1.अंकगणित में चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest in Arithmetic),चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest):

Compound Interest in Arithmetic

अंकगणित में चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest in Arithmetic) के इस आर्टिकल में चक्रवृद्धि ब्याज,चक्रवृद्धि मिश्रधन पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अंकगणित में चक्रवृद्धि ब्याज के साधित उदाहरण (Compound Interest in Arithmetic Solved Examples):

Example:1.₹ 8000 पर 5% प्रतिवर्ष की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज होगा
(a) ₹ 2161 (b) ₹ 1216 (c) ₹ 1261 (d)₹ 9261
Solution: C.I.=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right]\\ =8000\left[\left(1+\frac{5}{100}\right)^3-1\right] \\ =8000\left[\frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100}-1\right] \\ =8000\left(\frac{9261}{8000}-1\right) \\ =8000\left(\frac{9261-8000}{8000}\right) \\ \Rightarrow C.I.=1261
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:2.4% प्रति वार्षिक ब्याज की दर से ₹ 500 का 2 वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज होगा
(a) ₹ 40 (b) ₹ 42.50 (c) ₹ 40.80 (d) ₹ 45
Solution:r=4%,n=2 वर्ष,P=500
C.I.=P\left[\left(1+\frac{2}{100}\right)^n-1\right] \\ =500\left[\left(1+\frac{4}{100}\right)^2-1\right] \\ =500\left(\frac{104}{100} \times \frac{104}{100}-1\right) \\ =500\left(\frac{676-625}{625}\right) \\ =\frac{4 \times 51}{5} \\ \Rightarrow C.I=40.8
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:3.₹ 25000,2 वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज से कितने हो जायेंगे,यदि उत्तरोत्तर वर्षों में ब्याज की दर 4% तथा 5% हो?
(a) ₹ 27750 (b) ₹ 25750 (c) ₹ 27000 (d) ₹ 27300
Solution:P=25000,n=2 वर्ष, r_1=4 %, r_2=5 %
A=P\left(1+\frac{r_1}{100}\right)\left(1+\frac{r_2}{100}\right) \\ =25000\left(1+\frac{4}{100}\right)\left(1+\frac{5}{100}\right) \\ =25000 \times \frac{104}{100} \times \frac{105}{100} \\ \Rightarrow A=27300
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:4.₹ 8000 को चक्रवृद्धि ब्याज की दर से निवेशित करने पर 3 वर्ष पश्चात ₹ 1261 ब्याज के रूप में प्राप्त होते हैं।ब्याज की वार्षिक दर है
(a) 25 % (b) 17.5 % (c) 10 % (d) 5 %
Solution:P=8000,CI=1261,n=3 वर्ष,r=?
C.I.=P\left[\left(1+\frac{r}{10}\right)^2-1\right] \\ \Rightarrow 1261=8000\left[\left(1+\frac{r}{101}\right)^3-1\right] \\ \Rightarrow \frac{1261}{8000}+1=\left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \\ \Rightarrow \frac{1261+8000}{8000}=\left(1+\frac{r}{101}\right)^3 \\ \Rightarrow \frac{9261}{8000}=\left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \\ \Rightarrow \left(\frac{21}{20}\right)^3=\left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \\ \Rightarrow \frac{21}{20}=1+\frac{r}{100} \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{21}{20}-1 \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{21-20}{20} \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{1}{20} \\ \Rightarrow r=\frac{100}{20}=5
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:5.कौनसी धनराशि 2 वर्षों में 4 प्रतिशत वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से ₹ 1352 हो जाएगी?
(a) ₹ 1200 (b) ₹ 1225 (c) ₹ 1250 (d) ₹ 1300
Solution:n=2 वर्ष,r=4%,A=1352,P=?
A=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n\right] \\ \Rightarrow 13.52=P\left[\left(1+\frac{4}{100}\right)^2\right] \\ =P\left(\frac{104}{100} \times \frac{104}{100}\right) \\ =P\left(\frac{676}{625}\right) \\ \Rightarrow P=\frac{1352 \times 625}{656}=1250
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:6.यदि ब्याज अर्धवार्षिक देय हो,तो ₹ 16000,10% प्रतिवर्ष चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्षों के उपरान्त कितने हो जायेंगे?
(a) ₹ 19448 (b) ₹ 17243 (c) ₹ 19880 (d) ₹ 18973
Solution:P=16000, r=\frac{10}{2} % ,n=2 वर्ष=4 छमाही
A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ =16000\left(1+\frac{10}{200}\right)^2 \\ = 16000 \times \frac{210}{210} \times \frac{210}{200} \times \frac{210}{200} \times \frac{210}{200} \\ \Rightarrow A=19448.10 \\ \Rightarrow A \approx 19448
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:7.₹ 2560 का 25% प्रतिवर्ष की दर से 6 माह की अवधि में मिश्रधन कितना होगा,यदि चक्रवृद्धि ब्याज की गणना प्रति तिमाही की जाती है?
(a) ₹ 330 (b) ₹ 8290 (c) ₹ 2980 (d) ₹ 2890
Solution:P=2560,r=25% वार्षिक=\frac{25}{4}% तिमाही, n=6 माह=2 तिमाही, A=?
A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \\ =2560\left(1+\frac{25}{4 \times 100}\right)^2 \\ \Rightarrow A =2560 \times \frac{425}{400} \times \frac{425}{400}=2890
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:8.4% वार्षिक दर से 1\frac{1}{2} वर्ष में ₹ 60000 का कितना मिश्रधन होगा,जबकि ब्याज छमाही जोड़ा जाता है?
(a) ₹ 63672.48 (b) ₹ 648.96 (c)₹ 6791.84 (d) ₹ 62424
Solution:r=4%,n=1 \frac{1}{2} वर्ष,P=60000,A=?
A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ =60000\left(1+\frac{2}{100}\right)^3 \\ =60000 \times \frac{102}{100} \times \frac{102}{100} \times \frac{102}{100} \\ \Rightarrow A=63672.48
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:9.यदि ब्याज वार्षिक देय है और 10% प्रतिवर्ष की दर से 3 वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज ₹ 331 हो,तो मूलधन है
(a) ₹ 900 (b) ₹ 1000 (c) ₹ 1050 (d) ₹ 1100
Solution:P=?,CI=331,r=10%,n=3 वर्ष
C.I=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right] \\ \Rightarrow 331=P\left[\left(1+\frac{10}{100}\right)^3-1\right] \\ =P\left[\frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10}-1\right] \\ =P\left(\frac{1331-1000}{1000}\right) \\ P=\frac{331 \times 1000}{331}=1000
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:10.₹ 4000 के मूलधन पर 10% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज होगा
(a) ₹ 1000 (b) ₹ 804 (c) ₹ 800 (d) ₹ 840
Solution:P=4000,r=10%,n=2 वर्ष,CI=?
C.I=P\left[\left(1+\frac{r}{10}\right)^n-1\right] \\ =4000\left[\left(1+\frac{10}{100}\right)^2-1\right] \\ =4000\left[\frac{11}{10} \times \frac{11}{10}-1\right] \\ \Rightarrow C I =4000 \times\left(\frac{121-100}{100}\right)=840
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:11.किसी राशि पर अर्धवार्षिक रूप से देय चक्रवृद्धि ब्याज और उसी राशि पर एक वर्ष के सामान्य ब्याज का अन्तर ₹ 180 था।यदि इन दोनों स्थितियों में ब्याज की दर 10% रही हो,तो मूल राशि कितनी थी?
(a)₹ 60,000 (b) ₹ 72000 (c) ₹ 62000 (d) ₹ 54000
Solution:P=?,r=10% वार्षिक=5% अर्द्धवार्षिक ,n=1 वर्ष=2 छमाही
C.I=P\left[\left(1+\frac{r}{10}\right)^n-1\right] \\ =P\left[\left(1+\frac{5}{100}\right)^2-1\right]\\ =P\left(\frac{21}{20} \times\frac{21}{20}-1\right) \\ \Rightarrow C.I=\frac{41 P}{400} तथा S.I.=\frac{P R T}{100} \\ S I=\frac{P \times 10 \times 1}{100}=\frac{P}{10} \\ \Rightarrow C.I.-S.I=\frac{41 P}{400}-\frac{P}{10} \\ \Rightarrow 180=\frac{41 P-40 P}{400} \Rightarrow P=180 \times 400 \\ \Rightarrow P=72000
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:12.किस वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से दो वर्ष में कोई मूलधन स्वयं का \frac{25}{16} गुना हो जाएगा?
(a) 16 % (b) 18 % (c) 20 % (d) 25 %
Solution: A=\frac{25}{16}P , r=?,n=2 वर्ष
A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow \frac{25}{16} P=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 \\ \Rightarrow\left(\frac{5}{4}\right)^2=\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 \\ \Rightarrow \frac{5}{4}=1+\frac{r}{100} \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{5}{4}-1 \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{5-4}{4} \\ \Rightarrow r=\frac{100}{4}=25
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:13.चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की गयी ₹ 12000 की धनराशि 5 वर्ष में दो गुनी हो जाती है।20 वर्ष के बाद यह कितनी हो जायेगी?
(a)₹ 144000 (b)₹ 120000 (c) ₹ 1500000 (d) ₹ 192000
Solution:P=12000,A=24000,n=5 वर्ष,r=?
A=P\left(1+\frac{r}{10}\right)^n \\ \Rightarrow 24000=12000\left(1+\frac{r}{100}\right)^5 \\ \Rightarrow 2=\left(1+\frac{r}{100}\right)^5 \\ \Rightarrow 2^4=\left[\left(1+\frac{r}{10}\right)^5\right]^4 \\ \Rightarrow 16=\left(1+\frac{r}{100}\right)^{20} \\ A=12000\left(1+\frac{r}{100}\right)^{20} \\ \Rightarrow A=12000 \times 16=192000
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:14.किसी धन का 2 वर्षों में 10% वार्षिक ब्याज की दर से साधारण ब्याज ₹ 90 होता है,तो उसी धन का उसी दर से कितने रुपये चक्रवृद्धि ब्याज होगा?
(a)₹ 99 (b)₹ 108 (c) ₹ 95.60 (d) ₹ 94.50
Solution: P=\frac{S.I. \times 100}{R T}=\frac{90 \times 100}{10 \times 2}=450 \\ C.I.= P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right] \\ =450\left[\left(1+\frac{10}{100}\right)^2-1\right] \\ =450\left(\frac{11}{10} \times \frac{11}{10}-1\right) \\ \Rightarrow C.I.=450 \times\left(\frac{121-100}{100}\right)=94.50
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:15.एक आदमी ₹ 4000 को तीन वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज पर लगाता है।एक साल बाद धनराशि ₹ 4320 हो जाती है,तो तीन साल बाद मिश्रधन (निकटतम रुपये में) कितना होगा?
(a) ₹ 5039 (b) ₹ 5789 (c) ₹ 1129 (d) ₹ 4939
Solution: A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow 4320=4000\left(1+\frac{r}{10}\right) \\ \Rightarrow \frac{4320}{4000}-1=\frac{r}{100} \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{4320-4000}{4000} \\ \Rightarrow r=\frac{100 \times 320}{4000}=8 \\ A=4000\left(1+\frac{8}{100}\right)^3 \\ =4000 \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100} \\ \Rightarrow A \approx 5038.848 \approx 5039
अतः विकल्प (a) सही है।

Compound Interest in Arithmetic

Example:16.10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर ₹ 2000 कितने वर्ष में ₹ 2420 हो जाएंगे?
(a) 3 वर्ष (b) 2 \frac{1}{2} वर्ष (c) 2 वर्ष (d) 1 \frac{1}{2} वर्ष
Solution:A=2420,P=2000,r=10%,n=?
A=P\left(1+\frac{2}{100}\right)^n \\ \Rightarrow 2420=2000\left(1+\frac{10}{100}\right)^n \\ \Rightarrow \frac{121}{100}=\left(\frac{110}{100}\right)^n \\ \Rightarrow \left(\frac{11}{10}\right)^2=\left(\frac{11}{10}\right)^n \Rightarrow n=2 वर्ष
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:17.एक निश्चित धन राशि पर निश्चित चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 3 वर्षों एवं 2 वर्षों में प्राप्त मिश्रधन का अनुपात 21:20 है,तो ब्याज की दर क्या है?
(a) 7 % (b)6 % (c) 5 % (d) 4 %
Solution: A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow \frac{21}{20}=\frac{\left(1+\frac{r}{100}\right)^3}{\left(1+\frac{r}{100}\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{21}{20}=1+\frac{r}{100} \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{21}{20}-1 \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{1}{20} \\ \Rightarrow r=\frac{100}{20}=5
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:18.कौन-सी धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष बाद ₹ 6690 तथा छ: वर्ष बाद ₹ 10035 हो जाएगी?
(a) ₹ 4460 (b) ₹ 5460 (c) ₹ 3500 (d) ₹ 4500
Solution: A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow \frac{10035}{6690}=\frac{\left(1+\frac{r}{100}\right)^6}{\left(1+\frac{r}{100}\right)^3} \\ \Rightarrow \frac{10035}{6690}=\left(1+\frac{r}{100} \right)^3 \\ \Rightarrow \frac{3}{2}=\left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \\ 6690=P \times \frac{3}{2} \left[\because 6690=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^3\right] \\ \Rightarrow P=\frac{6690 \times 2}{3}=4460
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:19.5% वार्षिक ब्याज की दर से ₹ 8000 के 3 वर्ष के साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज का अन्तर होगा
(a) ₹ 61 (b) ₹ 50 (c) ₹ 60 (d) ₹ 600
Solution: S.I.=\frac{PRT}{100}=\frac{8000 \times 5 \times 3}{100} \\ \Rightarrow S.I=1200 \\ C.I.=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right] \\ =8000\left[\left(1+\frac{5}{100}\right)^3-1\right] \\ =8000\left[\left(\frac{21}{20}\right)^3-1\right] \\ \Rightarrow C.I.=8000\left(\frac{9261-8000}{8000}\right)=1261
चक्रवृद्धि ब्याज व साधारण ब्याज का अन्तर=1261-1200=61
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:20.एक धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 6 वर्ष में अपने से दो गुनी हो जाती है,तब उसी ब्याज की दर से वह धनराशि कितनी समयावधि में 8 गुनी हो जाएगी?
(a) 12 वर्ष (b) 18 वर्ष (c) 24 वर्ष (d) 48 वर्ष
Solution: A=P\left(1+\frac{r}{10}\right)^n \\ 2 x=x\left(1+\frac{r}{100}\right)^6 \\ \Rightarrow 2^{\frac{1}{6}}=1+\frac{r}{100} \cdots(1) \\ 8 x=x \left(1+\frac{r}{10}\right)^n \\ \Rightarrow 8=\left(2^{\frac{1}{6}}\right)^n \Rightarrow 2^3=2^{\frac{n}{6}} \\ \Rightarrow \frac{n}{6}=3 \Rightarrow n=18 वर्ष
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:21.10% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष बाद किसी धन का साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज का अन्तर ₹ 15.50 है।वह धन है
(a) ₹ 5000(b) ₹ 550(c) ₹ 500(d) ₹ 1500
Solution: S.I.=\frac{P R T}{100}=\frac{P \times 10 \times 3}{100}=\frac{3 P}{100} \cdots(1) \\ C.I.=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right] \\ C.I.= P\left[\left( 1+\frac{10}{100} \right)^3-1\right] \\ =P\left[\left( \frac{11}{10} \right)^3-1\right] \\ =P\left(\frac{1331-1000}{1000}\right) \\ \Rightarrow C.I.=\frac{331 P}{1000} \cdots(2)
(2) में से (1) घटाने पर :
\frac{331 P}{1000}-\frac{3 P}{10}=15.50 \\ \Rightarrow \frac{331 P-300 P}{1000}=15.50 \\ \Rightarrow \frac{31 P}{1000}=15.50 \\ \Rightarrow P=\frac{15.50 \times 1000}{31} \\ \Rightarrow P=500
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:22.यदि किसी धन का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्षों में चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अन्तर ₹ 2 हो,तो मूलधन है
(a)₹ 400 (b)₹ 800 (c) ₹ 1000 (d) ₹ 1200
Solution: S.I=\frac{P R T}{100}=\frac{P \times 5 \times 2}{100}=\frac{P}{10} \cdots(1) \\ C.I.=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right]=P\left[\left(1+\frac{5}{100}\right)^2-1\right] \\ \Rightarrow C I=P\left(\frac{441-400}{400}\right)=\frac{41 P}{400} \cdots(2)
(2) में से (1) घटाने परः
C.I.-S.I.=\frac{41 P}{400}-\frac{P}{10} \\ \Rightarrow 2=\frac{41 P-40 P}{400} \Rightarrow P=2 \times 400=800
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:23.यदि कोई धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर देने पर 5 वर्षों में दोगुनी हो जाए,वह आठ गुनी कितने वर्षों में हो जाएगी?
(a) 15 वर्ष (b) 20 वर्ष (c) 12 वर्ष (d) 10 वर्ष
Solution: A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ 2 x=x\left(1+\frac{r}{100}\right)^5 \\ \Rightarrow (2)^{\frac{1}{5}}=1+\frac{r}{100}  \cdots(1)\\ 8 x=x\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow 2^3=\left(2^{\frac{1}{5}}\right)^n [(1) से]
\Rightarrow 2^3=2^{\frac{n}{5}} \Rightarrow \frac{n}{5}=3 \Rightarrow n=15 वर्ष
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:24.₹ 10000 का 4% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर,यदि ब्याज हर छः महीने बाद जोड़ा जाए,तो 2 वर्षों बाद कितना ब्याज होगा?
(a) ₹ 636.80 (b) ₹ 824.32 (c) ₹ 912.86 (d) ₹ 828.82
Solution:P=10000,r=4% वार्षिक=2% छमाही, n=2 वर्ष=4 छमाही
C.I.=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right] \\ =10000\left[\left(1+\frac{2}{100}\right)^4-1\right] \\ =10000\left[\left(\frac{102}{100}\right)^4-1\right] \\ =10000\left[\left(\frac{51}{50}\right)^4-1\right] \\ =10000\left[\frac{6765201-6250000}{6250000}\right] \\ \Rightarrow C.I.=\frac{515201}{625}=824.3216 \approx 824.32
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:25.किसी मूलधन का चक्रवृद्धि ब्याज से प्रथम वर्ष के अन्त में मिश्रधन ₹ 650 और द्वितीय वर्ष के अन्त में ₹ 676 हो जाएगा?
(a) ₹ 610 (b) ₹ 620 (c) ₹ 625 (d) ₹ 630
Solution: A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \frac{676}{650}=\frac{\left(1+\frac{r}{100}\right)^2}{\left(1+\frac{r}{100}\right)^1} \\ \Rightarrow \frac{676}{650}=1+\frac{r}{100} \\ \Rightarrow \frac{r}{100}=\frac{676}{650}-1 \\ \Rightarrow r=100\left(\frac{676-650}{650}\right)=\frac{2}{13} \times 26 \\ \Rightarrow r=4 \\ 650=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^{1} \\ \Rightarrow 650=P\left(1+\frac{4}{100}\right) \\ \Rightarrow \frac{650 \times 100}{104}=P \\ P=625
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:26.कोई धन चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 4 वर्ष में तीन गुना हो जाता है,उसी दर से वह 27 गुना कब हो जाएगा?
(a) 12 वर्ष (b) 16 वर्ष (c) 15 वर्ष (d) 20 वर्ष
Solution: A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ 3 x=x\left(1+\frac{r}{100}\right)^4 \\ \Rightarrow 3^{\frac{1}{4}}=1+\frac{r}{100} \cdots(1) \\ 27 x=x\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow 3^3=\left(3^{\frac{1}{4}}\right)^n [(1) से ]
\Rightarrow \frac{n}{4}=3 \Rightarrow n=12 वर्ष
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:27.एक राशि चक्रवृद्धि ब्याज की दर होने पर तीन वर्ष में 8 गुनी हो जाती है।वही राशि कितने समय बाद समान चक्रवृद्धि ब्याज दर पर 64 गुनी हो जाएगी
(a) 4 वर्ष (b) 6 वर्ष (c) 8 वर्ष (d) 7 वर्ष
Solution: A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow 8 x=x\left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \\ \Rightarrow 8^{\frac{1}{3}}=1+\frac{r}{100} \cdots(1) \\ 64 x=x\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \\ \Rightarrow 8^2=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^n [(1) से ]
\Rightarrow \frac{n}{3}=2 \Rightarrow n=6 वर्ष
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:28.₹ 5000 पर 2 वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अन्तर ₹ 32 है।तदनुसार ब्याज की दर कितनी है?
(a) 5 % (b) 8 % (c) 10 % (d) 12 %
Solution: S.I.=\frac{P R T}{100}=\frac{5000 \times R \times 2}{100} \\ \Rightarrow S.I=100 R \cdots(1) \\ C.I=P\left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^n-1\right] \\ \Rightarrow C.I.=5000\left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^2-1\right]
(2) में से (1) घटाने परः
C.I. – S.I.=5000\left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^2-1\right]-100 R \\ \Rightarrow 32=5000+100 R+\frac{R^2}{2}-100 R-5000 \\ \Rightarrow \frac{R^2}{2}=32 \\ \Rightarrow R^2=64 \Rightarrow R=8
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:29.किसी धनराशि का किसी दी गई दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज तथा चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक रूप से संयोजित) क्रमशः ₹ 900 तथा ₹ 954 है।वह धनराशि है
(a) ₹ 3700 (b) ₹ 3650 (c) ₹ 3850 (d) ₹ 3750
Solution: S.I.=\frac{P R T}{100}=\frac{P \times R \times 2}{100} \\ \Rightarrow \frac{900 \times 100}{2}=P R \cdots(1) \\ C.I.=P\left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^n-1\right] \\ \Rightarrow 954=P\left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^2-1\right] \\ \Rightarrow 954=P\left[\left(1+\frac{1}{100} \times \frac{45000}{P}\right)^2-1\right] [(1) से]
\Rightarrow 954=P\left[\left(1+\frac{450}{P}\right)^2-1\right] \\ \Rightarrow 954= P\left[1+\frac{900}{P}+\frac{202500}{P^2}-1\right] \\ \Rightarrow 954=900+\frac{202500}{P} \\ \Rightarrow \frac{202500}{P}=54 \\ \Rightarrow P=\frac{202500}{54} \\ \Rightarrow P=3750
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:30.यदि एक राशि पर 2 वर्ष में 10% प्रतिवर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज ₹ 2100 है,तो उसी धनराशि पर 4 वर्ष में उसी दर से साधारण ब्याज क्या होगा?
(a) ₹ 1700 (b) ₹ 1800 (c) ₹ 1900 (d) ₹ 2000
Solution: C.I.=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right] \\ \Rightarrow 2100=P\left[\left(1+\frac{10}{100}\right)^2-1\right] \\ \Rightarrow 2100=P\left(\frac{121-100}{100}\right) \\ \Rightarrow P=\frac{2100 \times 100}{21} \\ \Rightarrow P=10000 \\ S.I.=\frac{P R T}{100}=\frac{10000 \times 10 \times 2}{100}=2000
अतः विकल्प (d) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अंकगणित में चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest in Arithmetic),चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) को समझ सकते हैं।

3.अंकगणित में चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याएँ (Compound Interest in Arithmetic Problems):

Compound Interest in Arithmetic

(1.)₹ 2100 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 10 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा,यदि ब्याज छमाही देय है?
(a) ₹ 200 (b) ₹ 200.10 (c) ₹ 215.25 (c) ₹ 275.50
(2.)साक्षी ने ग्रामीण क्षेत्रीय बैंक से ₹ 50000 ऋण लिया।इस पर चक्रवृद्धि ब्याज की दर प्रथम वर्ष 5%,द्वितीय वर्ष 7% तथा तृतीय वर्ष 8% थी।कुल तीन वर्षों की समाप्ति पर कितनी राशि देनी होगी?
(a) ₹ 50850 (b) ₹ 66669 (c) ₹ 60669 (d) ₹ 50384
उत्तर (Answers):(1.) (c) (2.) (c)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अंकगणित में चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest in Arithmetic),चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अंकगणित में चक्रवृद्धि ब्याज (Frequently Asked Questions Related to Compound Interest in Arithmetic),चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अंकगणित में चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest in Arithmetic) के इस आर्टिकल में
चक्रवृद्धि ब्याज,चक्रवृद्धि मिश्रधन पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।