_3\left(\frac{3}{7}\right)^3\left(\frac{4}{7}\right)^4
Illustration:30(i).यदि औसतन 10 जहाजों में से 1 डूब जाता है तो इसकी सम्भावना ज्ञात कीजिए कि 5 प्रत्याशित जहाजों में से कम से 4 कुशल (safely) पहुँच जाएँगे।
Solution:जहाज के सकुशल पहुँच जाने की प्रायिकता (p)=\frac{9}{10}
न पहुँचने की प्रायिकता (q)=\frac{1}{10}
5 जहाजों में से कम से कम 4 के सकुशल पहुँच जाने की प्रायिकता={}^n C_r(p)^r(q)^{n-r}
4 जहाजों के सकुशल पहुँच जाने की प्रायिकता={}^5 C_4 \left(\frac{9}{10}\right)^4\left(\frac{1}{10}\right)^1=\frac{32805}{100000}
5 जहाजों के सकुशल पहुँच जाने की प्रायिकता={}^5 C_5\left(\frac{9}{10}\right)^5\left(\frac{1}{10}\right)^0=\frac{59049}{100000}
अतः 5 जहाजों में से कम से कम 4 (अर्थात् 4 या 5) के सुरक्षित पहुँच जाने की प्रायिकता=\frac{32805}{100000}+\frac{59049}{100000}=\frac{91854}{100000} \\ =\frac{45927}{50000}
Illustration:30(ii).एक पुस्तक की तीन स्वतन्त्र समालोचकों द्वारा अनुकूल समीक्षा (favourable review) किए जाने के पक्ष में संयोगानुपात क्रमशः 3:2,4:3 और 2:3 है।क्या सम्भावना है कि तीन समीक्षाओं में से बहुमत पुस्तक के पक्ष में होगा?
Solution:पहले समीक्षक के अनुकूल समीक्षा की प्रायिकता P(A)=\frac{3}{5} , प्रतिकूल समीक्षा की प्रायिकता P(\bar{A})=\frac{2}{5}
दूसरे समीक्षक के अनुकूल समीक्षा की प्रायिकता P(B)=\frac{4}{7}, प्रतिकूल समीक्षा की प्रायिकता P(\bar{B})=\frac{3}{7}
तीसरे समीक्षक के अनुकूल समीक्षा की प्रायिकता P(C)=\frac{2}{5}, प्रतिकूल समीक्षा की प्रायिकता P(\bar{C})=\frac{3}{5}
अतः तीन समीक्षाओं में पुस्तक के पक्ष में होने की निम्न परिस्थितियाँ हैं:
(1) P(A) P(B) P(\bar{C})=\frac{3}{5} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{5}=\frac{36}{175}
(2) P(A) P(\bar{B}) P(C)=\frac{3}{5} \times \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{18}{175}
(3) P(\bar{A}) P(B) P(C)=\frac{2}{5} \times \frac{4}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{16}{175}
तीनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः बहुमत पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकता=\frac{36}{175}+\frac{18}{175}+\frac{16}{175} \\ =\frac{70}{175}=\frac{2}{5}
Illustration:31(i).3 पुरुष,2 स्त्रियों और 4 बच्चों के एक समूह में से 4 व्यक्ति यादृच्छिक विधि से चुने जाते हैं।इसकी सम्भावना ज्ञात कीजिए कि इनमें से ठीक 2 बच्चे होंगे?
Solution:ठीक 2 बच्चे चुने जाने की निम्नलिखित परिस्थितियाँ होंगी:
(1.)3 पुरुष में से 2 पुरुष तथा 4 बच्चों में से 2 बच्चे चुने जाने के तरीके={}^3 C_2 \times {}^4 C_2
कुल 9 में से 4 के चयन के तरीके=\frac{{}^3 C_2 \times {}^4 C_2}{9 c_4}=\frac{\frac{3!}{2!} \times \frac{4!}{2!2!}}{\frac{9!}{(9-4)!4!}} \\ =\frac{3 \times 6}{9 \times 7 \times 2}=\frac{1}{7}
अतः 3 पुरुष में से 2 पुरुष तथा 4 बच्चों में से 2 बच्चे चुने जाने की प्रायिकता
(2.)3 पुरुष में से 1 पुरुष,2 स्त्रियों में से 1 स्त्री तथा 4 बच्चों में से 2 बच्चों के चयन के तरीके={}^3 C_1 \times {}^2 C_1 \times {}^4 C_2
अतः 3 पुरुष में से 1 पुरुष,2 स्त्रियों में से 1 स्त्री तथा 4 बच्चों में से 2 बच्चों के चुने जाने की प्रायिकता=\frac{{}^3 C_1 \times {}^2 C_1 \times {}^4 C_2}{{}^{15} C_4} \\ =\frac{3 \times 2 \times 6}{9 \times 7 \times 2}=\frac{2}{7}
(3.)2 स्त्रियों में से 2 स्त्री तथा 4 बच्चों में से 2 बच्चों के चयन के तरीके={}^2 C_2 \times {}^4 C_2
2 स्त्रियों में से 2 स्त्री तथा 4 बच्चों में से 2 बच्चों के चुने जाने की प्रायिकता=\frac{{}^2 C_2 \times {}^4 C_2}{{}^9 C_4} \\ =\frac{6}{9 \times 7 \times 2}=\frac{1}{21}
(1),(2) व (3) परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{1}{21}=\frac{3+6+1}{21} \\ =\frac{16}{21}
Illustration:31(ii).यदि आक्रमण करने वाले वायुयानों में से 30% के लक्ष्य पर पहुँचने से पहले ही मार दिया जाने (shout down) की सम्भावना है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि 5 जहाजों में से कम से कम 4 लक्ष्य पर पहुँचने से पहले ही मार गिरा दिए जाएँगे?
Solution:वायुयान के लक्ष्य पर पहुँचने से पूर्व ही मार गिराये जाने की प्रायिकता (p)=\frac{3}{10}
लक्ष्य पर पहुँचने की प्रायिकता (q)=\frac{7}{10}
5 वायुयानों में से कम से कम 4 के लक्ष्य से पूर्व मार गिराये जाने की प्रायिकता:
5 के मार गिराये जाने की प्रायिकता={}^5 C_5\left(\frac{3}{10}\right)^5\left(\frac{7}{10}\right)^0
4 के मार गिराये जाने की प्रायिकता={}^5 C_4\left(\frac{3}{10}\right)^4\left(\frac{7}{10}\right)^1
अतः कम से कम 4 के लक्ष्य से पूर्व मार गिराये जाने की प्रायिकता={}^5 C_5\left(\frac{3}{10}\right)^5 \left(\frac{7}{10}\right)^0+{}^5 C_4\left(\frac{3}{10}\right)^4 \left(\frac{7}{10}\right)^1 \\ =\frac{243}{100000}+\frac{2835}{100000}=\frac{3078}{100000} \\=\frac{1539}{50000}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में प्रतिबन्ध प्रायिकता (Conditional Probability in Statistics),कम से कम एक घटना घटने की प्रायिकता (Probability of Atleast One Events) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में प्रतिबन्ध प्रायिकता की समस्याएँ (Conditional Probability in Statistics Problems):

Conditional Probability in Statistics

(1.)A एक पुस्तक के 80% प्रश्न हल कर सकता है और B 60% हल कर सकता है।यह सम्भावना बताइए कि इनमें से कम से कम एक यादृच्छिक रूप से चुने गए किसी प्रश्न का हल कर सकेगा।
(2.)यदि किसी परीक्षा में औसत रूप से 10 में से एक प्रत्याशी उत्तीर्ण होता है तो यह प्रायिकता निकालिए कि 5 प्रत्याशियों में से कम से कम 4 उत्तीर्ण होंगे।
उत्तर (Answers): (1.) \frac{23}{25} (2.) \frac{45927}{50,000}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में प्रतिबन्ध प्रायिकता (Conditional Probability in Statistics),कम से कम एक घटना घटने की प्रायिकता (Probability of Atleast One Events) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में प्रतिबन्ध प्रायिकता (Frequently Asked Questions Related to Conditional Probability in Statistics),कम से कम एक घटना घटने की प्रायिकता (Probability of Atleast One Events) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में प्रतिबन्ध प्रायिकता (Conditional Probability in Statistics) के इस आर्टिकल में
जब अनेक परिस्थितियों में एक घटना के एक परीक्षण (trial) में घटने या न घटने का उसके भावी
परीक्षणों में घटित होने की प्रायिकता पर प्रभाव पड़ता है।प्रायिकता के इस प्रकार के सवालों को
हल करेंगे।