1.कक्षा में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11),सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11):

Complex Numbers in Class 11

कक्षा में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं,सम्मिश्र संख्या का मापांक व कोणांक,आर्गंड तल और ध्रुवीय निरूपण,द्विघातीय समीकरण आदि के बारे में अध्ययन करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Quadratic Equations Class 11

2.कक्षा में सम्मिश्र संख्याएँ के उदाहरण (Complex Numbers in Class 11 Examples):

Example:1. $\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^3$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^3 \\ =\left[\left(i^4\right)^4 \left(i^2\right) +\frac{1}{(i^4)^6} \times \frac{1}{i}\right]^3 \\ =\left[(1)(-1)+\frac{1}{(1)^6} \times \frac{i}{i^2}\right]^3 \\ \left[\because i^4=1, i^2=-1\right] \\ =\left[-1+\frac{i}{(-1)}\right]^3 \\ =(-1-i)^3 \\ =(-1)^3+3(-1)^2(-i)+3(-i)^2(-1)+(-i)^3 \\ =-1-3 i+3-i^2 \cdot i \\ =2-3 i+i \\ =2-2 i$
Example:2.किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए सिद्ध कीजिए:

$\operatorname{Re}\left(z_1 z_2\right)=\operatorname{Re} z_1 \operatorname{Re} z_2-\operatorname{Im} z_1 \operatorname{Im} z_2$
Solution: $\operatorname{Re}\left(z_1 z_2\right)=R e z_1 R e z_2-\operatorname{Im} z_1 \operatorname{Im} z_2$
माना $z_1=a+i b, z_2=c+i d \\ z_1 z_2=(a+i b) \cdot(c+i d) \\ =a c+i b c+i a d+i^2 b d \\ =(a c-b d)+i(b c+a d) \\ \left[\because i^2=-1\right] \\ \operatorname{Re}\left(z_1 z_2\right)=a c-b d \\ =\operatorname{Re} z_1 \operatorname{Re} z_2-\operatorname{Im} z_1 \operatorname{Im} z_2 \\ \Rightarrow \operatorname{Re} \left(z_1 z_2\right)=\operatorname{Re} z_1 \operatorname{Re} z_2-\operatorname{Im} z_1 \operatorname{Im} z_2$
Example:3. $\left(\frac{1}{1-4 i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4 i}{5+i}\right)$ को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए।
Solution: $\left(\frac{1}{1-4 i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4 i}{5+i}\right) \\ =\left(\frac{1+4 i}{(1-4 i)(1+4 i)}-\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}\right)\left(\frac{(3-4 i)(5-i)}{(5+i)(5-i)}\right) \\ =\left(\frac{1+4 i}{1-16 i^2}-\frac{2-2 i}{1-i^2}\right)\left(\frac{15-3 i-20 i+4 i^2}{25-i^2}\right) \\ =\left(\frac{1+4 i}{1+16}-\frac{2-2 i}{1+1}\right)\left(\frac{15-23 i-4}{25+1}\right) \\ =\left(\frac{1+4 i}{17}-\frac{2-2 i}{2}\right)\left(\frac{11-23 i}{26}\right) \\ =\frac{(2+8 i-34+34 i)}{34} \times \frac{(11-23 i)}{2 i} \\ =\left(\frac{-32+42 i}{34}\right) \left(\frac{11-23 i}{26}\right) \\ =\frac{-352+736 i+462 i-966 i^2}{884} \\ =\frac{-352+966+1198 i}{884} \\ =\frac{614+1198 i}{884} \\ =\frac{307+599 i}{442}$
Example:4.यदि $x-i y=\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}$ ,तो सिद्ध कीजिए कि $\left(x^2+y^2\right)^2 =\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$
Solution: $x-i y=\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

$(x-i y)^2=\frac{a-i b}{c-i d} \\ \Rightarrow x^2-y^2-2 i x y =\frac{(a-i b)(c+i d)}{(c-i d)(c +i d)} \\ =\frac{(a c+b d)+i(a d-b c)}{c^2-i^2 d^2} \\ \Rightarrow x^2-y^2-2 i x y =\frac{(a c+b d)+i(a d-b c)}{c^2+d^2} \\ \left[\because i^2=-1\right]$
काल्पनिक व वास्तविक भागों की तुलना करने पर:

(1) (2)
=$\left(\frac{ac+b d}{c^2+d^2}\right)^2+\left[-\frac{(a d-b c)}{c^2+d^2}\right]^2 \\ =\frac{a^2 c^2+b^2 d^2+2 a b c d+a^2 d^2+b^2 c^2-2 a b c d}{\left(c^2+d^2\right)^2} \\ =\frac{c^2\left(a^2+b^2\right) +d^2\left(a^2+b^2\right)}{\left(c^2+d^2\right)^2} \\ =\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}{\left(c^2+d^2\right)^2} \\ =\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2} \\ \Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2 =\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$
Example:5.निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:
Example:5(i). $\frac{1+7 i}{(2-i)^2}$
Solution: $\frac{1+7 i}{(2-i)^2} \\ =\frac{1+7 i}{4-4 i+i^2} \\ =\frac{1+7 i}{4-4 i-1} \\ =\frac{1+7 i}{3-4 i} \\ =\frac{(1+7 i)(3+4 i)}{(3-4 i)(3+4 i)} \\ =\frac{3+4 i+21 i+28 i^2}{9-16 i^2} \\ =\frac{3-28+25 i}{9+16} \\ \left[\because i^2=-1\right] \\ =\frac{-25}{25}+\frac{25 i}{25}=-1+i$
मान लीजिए $r \cos \theta=-1, r \sin \theta=1$
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:

$r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=(-1)^2+(1)^2 \\ =1+1 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=2 \\ \Rightarrow r^2=\sqrt{2} \\ \Rightarrow r=\sqrt{2} \\ r=\sqrt{2}$
(-1,1) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है अतः कोणांक
$\theta =\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{1}{-1}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1} 1 \\ =\pi-\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=\frac{3 \pi}{4} \\ \therefore -1+i$ का ध्रुवीय रूप =$r(\cos \theta+i \sin \theta) \\ =\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)$

Example:5(ii). $\frac{1+3 i}{1-2 i}$
Solution: $\frac{1+3 i}{1-2 i} \\ =\frac{1+3 i}{1-2 i} \times \frac{1+2 i}{1+2 i} \\ =\frac{1+2 i+3 i+6 i^2}{1-4 i^2} \\ =\frac{1+5 i-6}{1+4}\left[\because i^2=-1\right] \\ =\frac{-5+5 i}{5} \\ =-1+i$
मान लीजिए $r \cos \theta=-1, r \sin \theta=1$
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:

$r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin \theta=(-1)^2+(1)^2 \\ \Rightarrow r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=1+1 \\ \Rightarrow r^2=2 \\ \Rightarrow r=\sqrt{2}$
(-1,1) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है अतः कोणांक
$\theta =\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{1}{-1}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1} (1) \\ =\pi-\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta =\frac{3 \pi}{4} \\ \therefore -1+i$ का ध्रुवीय रूप=$r(\cos \theta+i \sin \theta) \\=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)$
प्रश्न 6 से 9 में दिए गए प्रत्येक समीकरण को हल कीजिए:
Example:6. $3 x^2-4 x+\frac{20}{3}=0$
Solution: $3 x^2-4 x+\frac{20}{3}=0 \\ \Rightarrow 9 x^2-12 x+20=0 \\ a=9, b=-12, c=20 \\ b^2-4 a c=(-12)^2-4 \times 9 \times 20 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=144-720=-576<0$
अतः इसके हल:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4 \times 9 \times 20}}{2 \times 9} \\ =\frac{12 \pm \sqrt{144-720}}{18} \\ =\frac{12 \pm \sqrt{-576}}{18} \\ =\frac{12 \pm 24 i}{18} \\ =\frac{2 \pm 4 i}{3} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{3} \pm \frac{4}{3} i$
Example:7. $x^2-2 x+\frac{3}{2}=0$
Solution: $x^2-2 x+\frac{3}{2}=0 \\ \Rightarrow 2 x^2-4 x+3=0 \\ a=2, b=-4, c=3 \\ b^2-4 a c=(-4)^2-4 \times 2 \times 3 \\ =16-24 \\ \Rightarrow b^2-4 a c =-8<0$
अतः इसके हल:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \times 2 \times 3}}{2 \times 2} \\ =\frac{4 \pm \sqrt{16-24}}{4} \\ =\frac{4 \pm \sqrt{-8}}{4} \\ =\frac{4 \pm 2 \sqrt{2} i}{4} \\ \Rightarrow x=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} i$
Example:8. $27 x^2-10 x+1=0$
Solution: $27 x^2-10 x+1=0 \\ a=27, b=-10, c=1 \\ b^2-4 a c=(-10)^2-4 \times 27 \times 1 \\ =100-108 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-8<0$
अतः इसके हल:

$x=-b \pm \sqrt{b^2-4 a c} \\ =\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4 \times 27 \times 1}}{2 \times 27} \\ =\frac{10 \pm \sqrt{100-108}}{54} \\ =\frac{10 \pm \sqrt{-8}}{54} \\ =\frac{10 \pm 2 \sqrt{2} i}{54} \\ \Rightarrow x=\frac{5}{27} \pm \frac{\sqrt{2}}{27} i$
Example:9. $21 x^2-28 x+10=0$
Solution: $21 x^2-28 x+10=0 \\ a=21, b=-28, c=10 \\ b^2-4 a c=(-28)^2-4 \times 21 \times 10 \\ =784-840 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-56<0$
अतः इसके हल:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2-4 \times 21 \times 10}}{2 \times 21} \\ =\frac{28 \pm \sqrt{784-840}}{42} \\ =\frac{28 \pm \sqrt{-56}}{42} \\ =\frac{28 \pm 2 \sqrt{14} i}{42} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{14}}{21} i$
Example:10.यदि $z_1=2-i, z_2=1+i,\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+i}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+i}\right| \\ =\left|\frac{2-i+1+i+1}{2-i-1-i+i}\right| \\ =\left|\frac{4}{1-i}\right| \\ =\frac{|4|}{|1-i|} \\ =\frac{4}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} \\ =\frac{4}{\sqrt{2}} \\ =2 \sqrt{2}$

Complex Numbers in Class 11

Example:11.यदि $a+i b=\frac{(x+i)^2}{2 x^2+1}$ ,सिद्ध कीजिए कि $a^2+b^2= \frac{\left(x^2+1\right)^2}{\left(2 x^2+1\right)^2}$
Solution: $a+i b=\frac{(x+i)^2}{2 x^2+1} \\=\frac{x^2+2 x i+i^2}{2 x^2+1} \\ a+i b =\frac{x^2-1}{2 x^2+1}+\frac{2 x i}{2 x^2+1}\left[\because i^2=-1\right]$
काल्पनिक व वास्तविक भागों की तुलना करने पर:

$a=\frac{x^2-1}{2 x^2+1}, b=\frac{2 x}{2 x^2+1} \\ a^2+b^2=\left(\frac{x^2-1}{2 x^2+1}\right)^2 +\left(\frac{2 x}{2 x^2+1}\right)^2 \\ =\frac{x^4-2 x^2+1}{\left(2 x^2+1\right)^2}+\frac{4 x^2}{\left(2 x^2+1\right)^2} \\ =\frac{x^4+2 x^2+1}{\left(2 x^2+1\right)^2} \\ \Rightarrow a^2+b^2= \frac{\left(x^2 +1\right)^2}{\left(2 x^2+1\right)^2}$
Example:12.माना $z_1=2-i, z_2=-2+i$ ,निम्न का मान निकालिए।
Example:12(i). $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\overline{z_{1}}}\right)$
Solution: $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\overline{z_{1}}}\right) \\ \Rightarrow \frac{z_1 z_2}{\overline{z_{1}}} \\ =\frac{(2-i)(-2+i)}{(\overline{2-i})} \\ =\frac{-4+4 i-i^2}{2+i} \\ =\frac{-4+4 i+1}{2+i}\left[\because i^2=-1\right] \\ = \frac{-3+4 i}{2+i} \\ = \frac{3+4 i}{2+i} \times \frac{2-i}{2-i} \\ =\frac{-6-3 i+8 i-4 i^2}{4-i^2} \\ =\frac{-6+4+5 i}{4+1}\left[\because i^2=-1\right] \\ \Rightarrow \left(\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1}\right) =-\frac{2}{5}+i \\ \Rightarrow \operatorname{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1}\right)=-\frac{2}{5}$
Example:12(ii). $\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_{1} \overline{z_1}}\right)$
Solution: $\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_1 \overline{z_1}}\right) \\ \frac{1}{z_1 \overline{z_{1}}} =\frac{1}{(2-i)(\overline{2-i})} \\ =\frac{1}{(2-i)(2+i)} \\ =\frac{1}{4-i^2} \\ =\frac{1}{4+1}\left[\because i^2=-1\right] \\ =\frac{1}{5} \\ \Rightarrow \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_{1} \overline{z_{1}}}\right)=0$
Example:13.सम्मिश्र संख्या $\frac{1+2 i}{1-3 i}$ का मापांक व कोणांक ज्ञात कीजिए।
Solution: $\frac{1+2 i}{1-3 i} \\ =\frac{1+2 i}{1-3 i} \times \frac{1+3 i}{1+3 i} \\ =\frac{1+3 i+2 i+6 i^2}{1-9 i^2} \\ =\frac{1+5 i-6}{1+9} \quad\left[ \because i^2=-1\right] \\ =\frac{-5+5 i}{10} \\ =-\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} i \\ r \cos \theta=-\frac{1}{2}, r \sin \theta=\frac{1}{2}$
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow r^2 \left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\ \Rightarrow r^2=\frac{2}{4} \Rightarrow r=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \left(\frac{-1}{2}+\frac{1}{2} \right)$ द्वितीय चतुर्थांश में है अतः कोणांक
$\theta=\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{b}{a}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1}\left|\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}\right| \\ =\pi-\tan ^{-1} (1) \\ \Rightarrow \theta =\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \\ \frac{1+2 i}{1-3 i}$ का मापांक $\frac{1}{\sqrt{2}}$ तथा कोणांक $\frac{3 \pi}{4}$ है।
Example:14.यदि (x-i y)(3+5 i) ,-6-24 i की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए।
Solution: $(x-i y)(3+5 i) \\ =3 x+5 x i-3 y i-5 y i^2 \\ =3 x+5 y+i(5 x-3 y)\left[\because i^2=-1\right] \\ 3 x+5 y+i(5 x-3 y)$ की संयुग्मी=3 x+5 y-i(5x-3 y)
प्रश्नानुसार: 3 x+5 y-i(5 x-3 y)=-6-24 i
वास्तविक व काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
3x+5y=-6  …… (1)
5x-3y=24  …….(2)
समीकरण (1) को 3 से तथा समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर:
$\begin{array}{ll}9x+15 y=-18 \cdots(3) \\ 25 x-15 y=120 \cdots(4)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{ जोड़ने पर } \\ \hline 34 x=+102 \\ \Rightarrow x=\frac{102}{34}=3\end{array}$
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
$3(3)+5 y=-6 \\ \Rightarrow 5 y=-6-9 \\ \Rightarrow 5 y=-15 \\ \Rightarrow y=\frac{-15}{5}=-3 \\ x=3, y=-3$
Example:15. $\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}$ का मापांक ज्ञात कीजिए।
Solution: $\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i} \\ =\frac{(1+i)(1+i)-(1-i)(1-i)}{(1-i)(1+i)} \\ =\frac{1+2 i+i^2-\left(1-2 i+i^2\right)}{1-i^2} \\ =\frac{1+2 i-1-(1-2 i-1)}{1+1}\left[\because i^2=-1\right] \\ =\frac{2 i+2 i}{2} \\ =\frac{4 i}{2} \\ =2 i=0+2 i \\ r \cos \theta=0, r \sin \theta=2$
वर्ग करके जोड़ने पर:
$r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)=\sqrt{0^2+2^2} \\ r^2=4 \Rightarrow r=\sqrt{4}=2 \\ \frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}$ का मापांक 2 है।
Example:16.यदि $(x+i y)^3=u+i v$,तो दर्शाइए कि $\frac{u}{x}+\frac{v}{y}=4\left(x^2-y^2\right)$
Solution: $(x+i y)^3=u+i v \\ x^3+3 x^2 y i-3 x y^2-i y^3=u+i v$
दोंनो पक्षों के वास्तविक व काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:

$x^3-3 x y^2=u, \quad 3 x^2 y-y^3=v \\ \Rightarrow x\left(x^2-3 y^2\right)=u \\ \Rightarrow \frac{u}{x}=x^2-3 y^2 \cdots(1) \\ y\left(3 x^2-y^2\right)=v \\ \Rightarrow \frac{v}{y}=\left(3 x^2-y^2\right) \cdots(2)$
(1) व (2) सो जोड़ने पर :
$\frac{u}{x}+\frac{v}{y} =x^2-3 y^2+3 x^2-y^2 \\ =4 x^2-4 y^2 \\ \Rightarrow \frac{u}{x}+\frac{y}{y} =4\left(x^2-y^2\right)$
Example:17.यदि $\alpha$ और $\beta$ भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ $|\beta|=1$ ,तब $\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\overline{\alpha} \beta}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\overline{\alpha} \beta}\right|=\frac{|\beta-\alpha|}{|1-\overline{\alpha} \beta|} \\ \leq \frac{|\beta|-|\alpha|}{1-|\overline{\alpha} \beta|} \\ =\frac{|\beta|-|\alpha|}{1-|\overline{\alpha}| |\beta|} \\ |\beta|=1$ तथा $|\overline{\alpha}|=|\alpha|$ रखने पर:

=$\frac{1-|\alpha|}{1-|\alpha|} \\=1$
Example:18.समीकरण $|1-i|^x=2^x$ के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:$|1-i|^x=2^x \\ \left(\sqrt{(1)^2+(-1)^2}\right)^x=2^x \\ \Rightarrow (\sqrt{2})^x=x^x \\ \Rightarrow 2^{\frac{x}{2}}=2^x \\ \Rightarrow \frac{x}{2}=x \\ \Rightarrow \frac{1}{2} x=0 \Rightarrow x=0$
Example:19.यदि (a+i b)(c+i d)(e+i f) (g+i h)=A+i B है तो दर्शाइए कि

$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\left(e^2+f^2\right)\left(g^2+h^2\right)=A^2 +B^2$
Solution: $(a+i b)(c+i d)(e+i f) (g+i h)=A+i B$
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:

$|(a+i b)(c+i d)(e+i f)(g+i h)|=| A+i B| \\ \Rightarrow|a+i b| |c+i d||e+if||g+i h|=|A+i B| \\ \left[\because z_{1} z_{2}= |z_{1}| |z_{2}| \right ] \\ \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{c^2+d^2} \sqrt{e^2+f^2} \sqrt{g^2+h^2}=\sqrt{A^2+B^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

$\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\left(e^2+f^2\right)\left(g^2+h^2\right)=A^2+B^2$
Example:20.यदि $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^m=1$ ,तो m का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^m=1 \\ \Rightarrow\left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^m=1 \\ \Rightarrow\left[\frac{1+2 i+i^2}{1-i^2}\right]^m=1 \\ \Rightarrow\left(\frac{1+2 i-1}{1+1}\right)^m =1\left[\because i^2=-1\right] \\ \Rightarrow\left(\frac{2 i}{2}\right)^m=1 \\ \Rightarrow(i)^m=1 \\ \Rightarrow m=4\left[\because i^4=1\right]$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा में कक्षा में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11),सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा में सम्मिश्र संख्याएँ के सवाल (Complex Numbers in Class 11 Questions):

Complex Numbers in Class 11

(1.)समीकरण $(1+i) y^2+(6+i)=(2+i)x$ के लिए x व y के वास्तविक मान ज्ञात कीजिए।
(2.) $\theta$ का वास्तविक मान बताइए जबकि $\frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$ मात्र वास्तविक है।
उत्तर (Answers):(1.)x=5 तथा $y= \pm 2$
(2.) $\theta=n \pi, n \in z$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा में कक्षा में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11),सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Polar Representation of Complex Number

4.कक्षा में सम्मिश्र संख्याएँ (Frequently Asked Questions Related to Complex Numbers in Class 11),सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र
संख्याओं,सम्मिश्र संख्या का मापांक व कोणांक,आर्गंड तल और ध्रुवीय निरूपण,द्विघातीय
समीकरण आदि के बारे में अध्ययन करेंगे।