1.गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics):

Coefficient of Variation in Maths

गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths) एक सापेक्ष माप (Relative Measure) है।जैसा कि पूर्व आर्टिकल में बताया जा चुका है कि दो या दो से अधिक श्रेणियों में अपकिरण की मात्रा की तुलना करने के लिए विचरण-गुणांक का प्रयोग किया जाता है।
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2.गणित में विचरण-गुणांक के साधित उदाहरण (Coefficient of Variation in Maths Solved Examples):

Example:1.गणना कीजिए:(i) 40 फर्मों की कुल प्रार्थित पूंजी (ii)प्रमाप विचलन तथा (iii)प्रार्थित पूँजी का विचरण-गुणांक:
(Calculate:(i) Total paid up capital of all 40 firms (ii)Standard deviation and (iii) “Coefficient of variation of the paid up capital):

Solution:समावेशी श्रेणी को अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तित करने पर:
Calculation of Coefficient of Variation by Step Deviation Method(A=175.5,i=50)

(i) 40 फर्मों की कुल प्रार्थित पूँजी=5470

(ii) \bar{X} =A+\frac{\Sigma f d x}{N} \times i \\ =175.5+\frac{(-31)}{40} \times 50 \\ =175.5-38.75 \\ =136.75 \\ \sigma=i \times \sqrt{\frac{\sum f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\sum f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =50 \sqrt{\frac{171}{40}-\left(\frac{-31}{40}\right)^{2}}\\ =50 \sqrt{4.275-\frac{961}{1600}}\\ =50 \sqrt{4.275-0.600625}\\ =50 \sqrt{3.674375 } \\ =50 \times 1.9168659 \\ \approx 95.843295 \\ \sigma \approx 95.84

(iii)coefficient of variation =\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ =\frac{95.84}{13675} \times 100 \\ =70.084 \% \approx 70.08 \%
Example:2.एक फैक्ट्री A व B दो प्रकार के विद्युत बल्बों का उत्पादन करती है।उनके ‘जीवन’ (Life) सम्बन्धी एक प्रयोग के उपलब्ध परिणाम निम्नवत् हैं:
(A factory produces two types of electric lamps, A and B. In an experiment relating to their life, the following results were obtained):

विचरण-गुणांक के आधार पर दोनों प्रकार के बल्बों के जीवन की विचरणता की तुलना कीजिए।
(Compare the variability of the two varieties using coefficient of variation):
Solution: Calculation of Coefficient of Variation by Step Deviation Method(A=1000,i=200)

Lamps A

Coefficient of variation =\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ =\frac{219.97}{1016.67} \times 100 \\=21.63 \%

Lamp B

coefficient of variation =\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ = \frac{220}{940} \times 100 \\ \approx 23.40 \%

Coefficient of Variation in Maths

Example:3.माना कि दो उत्पादकों A और B द्वारा निर्मित पाॅलिथीन की थैलियों के प्रतिदर्श का परीक्षण एक प्रत्याशित क्रेता द्वारा उनके विस्फोटन दबाव (bursting pressure) हेतु किया गया जिसके परिणाम निम्नवत् हैं:
(Suppose that samples of polythene bags from two manufacturers, A and B are tested by a prospective buyers for bursting pressure, with the following results):

कौनसी थैलियों का औसत दबाव अधिक है?किसका दबाव अधिक समान है? यदि दौनों का मूल्य समान हो तो किस उत्पादक की थैलियाँ क्रेता द्वारा अधिक पसन्द की जाएगी तथा क्यों?
(Which of the bags has the highest average bursting pressure? Which has more uniform pressure? If prices are the same which manufacturer’s bags would be preferred by the buyer and why?)
समावेशी श्रेणी को अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तित करना होगा।
Solution:Calculation table of Coefficient of Variation by Step Deviation Method(A=17.45,i=5)

Bags A

\bar{X}=A+\frac{\Sigma fdx^{\prime}}{N} \times i\\ =17.45+\frac{78}{110} \times 5\\ =17.45+3.545\\ =20.995\\ \bar{X} \approx 21 lbs

\sigma =i \times \sqrt{\frac{\Sigma fd^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =5 \sqrt{\frac{160}{110}-\left(\frac{78}{110}\right)^{2}}\\ =5 \sqrt{1.4545-\frac{6084}{12100}}\\ =5 \sqrt{1.4545-0.5028}\\ =5 \sqrt{0.9517}\\ =5 \times 0.9755 \\ \sigma \approx 4.88 lbs

coefficient of variation=\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100=\frac{4.88}{21} \times 100=23.24 \%

Bag B

\bar{X}=A+\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N} \times i\\ =17.45+\frac{96}{110} \times 5 \\ =17.45+4.363\\ \bar{X} \approx 21.81\\ \sigma =i \times \sqrt{\frac{\Sigma f d^{2} x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma d x^{\prime}}{N}\right)^{2}} \\ =5 \sqrt{\frac{304}{110}-\left(\frac{96}{110}\right)^{2}}\\ =5 \sqrt{2.7636-\frac{9216}{12100}}\\ =5 \sqrt{2.7636-0.76165}\\ =5 \times \sqrt{2.00195} \\ =5 \times 1.4149 \\ \sigma \approx 7.07 lbs

coefficient of variation =\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{7.07}{21.81} \times 100 \\ =\frac{707}{21.81} \\ =32.416 \% \\ \approx 32.42 \%

A is more uniform.
Example:4.निम्नलिखित आवृत्ति वितरण से समान्तर माध्य,प्रमाप विचलन तथा विचरण-गुणांक की गणना कीजिए:
(From the following frequency distribution calculate arithmetic mean,standard deviation and coefficient of variation):

Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation by Short-cut Method

coefficient of variation =\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{3.69}{4.8} \times 100 \\ =76.88 \%
Example:5.निम्नलिखित समंकों का समान्तर माध्य, प्रमाप विचलन तथा विचरण-गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data calculate mean,standard deviation and coefficient of variation):

Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation by Alternate Method

coefficient of variation =\frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100 \\ =\frac{128.70}{356} \times 100 \\ \approx 36.15 \%
Example:6.निम्न समंकों के लिए समान्तर माध्य,माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(From the following data, calculate mean, mean deviation and standard deviation):

Solution:Calculation Table of Mean Deviation and Standard Deviation

and

M.D.

\delta \bar{X}=\frac{\sum|d \bar{x}|}{N} \\ =\frac{557.04}{76} \\ =7.3294 \\ \delta \bar{x} \approx 7.3294 \\ \delta \bar{x} =\frac{\sum|d \bar{x}|}{N} \\ =\frac{557.04}{76} \\ =7.3294 \\ \delta \bar{x} \approx 7.3294 \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma f d^{2}x}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right)^{2}} \\ =\sqrt{\frac{8064}{76}-\left(\frac{368}{76}\right)^{2}} \\ =\sqrt{106.10526-\frac{135424}{5776}} \\ =\sqrt{106.10526-23 \cdot 44598} \\ =\sqrt{82.65928} \\ =9.0917 \\ \sigma \approx 9.09
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.गणित में विचरण-गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Coefficient of Variation in Maths):

Coefficient of Variation in Maths

(1.)नीचे दिए गए आंकड़ों का समान्तर माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(From the following data compute the arithmetic mean and standard deviation):

(2.)निम्न सारणी से प्रमाप विचलन और विचरण-गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data find the standard deviation and coefficient of variance):

उत्तर (Answers):(1) \bar{X}=39.51 years ,\sigma=9.57 years

(2)\sigma=17.26,C.V.=42.70 %
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths),सांख्यिकी में प्रमाप विचलन (Standard Deviation in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गणित में विचरण-गुणांक (Coefficient of Variation in Maths) एक सापेक्ष माप
(Relative Measure) है। जैसा कि पूर्व आर्टिकल में बताया जा चुका है