Coefficient of Standard Deviation

Q: प्रश्न:1.लघुरीति से प्रमाप विचलन ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulae for Finding the Standard Deviation from the Short-cut Method):

उत्तर:लघुरीति से प्रमाप विचलन ज्ञात करने के सूत्र (1.) \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right)^2} (2.) \sigma=\sqrt{\frac{\sum d^2 x}{N^2}-(\bar{x}-A)^2} (3.) \sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \cdot N-(\Sigma f d x)^2} (4.) \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x-N(\bar{x}-A)^2}{N}} (5.) \sqrt{\frac{\Sigma fx^2}{x}-(\bar{x})^2}

Q: प्रश्न:2.सतत श्रेणी में प्रमाप विचलन ज्ञात करने की कौन-कौनसी रीतियाँ और सूत्र हैं? (What are the Methods and Formulae for Finding the Standard Deviation in a Continuous Series?):

(1.)प्रत्यक्ष रीति (Direct Method): \sigma=\sqrt{\frac{\sum f d^2}{N}} (2.)लघुरीति के सूत्र ऊपर लिखे हुए हैं। (3.)वैकल्पिक रीति (Alternate Method): \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma fx^2}{N}-(\bar{x})^2} (4.)पद विचलन रीति (Step Deviation. Method): \sigma=i \times \sqrt{\frac{\Sigma fd^2 x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^2} द्वितीय सूत्र: \frac{i}{N} \times \sqrt{N \Sigma f d^2 x^{\prime}-\left(\Sigma f d x^{\prime}\right)^2} (5.)आकलन या योग रीति (Summation Method): F_1=\frac{\Sigma C f_1}{N} या \frac{\text{प्रथम संचयी योग}}{\text{आवृत्तियों का योग}} F_2=\frac{\Sigma C f_2}{N} या \frac{\text{द्वितीय संचयी योग}}{\text{आवृत्तियों का योग}} \sigma= i \times \sqrt{2 F_2-F_1-\left(F_1\right)^2}

Mathematics Satyam March 22, 2024 Statistics No Comments

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1 1.मानक विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation),विचरण गुणांक (Coefficient of Variance):

1.1 2.मानक विचलन गुणांक पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Coefficient of Standard Deviation):

1.2 3.मानक विचलन गुणांक पर आधारित समस्याएँ (Questions Based on Coefficient of Standard Deviation):

1.2.1 4.मानक विचलन गुणांक (Frequently Asked Questions Related to Coefficient of Standard Deviation),विचरण गुणांक (Coefficient of Variance) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.लघुरीति से प्रमाप विचलन ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulae for Finding the Standard Deviation from the Short-cut Method):

1.2.3 प्रश्न:2.सतत श्रेणी में प्रमाप विचलन ज्ञात करने की कौन-कौनसी रीतियाँ और सूत्र हैं? (What are the Methods and Formulae for Finding the Standard Deviation in a Continuous Series?):

1.2.4 प्रश्न:3.माध्य-विचलन तथा प्रमाप विचलन में क्या अन्तर है? (What is the Difference Between Mean Deviation and Standard Deviation?):

1.2.4.1 Coefficient of Standard Deviation

2 मानक विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation)

2.1 Coefficient of Standard Deviation

1.मानक विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation),विचरण गुणांक (Coefficient of Variance):

Coefficient of Standard Deviation

मानक विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation) के इस आर्टिकल में मानक विचलन,मानक विचलन गुणांक,विचरण गुणांक इत्यादि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.मानक विचलन गुणांक पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Coefficient of Standard Deviation):

Example:44.निम्न सारणी में प्रस्तुत समंकों से प्रमाप विचलन एवं उसके गुणक का परिकलन कीजिए:
(Calculate standard deviation and its coefficient from the data given in the following table):

$\begin{array}{|l|c|} \hline \text { Length } & \text { No. of wires } \\ \text { (cms.) } & \\ \hline 72.0-73.9 & 7\\ \hline 74.0-75.9 & 31 \\ \hline 76.0-77.9 & 42 \\ \hline 78.0-79.9 & 54 \\ \hline 80.0-81.9 & 33 \\ \hline 82.0-83.9 & 24 \\ \hline 84.0-85.9 & 22 \\ \hline 86.0-87.9 & 8 \\ \hline 88.0-89.9 & 4 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation of Standard Deviation (By Short-Cut Method)
समान्तर माध्य $(\overline{X}) =A+\frac{\Sigma f d x}{\Sigma f} \\=80.95-\frac{302}{225} \\ =80.95-1.342 \\ =79.608 \\ \overline{X} \approx 79.61 \text { cms. }$
प्रमाप विचलन $\sigma=\frac{1}{\sqrt{1}} \sqrt{\Sigma fd^2 x \times N- (\Sigma f dx)^2} \\ =\frac{1}{225} \sqrt{3444 \times 225-(-302)^2} \\ =\frac{1}{225} \sqrt{774900-91204} \\ =\frac{1}{225} \sqrt{683696} \\ =\frac{1}{225} \times 826.8591 \\ =3.6749 \\ \Rightarrow \sigma \approx 3.68 \text { cms. }$
cofficient of $\sigma=\frac{\sigma}{\overline{X}} \\ =\frac{3.68}{79.61} \\ =0.0462 \\ \approx 0.05$
Example:55.माध्य व प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(Find out mean and standard deviation):

$\begin{array}{|lllllllll|} \hline \text{Age under}(years) & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 \\ \text{No. of persons} & 15 & 30 & 53 & 75 & 100 & 110 & 115 & 125 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation of Standard Deviation (By Short-cut Method)

$\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{Age} & \text{Mid } & \text{No. of } & \text{Devi from} & \text{Product of } & \text{Product of} \\ \text{(Years)} & \text{values} & \text{persons} & 35 & f \times dx & fdx \times dx \\ & (X) & (f) & (dx) & (fdx)& (fd^2x) \\ \hline 0-10 & 5 & 15 & -30 & -450 & 13500 \\ 10-20 & 15 & 15 & -20 & -300 & 6000 \\ 20-30 & 25 & 23 & -10 & -230 & 2300 \\ 30-40 & 35 & 22 & 0 & 0 & 0 \\ 40-50 & 45 & 25 & 10 & 250 & 2500 \\ 50-60 & 55 & 10 & 20 & 200 & 4000 \\ 60-70 & 65 & 5 & 30 & 150 & 4500 \\ 70-80 & 75 & 10 & 40 & 400 & 16000 \\ \hline \text { Total } & & 125 & 40 & 20 & 48,800 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य $(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =35+\frac{20}{125} \\ =35+0.16 \\ \Rightarrow \overline{X}=35.16 \text { years }$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma fd^2x \times N-\left(\Sigma f d x\right)^2} \\ =\frac{1}{125} \sqrt{48800 \times 125-(20)^2} \\ =\frac{1}{125} \sqrt{6100000-400} \\ =\frac{1}{125} \sqrt{6099600} \\ =\frac{1}{125} \times 2469.7368 \\ =19.7578 \\ \Rightarrow \sigma \approx 19.76 \text { years }$
Example:63.निम्नलिखित आवृत्ति वितरण से समान्तर माध्य,माध्य विचलन,प्रमाप विचलन तथा चतुर्थक विचलन का परिकलन कीजिए:
(From the following frequency distribution calculate mean,mean deviation,standard deviation and quartile deviation):

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Class} & \text{Freq}\\ \hline 27-29 & 2 \\ 24-26 & 5\\ 21-23 & 8\\ 18-20 & 12 \\ 15-17 & 10 \\ 12-44 & 7\\ 9-11 & 3\\ 6-8 & 1 \\ 3-5 & 2 \\ 0-2 & 1 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation of Mean,Mean Deviation,Standard Deviation etc. (by Short-cut Method)

$\begin{array}{|cccccccc|} \hline \text{class} & \text{Mid } & \text{freq.} & & \text{product} & \text{Devi } & \text{Product} & \text{Product of}\\ & \text{values} & & & & & \text{from 7} & \\ & X & f & cf & fx & dx & f dx & f d^2x\\ \hline 0-2.5 & 1 & 1 & 1 & 1 & -6 & -6 & 36 \\ 2.5-5.5 & 4 & 2 & 3 & 8 & -3 & -6 & 18 \\ 5.5-8.5 & 7 & 1 & 4 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 8.5-11.5 & 10 & 3 & 7 & 30 & 3 & 9 & 27 \\ 11.5-14.5 & 13 & 7& 14 & 91 & 6 & 42 & 252 \\ 14.5-17.5 & 16 & 10 & 24 & 160 & 9 & 90 & 810 \\ 17.5-20.5 & 19 & 12 & 36 & 228 & 12 & 144 & 1728 \\ 20.5-23.5 & 22 & 8 & 44 & 176 & 15 & 120 & 1800 \\ 23.5-26.5 & 25 & 5 & 49 & 125 & 18 & 90 & 1620 \\ 26.5-29.5 & 28 & 2 & 51 & 56 & 21 & 42 & 882\\ \hline \text{Total} & & 51 & & & & 585 & 7173\\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य $(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =7+\frac{525}{51} \\ =7+10.2941 \\ =17.2941 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 17.294 \\ \Sigma f X_{b}=160+91+30+7+8+1=297 \\ \Sigma f X_a=228+176+125+56=585 \\ N_b=10+7+3+1+2+1=24 \\ N_a=12+8+5+2=27$
माध्य विचलन $\left(\delta_{\bar{x}}\right)=\frac{\Sigma f x_a-\Sigma f x_b-\left(N_a-N_b\right) \overline{X}}{N} \\ =\frac{585-297-(27-24) \times 17.294}{51} \\ =\frac{288-3 \times 17.294}{51} \\ =\frac{288-51.882}{51} \\ =\frac{236.118}{51} \\ =4.6297 \\ \Rightarrow \delta_{\bar{x}} \approx 4.63$
चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation) की गणना:

$q_1=\frac{N}{4}=\frac{51}{4}=12.75$
यह मद 11.5-14.5 वर्गान्तर में है,अतः
$l_1 =11.5, i=14.5-11.5=3, f=7, c=7 \\ Q_1 =l_1+\frac{i}{f}\left(q_1-c\right) \\ =11.5+\frac{3}{7}(12.75-7) \\ =11.5+\frac{3}{7} \times 5.75 \\ =11.5+\frac{17.25}{7}=15.5+2.4642 \\ \Rightarrow Q_1=13.9642 \\ q_3=\frac{3 N}{4}=\frac{3 \times 51}{4}=38.25$
यह मद 20.5-23.5 वर्गान्तर में है,अतः
$l_1=20.5, i=23.5-20.5=3,1=8, c=36 \\ Q_3=l_1+\frac{i}{f}\left(q_3-c\right) \\ =20.5+\frac{3}{8}(38.25-36) \\ =20.5+\frac{3 \times 2.25}{8} \\ =20.5+\frac{6.25}{8} \\ =20.5+0.84375 \\ \Rightarrow Q_3 =21.34375$
चतुर्थक विचलन (Q.D.)= $\frac{Q_3-Q_1}{2} \\ =\frac{21.34375-13.9642}{2} \\ =\frac{7.37955}{2} \\ =3.6897 \\ \Rightarrow \text{Q.D.} \approx 3.69$
मानक विचलन $(\sigma)=\frac{1}{A} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N-(\Sigma f dx)^2} \\ =\frac{1}{51} \sqrt{7173 \times 51-(525)^2} \\ =\frac{1}{51} \sqrt{365823-275625} \\ =\frac{1}{51} \sqrt{90198} \\ =\frac{1}{51} \times 300.3298 \\ =5.8888 \\ \Rightarrow \sigma \approx 5.89$

Coefficient of Standard Deviation

Example:64.निम्न समंकों से अपकिरण का द्वितीय माप तथा प्रमाप विचलन गुणांक भी ज्ञात कीजिए।
(From the following data,calculate the second moment of dispersion and coefficient of standard deviation):

$\begin{array}{|l|c|} \hline \text { Wages in Rs. } & \text { No. of Workers } \\ \hline \text { Less than } 40 & 30 \\ \hline \text { Less than } 80 & 55 \\ \hline \text { Less than } 120 & 85 \\ \hline \text { Less than } 160 & 130 \\ \hline \text { Less than } 200 & 155 \\ \hline \text { Less than } 240 & 168 \\ \hline \text { Less than } 280 & 192\\ \hline \text { Less than } 320 & 200\\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation of Mean and Standard Deviation

$\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{Class} & \text{No. of } & \text{Mid values} & \text{Product of} & \text{Devi from} & \text{Square of}\\ & \text{Workers} & & & \overline{X}=137 & \text{Deviation} \\ & f & X & fx & d & d^2 \\ \hline 0-40 & 30 & 20 & 600 & -117 & 13689 \\ 40-80 & 25 & 60 & 1500 & -77 & 5929 \\ 80-120 & 30 & 100 & 3000 & -37 & 1369 \\ 120-160 & 45 & 140 & 6300 & 3 & 9 \\ 160-200 & 25 & 180 & 4500 & 43 & 1849 \\ 200-240 & 13 & 220 & 2860 & 83 & 6889 \\ 240-280 & 24 & 260 & 6240 & 123 & 15129 \\ 280-320 & 8 & 300 & 2400 & 163 & 26569 \\ \hline \text { Total } & 200 & & 27,400 & 184 & 71432 \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{|lll|} \hline \text{Product of} & \text{Square of M.V.} & \text{Product of f and } X^2\\ f \times d^2 & X^2 &fX^2 \\ \hline 410670 & 400 & 12000 \\ 148225 & 3600 & 90000 \\ 41070 & 10000 & 300000 \\ 405 & 19600 & 882000 \\ 46225 & 32400 & 810000 \\ 89557 & 48400 & 629200 \\ 363096 & 67600 & 1622400 \\ 212552 & 90000 & 720000 \\ \hline 1311800 & 272000 & 5065600 \\ \hline \end{array}

समान्तर माध्य $(\overline{X})=\frac{\Sigma f x}{N} \\ =\frac{27400}{200} \\ \Rightarrow \overline{X}=137$
प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2}{N}} \\=\sqrt{\frac{1311800}{200}} \\ =\sqrt{6559} \\ =80.987 \\ \Rightarrow \sigma \approx 80.99$
coefficient of $\sigma=\frac{\sigma}{\bar{x}} \\ =\frac{80.99}{137} \\ =0.591 \\ \approx 0.59$
Variance (Second Moment of Dispersion) $\sigma^2=(\sqrt{6559})^2 \\ \Rightarrow \sigma^2 =6559$
वैकल्पिक सूत्र (Alternate Method):

$\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f x^2-(\overline{X})^2}{N}} \\ =\sqrt{\frac{5065600}{200}-(137)^2} \\ =\sqrt{25328-18769} \\ =\sqrt{6559} \\ \sigma \approx 80.99$
Example:66.निम्नलिखित सारणी में 40 विभिन्न कम्पनियों में सेवारत श्रमिकों की संख्या प्रस्तुत है:
(The table given below gives the distribution of workers employed in 40 different companies):

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text { No. of workers } & \text { No. of Companies } \\ \hline 1-50 & 13 \\ \hline 51-100 & 09 \\ \hline 101-150 & 00 \\ \hline 151-200 & 07 \\ \hline 201-250 & 04 \\ \hline 251-300 & 05 \\ \hline 301-350 & 02 \\ \hline \text { Total } & 40 \\ \hline \end{array}$
कार्यरत कर्मचारियों की कुल संख्या एवं विचरण गुणांक ज्ञात कीजिए।
(Find out the total number of workers employed and coefficient of variance):
Solution:Calculation of Coefficient of Variance

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { No. of } & \text{M.V.} & \text { No. of } & \text{No. of } & \text{Devi from} & \text{Product} & \text{Product of} \\ \text{workers} & & \text{Comp.} & \text{Workers} & 75.5 & \text{of } f \times dx & fdx \times dx \\ & X & (f) & fx & dx & fdx & fdx^2\\ \hline 1-50 & 25.5 & 13 & 331 & -150 & -1950 & 292500 \\ \hline 51-100 & 75.5 & 09 & 679 & -100 & -900 & 90000 \\ \hline 101-150 & 125.5 & 00 & 0 & -50 & 0 & 0 \\ \hline 151-200 & 175.5 & 07 & 1228 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 201-250 & 225.5 & 04 & 902 & 50 & 200 & 10000 \\ \hline 251-300 & 275.5 & 05 & 1377 & 100 & 500 & 50000 \\ \hline 301-350 & 325.5 & 02 & 653 & 150 & 300 & 45000 \\ \hline \text { Total } & & 40 & 5170 & & -1850 & 487500 \\ \hline \end{array}$
Number of Workers $\approx$ 331+679+1228+902+1377+653=5170
समान्तर माध्य $\overline{X}=\frac{\Sigma f X}{N} \\ =\frac{5170}{40} \\ \Rightarrow(\overline{X}) \approx 129.25$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N-(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{40} \sqrt{487500 \times 40-(-1850)^2} \\ =\frac{1}{40} \sqrt{19506000-3422500} \\ =\frac{1}{40} \sqrt{16077500} \\ =\frac{1}{40} \times 4009.6757 \\ =100.2418 \\ \Rightarrow \sigma \approx 100.24$
विचरण गुणांक (C.V.)= $\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \\ =\frac{100.24}{129.25} \times 100 \\ =77.555 \% \\ \approx 77.56 \%$
Example:67.एक काॅलर निर्माता नवयुवकों को आकर्षित करने हेतु एक नवीन शैली काॅलर का निर्माण करने का विचार करता है।किस्म नियन्त्रण के लिए 12-12 काॅलरों के 50 प्रतिदर्शों की जाँच की जाती है।निम्नलिखित सारणी 50 प्रतिदर्शों के बंटन को एवं दोषयुक्त काॅलरों की संख्या दर्शाती है:
(A collar manufacturer is considering the production of a new style of collar to attract young boys.He checked the quality by examining the 12 collars.The following table shows the distribution of 50 samples and their number of defective collars):

$\begin{array}{|cc|} \hline \text{No. of Defectives} & \text{No. of Samples} \\ \text{in a sample } & \\ \text{of 12 collrs} & \\ \hline 0 & 18 \\ 1 & 19 \\ 2 & 09 \\ 3 & 03 \\ 4 & 01\\ 5 \text { or more } & 0 \\ \hline \end{array}$
प्रति निदर्शन में दूषित काॅलरों की माध्य संख्या,प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक ज्ञात कीजिए।
(Calculate the mean number of defective collars per sample,standard deviation and coefficient of variation.)
Solution:Calculation of Mean and Coefficient of Variation

$\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{No. of } & \text{No. of } & \text{product of} & \text{Devi from} & \text{Square of} & \text{Product of } \\ \text{Defectives} & \text{Samples} & & \overline{X} & \text{deviation} & \\ X & f & fx & d & d^2 & f \times d^2\\ \hline 0 & 18 & 0 & -1 & 1 & 18 \\ 1 & 19 & 19 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 09 & 18 & 1 & 1 & 9 \\ 3 & 03 & 9 & 2 & 4 & 12 \\ 4 & 01 & 4 & 3 & 9 & 9 \\ 5 \text { or more } & 0 & 0 & 4 & 16 & 0 \\ \hline \text { Total } & 50 & 50 & & 48 & \\ \hline \end{array}$
प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
समान्तर माध्य $(\overline{X})=\frac{\Sigma f X}{N} \\ =\frac{50}{50}=1 \\ \Rightarrow \overline{X}=1$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2}{N}} \\ =\sqrt{\frac{48}{50}} \\ =\sqrt{0.96} \\ =0.9797 \\ \Rightarrow \sigma \approx 0.98$
विचरण गुणांक (C.V.)= $\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \\ =\frac{0.98 \times 100}{1} \\ \Rightarrow \text{C.V.}=0.98 \%$
Example:68.निम्नलिखित प्रस्तुत मापों से 2-2 वर्ग विस्तार लेते हुए तथा 7 से प्रारम्भ करते हुए अपवर्जी आवृत्ति बंटन तैयार कर प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक की परिगणना कीजिए।
(From the measurement given below,prepare a frequency distribution in exclusive form taking a regular class interval of 2 each starting with 7 and there from calculate standard deviation and coefficient of variation):
Collar size (in inches): 7.2,9.8,17.5,10.1,8.2,15.9,14.8,15.6,19.9,13.9,12.2,15.8,11.8,16.4,11.4,13.6,11.0,13.7,16.0,12,2,10.5,12,8
Solution:Calculation of Standard Deviation

$\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{Coller Size} & \text{Mid values} & \text{freq} & \text{Devi from} & \text{product of} & \text{Product of} \\ \text{in inches} & & & & f \times dx & fdx \times dx \\ & X & f & dx & fdx & fd^2x\\ \hline 7-9 & 8 & 2 & -6 & -12 & 72 \\ 9-11 & 10 & 3 & -4 & -12 & 48 \\ 11-13 & 12 & 6 & -2 & -12 & 24 \\ 13-15 & 14 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 15-17 & 16 & 5 & 2 & 10 & 20 \\ 17-19 & 18 & 1 & 4 & 4 & 16 \\ 19-21 & 20 & 1 & 6 & 6 & 36 \\ \hline \text { Total } & & 22 & & -16 & 216 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य $(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =14-\frac{16}{22} \\ =14-0.7272 \\ =13.2728 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 13.27 \text { inches }$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N-\left(\Sigma fdx\right)^2} \\ =\frac{1}{22} \sqrt{266 \times 22-(-16)^2} \\ =\frac{1}{22} \sqrt{4752-256} \\ =\frac{1}{22} \sqrt{4500} \\ =\frac{67.08203}{22} \\ =3.0491 \\ \Rightarrow \sigma \approx 3.05$ inches
विचरण गुणांक (C.V.) = $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{3.05}{13.27} \times 100 \\ =22.9841 \% \\ \Rightarrow \text{C.V.} \approx 22.98 \%$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा मानक विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation),विचरण गुणांक (Coefficient of Variance) को समझ सकते हैं।

3.मानक विचलन गुणांक पर आधारित समस्याएँ (Questions Based on Coefficient of Standard Deviation):

Coefficient of Standard Deviation

(1.)निम्न श्रेणी में प्रत्यक्ष रीति द्वारा प्रमाप विचलन और उसका गुणांक (standard deviation and its coefficient) ज्ञात कीजिए।
$\begin{array}{|ccccccccc|} \hline \text{ आकार } & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22 & 24 \\ \text{ आवृत्ति } & 5 & 8 & 21 & 24 & 18 & 15 & 7 & 2 \\ \hline \end{array}$
(2.)निम्न श्रेणी में प्रत्यक्ष तथा लघु रीति द्वारा समान्तर माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
$\begin{array}{|llllllll|} \hline \text{'से कम अंक'} & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 \\ \text{ परीक्षार्थियों की संख्या } & 10 & 25 & 50 & 75 & 85 & 95 & 100 \\ \hline \end{array}$
उत्तर (Answers): (1.) $\overline{X}=16.5, \sigma=3.25$ , coefficient of $\sigma$ =0.197
(2.) $\overline{X}$ =31 अंक , $\sigma$ =15.94 अंक
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर मानक विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation),विचरण गुणांक (Coefficient of Variance) को ठीक से न समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Mean Deviation

4.मानक विचलन गुणांक (Frequently Asked Questions Related to Coefficient of Standard Deviation),विचरण गुणांक (Coefficient of Variance) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.लघुरीति से प्रमाप विचलन ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulae for Finding the Standard Deviation from the Short-cut Method):

उत्तर:लघुरीति से प्रमाप विचलन ज्ञात करने के सूत्र
(1.) $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right)^2}$
(2.) $\sigma=\sqrt{\frac{\sum d^2 x}{N^2}-(\bar{x}-A)^2}$
(3.) $\sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \cdot N-(\Sigma f d x)^2}$
(4.) $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x-N(\bar{x}-A)^2}{N}}$
(5.) $\sqrt{\frac{\Sigma fx^2}{x}-(\bar{x})^2}$

प्रश्न:2.सतत श्रेणी में प्रमाप विचलन ज्ञात करने की कौन-कौनसी रीतियाँ और सूत्र हैं? (What are the Methods and Formulae for Finding the Standard Deviation in a Continuous Series?):

(1.)प्रत्यक्ष रीति (Direct Method):
$\sigma=\sqrt{\frac{\sum f d^2}{N}}$
(2.)लघुरीति के सूत्र ऊपर लिखे हुए हैं।
(3.)वैकल्पिक रीति (Alternate Method):
$\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma fx^2}{N}-(\bar{x})^2}$
(4.)पद विचलन रीति (Step Deviation. Method):
$\sigma=i \times \sqrt{\frac{\Sigma fd^2 x^{\prime}}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x^{\prime}}{N}\right)^2}$
द्वितीय सूत्र: $\frac{i}{N} \times \sqrt{N \Sigma f d^2 x^{\prime}-\left(\Sigma f d x^{\prime}\right)^2}$
(5.)आकलन या योग रीति (Summation Method):
$F_1=\frac{\Sigma C f_1}{N}$ या $\frac{\text{प्रथम संचयी योग}}{\text{आवृत्तियों का योग}}$

$F_2=\frac{\Sigma C f_2}{N}$ या $\frac{\text{द्वितीय संचयी योग}}{\text{आवृत्तियों का योग}}$
$\sigma= i \times \sqrt{2 F_2-F_1-\left(F_1\right)^2}$

प्रश्न:3.माध्य-विचलन तथा प्रमाप विचलन में क्या अन्तर है? (What is the Difference Between Mean Deviation and Standard Deviation?):

उत्तर:(1.)माध्य विचलन में विचलन,समांतर माध्य,मध्यका या बहुलक से लिए जाते हैं जबकि प्रमाप विचलन में विचलन केवल समांतर माध्य $\left(\overline{X}\right)$ से ही लिए जाते हैं।
(2.)माध्य विचलन में विचलनों के बीजगणितीय चिन्हों (+ तथा -) को छोड़ दिया जाता है अर्थात् ऋणात्मक विचलन भी धनात्मक मान लिए जाते हैं जबकि प्रमाप विचलन में बीजगणितीय चिन्हों को छोड़ा नहीं जाता वरन प्राप्त विचलनों के वर्ग (Squares) कर लिए जाते हैं जिससे ऋणात्मक विचलन भी धनात्मक विचलनों में परिवर्तित हो जाते हैं।
(3.)माध्य विचलन निरपेक्ष विचलनों का औसत (साधारण समांतर माध्य) मात्र होता है जबकि प्रमाप विचलन विचलनों के वर्गों के माध्य (समांतर माध्य) का वर्गमूल होता है।
(4.)माध्य विचलन में गणितीय गुण का अभाव होता है क्योंकि यह निरपेक्ष मूल्य पर आधारित होता है जबकि प्रमाप विचलन में गणितीय गुण विद्यमान होते हैं क्योंकि,इसमें बीजगणितीय चिन्हों को छोड़ा नहीं जाता है।
(5.)जब समांतर माध्य,मध्यका तथा बहुलक पूर्णांक में होते हैं तो माध्य विचलन की परिगणना सरल होती है।इसकी लघु रीति कठिन व उलझन-पूर्ण है।जबकि प्रमाप विचलन में विचलनों के वर्ग ज्ञात करने के कारण इसकी परिगणना कुछ कठिन अवश्य है।लेकिन यह सभी स्थितियों में (चाहे समांतर माध्य पूर्णांक हो अथवा दशमलवांक) उपयुक्त होता है।इसकी लघु रीति अपेक्षाकृत सरल है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा मानक विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation),विचरण गुणांक (Coefficient of Variance) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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मानक विचलन गुणांक
(Coefficient of Standard Deviation)