संचय कक्षा 11 (Combinations Class 11) के इस आर्टिकल में संचय पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।इस पर आधारित सवालों के हल निम्नलिखित है:
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2.संचय कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Combinations Class 11):

Example:1.यदि $^{n}\textrm{C}_{8}=^{n}\textrm{C}_{2}$ ,तो $^{n}\textrm{C}_{2}$ ज्ञात कीजिए।
Solution: $^{n}\textrm{C}_{8}=^{n}\textrm{C}_{n-2} \\ \Rightarrow n-2=8 \\ \Rightarrow n =10 \\ {}^{10}C_{2} \\ =\frac{10 !}{2 !(10-2) !} \\ = \frac{10 \times 9 \times 8 !}{2 \times 1 \times 8 !} \\=45$
Example:2.n का मान निकालिए,यदि
Example:2(i). $^{2n}\textrm{C}_{2} :^{n}\textrm{C}_{2}=9: 2$
Solution: $^{2n}\textrm{C}_{2} :^{n}\textrm{C}_{2}=9: 2 \\ \frac{2 n !}{(2 n-2) ! 2 !} \frac{n !}{(n-2) ! 2 !}=9: 2 \\ \Rightarrow \frac{2 n(2 n-1)(2 n-2) !}{(2 n-2) !}: \frac{n(n-1)(n-2) !}{(n-2) !}=9: 2 \\ \Rightarrow 2 n(2 n-1): n(n-1)=9: 2 \\ \Rightarrow \frac{2(2 n-1)}{n-1}=\frac{9}{2} \\ \Rightarrow 8 n-4=9 n-9 \\ \Rightarrow 9 n-8 n=9-4 \\ \Rightarrow n=5$
Example:2(ii). $^{2n}\textrm{C}_{3}: ^{n}\textrm{C}_{3}=11: 1$
Solution: $^{2n}\textrm{C}_{3}: ^{n}\textrm{C}_{3}=11: 1 \\ \Rightarrow \frac{2 n !}{(2 n-3) ! 3 !}: \frac{n !}{(n-3) ! 3 !}=11 : 1 \\ \Rightarrow \frac{2 m(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) !}{(2 n-3) !}: \frac{n(n-1)(n-2)(n-3) !}{(n-3) !} =11: 1 \\ \Rightarrow 2(2 n-1)(2 n-2):(n-1)(n-2)=11: 1 \\ \Rightarrow 4(2 n-1)(n-1): (n-1)(n-2)=11: 1 \\ \Rightarrow \frac{4(2 n-1)}{n-2}=\frac{11}{1} \\ \Rightarrow 8 n-4=11 n-22 \\ \Rightarrow 11 n-8 n=22-4 \\ \Rightarrow 3 n=18 \\ \Rightarrow n=\frac{18}{3} \\ \Rightarrow n=6$
Example:3.किसी वृत्त पर स्थित 21 बिन्दुओं से होकर जाने वाली कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?
Solution:एक जीवा दो बिन्दुओं से मिलकर बनती हैं अतः 21 बिन्दुओं में से 2 बिन्दुओं को लेकर चयन के तरीके

= $^{21}\textrm{C}_{2} \\ =\frac{21 !}{2 !(21-2) !} \\ =\frac{21 \times 20 \times 19 !}{2 \times 1 \times 19 !} \\ =210$
Example:4.5 लड़के और 4 लड़कियों की टीमें बनाने के कितने तरीके हैं?
Solution:प्रत्येक टीम में 3 लड़कियाँ तथा 3 लड़के है,इसलिए टीम के चयन के तरीके

= $^{5}\textrm{C}_{3} \times ^{4}\textrm{C}_{3} \\ =\frac{5 !}{3 !(5-3) !} \times \frac{4 !}{3 !(4-3) !} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2 !} \times \frac{4 \times 3 !}{3 ! \times 1 !} \\ =10 \times 4 \\ =40$

Combinations Class 11

Example:5.6 लाल रंग की,5 सफेद रंग की और 5 नीले रंग की गेंदों में से 9 गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें हैं।
Solution:5 लाल रंग की,5 सफेद रंग की और 5 नीले रंग की गेंदों में से 9 गेंदों के चुनने के तरीके यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें हैं:

= $^{6}\textrm{C}_{3} \times ^{5}\textrm{C}_{3} \times ^{5}\textrm{C}_{3} \\ =\frac{6 !}{3 !(6-3) !} \times \frac{5 !}{3 !(5-3) !} \times \frac{5 !}{3 !(5-3) !} \\ =\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 3 !} \times \frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2 !} \times \frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2 !} \\ =\frac{120 \times 10 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \\ =2000$
Example:6.52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों को लेकर बनने वाले संचयों की संख्या निर्धारित कीजिए,यदि प्रत्येक संचय में तथ्यतः एक इक्का है।
Solution:52 ताश के पत्तों में 4 इक्के हैं।इसलिए 48 पत्तों में कोई भी 4 पत्ते चुनने के $^{48}\textrm{C}_{4}$ तरीके हैं।इसी प्रकार 4 इक्कों में से 1 (एक) इक्का चुनने के $^{4}\textrm{C}_{1}$ तरीकें हैं।इसलिए तरीकों की अभीष्ट संख्या

= $^{48}\textrm{C}_{4} \times ^{4}\textrm{C}_{1} \\ =\frac{48 !}{4 !(48-4) !} \times \frac{4 !}{(4-1)!} \\ =\frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 44 !} \times \frac{4 \times 3 !}{3 ! 1 !} \\ =48 \times 47 \times 23 \times 15 \\ =778320$
Example:7.17 खिलाड़ियों में से,जिनमें केवल 5 खिलाड़ी गेंदबाजी कर सकते हैं,एक क्रिकेट टीम के 11 खिलाड़ियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है,यदि प्रत्येक टीम में तथ्यतः 4 गेंदबाज हैं?
Solution:17 खिलाड़ियों में से 5 खिलाड़ी गेंदबाज हैं,अतः शेष 12 खिलाड़ियों में से 7 खिलाड़ियों के चुनने के $^{12}\textrm{C}_{7}$ तरीके हैं।इसी प्रकार 5 गेंदबाजों में से 4 गेंदबाज चुनने के $^{5}\textrm{C}_{4}$ तरीके हैं।इसलिए तरीकों की अभीष्ट संख्या

= $^{12}\textrm{C}_{7} \times ^{5}\textrm{C}_{4} \\ =\frac{12 !}{7 !(127) !} \times \frac{5 !}{4 !(5-4) !} \\ =\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 !}{7 ! 5 !} \times \frac{5 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1 !} \\ =3960$
Example:8.एक थैली में 5 काली तथा 6 लाल गेंद हैं।2 काली तथा 3 लाल गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या निर्धारित कीजिए।
Solution:5 काली में से 2 काली गेंदों के चुनने के $^{5}\textrm{C}_{2}$ तरीके हैं।इसी प्रकार 6 लाल गेंदों में से 3 लाल गेंदों के चुनने के $^{6}\textrm{C}_{3}$ तरीकें हैं।इसलिए तरीकों की अभीष्ट संख्या

= $^{5}\textrm{C}_{2} \times ^{6}\textrm{C}_{3} \\ =\frac{5 !}{2 !(5-2) !} \times \frac{6 !}{3 !(6-3) !} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 !}{2 ! 3 !} \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 \times 2 \times 1 \times 3 !} \\ =10 \times 20 \\ =200$
Example:9.9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से,एक विद्यार्थी 5 पाठ्यक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है,यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए 2 विशिष्ट पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं?
Solution:9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से 2 विशिष्ट पाठ्यक्रम चुनना अनिवार्य है अतः शेष 7 पाठ्यक्रमों में से शेष 3 पाठ्यक्रमों के चुनने के तरीके हैं:

= $^{7}\textrm{C}_{3} \\ =\frac{7 !}{3 !(7-3) !} \\ =\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{3 \times 2 \times 1 \times 4 !} \\=35$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संचय कक्षा 11 (Combinations Class 11),कक्षा 11 में संचय (Combinations in Class 11) को समझ सकते हैं।

3.संचय कक्षा 11 के सवाल (Combinations Class 11 Questions):

Combinations Class 11

(1.)52 ताश के पत्तों की एक गड्डी से 4 पत्तों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या है जबकि दो पत्ते लाल रंग के और दो काले रंग के हैं?
(2.)9 स्त्रियों व 8 पुरुषों में से 12 सदस्यों की एक समिति बनानी है जिसमें कम से कम 5 स्त्रियों का होना आवश्यक हो,तब उन समितियों की संख्या कितनी होगी,जिनमें स्त्रियाँ अधिक हों तथा जिनमें पुरुष अधिक हों,उनकी संख्या भी ज्ञात करें।
उत्तर (Answers):(1.)105625
(2.)कम से कम 5 स्त्रियों की संख्या हो=6062
जब स्त्रियाँ अधिक हों तब अभीष्ट संख्या=2702
जब पुरुष अधिक हों तब अभीष्ट संख्या=1008
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संचय कक्षा 11 (Combinations Class 11),कक्षा 11 में संचय (Combinations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संचय कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Combinations Class 11),कक्षा 11 में संचय (Combinations in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.संचय किसे कहते हैं? (What is Combination?):

उत्तर:दी हुई वस्तुओं में से कुछ अथवा सभी को एक साथ लेकर,क्रम का ध्यान नहीं रखते हुए,बननेवाले समूहों में से प्रत्येक समूह को संचय कहते हैं।n वस्तुओं में से r वस्तुओं के चयन को $^{n}\textrm{c}_{r}$ या C(n,r) से प्रदर्शित किया जाता है।स्पष्टतः $^{n}\textrm{c}_{r}$ परिभाषित होगा,यदि $0 \leq r \leq n$

प्रश्न:2.क्रमचय और संचय में प्रमुख अन्तर क्या है? (What is the Main Difference Between Permutation and Combination?):

उत्तर:संचय में जितनी वस्तुएँ लेनी होती है,दी हुई वस्तुओं में से उतनी वस्तुओं को लेकर समूह बनाए जाते हैं,जबकि क्रमचय में प्रत्येक समूह की वस्तुओं के सम्भव विन्यास भी बनाए जाते हैं।क्रमचय में क्रम का ध्यान रखना बहुत जरूरी है,लेकिन संचय में क्रम का ध्यान नहीं रखा जाता है केवल समूह लेते हैं।जैसे कि संचय में AB तथा BA को एक ही समूह माना जाता है,जबकि क्रमचय में ये भिन्न-भिन्न माने जाते हैं।इस प्रकार क्रमचयों की संख्या संचयों की संख्या से अधिक होती है।
साधारणतया संचय निकालने की विधि समूह बनाने में,टीमें बनाने में,समितियाँ बनाने में,अक्षरों से शब्द बनाने इत्यादि में काम लाई जाती है।

प्रश्न:3.क्रमचय के गुणधर्म लिखो। (Write Down the Properties of Combination?):

उत्तर:प्रमेय (Theorem):5. $^{n}\textrm{P}_{r}=^{n}\textrm{C}_{r} r !, 0 \lt r \leq n$
उपपत्ति (Proof): $^{n}\textrm{C}_{r}$ संचयों में से प्रत्येक के संगत r! क्रमचय हैं,क्योंकि प्रत्येक संचय के r वस्तुओं को r! तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः n विभिन्न वस्तुओं में से,एक समय में r वस्तुओं को लेकर बनने वाले क्रमचयों की कुल संख्या $^{n}\textrm{C}_{r} \times r !$ है।दूसरी ओर यह संख्या $^{n}\textrm{P}_{r}$ है।
इस प्रकार $^{n}\textrm{P}_{r}=^{n}\textrm{C}_{r} r !, 0 \leq r \leq n$
टिप्पणी:(1.)उपर्युक्त परिणाम से $\frac{n !}{(n-r) !}=^{n}\textrm{C}_{r} \times r !$ अर्थात् $^{n}\textrm{C}_{r}=\frac{n !}{r !(n-r) !}$
विशेष रूप से,यदि r=n,तो $^{n}\textrm{C}_{n}=\frac{n !}{n ! 0 !}=1$
(2.)हम परिभाषित करते हैं कि $^{n}\textrm{C}_{0}$ अर्थात् n विभिन्न वस्तुओं में से केवल उन तरीकों की संख्या की गणना करना है जहाँ कुछ भी वस्तु लिए बिना बनाए गए संचयों की संख्या 1 मानी जाती है।संचयों की गणना करना,जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का चयन किया जाता है।कुछ भी वस्तु लिए बिना चयन करना,इस बात के समान है कि सभी वस्तुओं को छोड़ दिया गया है और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल मात्र एक तरीका है।इसी प्रकार हम परिभाषित करते हैं कि $^{n}\textrm{C}_{0}=1$
(3.)क्योंकि $\frac{n !}{0 !(n-0) !}=1=^{n}\textrm{C}_{0}$ ,इसलिए,सूत्र $^{n}\textrm{C}_{r}=\frac{n !}{r !(n-r) !}$ के लिए भी उपयुक्त है।अतः $^{n}\textrm{C}_{r}=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$
(4.) $^{n}\textrm{C}_{n-r}=\frac{n !}{(n-r) !(n-(n-r)) !}=\frac{n !}{(n-r) ! r !} =^{n}\textrm{C}_{r}$
अर्थात् n वस्तुओं में से r वस्तुओं का चयन करना,(n-r) वस्तुओं को अस्वीकार करने के समान है।
(5.) $^{n}\textrm{C}_{a}=^{n}\textrm{C}_{b} \Rightarrow a=b$ या a=n-b अर्थात् n=a+b
(5.) $^{n}C_{r}+^{n}C_{r-1}=^{n+1}C_{r}$
उपपत्ति (Proof):हम जानते हैं $^{n}C_{r}+^{n}C_{r-1}=\frac{n !}{r !(n-r) !} +\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !} \\ =\frac{n !}{r \times(r-1) !(n-r) !}+\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1)(n-r) !} \\ =\frac{n !}{(r-1) !(n-r) !}\left[\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}\right] \\ =\frac{n !}{(r-1) !(n-r) !} \times \frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)} \=\frac{(n+1) !}{r !(n+1-r) !} \\ =^{n+1}C_{r}$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा संचय कक्षा 11 (Combinations Class 11),कक्षा 11 में संचय (Combinations in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Combinations Class 11

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.