1.अवकल समीकरण में पूरक फलन (Complementary Function in DE),पूरक फलन (Complementary Function):

Complementary Function in DE

अवकल समीकरण में पूरक फलन (Complementary Function in DE) के इस आर्टिकल में अचर-गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का पूरक फलन ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.अवकल समीकरण में पूरक फलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Complementary Function in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:2. \frac{d^3 y}{d x^3}-3 \frac{d^2 y}{d x^2}+4 y=0 
Solution: \frac{d^3 y}{d x^3}-3 \frac{d^2 y}{d x^2}+4 y=0 
दिए हुए समीकरण को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^3-3 D^2+4\right) y=0
इसलिए इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^3-3 m^2+4=0 \\ \Rightarrow m^3+m^2-4 m^2+4=0 \\ \Rightarrow m^2(m+1)-4\left(m^2-1\right)=0 \\ \Rightarrow m^2(m+1)-4(m+1)(m-1)=0 \\ \Rightarrow (m+1)\left(m^2-4 m+4\right)=0 \\ \Rightarrow (m+1)(m-2)^2=0 \\ \Rightarrow m=-1,2,2
यहाँ एक मूल दो बार पुनरावृत्त हुआ है इसलिए दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

y=\left(c_1+c_2 x\right) e^{2 x}+c_3 e^{-x}
Example:4. \frac{d^3 y}{d x^3}-4 \frac{d^2 y}{d x^2}+5 \frac{d y}{d x}-2 y=0
Solution: \frac{d^3 y}{d x^3}-4 \frac{d^2 y}{d x^2}+5 \frac{d y}{d x}-2 y=0
दिए हुए समीकरण को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^3-4 D^2+5 D-2\right) y=0
इसलिए इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^3-4 m^2+5 m-2=0 \\ \Rightarrow m^3-m^2-3 m^2+3 m+2 m-2=0 \\ \Rightarrow m^2(m-1)-3 m(m-1)+2(m-1)=0 \\ \Rightarrow(m-1)\left(m^2-3 m+2\right)=0 \\ \Rightarrow(m-1)\left[m^2-2 m-m+2 \right]=0 \\ \Rightarrow(m-1)[m(m-2)-1(m-2)]=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m-1)(m-2)=0 \\ \Rightarrow(m-1)^2(m-2)=0 \\ \Rightarrow m=1,1,2
यहाँ एक मूल दो बार पुनरावृत्त हुआ है इसलिए दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

y=\left(c_1+c_2 x\right) e^x+c_3 e^{2 x}
Example:5. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+y=0 
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+y=0 
दिए हुए समीकरण को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(8 D^2-2 D+1\right) y=0
इसलिए इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2-2 m+1=6 \\ (m-1)^2=0 \\ \Rightarrow m=1,1
यहाँ एक मूल दो बार पुनरावृत्त हुआ है इसलिए दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

y=\left(c_1+c_2 x\right) e^x
Example:6. \left(D^2+5 D+4\right) y=0
Solution: \left(D^2+5 D+4\right) y=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+5 m+y=0 \\ \Rightarrow m^2+4 m+m+4=0 \\ \Rightarrow m(m+4)+1(m+4)=0 \\ \Rightarrow (m+1)(m+4)=0 \\ \Rightarrow m=-1,-4
अतः अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

y=c_1 e^x+c_2 e^{-4 x}
Example:8. \left\{(D+2)(D-1)^3\right\} y=0
Solution: \left\{(D+2)(D-1)^3\right\} y=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

(m+2)(m-1)^3=0 \\ \Rightarrow m=-2,1,1,1
यहाँ एक मूल तीन बार पुनरावृत्त हुआ है इसलिए दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

y=c_{1} e^{-2 x}+\left(c_2+c_3 x+c_1 x^2\right) e^x
Example:9. \frac{d^4 y}{d x^4}-2 \frac{d^3 y}{d x^3}+2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+y=0
Solution: \frac{d^4 y}{d x^4}-2 \frac{d^3 y}{d x^3}+2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \frac{d y}{d x}+y=0
दिए हुए समीकरण को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\left(D^4-2 D^3+2 D^2-2 D+1\right) y=0
इसलिए इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^4-2 m^3+2 m^2-2 m+1=0 \\ \Rightarrow m^4-m^3-m^3+m^2+m^2-m-m+1=0 \\ \Rightarrow m^3(m-1)-m^2(m-1)+m(m-1)-1(m-1)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left(m^3-m^2+m-1\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left[m^2(-n-1)+1(m-1)\right]=0 \\ \Rightarrow (m-1)(m-1)\left(m^2+1\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)^2\left(m^2+1\right)=0 \\ \Rightarrow m=1,1, i, i
यहाँ एक मूल दो बार पुनरावृत्त हुआ है इसलिए दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

Complementary Function in DE

Example:12. \left(D^2+1\right) y=0 ,दिया है कि (given that) y=2,जब (when) x=0 और (and) y=-2,जब (when) x=\frac{\pi}{2}
Solution: \left(D^2+1\right) y=0

इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^2+1=0 \\ \Rightarrow m = \pm i
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=c_1 \cos x+c_2 \sin x
जब x=0 तो y=2

जब x=\frac{\pi}{2} तो y=-2

-2=c_{1} \cos \frac{\pi}{2}+c_{2} \sin \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow c_2=-2
अतः व्यापक हल: 

y=2 \cos x-2 \sin x \\ =2(\cos x-\sin x) \\ =2 \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) \\ =2 \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} \cos x-\sin \frac{\pi}{4} \sin x\right) \\ \Rightarrow y =2 \sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)
Example:13. \frac{d^2 x}{d t^2}+\mu x=0, \mu>0 ,दिया है कि (given that) x=a तथा \frac{d x}{d t}=0 (and) जबकि (when) t=\frac{\pi}{\sqrt{\mu}}
Solution: \frac{d^2 x}{d t^2}+\mu x=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^2+\mu\right) x=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^2+\mu=0 \\ \Rightarrow m^2=-\mu \\ \Rightarrow m= \pm \sqrt{\mu} i
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:

x=c_1 \cos (\sqrt{\mu} t)+c_2 \sin (\sqrt{\mu} t) \cdots(1)
जब t=\frac{\pi}{\sqrt{\mu}} तो x=a

a=c_1 \cos \left(\sqrt{\mu} \times \frac{\pi}{\sqrt{\mu}}\right)+c_2 \sin \left(\sqrt{\mu} \times \frac{\pi}{\sqrt{\mu}}\right) \\ a=c_1 \cos \pi+c_2 \sin \pi \\ a=c_1(-1)+c_2(0) \\ \Rightarrow c_{1}=-a
समीकरण (1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=-c_{1} \sqrt{\mu} \sin (\sqrt{\mu} t)+c_2 \sqrt{\mu} \cos (\sqrt{\mu} t)
जब t=\frac{\pi}{\sqrt{\mu}} तो \frac{d x}{d t}=0 \\ 0=-c_{1} \sqrt{\mu} \sin \left( \sqrt{\mu} \times \frac{\pi}{\sqrt{\mu}}\right)+c_{2} \sqrt{\mu} \cos \left(\sqrt{\mu} \times \frac{\pi}{\sqrt{\mu}}\right) \\ 0=-c_{1} \sqrt{\mu} \sin (\pi)+c_{2} \sqrt{\mu} \cos \pi \\ 0=-c_{1} \sqrt{\mu}(0)+c_2 \sqrt{\mu}(-1) \\ \Rightarrow c_2=0 \\ c_{1} व c_{2} का मान समीकरण (1) में रखने पर:

x=-a \cos (\sqrt{\mu} t)
Example:15. \ell \frac{d^2 \theta}{d t^2}+g \theta=0
दिया है कि (given that) \theta=\theta_0 और (and) \frac{d \theta}{d t}=0 जबकि (when) t=0
Solution: \ell \frac{d^2 \theta}{d t^2}+g \theta=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(l D^2+g\right) \theta=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

\ell m^2+g=0 \\ \Rightarrow m^2=-\frac{g}{l} \\ \Rightarrow m= \pm \sqrt{\frac{g}{l}} i
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:

\theta=c_1 \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}} t\right)+c_2 \sin \left(\sqrt{\frac{g}{l}} t\right) \cdots(1)
जब t=0 तो \theta=\theta_0 \\ \theta_0=c_1 \cos 0+c_2 \sin 0 \\ \Rightarrow c=\theta_0
समीकरण (1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

जब t=0 तो \frac{d \theta}{d t}=0 \\ 0=-c_{1} \sqrt{\frac{g}{l}} \sin 0+c_2 \sqrt{\frac{g}{l}} \cos 0 \\ \Rightarrow c_2=0
c_{1} व c_{2} का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\theta=\theta_0 \cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}} t\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में पूरक फलन (Complementary Function in DE),पूरक फलन (Complementary Function) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में पूरक फलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Complementary Function in DE):

Complementary Function in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \frac{d^4 y}{d x^4}-\frac{d^3 y}{d x^3}-9 \frac{d^2 y}{d x^2}-11 \frac{d y}{d x}-4 y=0
(2.) \left(D^4+5 D^2+6\right) y=0
उत्तर (Answers): (1.)y=\left(c_1+c_2 x+c_3 x^2\right) e^{-x}+c_4 e^{4x}
(2.) y=c_1 \cos (\sqrt{3} x)+c_2 \sin (\sqrt{3} x)+c_3 \cos (\sqrt{2} x)+ c_4 \sin (\sqrt{2} x)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में पूरक फलन (Complementary Function in DE),पूरक फलन (Complementary Function) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में पूरक फलन (Frequently Asked Questions Related to Complementary Function in DE),पूरक फलन (Complementary Function) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में पूरक फलन (Complementary Function in DE) के इस आर्टिकल में
अचर-गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण का पूरक फलन ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।