1.समीकरण के लिए प्रतिबन्ध जो एक शंकु को प्रदर्शित करे (Condition for Equation Represents Cone),प्रतिबन्ध ज्ञात करना कि द्विघाती समीकरण एक शंकु प्रदर्शित करे (To Find the Condition for the General Equation of Second Degree to Represent a Cone):

Condition for Equation Represents Cone

समीकरण के लिए प्रतिबन्ध जो एक शंकु को प्रदर्शित करे (Condition for Equation Represents Cone) अर्थात् द्विघाती व्यापक समीकरण के लिए प्रतिबन्ध ज्ञात करना जो शंकु को प्रदर्शित करे।
(1.)प्रतिबन्ध ज्ञात करना कि द्विघाती व्यापक समीकरण एक शंकु प्रदर्शित करे:
(To Find the Condition for the General Equation of Second Degree to Represent a Cone):
माना कि द्विघाती व्यापक समीकरण

f(x, y, z) \equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 \ldots(1)
शंकु प्रदर्शित करता है जिसका शीर्ष (\alpha, \beta, \gamma) है।
मूलबिन्दु को (\alpha, \beta, \gamma) पर स्थानान्तरित (Shift) करने पर:

a(x+\alpha)^{2}+b(y+\beta)^{2}+c(z+\gamma)^{2}+2 f(y+\beta)(z+\gamma)+2 g(z+\gamma) (x+\alpha)+2 h(x+\alpha)(y+\beta)+2 u(x+\alpha)+2 v(y+\beta)+2 w(z+\gamma)+d=0 \\ \Rightarrow a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 x(a \alpha+b \beta+g \gamma+u)+ 2 y(b \beta+h \alpha+f \gamma+v)+2 z(c \gamma+g \alpha+f \beta+w)+F(\alpha, \beta, \gamma)=\cdots(2)
यह समीकरण (2),उस शंकु को प्रदर्शित करे जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है तो (2) x,y,z में समघाती होनी चाहिए।अतः

a \alpha+b \beta+g \gamma+u=0 \cdots(3) \\ h \alpha+b \beta+f \gamma+v=0 \cdots(4) \\ g \alpha+f \beta+c \gamma+w=0 \cdots(5)
तथा F(\alpha, \beta, \gamma)=\alpha(a \alpha+h \beta+g \gamma+u)+\beta(h \alpha+b \beta+f \gamma+v)+ \gamma(g \alpha+f \beta+c \gamma+w)+(u \alpha+v \beta+w \gamma+d)=0
इसमें समीकरण (3),(4) तथा (5) का प्रयोग करने पर:

u \alpha+v \beta+w \gamma+d=0 \cdots(6)
समीकरण (3),(4),(5) तथा (6) में से (\alpha, \beta, \gamma) को लुप्त करने पर:

\left|\begin{array}{llll}a & h & g & u \\h & b & f & v \\g & f & c & w \\u & v & w & d\end{array}\right|=0
जो कि अभीष्ट प्रतिबन्ध है।
उपर्युक्त प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होने पर द्विघात व्यापक समीकरण शंकु प्रदर्शित करेगा।शीर्ष के निर्देशांक (3),(4),(5) तथा (6) में से किन्हीं तीन को हल करने से प्राप्त किए जा सकते हैं।
क्रियाविधि (Working Rule):
यदि F(x,y,z)=0 द्विघात व्यापक समीकरण है तथा शंकु प्रदर्शित करता हो तो उसके शीर्ष बिन्दु के निर्देशांक

\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial F}{\partial t}=0
में से किन्हीं तीन को हल करने से प्राप्त किए जा सकते हैं।जहाँ t एक सहायक चर है जिसकी सहायता से F(x,y,z) को समद्विघात बनाया गया है तथा अवकलन करने के पश्चात् t=1 प्रतिस्थापन किया जाता है।F(x,y,z) को समद्विघाती बनाने पर:

F(x, y, z, t)=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 u x t+ 2 v y t+2 w z t+d t^{2} \\ \frac{\partial F}{\partial x}=2(a x+h y+g z+u t), \frac{\partial F}{\partial y}=2(h x+b y+f z+v t) \\ \frac{\partial F}{\partial z}=2(g x+f y+c z+w t), \frac{\partial F}{\partial t}=2(u x+b y+f z+v t)
अब t=1 प्रतिस्थापन करने पर तथा समीकरण (3),(4),(5) तथा (6) से तुलना (Compare) करने पर हम पाते हैं कि शीर्ष (\alpha, \beta, \gamma)  निम्न समीकरणों को सन्तुष्ट करते हैं:

\frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial F}{\partial y}=0, \frac{\partial F}{\partial z}=0, \frac{\partial F}{\partial f}=0
(2.)उन रेखाओं के मध्य कोण को ज्ञात करना जिसमें समतल
ux+vy+wz=0 …..(1)
शंकु a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 \cdots(2)
को काटता है।
(To Find the Angle Between the Lines in Which the Plane ux+vy+wz=0 Cuts the Cone,a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=0 )
इस अनुच्छेद में हम निम्न सांकेतिक पद्धतियों का उपयोग करेंगे:
D=\left|\begin{array}{lll}a & h & g \\h & b & f \\g & f & c\end{array}\right| और P^{2}=\left|\begin{array}{llll}a & h & g & u \\h & b & f & v \\g & f & c & w \\u & v & w & 0\end{array}\right| \\=a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ A=\frac{\partial D}{\partial a}=b c-f^{2}, B=\frac{\partial D}{\partial b}=c a-g^{2} \\ C \equiv \frac{\partial D}{\partial c}=a b-h^{2}, F \equiv \frac{1}{2} \frac{\partial D}{\partial f}=g h-a f \\ G=\frac{1}{2} \frac{\partial D}{\partial g}=b f-bg, H=\frac{1}{2} \frac{\partial D}{\partial h}=f g-c h

और B C-F^{2}=a D, C A-G^{2}=b D, A B-H^{2}=c D
GH-AF=fD,HF-BG=gD,FG-GH=hD
साथ ही P^{2}=-\left(A u^{2}+B v^{2}+c w^{2}+2 F v w+2 G w u+2 H u v\right)
अब हम अपनी समस्या पर आते हैं।
माना कि \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} किसी एक प्रतिच्छेदी रेखा का समीकरण है।यह रेखा समतल तथा शंकु दोनों पर है इसलिए

f(l, m, n)=a l^{2}+b m^{2}+c n^{2}+2 f m n+2 g n l+2 h l m=0 \ldots(3)
तथा ul+vm+wn=0   ……(4)
समीकरण (3) तथा (4) से n का विलोपन करने पर:

a l^{2}+b m^{2}+c\left[-\frac{u l+v m}{w}\right]-2(f m+g l)\left[\frac{u l+v m}{w}\right]+2 h l m=0 \\ \Rightarrow \frac{l^{2}}{m^{2}}\left(c u^{2}+a w^{2}-2 g w u\right)+\frac{2l}{m}\left(h w^{2}+c u v-f u w-g v w\right)+ \left(b w^{2}+c v^{2}-2 f v w\right)=0 \ldots(5)
यह \frac{l}{m} में एक द्विघात समीकरण है।माना कि इसके मूल \frac{l_{1}}{m_{1}} तथा \frac{l_{2}}{m_{2}} हैं
तब \frac{l_{1} l_{2}}{m_{1} m_{2}} =\frac{b w^{2}+c v^{2}-2 f v w}{c u^{2}+a w^{2}-2 g w u}
तथा \frac{l_{1}}{m_{1}}+\frac{l_{2}}{m_{2}} =\frac{l_{1} m_{1}+l_{2} m_{1}}{m_{1} m_{2}}=-\frac{2\left(h w^{2}+c u v-f u w-g v w\right)}{c u^{2}+a w^{2}-2 gw u}
अतः \frac{l_{1} l_{2}}{b w^{2}+c v^{2}-2 f v w}=\frac{m_{1} m_{2}}{c u^{2}+a w^{2}-2 g w u}=\frac{l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}}{-2\left( h w^{2}+c u v-f u w-g v w\right)} =\pm \frac{l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}}{2\left\{\left(h w^{2}+cu v-f u w-g v w\right)^{2}-\left(b w^{2}+c v^{2}-2fv w\right)\left(c u^{2}+a w^{2}-2 g w u\right)\right\}^{\frac{1}{2}} } =\frac{l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}}{\pm 2 w p}=\lambda (मान लो)……(6)
अब (6) के प्रत्येक व्यंजक सममिति से निम्न व्यंजकों के भी बराबर होंगे

\frac{n_{1} n_{2}}{a v^{2}+b u^{2}-2 h u v}=\frac{m_{1} n_{2}-m_{2} n_{1}}{\pm 2 u p}=\frac{n_{1} l_{2}-n_{2} l_{1}}{\pm 2 v p}
यदि प्रतिच्छेद रेखाओं के मध्य कोण \theta है तो

\frac{\cos \theta}{l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}}=\frac{\sin \theta}{\sqrt{\left\{ \Sigma \left(m_{1} n_{2}-m_{2} n_{1}\right)^{2}\right\}}} \\ \frac{\cos \theta}{(a+b+c)\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)-f(u, v, w)}=\frac{\sin \theta}{\pm 2\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)^{\frac{1}{2}} p}
अतः \tan \theta=\frac{\pm 2\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)^{\frac{1}{2}} P}{(a+b+c) \left(u^{2}+v^{2}+ w^{2}\right)-f(u, v, w)}
उपप्रमेय (Corollary):1.यदि समतल शंकु को लम्ब रेखाओं में प्रतिच्छेद करता है तो \theta=90^{\circ} \Rightarrow \cos \theta=0
अतः (a+b+c) \cdot\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)-f(u, v, w)=0
उपप्रमेय (Corollary):यदि समतल शंकु को संपाती रेखाओं में काटता है तो \theta=0 \Rightarrow \sin \theta=0
अतः \pm 2\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)^{\frac{1}{2}} p=0 \Rightarrow p=0
या A u^{2}+B v^{2}+C w^{2}+2 F v w+2 G w u+2Hu v=0
जहाँ A.B,C,F,G,H पहले ही परिभाषित किए गए हैं।
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2.समीकरण के लिए प्रतिबन्ध जो एक शंकु को प्रदर्शित करे पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Condition for Equation Represents Cone):

सिद्ध कीजिए कि निम्न समीकरण उस शंकु को प्रदर्शित करता है जिनके शीर्ष उनके सम्मुख लिखित बिन्दु हैं:
(Prove that the following equation represents a cone with vertex mentioned against them) (Example:1 to Example:3):
Example:1.7 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-10 z x+10 x y+26 x-2 y+2 z-17=0,(1,-2,2)
Solution:दिए हुए समीकरण को सहायक चर t,का प्रयोग करते हुए समघाती बनाने पर:

F(x, y, z, t)=7 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-10 z x+10 x y+26 x t-2 y t+2 z t-17t^{2}=0 \\ \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow 14 x-10 z+10 y+26 \cdots(1)\\ \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow 4 y+10 x-2=0 \cdots (2)\\ \left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)_{t=1} \Rightarrow 0 \Rightarrow 4 z-10 x+2=0 \cdots(3) \\ \left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)_{t=1} \Rightarrow 26 x-2 y+2 z-34=0\cdots(4)
समीकरण (2) को 2 से तथा समीकरण (3) को 5 से गुणा करके जोड़ने पर:
28x-20z+20y+52=0
-50x+20z+10=0
_______________________
-22 x+20 y+62=0…..(5)

समीकरण (2) को 5 से गुणा करके समीकरण (5) मे से घटाने पर:
-22 x+20 y+62=0……(5)

50 x+20 y-10=0 ……(6)
–      –        +
__________________________
-72x+72=0
\Rightarrow x=1
x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
4y+10-2=0
4y=-8
\Rightarrow y=-2
x,y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
14-10z+10×-2+26=0
\Rightarrow -10z+20=0
\Rightarrow z=2
x=1,y=-2,z=2 समीकरण (4) में रखने पर:
26×1-2×-2+2×2-34=0
\Rightarrow 26+4+4-34=0
\Rightarrow 0=0
यह मान समीकरण (4) को सन्तुष्ट करते हैं।
अतः समीकरण (1),(2),(3) तथा (4) संगत हैं।
इसलिए दिया हुआ समीकरण एक शंकु निरूपित करता है जिसका शीर्ष (1,-2,2) है।
Example:2.2 x^{2}+2 y^{2}+7 z^{2}-10 y z-10 z x +2 x+2 y+26 z-17=0 ;(2,2,1)
Solution:दिए हुए समीकरण को सहायक चर t,का प्रयोग करते हुए समघाती बनाने पर:

F(x, y, z, t) \equiv 2 x^{2}+2 y^{2}+7 z^{2}-10 y z-10 z x+2 x t+2 yt+26 z t -17 t^{2}=0 \\ \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)_{t=1} =0 \Rightarrow 4 x-10 z+2=0 \cdots(1) \\ \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow 4 y-10 z+2=0 \cdots(2)\\ \left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow 14 z-10 y-10 x+26=0 \cdots(3)\\ \left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow 2 x+2 y+26 z-34=0 \cdots(4)
समीकरण (1),(2) व (3) को x,y,z के लिए हल करने पर:
x=2,y=2,z=1
यह मान समीकरण (4) को सन्तुष्ट करते हैं।
अतः समीकरण (1),(2),(3) तथा (4) संगत हैं।
इसलिए दिया हुआ समीकरण एक शंकु निरूपित करता है जिसका शीर्ष (2,2,1) है।
Example:3.2 y^{2}-8 y z-4 z x-8 x y+6 x-4 y-2 z +5=0 ;\left(-\frac{7}{6}, \frac{1}{3}, \frac{5}{6}\right)
Solution:दिए हुए समीकरण को सहायक चर t,का प्रयोग करते हुए समघाती बनाने पर:

F(x, y, z, t) \equiv 2 y^{2}-8 y z-4 z x-8 x y+6 x t-4 y t-2 z t+5 t^{2}=0 \\ \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow-4 z-8 y+6=0 \cdots(1) \\ \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow 4 y-8 z-8 x-4=0 \cdots(2) \\ \left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow-8 y-4 x-2=0 \cdots(3) \\ \left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)_{t=1}=0 \Rightarrow 6 x-4 y-2 z+10=0 \cdots(4)
समीकरण (1),(2) व (3) को x,y,z के लिए हल करने पर:

x=-\frac{7}{6}, y=\frac{1}{3}, z=\frac{5}{6}
यह मान समीकरण (4) को सन्तुष्ट करते हैं।
अतः समीकरण (1),(2),(3) तथा (4) संगत हैं।
इसलिए दिया हुआ समीकरण एक शंकु निरूपित करता है जिसका शीर्ष \left(-\frac{7}{6}, \frac{1}{3}, \frac{5}{6}\right) है।
Example:4.सिद्ध कीजिए कि समतल x+y+z=0 तथा शंकु ayz+bzx+cxy=0 की प्रतिच्छेदित रेखाओं के मध्य कोण है:
(Prove that the angle between the lines in which the x+y+z=0 cuts a cone ayz+bzx+cxy=0 is):
(a)\frac{\pi}{2} यदि (if) a+b+c=0
(b)\frac{\pi}{3} यदि (if) \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0
Solution:माना कि समतल x+y+z=0 शंकु ayz+bzx+cxy=0 को रेखा \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} में काटता है।
तब l+m+n=0 तथा amn+bnl+clm=0
n का विलोपन करने पर:

(a m)(-l-m)+b l(-l-m)+c l m=0 \\ \Rightarrow-a l m-a m^{2}-b l^{2}-b l m+c l m=0 \\ \Rightarrow b l^{2}+(a+b-c) l m+a m^{2}=0 \\ \Rightarrow b\left(\frac{l}{m}\right)^{2}+(a+b-c) lm+a=0 \cdots(1)
यह \frac{l}{m} के रूप में द्विघात समीकरण है अतः माना इसके मूल \frac{l_{1}}{m_{1}}, \frac{l_{2}}{m_{2}} हैं।
मूलों का गुणनफल=\frac{l_{1}}{m_{1}} \cdot \frac{l_{2}}{m_{2}}=\frac{a}{b} \\ \frac{l_{1} l_{2}}{a}=\frac{m_{1} m_{2}}{b}=\frac{n_{1} n_{2}}{c}=k (सममिति से)…..(2)
यदि रेखाओं के मध्य कोण \frac{\pi}{2} है तब
l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0 \\ \Rightarrow a+b+c=0 [(2) से]
मूलों का योग=\frac{l_{1}}{m_{1}}+\frac{l_{2}}{m_{2}}=-\frac{(a+b-c)}{b} \\ \Rightarrow \frac{l_{1}m_{2}+l_{2} m_{1}}{m_{1} m_{2}}=\frac{c-a-b}{b} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}}{c-a-b}=\frac{m_{1} m_{2}}{b}=k [(2) से]

\left(-l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2}=\left(l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}\right)^{2}-4l_{1}l_{2} m_{1} m_{2} \\ =k^{2}(c-a-b)^{2}-4 a k \cdot b k \\ =k^{2}\left[(c-a-b)^{2}-4 a b\right] \\ =k^{2}\left[c^{2}+a^{2}+b^{2}-2 a c+2 a b-2 b c-4ab\right] \\ =k^{2}\left[a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c\right] \\ =k^{2}\left[a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c\right] \\ \Rightarrow \left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2}=k^{2}\left[a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 bc-2 a c\right] \\ \tan \theta =\frac{\sqrt{\left[\Sigma \left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2}\right]}}{l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}} \\ =\frac{\sqrt{3 k^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 bc-2 a c)\right.}}{k(a+b+c)}
यदि Q=\frac{\pi}{3} तो

\tan \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3k^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 bc-2 a c\right)} }{k(a+b+c)} \\ \Rightarrow \sqrt{3} =\frac{\sqrt{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c\right)}}{(a+b+c)} \\ \Rightarrow 3(a+b+c)^{2} =3\left(a^{2}+ b^{2}+c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c\right) \\ \Rightarrow 3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+6 a b+6 bc+6 a c =3\left(a^{2} +b^{2}+c^{2}\right)-6 a b-6 b c-6 a c \\ \Rightarrow 12 a b+12 b c+12 c a=0 \\ \Rightarrow a b+b c+c a=0 \\ \Rightarrow \frac{a b c}{c}+\frac{a b c}{a}+\frac{a b c}{b}=0 \\ \Rightarrow a b c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0

Condition for Equation Represents Cone

Example:5.समतल x+y+z=0 तथा शंकु \frac{y z}{q-r}+\frac{z x}{r-p}+\frac{x y}{p-q}=0 के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
(Find the angle between the plane x+y+z=0 and the cone \frac{y z}{q-r}+\frac{z x}{r-p}+\frac{x y}{p-q}=0.)
Solution:माना कि समतल x+y+z=0 शंकु \frac{y z}{q-r}+\frac{z x}{r-p}+\frac{x y}{p-q}=0 को रेखा \frac{x}{l}= \frac{y}{m}=\frac{z}{n} में काटता है।
तब l+m+n=0 तथा \frac{m n}{q-r}+\frac{n l}{r-p}+\frac{l m}{p-q}=0
n का विलोपन करने पर:

\frac{m(-l-m)}{q-r}+\frac{(-l-m) l}{r-p}+\frac{l m}{p-q}=0 \\ \Rightarrow \frac{-m l}{q-r}-\frac{m^{2}}{q-r}-\frac{l^{2}}{r-p}-\frac{l m}{r-p}+\frac{l m}{p-q}=0 \\ \Rightarrow \frac{l^{2}}{r-p}+\left(\frac{1}{q-r}+\frac{1}{r-p}-\frac{1}{p-q}\right)lm +\frac{m^{2}}{q-r}=0\\ \Rightarrow \left(\frac{1}{r-p}\right) \left(\frac{l}{m}\right)^2+\left(\frac{1}{q-r}+\frac{1}{r-p}-\frac{1}{p-q}\right) \frac{l}{m}+\frac{1}{q-r}=0 \cdots(1)
यह \frac{l}{m} के रूप में द्विघात समीकरण है अतः माना इसके मूल \frac{l_{1}}{m_{1}} तथा \frac{1_{2}}{m_{2}} हैं।
मूलों का गुणनफल \frac{l_{1}}{m_{1}} \cdot \frac{l_{2}}{m_{2}}=\frac{\frac{1}{q-r}}{\frac{1}{r-p}} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} l_{2}}{m_{1} m_{2}}=\frac{(r-p)}{q-r} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} l_{2}}{m_{1} m_{2}}=\frac{\frac{1}{q-r}}{\frac{1}{r-p}} \\ \Rightarrow \frac{l_{1}l_{2}}{\frac{1}{q-r}}=\frac{m_{1}m_{2}}{\frac{1}{r-p}}=\frac{n_{1}n_{2}}{\frac{1}{p-q}}=k (सममिति से)
मूलों का योग=\frac{l_{1}}{m_{1}}+\frac{l_{2}}{m_{2}}=\frac{\left(\frac{1}{q-r}+\frac{1}{r-p}-\frac{1}{p-q}\right)}{\frac{1}{r-p}} \\ \frac{l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{\frac{1}{p-q}-\frac{1}{q-r}-\frac{1}{r-p}}{\frac{1}{r-p}} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}}{\frac{1}{p-q}-\frac{1}{q-r}-\frac{1}{r-p}}=\frac{m_{1} m_{2}}{\frac{1}{r-p}}=k [(2) से]

\left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2} =\left(l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}\right)^{2}-4 l_{1} 1_{2} m_{1} m_{2} =k^{2}\left( \frac{1}{p-q}-\frac{1}{q-r}-\frac{1}{r-p}\right)^{2}-\frac{4 k}{q-r} \cdot \frac{k}{r-p} \\ \Rightarrow \left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2} =k^{2} [\left(\frac{1}{p-q}\right)^{2}+\left(\frac{1}{q-r}\right)^{2}+\left(\frac{1}{r-p}\right)^{2}-\frac{2}{(p-q)(q-r)}-\frac{2}{(q-r)(r-p)}-\frac{2}{(p-q)(r-p)}] \\ \tan \theta =\frac{\sqrt{\left[\Sigma\left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2}\right]}}{l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}} \\ = \frac{\sqrt{3 k^{2}\left[\left(\frac{1}{p-q}\right)^{2}+\left(\frac{1}{q-r}\right)^{2}+\left(\frac{1}{r-p}\right)^{2}-\frac{2}{(p-q)(q-r)}-\frac{2}{(q-r)(r-p)}-\frac{2}{(p-q)(r-p)}\right]}}{k\left(\frac{1}{q-r}+\frac{1}{r-p}+\frac{1}{p-q}\right)} \\ \tan \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}\left[\left(\frac{1}{p-q}\right)^{2}+\left(\frac{1}{q-r}\right)^{2}+\left(\frac{1}{r-p}\right)^{2}-\frac{2}{(p-q)(q-r)}-\frac{2}{(q-r)(r-p)}-\frac{2}{(p-q)(r-p)}\right]}{\left(\frac{1}{q-r}\right)+\left(\frac{1}{r-p}\right)+\left(\frac{1}{p-q)}\right)} \\ \Rightarrow 3\left[\frac{1}{q-r} +\frac{1}{r-p}+\frac{1}{p-q}\right]^{2}=3\left[\left(\frac{1}{p-q}\right)^{2}+\left(\frac{1}{q-r}\right)^{2} \left(\frac{1}{r-p}\right)^{2} -\frac{2}{(p-q)(q-r)}-\frac{2}{(q-r)(r-p)}-\frac{2}{(p-q)(r-p)}\right] \\ \Rightarrow 12\left[\frac{1}{(p-q)(q-r)} +\frac{1}{(q-r)(r-p)}+\frac{1}{(p-q)(r-p)}\right]=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{(p-q)(q-r)}+\frac{1}{(q-r)(r-p)}+\frac{1}{(p-q)(r-p)}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{p-q}+\frac{1}{q-r}+\frac{1}{r-p}=0
Example:6.प्रदर्शित कीजिए कि समतल ax+by+cz=0,शंकु yz+zx+xy=0 को जिन दो रेखाओं में काटता है उनके मध्य कोण होगा
(Show that the plane ax+by+cz=0 cuts the cone yz+zx+xy=0 in two lines inclined at an angle):

\tan^{-1}\left[\frac{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 bc-2ca-2 a b)\right.}}{b c+ca+a b}\right]
Solution:माना समतल ax+by+cz=0 शंकु yz+zx+xy=0 को रेखा \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} में काटता है तब
al+bm+cn=0  ….(1)
तथा mn+nl+lm=0  …..(2)
(1) व (2) से n का विलोपन करने पर:

(m+l)\left(-\frac{a l+b m}{c}\right)+l m=0 \\ \Rightarrow-a l m-b m^{2}-a l^{2}-b l m+c l m=0 \\ \Rightarrow a l^{2}+(a+b-c) l m+b m^{2}=0 \\ \Rightarrow a\left(\frac{l}{m}\right)^{2}+(a+b-c) \frac{l}{m}+b=0
यह द्विघात समीकरण है।यदि इसके मूल \frac{l_{1}}{m_{1}} तथा \frac{l_{2}}{m_{2}} हों तो
मूलों का गुणनफल=\frac{l_{1}}{m_{1}} \cdot \frac{l_{2}}{m_{2}}=\frac{b}{a} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} l_{2}}{\frac{1}{a}}=\frac{m_{1} m_{2}}{\frac{1}{b}} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} l_{2}}{\frac{1}{a}}=\frac{m_{1} m_{2}}{\frac{1}{b}}=\frac{n_{1} n_{2}}{\frac{1}{c}}=k (सममिति से)….(3)
मूलों का योग=\frac{l_{1}}{m_{1}}+\frac{l_{2}}{m_{2}}=-\frac{(a+b-c)}{a} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}}{m_{1} m_{2}}=\frac{c-a-b}{a} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}}{c-a-b}=\frac{m_{1} m_{2}}{a} \\ \Rightarrow \frac{l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}}{\frac{c-a-b}{a b}}=\frac{m_{1} m_{2}}{\frac{1}{b}}=k [(3) से]

\left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2} =\left(l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}\right)^{2}-4 l_{1} l_{2} m_{1} m_{2} \\ =k^{2}\left[\frac{c-a-b}{a b}\right]^{2} -\frac{4 k}{a}\cdot \frac{k}{b}\\ =\frac{k^{2}}{a^{2} b^{2}}\left[(c-a-b)^{2}-4 a b\right] \\ =\frac{k^{2}}{a^{2} b^{2}}\left[c^{2}+a^{2}+b^{2}-2 a c+2 a b-2 b c-4 a b\right] \\ =\frac{k^{2}}{a^{2} b^{2}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a\right)
यदि रेखाओं के मध्य कोण हो तो:

\tan \theta =\frac{\sqrt{\left[\Sigma \left(l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}\right)^{2}\right]}}{l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}} \\ =\frac{\sqrt{ \frac{k^{2}}{a^{2}b^{2}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a\right)}}{k(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})} \\=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{a^{2} b^{2}}+\frac{1}{b^{2} c^{2}}+\frac{1}{c^{2}a^{2}} \right)\left(a^{2} +b^{2}+c^{2}-2 a b-2bc-2 c a\right)}}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)} \\ =\frac{\sqrt{\frac{\left(a^{2} +b^{2}+c^{2}\right)}{a^{2} b^{2} c^{2}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 bc-2 c a\right)}}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)} \\ =\frac{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a\right)}}{a b c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)} \\ \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} \left[\frac{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2} +c^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 bc-2 c a\right)}}{(a b+b c+c a)}\right]
Example:7.उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए जिनमें समतल 3x+y+5z=0,शंकु 6yz-2zx+5xy=0 को काटता है।
(Find the angle between the lines of section of the plane 3x+y+5z=0 with the cone 6yz-2zx+5xy=0.)
Solution:माना कि समतल 3x+y+5z=0,शंकु 6yz-2zx+5xy=0 को \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} रेखा में काटता है।अतः
3l+m+5n=0 …..(1)
6mn-2ln+5lm=0 ….(2)
(1) व (2) से n का विलोपन करने पर:

6 m\left(-\frac{3 l+m}{5}\right)-2 l\left(-\frac{3 l+m}{5}\right)+5l m=0 \\ \Rightarrow -18 l m-6 m^{2}+6 l^{2}+2 l m+25 l m=0 \\ \Rightarrow 6 l^{2}+9l m-6 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 6 l^{2}+12 l m-3 l m-6 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 6l(l+2 m)-3 m(l+2 m)=0 \\ \Rightarrow(l+2 m)(6l-3 m)=0 \\ l+2m=0,2l-m=0
2l-m=0 तब (1) से:

\frac{3}{2} m+m+5 n=0 \\ \Rightarrow \frac{5}{2}m+5 n=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m=-n \\ \Rightarrow 2 l=m=-2 n \\ \Rightarrow \frac{l_{1}}{1}=\frac{m_{1}}{2}=\frac{n_{1}}{-1}
जब l+2m=0 तब (1) से:

3(-2 m)+m+5 n=0\\ \Rightarrow-6 m+m+5 n=0\\ \Rightarrow -5m+5n=0 \\ \frac{l_{2}}{2}=-\frac{m_{2}}{1}=-\frac{n_{2}}{1}\\ \Rightarrow \frac{l_{2}}{2}=\frac{m_{2}}{-1}=\frac{n_{2}}{-1}
यदि दोनों रेखाओं के बीच कोण \theta है तो:

\cos \theta=\frac{l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}}{\sqrt{\left(l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}\right)} \sqrt{\left(l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}\right)}} \\ \frac{(1)(2)+(2)(-1)+(-1)(-1)}{\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2}+(-1)^{2}} \sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}} \\ \cos \theta =\frac{2-2+1}{\sqrt{1+4+1}\sqrt{4+1+1}} \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{6} \\ \theta=\cos ^{-1} \left(\frac{1}{6}\right)
Example:8.उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ समतल 2x+y-z=0,शंकु 4 x^{2}-y^{2}+3 z^{2}=0 को काटता है और उन रेखाओं के बीच कोण भी ज्ञात कीजिए।
(Find the equation to the lines in which the plane 2x+y-z=0 cuts the cone 4 x^{2}-y^{2}+3 z^{2}=0.Find also the angle between the lines of intersection.)
Solution:माना कि समतल 2x+y-z=0,शंकु 4 x^{2}-y^{2}+3 z^{2}=0 को \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} रेखा में काटता है।अतः
2l+m-n=0 ….(1)
तथा 4 l^{2}-m^{2}+3 n^{2}=0 \cdots(2)
(1) व (2) से n का विलोपन करने पर:

4 l^{2}-m^{2}+3(2 l+m)^{2}=0 \\ \Rightarrow 4 l^{2}-m^{2}+3\left(4 l^{2}+m^{2}+4 l m\right)=0 \\ \Rightarrow 4 l^{2}-m^{2}+12 l^{2}+3 m^{2}+12 l m=0 \\ \Rightarrow 16 l^{2}+12 l m+2 m^{2}=0 \\ \Rightarrow 8 l^{2}+6 l m+m^{2}=0 \\ \Rightarrow 8 l^{2}+4 l m+2 l m+m^{2}=0 \\ \Rightarrow 4 l(2 l+m)+m(2 l+m)=0 \\ \Rightarrow (2 l+m)(4l+m)=0
जब 2l+m=0 तो (1) से: n=0

\frac{2 l_{1}}{1}=-\frac{m_{1}}{1}=\frac{n_{1}}{0} \Rightarrow \frac{l_{1}}{\frac{1}{2}}=\frac{m_{1}}{-1}=\frac{n_{1}}{0}
जब 4l+m=0 तो (1) से:2l=-n

4 l_{2}=-m_{2}=-2 n_{2} \Rightarrow \frac{l_{2}}{\frac{1}{4}}=\frac{m_{2}}{-1}=\frac{n_{2}}{-\frac{1}{2}}
यदि रेखाओं के मध्य कोण \theta हो तो:

\cos \theta=\frac{l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}}{\sqrt{\left(l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}\right) \sqrt{\left(l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}\right)}}} \\ =\frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{4}+(-1)(-1)+(0)(-\frac{1}{2})}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+(-1)^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}}} \\ =\frac{\frac{1}{8}+1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}\sqrt{\frac{1}{16}+1+\frac{1}{4}}} \\ =\frac{\frac{9}{8}}{\sqrt{\frac{5}{4}} \sqrt{\frac{21}{16}}} \\ \cos \theta=\frac{9}{\sqrt{5} \sqrt{21}} \Rightarrow \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{9}{\sqrt{105}}\right)
रेखाओं के समीकरण:

\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{0} \\ \Rightarrow \frac{x}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{0}

\frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow \frac{x}{-1}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समीकरण के लिए प्रतिबन्ध जो एक शंकु को प्रदर्शित करे (Condition for Equation Represents Cone),प्रतिबन्ध ज्ञात करना कि द्विघाती समीकरण एक शंकु प्रदर्शित करे (To Find the Condition for the General Equation of Second Degree to Represent a Cone) को समझ सकते हैं।

3.समीकरण के लिए प्रतिबन्ध जो एक शंकु को प्रदर्शित करे पर आधारित सवाल (Question Based on Condition for Equation Represents Cone):

Condition for Equation Represents Cone

(1.)सिद्ध करो कि समीकरण 4 x^{2}-y^{2}+2 z^{2}+2 x y-3 y z+12 x-11 y+6z+4=0 एक शंकु को निरूपित करता है जिसका शीर्ष (-1,-2–3) है।
(Show that the equation 4 x^{2}-y^{2}+2 z^{2}+2 x y-3 y z+12 x-11 y+6z+4=0 represents a cone with vertex (-1,-2,-3).)
(2.)सिद्ध कीजिए कि समतल ax+by+cz=0 शंकु yz+zx+xy=0 को लम्ब रेखाओं में काटता है यदि \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0.
(Prove that the plane ax+by+cz=0 cuts the cone yz+zx+xy=0 in perpendiculars lines if \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समीकरण के लिए प्रतिबन्ध जो एक शंकु को प्रदर्शित करे (Condition for Equation Represents Cone),प्रतिबन्ध ज्ञात करना कि द्विघाती समीकरण एक शंकु प्रदर्शित करे (To Find the Condition for the General Equation of Second Degree to Represent a Cone) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समीकरण के लिए प्रतिबन्ध जो एक शंकु को प्रदर्शित करे (Condition for Equation Represents Cone),प्रतिबन्ध ज्ञात करना कि द्विघाती समीकरण एक शंकु प्रदर्शित करे (To Find the Condition for the General Equation of Second Degree to Represent a Cone) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समीकरण के लिए प्रतिबन्ध जो एक शंकु को प्रदर्शित करे (Condition for Equation Represents Cone)
अर्थात् द्विघाती व्यापक समीकरण के लिए प्रतिबन्ध ज्ञात करना जो शंकु को प्रदर्शित करे।