1.सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics),परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता (Probability of Mutually Exclusive Events):

Compound Probability in Statistics

सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics) के इस आर्टिकल में सभी प्रदत्त स्वतन्त्र घटनाओं के एक साथ घटने,जब दो घटनाएँ एक साथ नहीं घट सकती आदि पर आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Compound Probability in Statistics):

Example:32(i).स्त्रियों और पुरुषों की बराबर संख्या के एक समूह में 10% पुरुष और 45% स्त्रियाँ बेरोजगार हैं।इसकी क्या सम्भावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चुना गया व्यक्ति रोजगार-सहित होगा?
Solution:200 व्यक्तियों में से रोजगार सहित व्यक्ति के पुरुष चुने जाने की प्रायिकता=\frac{90}{200}
200 व्यक्तियों में से रोजगार-सहित व्यक्ति के स्त्री चुने जाने की प्रायिकता=\frac{55}{200}
दोनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः प्रायिकता के योग नियम से=\frac{90}{200}+\frac{55}{200} \\ =\frac{145}{200}=\frac{29}{40}
Example:32(ii).A 60% परिस्थितियों में सच बोलता है और B 70% में।एक ही तथ्य का वर्णन करते समय वे कितनी प्रतिशत परिस्थितियों में परस्पर एक-दूसरे का खण्डन करेंगे?
Solution:A के खण्डन करने की प्रायिकता P(\bar{A})=\frac{40}{100}
B के खण्डन करने की प्रायिकता P(\bar{B})=\frac{30}{100}
अतः एक-दूसरे का खण्डन करने की प्रायिकता=P(A) P(\bar{B})+P(\bar{A}) P(B) \\ =\frac{60}{100} \times \frac{30}{100}+\frac{40}{100} \times \frac{70}{100} \\ =\frac{18}{100}+\frac{28}{100} \\ =\frac{46}{100}
अतः 46% परिस्थितियों में एक-दूसरे का खण्डन करेंगे।
Example:34.एक प्रोफेसर का यह दावा है कि वह प्रथम सत्र (first semester) में ही अपने विद्यार्थियों के परीक्षाफल के सम्बन्ध में अक्सर यह भविष्यवाणी कर सकता है कि वे अन्तिम परीक्षा में प्रथम,द्वितीय या चतुर्थ श्रेणी (अनुत्तीर्ण) प्राप्त करेंगे।अपने दावे की पुष्टि करने के लिए वह 8 विद्यार्थियों के परीक्षाफल के बारे में भविष्यवाणी करता है।यह मानते हुए कि उसे विशेष प्रातिभ ज्ञान नहीं है,5 दशाओं में उसके सही होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:घटना के सही घटने (अनुत्तीर्ण) की प्रायिकता p=\frac{1}{4}
घटना के सही न घटने (उत्तीर्ण) की प्रायिकता
n=8,r=5
अतः बर्नोली प्रमेय से={}^n C_r p^r q^{n-r} \\ ={}^8 C_5\left(\frac{1}{4}\right)^5\left(\frac{3}{4}\right)^{8-5} \\ ={}^8 C_5 \left(\frac{1}{4}\right)^5\left(\frac{3}{4}\right)^3 \\ =\frac{8!}{(3!)(5!} \times \frac{27}{65336} \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{(3 \times 2 \times 1)(5!)} \times \frac{27}{65536} \\ =\frac{189}{8192}

Compound Probability in Statistics

Example:35 (i).A और B इसी क्रम से दो पासे फेंकते हैं।जो पहले 9 फेंकता है वह 85 रुपये इनाम जीतता है।यदि A पहले फेंके,तो उन दोनों की गणितीय प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
Solution:दो पासे फेंकने पर ‘9’ आने की प्रायिकता {(5,4),(4,5),(6,3),(3,6)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}
9 न आने की प्रायिकता=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}
सबसे पहले A फेंकता है,दूसरे क्रम पर B,फिर तीसरे क्रम पर A,चौथे क्रम पर B और इसी प्रकार…….. ।A पहले या तीसरे या पाँचवें,इसी प्रकार विषम (odd) क्रम के किसी प्रयास में सफलता प्राप्त कर सकता है।
अतः A के जीतने की प्रायिकता उसके पहले,तीसरे,पाँचवे……. प्रयास में सफल होने की अलग-अलग प्रायिकताओं का जोड़ है।
A के पहले ही प्रयत्न में जीतने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
A के तीसरे परीक्षण में तब जीतेगा जब वह पहले में हार जाये \left(\frac{8}{9}\right) और B दूसरे में हार जाए \left(\frac{8}{9}\right)
अतः A के तीसरे प्रयास में जीतने की प्रायिकता=A के पहले में हारने और B के दूसरे में हारने तथा A के तीसरे में जीतने की प्रायिकताओं का गुणनफल=\frac{8}{9} \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{9}=\left(\frac{8}{9}\right)^2 \cdot \frac{1}{9}
A के पाँचवें क्रम के प्रयास में जीतने की प्रायिकता=\frac{8}{9} \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{9}=\left(\frac{8}{9}\right)^4 \cdot \frac{1}{9}
इस प्रकार A के जीतने की कुल प्रायिकता=\frac{1}{9}+\left(\frac{8}{9}\right)^2 \cdot \frac{1}{9}+\left(\frac{8}{9}\right)^4 \cdot \frac{1}{9}+\cdots \infty
यह एक अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी है अतः
a=\frac{1}{9}, r=\left(\frac{8}{9}\right)^2 \\ S_{\infty} =\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{9}}{1-\left(\frac{8}{9}\right)^2} \\ =\frac{\frac{1}{9}}{\frac{17}{81}}=\frac{1}{9} \times \frac{81}{17} \\ =\frac{9}{17}
B के जीतने की प्रायिकता-दूसरे क्रम के प्रयास में=\frac{8}{9} \times \frac{1}{9}
चौथे क्रम के प्रयास में=\frac{8}{9} \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{9}=\left(\frac{8}{9}\right)^3 \cdot \frac{1}{9}
कुल प्रायिकता=\frac{8}{9} \times \frac{1}{9}+\left(\frac{8}{9}\right)^3 \cdot \frac{1}{9}+\left(\frac{8}{9}\right)^5 \cdot \frac{1}{9}+\cdots \infty \\ =\frac{\frac{8}{9} \times \frac{1}{9}}{1-\left(\frac{8}{9}\right)^2} \\ =\frac{\frac{8}{81}}{\frac{17}{81}}=\frac{8}{17}
A के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=\frac{9}{17} \times 85=45 रु
B के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=\frac{8}{17} \times 85=40 रु
Example:35(ii).A,B व C इसी क्रम से एक सिक्का उछालते हैं।पहले चित्त (head) प्राप्त करने वाला 35 रुपये का इनाम जीतता है।उनकी अलग-अलग गणितीय प्रत्याशाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:चित्त आने की प्रायिकता=\frac{1}{2}
चित्त न आने की प्रायिकता=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
A पहले,चौथे,सातवें……. इसी क्रम से फेंकता हैं।
A के पहले प्रयत्न में जीतने की प्रायिकता=\frac{1}{2}
A के चौथे प्रयत्न में जीतने की प्रायिकता=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\ =\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{2}
A के सातवें प्रयत्न में जीतने की प्रायिकता=\left(\frac{1}{2}\right)^6 \cdot \frac{1}{2}
A के जीतने की कुल प्रायिकता=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^6 \cdot \frac{1}{2}+\cdots \infty \\ a=\frac{1}{2} , r=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ S_{\infty} =\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^3} \\ \Rightarrow S_{\infty} =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}}=\frac{4}{7}
B के जीतने की कुल प्रायिकता=\left(\frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \frac{1}{2}+\cdots \infty \\ a=\left(\frac{1}{2}\right)^2, r=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ S_{\infty}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^3}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{8}}=\frac{1}{4} \times \frac{8}{7}=\frac{2}{7}
C के जीतने की कुल प्रायिकता=1-\left(\frac{4}{7}+\frac{2}{7}\right) \\ =1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}
A के जीतने की गणितीय प्रत्याशा= \frac{4}{7} \times 35=20 रुपये
B के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=\frac{2}{7} \times 35=10 रुपये
C के जीतने की गणितीय प्रत्याशा=\frac{1}{7} \times 35=5 रुपये
Example:35(iii).A,B,C व D इसी क्रम में ताश की गड्डी में से एक पत्ता यदृच्छया निकालते हैं।उनके प्रथम बार एक ईंट का पत्ता निकालने की क्रमशः क्या सम्भावनाएं होंगी?
Solution:एक ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}
ईंट का पत्ता न निकालने की प्रायिकता=1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}
A पहले,पाँचवें और नौवें क्रम पर…… इसी क्रम से ईंट का पत्ता निकालता है
A के पहले प्रयत्न में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=\frac{1}{4}
A के पाँचवें प्रयत्न में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right)^4 \cdot \frac{1}{4}
A के नौवें प्रयत्न में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right)^8 \cdot \frac{1}{4}
A के ईंट का पत्ता निकालने की कुल प्रायिकता=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^4 \cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^8 \cdot \frac{1}{4}+\cdots \infty \\ a=\frac{1}{4}, r=\left(\frac{3}{4}\right)^4 \\ S_{\infty} =\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^4} \\ =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{175}{256}}=\frac{64}{175}
B के दूसरे क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता =\left(\frac{3}{4}\right) \times \frac{1}{4}
B के छठे क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right)^5 \times \frac{1}{4}
B के दसवें क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता =\left(\frac{3}{4}\right)^9 \times \frac{1}{4}
कुल प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right) \times \frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^5 \times \frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^9 \times \frac{1}{4}+\cdots + \infty\\ a=\left(\frac{3}{4}\right) \times \frac{1}{4}, r=\left(\frac{3}{4}\right)^4 \\ S_{\infty}=\frac{\left(\frac{3}{4}\right) \times \frac{1}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^4}=\frac{\frac{3}{16}}{\frac{175}{256}}=\frac{48}{175}
C के तीसरे क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4}
C के सातवें क्रम के प्रयास में ईंट का पता निकालने की प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right)^6 \cdot \frac{1}{4}
C के ग्यारहवें क्रम के प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right)^{10}\left(\frac{1}{4}\right)
कुल प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^6\left(\frac{1}{4} \right) +\left(\frac{3}{4}\right)^{10} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)+\cdots +\infty \\ a=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4} , r=\left(\frac{3}{4}\right)^4 \\ S_{\infty}=\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^4} \\ =\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4}}{\frac{175}{225}} =\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4} \times \frac{256}{175} \\ =\frac{36}{175}
D के ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता=1-[P(A)+P(B)+P(C)] \\ =1-\left[\frac{64}{175}+\frac{48}{175}+\frac{36}{175}\right] \\ =\frac{175-148}{175}=\frac{27}{175}
अतः A,B,C,D के प्रथम प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की सम्भावनाएँ
\frac{64}{175}: \frac{48}{175}: \frac{36}{175}: \frac{27}{175}=64: 48: 36: 27
Example:36(i).एक परिवार में 6 बच्चे हैं।एक लड़के के जन्म की उस परिवार में यदि \frac{1}{2} सम्भाविता मान ली जाए तो 6 बच्चों में से केवल दो लड़कों के होने की सम्भाविता बतलाइए।
Solution: p=\frac{1}{2}, q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, n=6, r=2
बर्नोली प्रमेय से दो लड़कों के होने की प्रायिकता={}^n C_r p^r q^{n-r} \\ ={}^6 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^{6-2} \\ =\frac{6!}{(6-2)!2!} \times\left(\frac{1}{2}\right)^6 \\ =\frac{6 \times 5 \times 4!}{4 ! \times 2 \times 1} \times\left(\frac{1}{2}\right)^6 \\ =\frac{15}{64}
Example:36(ii).सांख्यिकी के एक प्रश्न को ‘अ’ के द्वारा सफलता से हल करने के विरोध में संयोगानुपात 10:8 हो और ‘ब’ के द्वारा प्रश्न को सफलता से हल करने के पक्ष में संयोगानुपात 12:9 हो तो बतलाइए कि अगर प्रश्न को दोनों ‘अ’ व ‘ब’ हल करें तो प्रश्न के सफलता से हल होने की सम्भाविता क्या होगी?
Solution:’अ’ के द्वारा प्रश्न के हल करने की प्रायिकता P(A)=\frac{8}{18}
‘अ’ के द्वारा प्रश्न के हल न करने की प्रायिकता P(\bar{A})=\frac{10}{18}
‘ब’ के द्वारा प्रश्न के हल करने की प्रायिकता P(B)=\frac{12}{21}
‘ब’ के द्वारा प्रश्न के हल न करने करने की प्रायिकता P(\bar{B})=\frac{9}{21}
प्रश्न हल हो जाएगा यदि दोनों में से एक भी प्रश्न को हल कर देगा
अतः दोनों द्वारा प्रश्न को हल न करने की प्रायिकता=\frac{10}{18} \times \frac{9}{21}=\frac{5}{21}
अतः कम से कम एक के द्वारा प्रश्न के हल करने की प्रायिकता=1-\frac{5}{21}=\frac{16}{21}
Example:36(iii).अगर ताश के 52 पत्तों में से दैव प्रतिचयन प्रणाली से दो पत्ते खींचे जाएँ तो बतलाइए कि एक इक्के (ace) और दूसरे के बादशाह (king) होने की क्या सम्भाविता होगी?
Solution:पहला इक्का होने की प्रायिकता=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}
दूसरा बादशाह होने की प्रायिकता=\frac{3}{51}
अतः पहला इक्का व दूसरा बादशाह होने की प्रायिकता=\frac{1}{13} \times \frac{3}{51}=\frac{3}{663}
पहला बादशाह होने की प्रायिकता=\frac{1}{13}
दूसरा इक्का होने की प्रायिकता=\frac{3}{51}
अतः पहला बादशाह व दूसरा इक्का होने की प्रायिकता=\frac{1}{13} \times \frac{3}{51}=\frac{3}{663}
दोनों घटनाएँ अपवर्जी हैं अतः एक इक्के (ace) और दूसरे के बादशाह होने की प्रायिकता=\frac{3}{663}+\frac{3}{663}=\frac{6}{663}
Example:37(i).एक पासे से 4,दो पासों से 8 और तीन पासों से 12 फेंकने की सम्भावनाओं की तुलना कीजिए।
Solution:एक पासे के फेंकने पर अंक 4 आने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
दो पासों की फेंक में योग 8 आने के अनुकूल परिणाम ={(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)}
दो पासों की फेंक में योग 8 आने की प्रायिकता=\frac{5}{36}
तीन पासों की फेंक में योग 12 आने के अनुकूल परिणाम={(1,5,6),(5,1,6),(6,1,5),(6,5,1),(1,6,5),(5,6,1),(2,4,6),(4,2,6),(4,6,2),(6,4,2),(6,2,4),(2,6,4),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(5,5,2),(5,2,5),(2,5,5),(4,4,4),(3,4,5),(4,3,5),(3,5,4),(4,5,3),(5,3,4),(5,4,3)}
तीन पासों की फेंक में योग 12 आने की प्रायिकता=\frac{25}{216}
अतः तीनों प्रायिकताओं में अनुपात=\frac{1}{6}: \frac{5}{36}: \frac{25}{216}=36: 30: 25
Example:37(ii).20 व्यक्तियों के एक समुदाय में से 5 व्यक्ति स्नातक (graduates) हैं।यदि 20 में से 3 व्यक्ति यादृच्छिक रूप से चुने जाएं तो इसकी क्या सम्भावना है कि वे सभी स्नातक होंगे? कम से कम एक के स्नातक होने की क्या सम्भावना है?
Solution:5 स्नातक में से 3 व्यक्तियों के चुने जाने के तरीके={}^5 C_3
20 व्यक्तियों में से 3 व्यक्तियों के चुनाव के तरीके={}^{20} C_3
अतः 30 व्यक्तियों में से 3 व्यक्ति के स्नातक चुने जाने की प्रायिकता=\frac{{}^5 C_3}{{}^{20} C_3}=\frac{\frac{5!}{3!2!}}{\frac{20!}{(20-3)!3!}} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3!}{3!2!} \times \frac{17!\times 3 \times 2 \times 1}{20 \times 19 \times 18 \times 17!} \\ =\frac{1}{114}
कम से कम एक स्नातक होने की प्रायिकता=\frac{{}^{15} C_1 \times {}^5 C_2}{{}^{20} C_3}+\frac{{}^{15} C_2 \times {}^5 C_1}{{}^{20} C_3}+\frac{{}^5 C_3}{{}^{20} C_3} \\ =\frac{\frac{15!}{14!} \times \frac{5!}{3!2!}+\frac{15!}{13!2!} \times \frac{5!}{4!}+\frac{5!}{3! 2!}}{\frac{20!}{(20-3)!3!}} \\ =\frac{\frac{15 \times 5 \times 4}{2}+\frac{15 \times 14}{2} \times 5+\frac{5 \times 4}{2}}{\frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2}} \\ =\frac{150+525+10}{1140} \\ =\frac{685}{1140}=\frac{137}{228}
Example:38(i).तीन थैले हैं-पहले में 3 काली व 7 सफेद ; दूसरे में 5 काली व 3 सफेद और तीसरे में 8 काली व 4 सफेद गेंदें हैं।उनमें से एक थैले में से एक काली गेंद निकाली गई।क्या सम्भावना है कि वह (क)पहले थैले में से निकली है ;(ख) तीसरे थैले में से निकली है?
Solution:माना तीन थैले के चुने जाने की प्रायिकता P_1, P_2, P_3 है।
P_1=P_2=P_3=\frac{1}{3}
पहले थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता p_1=\frac{3}{10}
दूसरे थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता p_2=\frac{5}{8}
तीसरे थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता p_3=\frac{8}{12}
(क)काली गेंद के पहले थैले में से निकलने की प्रायिकता=\frac{P_1 p_1}{P_1 p_1+P_2 p_2+P_3 p_3} \\ =\frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}+\frac{1}{3} \times \frac{5}{8}+\frac{1}{3} \times \frac{8}{12}} \\ =\frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{3}\left(\frac{3}{10}+\frac{5}{8}+\frac{8}{12}\right)} \\ =\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{5}{8}+\frac{2}{3}} \\ =\frac{\frac{3}{10}}{\frac{36+75+80}{120}} \\ =\frac{3}{10} \times \frac{120}{191} \\ =\frac{36}{191}
(ख)काली गेंद के तीसरे थैले में से निकलने की प्रायिकता=\frac{P_3 p_3}{P_1 p_1+P_2 p_2+P_3 p_3} \\ =\frac{\frac{1}{3} \times \frac{8}{12}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}+\frac{1}{3} \times \frac{5}{8}+\frac{1}{3} \times \frac{8}{12}} \\ =\frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{3}\left(\frac{3}{10}+\frac{5}{8}+\frac{2}{3}\right)} \\ =\frac{\frac{2}{3}}{\frac{36+75+80}{120}} \\ =\frac{2}{3} \times \frac{120}{191} \\ =\frac{80}{191}
Example:38 (ii).A 6 दशाओं में से 5 में सच बोलता है और वह यह कहता है कि 9 काली और 1 सफेद गेंद वाले एक थैले में से सफेद गेंद निकाली गई है।क्या सम्भावना है कि वास्तव में सफेद गेंद निकाली गई है?
Solution:सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता p_1=\frac{1}{10}
काली गेंद निकालने की प्रायिकता p_2=\frac{9}{10}
A द्वारा सच बोलने की प्रायिकता P_1=\frac{5}{6}
A द्वारा झूठ बोलने की प्रायिकता P_2=\frac{1}{6}
अतः निकाली गई गेंद के वास्तव में सफेद होने की प्रायिकता=\frac{P_1 p_1}{P_1 p_1+P_2 p_2} \\=\frac{\frac{5}{6} \times \frac{1}{10}}{\frac{5}{6} \times \frac{1}{10}+\frac{1}{6} \times \frac{9}{10}} \\ =\frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}+\frac{9}{10}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5+9}{10}}=\frac{1}{2} \times \frac{10}{14} \\ =\frac{5}{14}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics),परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता (Probability of Mutually Exclusive Events) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता पर आधारित सवाल (Questions Based on Compound Probability in Statistics):

(1.)यह मानते हुए कि प्रत्येक पत्ते को खींचने के बाद उसे वापस गड्डी में से क्रमानुसार चिड़ी का इक्का (ace of Clubs),चिड़ी का बादशाह (king) और चिड़ी की बेगम (queen of clubs) खींचे जाने की प्रायिकता क्या होगी?
(2.)ताश के चार पत्तों को बिना पुनस्थापन (without replacement) बारी-बारी से खींचा जाता है।इस बात की क्या सम्भावना है कि वे चारों इक्के (aces) होंगे?
उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{132600} (2.) \frac{2197}{20825}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics),परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता (Probability of Mutually Exclusive Events) को ठीक से समझ सकते हैं।

Compound Probability in Statistics

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4.सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Frequently Asked Questions Related to Compound Probability in Statistics),परस्पर अपवर्जी घटनाओं की प्रायिकता (Probability of Mutually Exclusive Events) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में मिश्र प्रायिकता (Compound Probability in Statistics) के इस आर्टिकल में सभी
प्रदत्त स्वतन्त्र घटनाओं के एक साथ घटने,जब दो घटनाएँ एक साथ नहीं घट सकती आदि
पर आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।