Coefficient of Mean Deviation
1.माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics):
माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) समान्तर माध्य,मध्यका और बहुलक को आधार मानकर ज्ञात किया जाता है।परन्तु व्यवहार में मध्यका को ही आधार मानकर माध्य विचलन तथा उसके गुणक की गणना की जाती है क्योंकि यह स्थिर, निश्चित एवं प्रतिनिधि माध्य है तथा इससे निकाले गए विचलनों का जोड़ सबसे कम होता है।
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2.माध्य विचलन गुणांक के साधित उदाहरण (Coefficient of Mean Deviation Solved Examples):
Example:1.निम्न समंकों से मध्यका,माध्य विचलन एवं उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Calculate Median,Mean Deviation and its coefficient from the following data):
| Series | 140-150 | 150-160 | 160-170 | 170-180 | 180-190 | 190-200 |
| Frequency | 4 | 6 | 10 | 18 | 9 | 3 |
Solution: Calculation of Mean Deviation by Short-cut Method
| Scores | M.V.(X) | freq(f) | fX | cf | From Median | From Mean | From Mode |
| 140-150 | 145 | 4 | 580 | 4 | \Sigma M_{b}= 3160\\N_{b} =20 | \Sigma f X_{b}= 3160\\ \Sigma N_{b} =20 | \Sigma f Z_{b} =3160 \\ \Sigma N_{b}=20 |
| 150-160 | 155 | 6 | 930 | 10 | |||
| 160-170 | 165 | 10 | 1650 | 20 | |||
| 170-180 | 175 | 18 | 3150 | 38 | |||
| 180-190 | 185 | 9 | 1665 | 47 | \Sigma M_{a}= 5400\\N_{a} =30 | \Sigma f X_{a}= 5400 \\ \Sigma N_{a}=30 | \Sigma f Z_{a} =5400\\ \Sigma N_{a}=30 |
| 190-200 | 195 | 3 | 585 | 50 | |||
| Total | 50 | 8560 |
Mean Deviation From Median
\frac{N}{2}=\frac{50}{2}=25
मध्यका वर्ग 170-180 है l=170, f=18, cf=20, h=10
मध्यका (M)=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times h \\ =170+\frac{25-20 }{18}\times 10 \\ = 170+\frac{50}{18} \\ =170+2.777 \\ M \approx 172.78 \\ \Sigma f M_{b}=580+930+1650=3160\\ N_{b}=4+6+10=20\\ \Sigma f M_{a}=1665+585+3150=5400\\ N_{a}=18+9+3=30\\ \delta_{M} =\frac{\Sigma f M_{a}-\Sigma f M_{b}-(N_{a}-N_{b})M}{N} \\ =\frac{5400-3160-(30-20)\times 172.78}{50} \\=\frac{2240-10 \times 172.78}{50}\\=\frac{2240-1727.8}{50} \\ =\frac{512.2}{50}\\ \delta_{M} \approx 10.24
coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}=\frac{10.24}{172.78}=0.0592 \approx 0.06
Mean Deviation From Mean
\bar{X}=\frac{\Sigma f x}{N}\\ =\frac{8560}{50}\\ \Rightarrow \bar{X}=171.2\\ \delta_{\bar{X}} =\frac{\sum f X_{a}-\sum f X_{b}-\left(N_{a}-N_{b}\right) \bar{X}}{N}\\ =\frac{5400-3160-(30-20) \times 171.2}{50}\\ =\frac{2240-10 \times 171.2}{50}\\ =\frac{2240-1712}{50}\\ =\frac{528}{50}\\ =10.56\\ \Rightarrow \delta_{\bar{X}} \approx 10.56coefficient of \delta_{\bar{X}}=\frac{\delta \bar{X}}{\bar{X}}\\ =\frac{10.56}{171.2}\\=0.0616\\ \approx 0.06
सबसे अधिक बारम्बारता 18 है।अतः f_{0}=10, f_{1}=18, f_{2}=9 बहुलक वर्ग 170-180 है।
l=170,h=10
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \\ =170+\left(\frac{18-10}{2 \times 18-10-9}\right) \times 10 \\ Z=170+\frac{8}{36-19} \times 10\\ =170+\frac{80}{17}\\ =170+4.705\\ =174.705\\ Z \approx 174.71\\ \delta_{z}=\frac{\Sigma f Z_{a}-\Sigma f Z_{b}-(N_{a}-N_{b}) Z}{N}\\=\frac{5400-3160-(30-20) \times 174.71}{50}\\ =\frac{2240- 10 \times 174.71}{50}\\=\frac{2240-1747.1}{50}\\=\frac{429.9}{50} \\=9.858\\ \Rightarrow \delta_{z} \approx 9.86
coefficient of \delta_{z}=\frac{\delta_{Z}}{Z}\\ =\frac{9.86}{174.71}\\ =0.056\\ \approx 0.06
Example:2.एक विशेष समुदाय के पति तथा पत्नियों की आयु के अन्तर सम्बन्धी समंक सारणी में प्रस्तुत है।समान्तर माध्य,माध्य विचलन तथा उसके गुणक की परिगणना कीजिए:
(The differences between the ages of husbands and wives in a particular community are give below.Calculate arithmetic mean, mean deviation and its coefficient):
| Difference in Years | Frequency |
| 0-5 | 449 |
| 5-10 | 705 |
| 10-15 | 507 |
| 15-20 | 281 |
| 20-25 | 109 |
| 25-30 | 52 |
| 30-35 | 16 |
| 35-40 | 4 |
Solution: Calculation of Mean Deviation
| In years | M.V(X) | frequency(f) | fX | |dX|=|X-\bar{X}| | f|d \bar{X}| |
| 0-5 | 2.5 | 449 | 1122.5 | |2.5-10.47|=7.97 | 3578.53 |
| 5-10 | 7.5 | 705 | 5287.5 | |7.5-10.47|=2.97 | 2093.85 |
| 10-15 | 12.5 | 507 | 6337.5 | |12.5-10.47|=2.03 | 1029.21 |
| 15-20 | 17.5 | 281 | 4917.5 | |17.5-10.47|=7.03 | 1975.43 |
| 20-25 | 22.5 | 109 | 2452.5 | |22.5-10.47|=12.03 | 1311.27 |
| 25-30 | 27.5 | 52 | 1430 | |27.5-10.47|=17.03 | 885.56 |
| 30-35 | 32.5 | 16 | 520 | |32.5-10.47|=22.03 | 352.48 |
| 35-40 | 37.5 | 4 | 150 | |37.5-10.47|=27.03 | 108.12 |
| Total | 2123 | 22217.5 | 11334.45 |
माध्य (Mean) \bar{X}=\frac{\sum f x}{\sum f}\\ =\frac{22217.5}{2123}\\ =10.465\\ \bar{X} \approx 10.47\\ \delta_{\bar{X}}=\frac{\Sigma f|d \bar{X}|}{N}\\ =\frac{11334.45}{2123}\\ =5.338\\ \delta_{\bar{X}} \approx 5.34
coeffecient of \delta_{\bar{X}}=\frac{\delta_{\bar{X}}}{\bar{X}}\\ =\frac{5.34}{10.47}\\ =0.51
Example:3.निम्न समंकों से मध्यका (Median) माध्य विचलन (Mean Deviation) तथा उसके गुणक (its coefficient) की परिगणना कीजिए।
| Age in Years | No. of persons |
| 1-5 | 7 |
| 6-10 | 10 |
| 11-15 | 16 |
| 16-20 | 32 |
| 21-25 | 24 |
| 26-30 | 18 |
| 31-35 | 10 |
| 36-40 | 5 |
| 41-45 | 1 |
| Total | 125 |
Solution: इस श्रेणी का रूप समावेशी (Inclusive) है,अतः सर्वप्रथम विभिन्न वर्गों की वास्तविक सीमाओं का निर्धारण करेंगे जो निम्न प्रकार से होगा:
Calculation of Mean Deviation
| Age in Years | No. of persons(f) | cf | X | |dM|=|X-M| | f|dM| |
| 0.5-5.5 | 7 | 7 | 3 | |3-19.95|=16.95 | 118.65 |
| 5.5-10.5 | 10 | 17 | 8 | |8-19.95|=11.95 | 119.5 |
| 10.5-15.5 | 16 | 33 | 13 | |13-19.95|=6.95 | 111.2 |
| 15.5-20.5 | 32 | 65 | 18 | |18-19.95|=1.95 | 62.4 |
| 20.5-25.5 | 24 | 89 | 23 | |23-19.95|=3.05 | 73.2 |
| 25.5-30.5 | 18 | 107 | 28 | |28-19.95|=8.05 | 144.9 |
| 30.5-35.5 | 10 | 117 | 33 | |33-19.95|=13.05 | 130.5 |
| 35.5-40.5 | 5 | 122 | 38 | |38-19.95|=18.05 | 190.25 |
| 40.5-45.5 | 1 | 123 | 43 | |43-19.95|=23.05 | 23.05 |
| Total | 123 | 873.65 |
\frac{N}{2}=\frac{123}{2}=61.5
अतः मध्यका वर्ग 15.5-20.5 होगा।
फलतः l=15.5,f=32,cf=33,h=5
M=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times h\\ =15.5+\left(\frac{61.5-33}{32}\right) \times 5 \\ M =15.5+\frac{28.5}{32} \times 5\\ =20+\frac{142.5}{32} \\ =15.5+4.453 \\ M =19.953 \\ M \approx 19.95 \\ \delta_{M}=\frac{\Sigma f\left|d M\right|}{\Sigma f}\\ =\frac{873.5}{123}\\=7.101\\ \Rightarrow \delta_{M} \approx 7.1 years
Coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}\\ =\frac{7.1}{19.95}\\ =0.355\\ \approx 0.36
Example:4.निम्न समंकों से मध्यका से माध्य विचलन (Mean Deviation) तथा उसके गुणक (its Coefficient) की परिगणना कीजिए
| Marks less than | No. of Students |
| 40 | 50 |
| 35 | 45 |
| 30 | 40 |
| 25 | 31 |
| 20 | 16 |
| 15 | 10 |
| 10 | 7 |
| 5 | 2 |
Solution: Calculation of Mean Deviation
| Marks | No. of Students(f) | cf | X | |dM|=|X-M| | f|dM| |
| 0-5 | 2 | 2 | 2.5 | |2.5-23|=20.5 | 41 |
| 5-10 | 5 | 7 | 7.5 | |7.5-23|=15.5 | 77.5 |
| 10-15 | 3 | 10 | 12.5 | |12.5-23|=10.5 | 31.5 |
| 15-20 | 6 | 16 | 17.5 | |17.5-23|=5.5 | 33 |
| 20-25 | 15 | 31 | 22.5 | |22.5-23|=0.5 | 7.5 |
| 25-30 | 9 | 40 | 27.5 | |27.5-23|=4.5 | 40.5 |
| 30-35 | 5 | 45 | 32.5 | |32.5-23|=9.5 | 47.5 |
| 35-40 | 5 | 50 | 37.5 | |37.5-23|=14.5 | 72.5 |
| Total | 50 | 351 |
अतः मध्यका वर्ग 20-25 है।फलतः l=20,f=15,h=5,cf=16
मध्यका (M)=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times h\\ =20+\left(\frac{25-16}{15}\right) \times 5 \\ M =20+\frac{9 \times 5}{15} \\ =20+\frac{45}{15} \\ =20+3 \\ M =23 \\ \delta_{M} =\frac{\Sigma f|d M|}{\Sigma f} \\=\frac{351}{50} \\ \Rightarrow \delta_{M} =7.02 marks
coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{7.02}{23} \\=0.305
Example:5.एक सड़क पर दुर्घटनाओं की निम्न सूचना से मध्यका द्वारा माध्य विचलन तथा विचलन गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following information about the accidents on a road, Calculate the mean deviation from the median and its coefficient.)
| No. of Accidents Per Day | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| No. of days | 10 | 15 | 18 | 30 | 11 | 6 |
Solution: Calculation of Mean Deviation
| No. of Accidents per Day | No. of Days(f) | cf | |dM|=|X-M| | f|dM| |
| 0 | 10 | 10 | |0-3|=3 | 30 |
| 1 | 15 | 25 | |1-3|=2 | 30 |
| 2 | 18 | 43 | |2-3|=1 | 18 |
| 3 | 30 | 73 | |3-3|=0 | 0 |
| 4 | 11 | 84 | |4-3|=1 | 11 |
| 5 | 6 | 90 | |5-3|=2 | 12 |
| Total | 90 | 101 |
\frac{N}{2}=\frac{90}{2}=45
अत : M=3
\delta_{M} =\frac{\Sigma f|d M|}{\Sigma f} \\ =\frac{101}{90}=1.12
coefficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M} \\ =\frac{1.12}{3}=0.37
Example:6.मध्यका से माध्य विचलन तथा उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Find the mean deviation from median and its coefficient):
| Size | Frequency |
| 1 and upto 10 | 1 |
| 1 and upto 20 | 3 |
| 1 and upto 30 | 6 |
| 1 and upto 40 | 8 |
| 1 and upto 50 | 10 |
Solution:- Calculation of Mean Deviation
| Size | Frequency(f) | cf | M.V. | fX | from median |
| 0-10 | 1 | 1 | 5 | 5 | \Sigma M_{b} =5+30+75 =110\\N_{b} =6 |
| 10-20 | 2 | 3 | 15 | 30 | |
| 20-30 | 3 | 6 | 25 | 75 | |
| 30-40 | 2 | 8 | 35 | 70 | \Sigma M_{a}=70+90 =160 \\ N_{a} =4 |
| 40-50 | 2 | 10 | 45 | 90 | |
| Total | 10 |
\frac{N}{2}=\frac{10}{2}=5
अतः मध्यका वर्ग 20-30 है।फलतः l=20,f=3,h=10,cf=3
मध्यका M=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right) \times h \\ = 20+\frac{(5-3)}{3} \times 10 \\ = 20+\frac{20}{3} \\=20+6.666 \\ M \approx 26.67 \\ \delta_{M} =\frac{\Sigma f M_{a} -\Sigma f M_{b}-\left(N_{a}-N_{b}\right) M}{N} \\ =\frac{160-110-(4-6) \times 26.67}{10} \\ =\frac{50+2 \times 26.67}{10}\\ =\frac{50+53.34}{10}=\frac{103.34}{10}=10.334
cofficient of \delta_{M}=\frac{\delta_{M}}{M}=\frac{10.334}{26.67}=0.3874 \approx 0.39
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) को समझ सकते हैं।
3.माध्य विचलन गुणांक की समस्याएं (Coefficient of Mean Deviation Problems):
(1.)निम्न श्रेणी का माध्य विचलन (M.D.) एवं उसके गुणक (its coeff) की गणना कीजिए।
| Size(X) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| Frequency(f) | 3 | 12 | 18 | 12 | 3 |
(2.)निम्न सारणी में 60 विद्यार्थियों के अर्थशास्त्र में प्राप्तांक दिए हुए हैं।माध्य विचलन एवं उसके गुणांक की गणना कीजिए।
(The following table gives the marks obtained by 60 students in economics calculate mean deviation and its coefficient)
| Marks more than | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 |
| No. of students | 7 | 8 | 40 | 44 | 55 | 60 |
उत्तर (Answers):(1)M=12,\delta_{M} =0.75, c of \delta_{M}=0.06
(2)M=54.55,\delta_{M}=11.15 Marks,c of \delta_{M}=0.20
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.माध्य विचलन की कौनसी विधि उपयुक्त है? (Which method of mean deviation is appropriate?):
उत्तर:साधारणतया माध्य विचलन की गणना प्रत्यक्ष रीति द्वारा करना ही अपेक्षाकृत सरल होता है।यदि माध्य जिससे माध्य विचलन ज्ञात करना हैं।जैसे, पूर्णांक न होकर दशमलव में आए तो वैकल्पिक (दूसरी) लघुरीति का प्रयोग करना सरल होगा।परीक्षा की दृष्टि से यह आवश्यक नहीं है कि लघुरीति का प्रयोग किया जावे।अतः प्रत्यक्ष रीति को ही प्रयुक्त करना सरल और सही होगा।
प्रश्न:2.मध्यवर्ती 50 प्रतिशत व मध्यवर्ती 80 प्रतिशत से क्या आशय है? (What is meaning of middle 50 percentage and middle 80 percentage in a variable?):
उत्तर:श्रेणी के 50 प्रतिशत से तात्पर्य है कि 50% मूल्यो से तथा 80% से तात्पर्य है कि 80 प्रतिशत मूल्यों से।अत: यदि 50%.मूल्य ज्ञात करना हो तो मध्यका ज्ञात करते हैं।यदि 80% मूल्य ज्ञात करना हो तो शतमक ज्ञात किया जाता है।
प्रश्न:3.अपकिरण के उपयुक्त माप का चयन कैसे करते हैं? (How do we choice of a suitable measures of dispersion?):
उत्तर:अपकिरण में प्रमुखतः पाँच प्रमुख मापों का अध्ययन किया जाता है यथा विस्तार (Range),चतुर्थक विचलन (Quaritle Deviation),माध्य विचलन (Mean Deviation),प्रमाप विचलन एवं गुणांक (Standard Deviation and Coefficient of variance) लारेंज वक्र (Lorenz Curve)।
अपकिरण में किस माप का प्रयोग कब और किन परिस्थितियों में करना उपयुक्त रहेगा यह निर्णय मुख्यतः अपकिरण के उद्देश्य, प्रस्तुत समंकों की प्रकृति तथा इन विभिन्न मापों की विशेषताओं पर निर्भर करता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation),सांख्यिकी में माध्य विचलन (Mean Deviation in Statistics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Coefficient of Mean Deviation
माध्य विचलन गुणांक
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माध्य विचलन गुणांक (Coefficient of Mean Deviation) समान्तर माध्य,मध्यका और
बहुलक को आधार मानकर ज्ञात किया जाता है।
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Satyam
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