1.सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics),परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता (Probability of Mutually Exclusive Events):

Compound Probability in Statistics

सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics) के इस आर्टिकल में सभी प्रदत्त स्वतन्त्र घटनाओं के एक साथ घटने,जब दो घटनाएँ एक साथ नहीं घट सकती आदि पर आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Compound Probability in Statistics):

Example:32(i).स्त्रियों और पुरुषों की बराबर संख्या के एक समूह में 10% पुरुष और 45% स्त्रियाँ बेरोजगार हैं।इसकी क्या सम्भावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चुना गया व्यक्ति रोजगार-सहित होगा?
Solution:200 व्यक्तियों में से रोजगार सहित व्यक्ति के पुरुष चुने जाने की प्रायिकता=katex is not defined
200 व्यक्तियों में से रोजगार-सहित व्यक्ति के स्त्री चुने जाने की प्रायिकता=katex is not defined
दोनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः प्रायिकता के योग नियम से=katex is not defined
Example:32(ii).A 60% परिस्थितियों में सच बोलता है और B 70% में।एक ही तथ्य का वर्णन करते समय वे कितनी प्रतिशत परिस्थितियों में परस्पर एक-दूसरे का खण्डन करेंगे?
Solution:A के खण्डन करने की प्रायिकता katex is not defined
B के खण्डन करने की प्रायिकता katex is not defined
अतः एक-दूसरे का खण्डन करने की प्रायिकता=katex is not defined
अतः 46% परिस्थितियों में एक-दूसरे का खण्डन करेंगे।
Example:34.एक प्रोफेसर का यह दावा है कि वह प्रथम सत्र (first semester) में ही अपने विद्यार्थियों के परीक्षाफल के सम्बन्ध में अक्सर यह भविष्यवाणी कर सकता है कि वे अन्तिम परीक्षा में प्रथम,द्वितीय या चतुर्थ श्रेणी (अनुत्तीर्ण) प्राप्त करेंगे।अपने दावे की पुष्टि करने के लिए वह 8 विद्यार्थियों के परीक्षाफल के बारे में भविष्यवाणी करता है।यह मानते हुए कि उसे विशेष प्रातिभ ज्ञान नहीं है,5 दशाओं में उसके सही होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:घटना के सही घटने (अनुत्तीर्ण) की प्रायिकता p=katex is not defined
घटना के सही न घटने (उत्तीर्ण) की प्रायिकता
n=8,r=5
अतः बर्नोली प्रमेय से=katex is not defined

Compound Probability in Statistics

Example:35 (i).A और B इसी क्रम से दो पासे फेंकते हैं।जो पहले 9 फेंकता है वह 85 रुपये इनाम जीतता है।यदि A पहले फेंके,तो उन दोनों की गणितीय प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
Solution:दो पासे फेंकने पर ‘9’ आने की प्रायिकता {(5,4),(4,5),(6,3),(3,6)}=katex is not defined
9 न आने की प्रायिकता=katex is not defined
सबसे पहले A फेंकता है,दूसरे क्रम पर B,फिर तीसरे क्रम पर A,चौथे क्रम पर B और इसी प्रकार…….. ।A पहले या तीसरे या पाँचवें,इसी प्रकार विषम (odd) क्रम के किसी प्रयास में सफलता प्राप्त कर सकता है।
अतः A के जीतने की प्रायिकता उसके पहले,तीसरे,पाँचवे……. प्रयास में सफल होने की अलग-अलग प्रायिकताओं का जोड़ है।
A के पहले ही प्रयत्न में जीतने की प्रायिकता=katex is not defined
A के तीसरे परीक्षण में तब जीतेगा जब वह पहले में हार जाये katex is not defined और B दूसरे में हार जाए katex is not defined
अतः A के तीसरे प्रयास में जीतने की प्रायिकता=A के पहले में हारने और B के दूसरे में हारने तथा A के तीसरे में जीतने की प्रायिकताओं का गुणनफल=katex is not defined
A के पाँचवें क्रम के प्रयास में जीतने की प्रायिकता=katex is not defined
इस प्रकार A के जीतने की कुल प्रायिकता=katex is not defined
यह एक अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी है अतः
katex is not defined
B के जीतने की प्रायिकता-दूसरे क्रम के प्रयास में=katex is not defined
चौथे क्रम के प्रयास में=katex is not defined
कुल प्रायिकता=katex is not defined
A के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=katex is not defined रु
B के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=katex is not defined रु
Example:35(ii).A,B व C इसी क्रम से एक सिक्का उछालते हैं।पहले चित्त (head) प्राप्त करने वाला 35 रुपये का इनाम जीतता है।उनकी अलग-अलग गणितीय प्रत्याशाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:चित्त आने की प्रायिकता=katex is not defined
चित्त न आने की प्रायिकता=katex is not defined
A पहले,चौथे,सातवें……. इसी क्रम से फेंकता हैं।
A के पहले प्रयत्न में जीतने की प्रायिकता=katex is not defined
A के चौथे प्रयत्न में जीतने की प्रायिकता=katex is not defined
A के सातवें प्रयत्न में जीतने की प्रायिकता=katex is not defined
A के जीतने की कुल प्रायिकता=katex is not defined
B के जीतने की कुल प्रायिकता=katex is not defined
C के जीतने की कुल प्रायिकता=katex is not defined
A के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=katex is not defined रुपये
B के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=katex is not defined रुपये
C के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=katex is not defined रुपये
Example:35(iii).A,B,C व D इसी क्रम में ताश की गड्डी में से एक पत्ता यदृच्छया निकालते हैं।उनके प्रथम बार एक ईंट का पत्ता निकालने की क्रमशः क्या सम्भावनाएं होंगी?
Solution:एक ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
ईंट का पत्ता न निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
A पहले,पाँचवें और नौवें क्रम पर…… इसी क्रम से ईंट का पत्ता निकालता है
A के पहले प्रयत्न में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
A के पाँचवें प्रयत्न में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
A के नौवें प्रयत्न में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
A के ईंट का पत्ता निकालने की कुल प्रायिकता=katex is not defined
B के दूसरे क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता =katex is not defined
B के छठे क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
B के दसवें क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता =katex is not defined
कुल प्रायिकता=katex is not defined
C के तीसरे क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
C के सातवें क्रम के प्रयास में ईंट का पता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
C के ग्यारहवें क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
कुल प्रायिकता=katex is not defined
D के ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=katex is not defined
अतः A,B,C,D के प्रथम प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की सम्भावनाएँ
katex is not defined
Example:36(i).एक परिवार में 6 बच्चे हैं।एक लड़के के जन्म की उस परिवार में यदि \frac{1}{2} सम्भाविता मान ली जाए तो 6 बच्चों में से केवल दो लड़कों के होने की सम्भाविता बतलाइए।
Solution: katex is not defined
बर्नोली प्रमेय से दो लड़कों के होने की प्रायिकता=katex is not defined
Example:36(ii).सांख्यिकी के एक प्रश्न को ‘अ’ के द्वारा सफलता से हल करने के विरोध में संयोगानुपात 10:8 हो और ‘ब’ के द्वारा प्रश्न को सफलता से हल करने के पक्ष में संयोगानुपात 12:9 हो तो बतलाइए कि अगर प्रश्न को दोनों ‘अ’ व ‘ब’ हल करें तो प्रश्न के सफलता से हल होने की सम्भाविता क्या होगी?
Solution:’अ’ के द्वारा प्रश्न के हल करने की प्रायिकता katex is not defined
‘अ’ के द्वारा प्रश्न के हल न करने की प्रायिकता katex is not defined
‘ब’ के द्वारा प्रश्न के हल करने की प्रायिकता katex is not defined
‘ब’ के द्वारा प्रश्न के हल न करने करने की प्रायिकता katex is not defined
प्रश्न हल हो जाएगा यदि दोनों में से एक भी प्रश्न को हल कर देगा
अतः दोनों द्वारा प्रश्न को हल न करने की प्रायिकता=katex is not defined
अतः कम से कम एक के द्वारा प्रश्न के हल करने की प्रायिकता=katex is not defined
Example:36(iii).अगर ताश के 52 पत्तों में से दैव प्रतिचयन प्रणाली से दो पत्ते खींचे जाएँ तो बतलाइए कि एक इक्के (ace) और दूसरे के बादशाह (king) होने की क्या सम्भाविता होगी?
Solution:पहला इक्का होने की प्रायिकता=katex is not defined
दूसरा बादशाह होने की प्रायिकता=katex is not defined
अतः पहला इक्का व दूसरा बादशाह होने की प्रायिकता=katex is not defined
पहला बादशाह होने की प्रायिकता=katex is not defined
दूसरा इक्का होने की प्रायिकता=katex is not defined
अतः पहला बादशाह व दूसरा इक्का होने की प्रायिकता=katex is not defined
दोनों घटनाएँ अपवर्जी हैं अतः एक इक्के (ace) और दूसरे के बादशाह होने की प्रायिकता=katex is not defined
Example:37(i).एक पासे से 4,दो पासों से 8 और तीन पासों से 12 फेंकने की सम्भावनाओं की तुलना कीजिए।
Solution:एक पासे के फेंकने पर अंक 4 आने की प्रायिकता=katex is not defined
दो पासों की फेंक में योग 8 आने के अनुकूल परिणाम ={(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)}
दो पासों की फेंक में योग 8 आने की प्रायिकता=katex is not defined
तीन पासों की फेंक में योग 12 आने के अनुकूल परिणाम={(1,5,6),(5,1,6),(6,1,5),(6,5,1),(1,6,5),(5,6,1),(2,4,6),(4,2,6),(4,6,2),(6,4,2),(6,2,4),(2,6,4),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(5,5,2),(5,2,5),(2,5,5),(4,4,4),(3,4,5),(4,3,5),(3,5,4),(4,5,3),(5,3,4),(5,4,3)}
तीन पासों की फेंक में योग 12 आने की प्रायिकता=katex is not defined
अतः तीनों प्रायिकताओं में अनुपात=katex is not defined
Example:37(ii).20 व्यक्तियों के एक समुदाय में से 5 व्यक्ति स्नातक (graduates) हैं।यदि 20 में से 3 व्यक्ति यादृच्छिक रूप से चुने जाएं तो इसकी क्या सम्भावना है कि वे सभी स्नातक होंगे? कम से कम एक के स्नातक होने की क्या सम्भावना है?
Solution:5 स्नातक में से 3 व्यक्तियों के चुने जाने के तरीके=katex is not defined
20 व्यक्तियों में से 3 व्यक्तियों के चुनाव के तरीके=katex is not defined
अतः 30 व्यक्तियों में से 3 व्यक्ति के स्नातक चुने जाने की प्रायिकता=katex is not defined
कम से कम एक स्नातक होने की प्रायिकता=katex is not defined
Example:38(i).तीन थैले हैं-पहले में 3 काली व 7 सफेद ; दूसरे में 5 काली व 3 सफेद और तीसरे में 8 काली व 4 सफेद गेंदें हैं।उनमें से एक थैले में से एक काली गेंद निकाली गई।क्या सम्भावना है कि वह (क)पहले थैले में से निकली है ;(ख) तीसरे थैले में से निकली है?
Solution:माना तीन थैले के चुने जाने की प्रायिकता katex is not defined है।
katex is not defined
पहले थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता katex is not defined
दूसरे थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता katex is not defined
तीसरे थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता katex is not defined
(क)काली गेंद के पहले थैले में से निकलने की प्रायिकता=katex is not defined
(ख)काली गेंद के तीसरे थैले में से निकलने की प्रायिकता=katex is not defined
Example:38 (ii).A 6 दशाओं में से 5 में सच बोलता है और वह यह कहता है कि 9 काली और 1 सफेद गेंद वाले एक थैले में से सफेद गेंद निकाली गई है।क्या सम्भावना है कि वास्तव में सफेद गेंद निकाली गई है?
Solution:सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता katex is not defined
काली गेंद निकालने की प्रायिकता katex is not defined
A द्वारा सच बोलने की प्रायिकता katex is not defined
A द्वारा झूठ बोलने की प्रायिकता katex is not defined
अतः निकाली गई गेंद के वास्तव में सफेद होने की प्रायिकता=katex is not defined
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics),परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता (Probability of Mutually Exclusive Events) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता पर आधारित सवाल (Questions Based on Compound Probability in Statistics):

(1.)यह मानते हुए कि प्रत्येक पत्ते को खींचने के बाद उसे वापस गड्डी में से क्रमानुसार चिड़ी का इक्का (ace of Clubs),चिड़ी का बादशाह (king) और चिड़ी की बेगम (queen of clubs) खींचे जाने की प्रायिकता क्या होगी?
(2.)ताश के चार पत्तों को बिना पुनस्थापन (without replacement) बारी-बारी से खींचा जाता है।इस बात की क्या सम्भावना है कि वे चारों इक्के (aces) होंगे?
उत्तर (Answers): (1.) katex is not defined (2.) katex is not defined
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics),परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता (Probability of Mutually Exclusive Events) को ठीक से समझ सकते हैं।

Compound Probability in Statistics

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4.सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Frequently Asked Questions Related to Compound Probability in Statistics),परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता (Probability of Mutually Exclusive Events) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics) के इस आर्टिकल में सभी
प्रदत्त स्वतन्त्र घटनाओं के एक साथ घटने,जब दो घटनाएँ एक साथ नहीं घट सकती आदि
पर आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।