Complex Contour Integration Examples

1.सम्मिश्र कन्टूर समाकलन उदाहरण का परिचय (Introduction to Complex Contour Integration Examples),कन्टूर समाकलन,परिरेखा समाकलन (Contour Integration)-

Complex Contour Integration Examples

इससे पूर्व आर्टिकल्स सम्मिश्र परिरेखा समाकलन को सम्मिश्र कन्टूर समाकलन (Complex Contour Integration Examples),कन्टूर समाकलन,परिरेखा समाकलन (Contour Integration) उदाहरणों के द्वारा समझ चुके हैं।इस आर्टिकल में कुछ ओर विशिष्ट उदाहरणों के द्वारा परिरेखा समाकलन को समझेंगे।
कॉम्प्लेक्स प्लेन में कर्व्स – कॉम्प्लेक्स एनालिसिस के गणितीय क्षेत्र में कन्टूर इंटीग्रेशन कॉम्प्लेक्स प्लेन में पथ के साथ कुछ इंटीग्रल्स के मूल्यांकन की एक विधि है।कंटूर समाकल,अवशेषों की गणना,सम्मिश्र विश्लेषण की एक विधि से निकटता से संबंधित है।
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2.सम्मिश्र कन्टूर समाकलन उदाहरण (Complex Contour Integration Examples),कन्टूर समाकलन,परिरेखा समाकलन (Contour Integration Examples),कन्टूर समाकलन साॅल्वड उदाहरण (Contour Integration Solved Examples)-

Example-1.फलन \frac{e^{i z^{2}}}{z} को उपयुक्त परिरेखा पर समाकलन करते हुए सिद्ध कीजिए कि \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x^{2}}{x} d x=\frac{\pi}{4} तथा निगमन कीजिए कि \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}
(By integrating \frac{e^{i z^{2}}}{z} round a suitable contour,prove that \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x^{2}}{x} d x=\frac{\pi}{4} ,also deduct that \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2} .)
Solution-माना \int_{c} \frac{e^{i z^{2}}}{z} d z=\int_{c} f(z) d z

Complex Contour Integration Examples

जहां C वृत्त का भाग है। अतः अवशेष प्रमेय से-

\int_{C} f(z) d z=\int_{\rho}^{R} f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z+\int_{R}^{\rho} f(i y) i dy+\int_{\gamma} f(z) d z=0.....(1)

अब \left|\int_{\Gamma} f(z) d z\right| \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| \frac{\exp \left(i R e^{i 2 \theta}\right)}{R e^{i \theta}} R i e^{i \theta} \right| d \theta \\ \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-R^{2} \cdot \sin 2 \theta} d \theta \rightarrow 0 जब R \rightarrow \infty \\  \int_{\gamma} f(z) d z=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{exp\left(i e^{2} e^{(i2 \theta)}\right)}{\rho e^{ i \theta}} e i e^{i \theta} d \theta \\ =i \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}[1+0(\rho)] d \theta \\ =-\frac{i \pi}{2}
अतः जब R \rightarrow \infty, \rho \rightarrow 0, समीकरण (1) से-

\int_{0}^{\infty} f(x) d x+\int_{\infty}^{0} f(i y) i d y-i \frac{\pi}{2}=0 \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{e^{i x^{2}}}{x} d x-\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-i y^{2}}}{i y} d y=\frac{i \pi}{2} \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{e^{i x^{2}}-e^{-i x^{2}}}{x} d x=\frac{i \pi}{2} \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{2 i \sin x^{2}}{x} d x=\frac{i \pi}{2} \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x^{2}}{x} d x=\frac{\pi}{4} \cdots(2)
अब x=\sqrt{t} , समीकरण (2) में रखने पर-

\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \cdot \frac{d t}{2 \sqrt{t}}=\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \int \frac{\ sin t}{t} d t= \frac{\pi}{2}
Example-2.एक आयत जिसके सम्मिश्र तल में शीर्ष बिन्दु O,R,R+ia,ia हैं,पर e^{-z^{2}} का समाकलन करते हुए सिद्ध कीजिए कि
(By integrating e^{-z^{2}} round the rectangle whose vertices are O,R,R+ia,ia show that):

(i) \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \cos (2 a x) d x=\frac{-e^{a^{2}}}{2} \sqrt{\pi} \\ (ii) \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \sin (2 a x) d x=e^{-a^{2}} \int_{0}^{a} e^{y^{2}} d y
Solution–\int_{C} e^{-z^{2}} d z=\int_{C} f(z) d z
जहां C एक आयत है जिसकी भुजाएं हैं x=0,x=R,y=0,y=a

Complex Contour Integration Examples

f(z) के अन्दर C का कोई अनन्तक नहीं है अतः अवशेष प्रमेय से-

\int f(z) d z=\int_{0}^{R} f(x) d x+\int_{0}^{a} f(R+i y) i d y+\int_{R}^{0} f(x+i a) d x +\int_{a} f(iy) i dy=0 \\ \Rightarrow I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}=0 \cdots (1)
अब \left|I_{1}\right| =\int_{0}^{a} e^{-(R+i y)^{2}} i d y \mid \\ \leq \int_{0}^{a} \mid e^{-R^{2}+y^{2}-2 i R y} i \mid d y \\ \leq \int_{0}^{a} e^{-R^{2}} \cdot e^{y^{2}} d y \rightarrow 0 जब R \rightarrow \infty
जब R \rightarrow 0 तो समीकरण (1) से-

\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x + \int_{0}^{\infty} e^{-(x+i a)^{2}} d x+\int_{a}^{0} i e^{y^{2}} d y=0 \\ \Rightarrow e^{a^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \cdot e^{-i 2 a x} d x+i \int_{0}^{a} e^{y^{2}} d y=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

e^{a^{2}} \cdot \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \cdot \cos 2 a x d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
तथा -e^{a^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \sin 2 a x  d x+\int_{0}^{a} e^{y^{2}} d y=0 \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \sin 2 a x=e^{-a^{2}} \int_{0}^{a} e^{y^{2}} d y
Example-3.फलन \log \left(1-e^{2 i z}\right) को उपयुक्त परिरेखा पर समाकलन करते हुए सिद्ध कीजिए कि
(Integrating \log \left(1-e^{2 i z}\right) round a suitable contour, prove that):

\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) d x=-\pi \log 2
Solution–\int_{C} \log \left(1-e^{i 2 z}\right) d z=\int_{C} f(z) d z

Complex Contour Integration Examples

जहां C आयत है अतः अवशेष प्रमेय से-

\int_{c} f(z) d z=\int_{\rho_{1}}^{\pi-\rho_{2}} f(x) d x+\int_{\gamma_{2}} f(z) d z+\int_{\rho_{2}}^{n} f(\pi+i y) d y +\int_{\pi}^{0} f(x+i n) d x+\int_{n}^{\rho_{1}} f(i y) id y +\int_{\gamma_{1}} f(z) d z=0 \\ I_{1}+I_{2}+I_{3} +I_{4} +I_{5}+I_{6}=0 \\ I_{3}=\int_{\rho_{2}}^{n} \log \left(1-e^{2 i(\pi+i y)} \right)i d y=\int_{\rho_{2}}^{n} i \log \left(1-e^{-2 y}\right) d y
तथा I_{5}=\int_{n}^{\rho_{1}} \log \left(1-e^{2 i(i y)}\right) i d y=\int_{n}^{\rho_{1}} i \log \left(1-e^{-2 y}\right) d y 
जब n \rightarrow \infty, \quad \rho_{1} \rightarrow 0, \rho_{2} \rightarrow 0 \\ I_{3}+I_{5} =\int_{0}^{\infty} i \log \left(1-e^{-2 y}\right) d y+\int_{\infty}^{0} i \log \left(1-e^{-2 y}\right) d y \\ =\int_{0}^{\infty} i \log \left(1-e^{-2 y}\right) d y-\int_{0}^{\infty} i \log \left(1-e^{-2 y}\right) d y=0 \\ \lim _{z \rightarrow 0} z f(z) =\lim _{z \rightarrow 0} z \log \left(1-e^{i 2 z}\right) \\ =\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\log \left(1-e^{i 2 z}\right)}{\frac{1}{z}}\left(\frac{\infty}{\infty} \text { form }\right) \\ =\lim _{z \rightarrow 0} \frac{-2 i e^{i 2 z}\left\{\frac{1}{\left(1-e^{i 2 z} \right)}\right\}}{\left(-1 / z^{2}\right)} (\text { DL Hospital Rule} ) \\ = \lim _{z \rightarrow 0} \frac{2 i z^{2} e^{i 2 z}}{1-e^{i 2 z}}\left(\frac{0}{0} \text { form } \right) \\ =\lim_{z \rightarrow 0} \frac{4 i z e^{i 2 z}+2 i z^{2} e^{i 2} z \cdot 2 i}{-2 i \cdot e^{i 2 z}} (\text { DL Hospital Rule} )\\ =0 \\ \lim _{\rho_{1} \rightarrow 0} I_{6}=0
इसी प्रकार
I_{2} \rightarrow 0 जब \rho_{2} \rightarrow 0 \\ I_{4} =\int_{\pi}^{0} \log \left(1-e^{i 2(x+i n)}\right) d x \\ =\int_{\pi}^{0} \log \left(1-e^{i 2 x} e^{-2 x}\right) d x \rightarrow 0 जब n \rightarrow \infty
n \rightarrow \infty, \quad \rho_{1} \rightarrow 0, \rho_{2} \rightarrow 0  तब समीकरण (1) से-
\int_{0}^{\pi} f(x) d x=0 या \int_{0}^{\pi} \log\left(1-e^{i 2 x}\right)=0 \\ \int_{0}^{\pi} \log \left\{e^{i x}\left(e^{-i x}-e^{i x}\right)\right\} d x=0

या \int_{0}^{\pi} \left\{ \int e^{i x}(-2 i \sin x) \right\} d x=0 \\ \Rightarrow \int_{0}^{\pi} i x d x+\int_{0}^{\pi} \log 2 d x+\int_{0}^{\pi} \log (-i) d x+\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) d x=0 \\ \Rightarrow i \frac{\pi^{2}}{2}+\pi \log 2+(-i \frac {\pi}{2}) \pi+\int_{0}^{\pi} \log (\sin x)=0 \\ \Rightarrow \int_{0}^{\pi} \log (\sin x) d x=-\pi \log 2
Example-4.यदि a>0 तो सिद्ध कीजिए कि (a>0 then prove that):

P \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{\pi}{a} \sin a
Solution–\int_{c} f(z) d z=\int_{c} \frac{e^{i z}}{a^{2}-z^{2}} d z
जहां C परिरेखा है जिसमें R त्रिज्या का वृहत अर्द्ध वृत्त \Gamma शामिल है तथा z=a तथा z=-a है। \gamma_{1} तथा \gamma_{2} छोटे अर्द्धवृत्त हैं जिनकी त्रिज्या r_{1} तथा r_{2} व केन्द्र z=-a और z=a है।

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z=a तथा z=-a पर दन्तुरण द्वारा टाल दिया गया है अतः कोशी अवशेष प्रमेय से-

\int_{C} f(z) d z=\int_{\Gamma} f(z) d z+\int_{-R}^{-\left(a+r_{1}\right)} f(x) d x+\int_{\gamma_{1}} f(z) d z+\int_{-(a-r_{1})}^{a-r_{2}} f(x) d x +\int_{\gamma_{2}} f(z) d z+\int_{a+r_{2}}^{R} f(x) d x=0 .....(1)
जब z \rightarrow \infty तो \frac{1}{a^{2}-z^{2}} \rightarrow 0

अतः जोरदां उपप्रमेय से-

\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{\Gamma} f(z) d z =0 \\ \lim _{z \rightarrow-a}(a+z) f(z) =\lim _{z \rightarrow -a} \frac{e^ {i z}}{a-z}-\frac{e^{-i a}}{2 a} \\ \lim _{r_{1} \rightarrow 0} \int_{\gamma_{1}} f(z) d z =i \frac{e^{-i a}}{2 a}(0-\pi) \\ =-\frac{i \pi}{2 a}{e}^{-i a}
इसी प्रकार \lim _{r_{2} \rightarrow 0} \int_{\gamma_{2}} f(z) d z=i \frac{\pi}{2 a} e^{i a}
जब R \rightarrow \infty, r_{1} \rightarrow 0, r_{2} \rightarrow 0 तो समीकरण (1) से-

\int_{-\infty}^{-a} f(x) d x+\left(-i \frac{\pi}{2 a} e^{-i a}\right)+\int_{-a}^{a} f(x) d x+\frac{i \pi}{2 a} e^{i a}+\int_{a} ^{\infty} f(x) d x=0 \\ \Rightarrow p \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=-i \frac{\pi}{2 a}\left(e^{i a}-e^{-i a}\right) \\ \Rightarrow p \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x}}{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{\pi}{a} \sin a
दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

p \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{\pi}{a} \sin a
तथा P \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{a^{2}-x^{2}} d x=0
Example-5.सिद्ध कीजिए कि (prove that):

\int_{0}^{\infty} \cos x^{2} dx =\int_{0}^{\infty} \sin x^{2} d x=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}
Solution–\int_{c} f(z) d z =\int_{c}{e}^{-z^{2}} d z

Complex Contour Integration Examples

जहां C वृत्त का चाप है। अतः कोशी अवशेष प्रमेय से-

\int_{C} f(z) d z=\int_{O A} f(x) d x+\int_{A B} f(z) d z+\int_{B O} f(z) d z=0.....(1) \\ \left|\int_{A B} f(z) d z\right|= \left|\int_{\Gamma} f(z) d z\right| \\ \leq \int_{0}^{\alpha}\left|\exp \left(-{R}^{2} e^{i 2 \theta}\right) R i e^{i \theta} \right| d \theta \\ \leq \int_{0}^{\alpha} e^{-R^{2} \cos 2 \theta} R d \theta \\ \leq \frac{1}{2} R \int_{\frac{\pi}{2}-2 \alpha}^{\frac{\pi}{2}} \exp \left(-R^{2} \sin \phi\right) d \phi[2 \theta=\frac{\pi}{2}- \phi] \\ \leq \frac{1}{2} R \int_{\frac{\pi}{2}-2 \alpha}^{\frac{\pi}{2}} e x p\left\{ -\left(\frac{2 R^{2}}{\pi \phi}\right)\right\} d \phi
[जोरदां असमिका से]

\leq \frac{\pi}{4 R}\left[exp \left\{-\frac{2 R^{2}}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)\right\}-\bar{e}^{R^{2}}\right] \rightarrow 0
जब R \rightarrow \infty जबकि \alpha \leq \frac{\pi}{4}
अतः R \rightarrow \infty समीकरण (1) से-

\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x-\int_{0}^{\infty} \exp \left(-r^{2} e^{i 2 \alpha}\right) e^{i \alpha} dr=0 \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2} \cos 2 \alpha} e^{-i x^{2} \sin 2 \alpha} d x=e^{-i \alpha} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x \\ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2} \cos 2 \alpha} e^{-i x^{2} \sin 2 \alpha} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-i \alpha}
दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2} \cos 2 \alpha}{2} \cos \left(x^{2} \sin 2 \alpha\right) d x= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cos \alpha
तथा \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2} \cos 2 \alpha} \sin \left(x^{2} \sin 2 \alpha\right) d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin \alpha
\alpha=\frac{\pi}{4} रखने पर-

\int_{0}^{\infty} \cos x^{2} d x=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \int_{0}^{\infty} \sin x^{2} d x=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}
अतः \int_{0}^{\infty} \cos x^{2} d x=\int_{0}^{\infty} \sin x^{2} d x=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र कन्टूर समाकलन उदाहरण (Complex Contour Integration Examples),कन्टूर समाकलन,परिरेखा समाकलन (Contour Integration) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र कन्टूर समाकलन की समस्याएं (Complex Contour Integration Problems),कन्टूर समाकलन की समस्याएं,परिरेखा समाकलन की समस्याएं (Contour Integration Problems)-

मान ज्ञात कीजिए (Evaluate):

(1) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(x^{2}+b^{2}\right)}, \quad(a>b>0) \\ (2) \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}} d x (a>0)
(3.)यदि m>0 तो सिद्ध कीजिए कि (If m>0 then prove that):

P \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos m x}{x-b} d x=-\pi \sin (m b)
(4.)मान ज्ञात कीजिए (Evaluate):

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin \pi x}{x^{2}+2 x+5} d x
उत्तर (Answers): (1)\frac{\pi}{a^{2}-b^{2}}\left(\frac{e^{-b}}{b}-\frac{e^{-a}}{a}\right) \\ (2)\frac{\pi}{4 a^{3}}(1-m a) e^{-m a} \\ (4) -\pi e^{-2 \pi}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र कन्टूर समाकलन उदाहरण (Complex Contour Integration Examples),कन्टूर समाकलन,परिरेखा समाकलन (Contour Integration) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र कन्टूर समाकलन उदाहरण (Complex Contour Integration Examples),कन्टूर समाकलन,परिरेखा समाकलन (Contour Integration) में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

Complex Contour Integration Examples