1.सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation),सांख्यिकी में सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation in Statistics):

Combined Standard Deviation

सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation) उसी प्रकार विभिन्न प्रमाप विचलनों के आधार पर समस्त श्रेणियों का ज्ञात किया जाता है जिस प्रकार एक से अधिक श्रेणियों के समान्तर माध्य के आधार पर सामूहिक समान्तर माध्य निकाला जाता है।
परिगणन प्रक्रिया:सामूहिक प्रमाप विचलन ज्ञात करने हेतु निम्न क्रियाविधि अपनाई जाती है:
(i) इसके लिए सर्वप्रथम सामूहिक माध्य की गणना करते हैं
(ii) फिर प्रत्येक समूह के माध्य से सामूहिक समान्तर माध्य निकालकर d ज्ञात करते हैं
(iii) निम्न सूत्र का प्रयोग करते हैं:

\sigma_{12 n}=\sqrt{\frac{N_{1} \sigma_{1}^{2}+N_{2} \sigma_{2}^{2}+\cdots+N_{n} \sigma_{n}^{2} +N_{1} d_{1}^{2}+N_{2} d_{2}^{2}+ \cdots+N_{n} d_{n}^{2}}{N_{1}+N_{2}+\cdots+N_{n}}}
जहाँ N_{1},N_{2},\cdots etc=विभिन्न समूह के मदों की संख्या , \sigma_{1},\sigma_{2} \cdots etc=विभिन्न श्रेणियों के प्रमाप विचलन, d_{1}, d_{2},\cdots etc =विभिन्न श्रेणियों के समान्तर माध्य एवं उनके सामूहिक माध्य के अन्तर
उपर्युक्त सूत्र को निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है:

\sigma_{12n}=\sqrt{\frac{N_{1}\left(\sigma_{1}^{2}+d_{1}^{2}\right)+N_{2}\left(\sigma_{2}^{2}+d_{2}^{2}\right)+\cdots+N_{n}\left(\sigma_{n}^{2}+d_{n}^{2}\right)}{N_{1}+N_{2}+\cdots+N_{n}}} \\ N \cdot \sigma_{12n}^{2}=N_{1}\left(\sigma_{1}^{2}+d_{1}^{2}\right) +N_{2}^{2}\left(\sigma_{2}^{2}+ d_{2}^{2} \right) +\cdots+N_{n}\left(\sigma_{n}^{2}+d_{n}^{2}\right)
यदि समान्तर माध्य तथा मदों की संख्या समान हो तो सामूहिक प्रमाप विचलन निम्न सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:

\sigma^{2}=\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}{2}}
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2.सामूहिक प्रमाप विचलन के साधित उदाहरण (Combined Standard Deviation Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित आवृत्ति में समान्तर माध्य (\bar{X})135.3 तथा प्रमाप विचलन (\sigma) 9.6 पौंड है,श्रेणी के वास्तविक वर्ग ज्ञात कीजिए:
(The values of (\bar{X}) and S.D.(\sigma) of the following frequency distribution are 135.3 and 9.6lbs respectively.Determine the actual classes of the variable):

Solution:प्रश्न को हल करने के लिए हम समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन की परिगणना के सम्बन्ध में बनाई जाने वाली सारणी बनायेंगे।

इस प्रकार स्पष्ट है कि कल्पित समान्तर माध्य 136.5 तथा वर्ग विस्तार 6 है जो निम्नवत् होंगे:

Example:2.एक कक्षा के कुछ छात्रों एवं छात्राओं के भार वितरण सम्बन्धी विवरण निम्नवत् हैं:
(The following are some of the particulars of the distribution of weights of boys and girls in a class):

(i) दोनों समंकों का सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation) ज्ञात कीजिए:
(ii) किस वितरण में अधिक विचरणता है। (Which distribution is more variable):
Solution: N_{1}=100, \bar{X}_{1}=60, \sigma_{1}^{2}=9, N_{2}=50, \bar{X}_{2}=45, \sigma_{2}^{2}=4 \\ \overline{X_{12}} =\frac{N_{1} \bar{X}_{1}+N_{2} \bar{X}_{2}}{N_{1}+N_{2}} \\ =\frac{100 \times 60+50 \times 45}{100+50} \\ =\frac{6000+2250}{150} \\ =\frac{8250}{150} \\ \Rightarrow \bar{X}_{12} =55 \\ d_{1} =\bar{X_{1}} - \bar{X}_{12}=60-55=5, d_{2}=\bar{X}_{2}-\bar{X}_{12}=45-55=-10 \\ \sigma_{12} =\sqrt{\frac{ N_{1} \sigma_{1}^{2}+N_{2} \sigma_{2}^{2}+N_{1} d_{1}^{2}+N_{2} d_{2}^{2}}{N_{1}+N_{2}}} \\ =\sqrt{\frac{ 100 \times 9+50 \times 4+100 \times 5^{2}+50 \times(-10)^{2}}{100+50}} \\ =\sqrt{\frac{900+ 200+2500 +5000}{150}} \\ =\sqrt{\frac{8600}{150}}=\sqrt{57.333} \\\Rightarrow \sigma_{12} \approx 7.57

C.V. of Boys=\frac{\sigma_{1}}{\bar{X}_{1}} \times 100 \\ =\frac{3}{60} \times 100 \\ =5 \%

C.V. of Girls =\frac{\sigma_{2}}{\overline{X_{2}}} \times 100 \\ = \frac{2}{45} \times 100 \\ = 4.44 \%
Boys more variable
Example:3.निम्न समंक तीन उप समूहों के समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन से सम्बन्धित हैं, समस्त समूहों का समान्तर माध्य एवं प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(The following data gives arithmetic mean and standard deviation of three groups.Calculate the arithmetic mean and the standard deviation of the whole group.)

Solution: N_{1}=50, \quad \bar{X}_{1}=61.0, \sigma_{1}=8, N_{2}=100, \bar{X}_{2}=70, \sigma_{2}=9, N_{3}=120, \bar{X}_{3}=80.5, \sigma_{3}=10 \\ \bar{X}_{A B C} =\frac{N_{1} \bar{X}_{1}+N_{2} \bar{X}_{2}+N_{3} \bar{X}_{3}}{N_{1}+N_{2}+N_{3}} \\ =\frac{50 \times 61+100 \times 70+120 \times 80.5}{50+100+120} \\ =\frac{3050+7000+9660}{270} \\ =\frac{19710}{270} \\ =73 RS.

\Rightarrow \bar{X}_{A B C} =73 RS.

d_{1} =\bar{X}_{1}-\bar{X}_{A B C}=61-73=-12 \\ d_{2} =\bar{X}_{2}-\bar{X}_{A B C}=70-73=-3 \\ d_{3} =\bar{X}_{3}-\bar{X}_{ABC}=80.5-73=7.5 \\ \sigma_{ABC}=\sqrt{\frac{N_{1} \sigma_{1}^{2}+N_{2} \sigma_{2}^{2}+N_{3} \sigma_{3}^{2}+N_{1} d_{1}^{2}+N_{2} d_{2}^{2}+N_{3} d_{3}^{2}}{N_{1}+N_{2} +N_{3}}} \\ \sigma_{ABC}=\sqrt{\frac{50 \times 8^{2}+100 \times 9^{2}+120 \times 10^{2}+50 \times (-12)^{2}+100\times (-3)^{2}+120 \times (7.5)^{2}}{50+100+120}} \\ \sigma_{ABC}=\sqrt{\frac{50 \times 64+100 \times 81+120 \times 100+50 \times 144+100 \times 9+120 \times 56.25}{50+100+120}} \\=\sqrt{\frac{3200+8100+12000+7200+900+6750}{270}}\\ =\sqrt{\frac{38150}{270}}\\ =\sqrt{141.296296}\\ =11.8868\\ \sigma_{ABC} \approx 11.89
Example:4.दो श्रेणियों का विचरण गुणक क्रमशः 60% तथा 80% है तथा उनके प्रमाप विचलन 20 व 16 हैं।उन श्रेणियों के समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
(Coefficient variation of two series are 60% and 80% and their standard deviations are 20 and 60.Find their arithmetic means.)
Solution: I series C.V.=\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ \Rightarrow 60=\frac{20}{\bar{X}_{1}} \times 100 \\ \Rightarrow \bar{X}_{1}=\frac{20 \times 10}{60} \\ \Rightarrow \overline{X_{1}}=33.33

II series C.V. =\frac{\sigma_{2}}{\bar{X}_{2}} \times 100 \\ \Rightarrow 80=\frac{16}{\bar{X}_{2}} \times 100 \\ \Rightarrow \overline{X_{2}}=\frac{16 \times 100}{80} \\ \Rightarrow \overline{X_{2}}=20

Combined Standard Deviation

Example:5.100 मदों का समान्तर माध्य 50 तथा उनका प्रमाप विचलन 4 है।समस्त पद-मूल्यों के वर्गों का योग बताइए।
(Mean of 100 items is 50 and their standard deviation is 4.Find the sum of squares of all items.)
Solution: N=100, \bar{X}=50 \\ \sigma^{2} =\frac{\Sigma X^{2}}{N}-(\bar{X})^{2} \\ \Rightarrow 4^{2} =\frac{\Sigma X^{2}}{100}-(50)^{2} \\ \Rightarrow 16=\frac{\Sigma X^{2}}{100}-2500 \\ \Rightarrow 2500+16=\frac{\Sigma X^{2}}{100} \\ \Rightarrow 2516 \times 100=\Sigma x^{2} \\ \Rightarrow 251600=\Sigma x^{2} \\ \Rightarrow \Sigma x^{2}=251600
Example:6.18 अवलोकन (मदों वाले) एक आवृत्ति बंटन का समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन 7 व 4 था।लेकिन आधारभूत समंकों से मिलान करने पर यह ज्ञात हुआ कि परिगणना में एक अंक 12 के स्थान पर 21 लिख दिया गया था। संशोधित प्रमाप विचलन की गणना कीजिए।
(From a certain frequency distribution of 18 observations the mean and the standard deviation were found to be 7 and 4 respectively.But on comparing with the original data it was found that a figure 12 was miscopied as 21 in calculation.Calculate the correct mean and the standard deviation.)
Solution: N=18, \bar{X}=7, \sigma=4

\operatorname{correct} \sigma=\sqrt{\frac{\operatorname{correct} \Sigma X^{2}}{N}-(\operatorname{correct} \bar{X})^{2}} \\ =\sqrt{\frac{873}{18}-(6.5)^{2}} \\ =\sqrt{\frac{873}{18}-42.25} \\ =\sqrt{48.5-42.25} \\ =\sqrt{6.25} \\ =2.5 \\ \Rightarrow \operatorname{correct} \sigma=2.5
Example:7.200 मदों का समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन क्रमशः 60 व 20 था।परिगणना के समय दो पद-मूल्य गलती से 13 व 17 के स्थान पर 3 व 67 लिये गए थे।संशोधित समान्तर माध्य व प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
(Mean and standard deviation of 200 items were found to be 60 and 20.At the time of calculations two items were wrongly taken as 3 and 67 instead of 13 and 17.Find the correct mean and correct standard deviation.)
Solution: N=200 \\ \text { In corrected } \bar{X}=60 \\ \text { In corrected } \sigma=20 \\ \text { Incorrected } \bar{X}=\frac{\text { Incorrect } \Sigma x}{N} \\ \Rightarrow 60=\frac{\text { In correct } 2 x}{200} \\ \Rightarrow \text { Incorrect } \Sigma X=12000 \\ \Rightarrow \text { correct } \Sigma X=12000-3-67+13+17 \\ \Rightarrow \text { correct } \Sigma X=11960 \\ \Rightarrow \text { correct } \bar{X}=\frac{\text { correct } \Sigma X}{N} \\ =\frac{11960}{200} \\ \Rightarrow \text { corrected } \bar{X} = 59.8 \\ \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma X^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}} \\ \operatorname{Incorrect} \sigma= \sqrt{\frac{\operatorname{Incorrect} \Sigma X^{2}}{N}-(\operatorname{Incorrect} \bar{X})^{2}} \\ \Rightarrow 20^{2}=\frac{\text { Incorrect } \Sigma X^{2}}{200}-60^{2} \\ \Rightarrow 400+3600 =\frac{\text { Incorrect } \Sigma X^{2}}{200} \\ \Rightarrow \text { Incorrect } \Sigma X^{2}=800000 \\ \text{ correct } X^{2}=800000-3^{2}-67^{2}+13^{2}+17^{2} \\ =800000-9-4489+169+289\\ \text { correct } \Sigma X^{2}=795960 \\ \operatorname{correct} \sigma=\sqrt{\frac{\operatorname{correct} \Sigma X^{2}}{N}-(\operatorname{correct} \bar{X})^{2}} \\ \text { corrected } \sigma=\sqrt{\frac{799960}{200}-(59.8)^{2}}\\ =\sqrt{3979.8-3576.04} \\ =\sqrt{403.76} \\ \Rightarrow \text { corrected } \sigma=20.093\\ \Rightarrow \text { correated } \sigma \approx 20.09
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation),सांख्यिकी में सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.सामूहिक प्रमाप विचलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Combined Standard Deviation):

Combined Standard Deviation

(1.)निम्न आंकड़ों से सम्पूर्ण समूह का समान्तर माध्य और समूहित प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिये:
(From the following data, find the combined arithmetic mean and combined standard deviation of the whole group.)

(2.)किसी समूह से सम्बद्ध निम्न मापें दी गई है :
(The following measures relate to a group): 

\bar{X}=10, \sigma^{2}=4, N=10
यदि उक्त समूह के एक उप-समूह का
(If the measures of its sub-group are)

\overline{X_{1}}=11, \sigma_{1}^{2}=2.25 \text { and } N_{1}=40
इसके दूसरे उप-समूह का समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिये।
(Find the mean and standard deviation of its other sub-group.)
उत्तर (Answers): (1) \overline{X}_{ABCD}=RS.74 \sigma_{A B CD}=12.18

(2.) \bar{X}_{2}=8, \sigma_{2}=1.225
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation),सांख्यिकी में सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation),सांख्यिकी में सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation in Statistics) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सामूहिक प्रमाप विचलन (Combined Standard Deviation) उसी प्रकार विभिन्न प्रमाप
विचलनों केआधार पर समस्त श्रेणियों का ज्ञात किया जाता है जिस प्रकार एक से अधिक
श्रेणियों के समान्तर माध्य के आधार