1.त्रिविमीय में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in Three Dimensional Coordinate Geometry):

Centre of Conicoid in 3D

त्रिविमीय में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in 3D) ज्ञात करने हेतु शांकवज का केन्द्र की थ्योरी जानने के पश्चात उदाहरणों द्वारा केन्द्र ज्ञात करना सीखेंगे।
शांकवज F(x, y, z)=0 का केन्द्र ज्ञात करना:
[To find the centre of the Conicoid F(x, y, z)=0]
माना शांकवज F(x, y, z)=d x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y+2 y x+2 v y+2 w z + d=0 \ldots(1)
का केन्द्र (\alpha, \beta, \gamma) है।मूलबिन्दु को (\alpha, \beta, \gamma) पर स्थानान्तरित करने से समीकरण (1) का स्वरूप होगा:

F(x+\alpha, y+\beta, z+\gamma)=0 \cdots(2)
जिसका विस्तार करने पर:

f(x, y,z)+x \frac{\partial F}{\partial \alpha}+y \frac{\partial F}{\partial \beta}+z \frac{\partial F}{\partial \gamma}+F(\alpha, \beta, r)=0 \cdots(3)
इसमें द्वितीय घात के पद अपरिवर्तित रहते हैं।
चूँकि शांकवज (3) का केन्द्र (\alpha, \beta, \gamma) नया मूलबिन्दु है इसलिए इसमें प्रथम घात के पदों के गुणांक शून्य होंगे।अतः

\frac{\partial F}{\partial \alpha}=0, \frac{\partial F}{\partial \beta}=0, \frac{\partial F}{\partial \gamma}=0
या \left.\begin{array}{l} a \alpha+h \beta+g \gamma=-u \\ h \alpha+b \beta+f \gamma=-v \\ g \alpha+f \beta+c \gamma=-w \end{array}\right\} \cdots(5)
इससे अर्थ निकलता है कि केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma) निम्नलिखित समीकरणों के हल हैं:
\left.\begin{array}{l} a x+h y+g z=-u \\ h x+b y+f z=-v \\ g x+f y+c z=-w\end{array}\right\} \cdots(6)
ये समीकरण तीन समतलों को प्रदर्शित करते हैं जो शांकवज के केन्द्र से होकर जाते हैं इसलिए इन समतलों को केन्द्रीय समतल कहते हैं।
समीकरण (6) के समीकरणों को क्रमशः A,H,G से गुणा करके जोड़ने तथा (5) व (6) की सहायता से:

x D=-(Au+H v+G w)
अतः x=-\frac{(A \cup+H v+G w)}{D} \cdots(7)
इसी प्रकार H,B,F तथा G,F,C से गुणा करके जोड़ने पर:

V=-\frac{(H U+B V+F W)}{D} \cdots(8)
तथा z=-\frac{(G U+F V+CW)}{D} \cdots(9)

संक्षेप मे \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=-\frac{1}{D}\left[\begin{array}{lll} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} u \\ v \\ w \end{array}\right] \cdots(10)
अब निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करेंगे:
स्थिति:I.जबकि D \neq 0
इस स्थिति में समीकरण (10) का हल अद्वितीय (Unique) होगा और हमें परिमित दूरी पर एक ही केन्द्र प्राप्त होगा।
अतः शांकवज एक सकेन्द्र शांकवज (central Conicoid) होगा जो कि दीर्घवृत्तज,गोला,अतिपरवलयज या शंकु हो सकता है।
स्थिति:II.जबकि D=0, A U+H V+G W \neq 0, H U+B V+F W \neq 0, G U+F V+C W \neq 0
ऐसी दशा में केन्द्र के निर्देशांक अनन्त पर होंगे,अतः शांकवज का केन्द्र अनन्त दूरी पर होगा।अर्थात् शांकवज केन्द्र रहित होगा।अतएव शांकवज एक एक परवलयज (Paraboloid) होगा।
स्थिति:III.जबकि D=0,Au+Hv+Gw=0
ऐसी स्थिति में A(ax+hy+gz+u)+H(ux+by+fz+v)+G(gx+fy+cz+w)=0 इसलिए तीनों केन्द्रीय समतल एक सरल रेखा से होकर जाते हैं।
(i) यदि A \neq 0 तब

a x+h y+g z+u=-\frac{H}{A}(h x+b y+f z+v)-\frac{G}{A}(g x+f y+c z+w)=0
इस दशा में दो समतल
hx+by+gz+u=0…(11)
gx+fy+cz+w=0… (12)
न तो समान हैं और न ही समान्तर हैं इसलिए एक सरल रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।यह इसलिए है कि

\left|\begin{array}{ll} b & f \\ f & c\end{array}\right|=A \neq 0
अतः समतल ax+hy+gz+u=0 समीकरणों (11) और (12) द्वारा प्रदर्शित सरल रेखा से गुजरेगा। ऐसी दशा में शांकवज की एक केन्द्र रेखा (line of centres) परिमित दूरी पर होगी अर्थात् शांकवज दीर्घवृत्तीय या अतिपरवलयिक बेलन या प्रतिच्छेदी समतल-युग्म होगा।
टिप्पणी:यदि D=0,Au+Hv+Gw=0 परन्तु A \neq 0 यह सरलता से देखा जा सकता है कि Hu+Bv+Fw=0 तथा Gu+Fv+Cw=0
(ii) यदि A=0 तथा D=0 तो हम जानते हैं कि तब G=H=0. इस कारण Au+Hv+Gw स्वतः ही शून्य हो जाता है परन्तु Hu+Bv+Fw एवं Gu+Fv+Cw भी शून्य हो यह आवश्यक नहीं
स्थिति:IV.जबकि A=B=C=F=G=H=0 इस स्थिति में D=0 तथा
f(ax+hy+gz+u) – g(hu+by+fz+v)=fu-gv
तथा f(ax+hy+gz+u)-h(gx+fy+cz+w)=fu-hw
अतः यदि f u-g v \neq 0 या f u-h w \neq 0 तब शांकवज कोई केन्द्र नहीं होगा।
स्थितिःV.जबकि A=B=C=F=G=H=0, fu=gv=hw
ऐसी स्थिति में केन्द्रीय समतल समरूप होंगे जिससे शांकवज का एक केन्द्र-समतल (plane of centres) होगा और ऐसी दशा में वह दो समतल प्रदर्शित करेगा।
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2.त्रिविमीय में शांकवज का केन्द्र के साधित उदाहरण (Centre of Conicoid in 3D Solved Examples):

निम्नलिखित शांकवजों के केन्द्र ज्ञात कीजिए:
(Find the centres of the following Conicoid)(1 से 4):
Example:1. 14 x^{2}+14 y^{2}+8 z^{2}-4 y z-4 z x-8 x y+18 x-18 y+5=0
Solution: यहाँ F(x,y,z) \equiv 14 x^{2}+14 y^{2}+8 z^{2}-4 y z-4 z x-8 x y+18 x-18 y+5=0 
इसलिए \frac{\partial F}{\partial x}=0 \Rightarrow 28 x-4 z-8 y+18=0 \\ \Rightarrow 14 x-2 z-4 y+9=0 \cdots(1) \\ \frac{\partial F}{\partial y}=28 y-4 z-8 x-18=0 \\ \Rightarrow 14 y-2 z-4 x-9=0 \cdots(2)\\ \frac{\partial F}{\partial z}=0 \Rightarrow 16 z-4 y-4 x=0 \\ \Rightarrow 4z-y-x=0 \cdots(3)
समीकरण (1) में (2) घटाने पर:

18 x-18 y+18=0 \Rightarrow x-y+1=0 \cdots(4) 
समीकरण (2) को 2 से गुणा करके समीकरण (3) में जोड़ने पर:
28y-4z-8x-18=0…. (5)
-y   +4z-x       =0….. (3)

-9 x+27 y-18=0 \\ \Rightarrow-x+3 y-2=0 \cdots(6) \\ x-y+1=0 \cdots(4)
_______________________जोड़ने पर
2 y-1=0 \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2}
y का मान समीकरण (4) में रखने पर:

x,y का मान समीकरण (3) में रखने पर:

4 z-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0 \\ \Rightarrow 4 z=0 \\ \Rightarrow Z=0
अतः शांकवज के केन्द्र के निर्देशांक

\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)
Example:2. 5 x^{2}+26 y^{2}+10 z^{2}+4 y z+14 z x+6 x y-8 x-18 y-10 z+4=0
Solution:यहाँ F(x,y,z) \equiv 5 x^{2}+26 y^{2}+10 z^{2}+4 y z+14 z x+6 x y-8 x-18 y-10 z+4=0 \\ \frac{\partial F}{\partial x}=0 \Rightarrow 10 x+14 z+6 y-8=0 \\ \Rightarrow 5 x+7 z+3 y-4=0 \cdots(1) \\ \frac{\partial F}{\partial y}=0 \Rightarrow 52 y+4 z+6 x-18=0 \\ \Rightarrow 26y+2z+3x-9=0 \cdots(2) \\ \frac{\partial F}{\partial z}=20 z+4 y+14 x-10=0 \\ \Rightarrow 10 z+2 y+7 x-5=0 \cdots(3)
समीकरण (1) को 2 तथा समीकरण (2) को 7 से गुणा करके घटाने पर:
10x+14z+6y-8=0 …. (4)
21x +14z+182y-63=0… (5)
–        –       –         +
_________________________
-11x-176y+55=0
-x-16y+5=0 … (6)
समीकरण (1) को 5 से समीकरण (3) को 7 से गुणा करके समीकरण (3) को घटाने पर:
50x+70z+30y-40=0 …. (7)
49x+70z+14y-35=0 ….. (3)
–       –       –       +
_________________________
x+16y-5=0
16y+x-5=0…. (8)
-16y-x+5=0….. (6)
अतः समीकरण को सन्तुष्ट करने वाले x,y,z के कुछ भी मान लिए जा सकते हैं।
माना y=0 तब (1) व (2) से:
5x+7z-4=0
3x+2z-9=0
हल करने पर :x=5,z=-3
अतः केन्द्र के निर्देशांक (5,0,-3)

D =a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ =5 \times 26 \times 10+2 \times 2 \times 7 \times 3-5 \times 2^{2}-26 \times 7^{2}-10 \times 3^{2} \\ =1300+84-20-1274-90=0 \\ A=b c-f^{2}=26 \times 10-2^{2}=256 \\ B=ca-g^{2}=10 \times 5-7^{2}=1 \\ C=a b-h^{2}=5 \times 26-3^{2}=121
विविक्तिकर त्रिघाती:

\lambda^{3}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda(A+B+C)-D=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2}(5+26+10)+\lambda(256+1+121)-0=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-41 \lambda^{2}+378 \lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda\left[\lambda^{2}-41 \lambda+378\right]=0 \\ \Rightarrow \lambda\left[\lambda^{2} -27 \lambda-14 \lambda+378\right]=0 \\ \Rightarrow \lambda[\lambda(\lambda-27)-14(\lambda-27)]=0 \\ \Rightarrow \lambda(\lambda-14)(\lambda-27)=0 \\ \Rightarrow \lambda=0,14,27
(i) जब \lambda=0 तो इसके संगत मुख्य दिशाएं l_{1},m_{1],n_{1} हैं तो

\left.\begin{array}{l} (a-\lambda) l+h m+g n=0 \\ h l+(b-\lambda) m+f n=0 \\ g l+fm+(c-\lambda) m=0 \end{array}\right\} \cdots(7)
प्रथम दो से:

5 l_{1}+m_{1}+7 n_{1}=0 \\ 3 l_{1}+26 m_{1}+2 n_{1}=0 \\ \frac{l_{1}}{6-182}=\frac{m_{1}}{21-10}= \frac{n_{1}}{130-9} \\ \frac{l_{1}}{-176}=\frac{m_{1}}{11}=\frac{n_{1}}{121} \\ \Rightarrow \frac{l_{1}}{-16}=\frac{m_{1}}{1}=\frac{n_{1}}{11}
अतः केन्द्र रेखा का समीकरण:

\frac{x-5}{-16}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{11}
इसी प्रकार 
(ii) \lambda=14 से:

-9 l_{2}+3 m_{2}+7n_{2}=0 \\ 3 l_{2}+12 m_{2}+2 n_{2}=0 \\ \frac{l_{2}}{6-84}=\frac{m_{2}}{21+18}=\frac{n_{2}}{-108-9} \\ \Rightarrow \frac{l_{2}}{-78}=\frac{m_{2}}{39}=\frac{n_{2}}{-117} \\ \frac{l_{2}}{2}=\frac{m_{2}}{-1}=\frac{n_{2}}{3}
अतः केन्द्र रेखा का समीकरण:

\frac{x-5}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+3}{3}
(iii) \lambda=27 से:

-22 l_{3}+3 m_{3}+7 m_{3} \\ 3 l_{3}-m_{3}+2 n_{3} \\ \frac{l_{3}}{6+7}=\frac{m_{3}}{21+44}=\frac{n_{3}}{22-9} \\ \Rightarrow \frac{l_{3}}{13}=\frac{m_{3}}{65}=\frac{n_{3}}{13} \\ \Rightarrow \frac{l_{3}}{1}=\frac{m_{3}}{5}=\frac{n_{3}}{1}
अतः केन्द्र रेखा का समीकरण:

\frac{x-5}{1}=\frac{y}{5}=\frac{z+3}{1}
Exmple:3. x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y z+2 z x-2 x y-2 x-4 y-2 z+3=0
Solution: F(x,y,z) \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y z+2 z x-2 x y-2 x-4 y-2 z+3=0
केन्द्रीय समतलों के समीकरण:

\frac{\partial F}{\partial x}=0 \Rightarrow 2 x+2 z-2 y-2= 0\\ \frac{\partial F}{\partial y}=0 \Rightarrow 2 y-2 z-2 x-4=0\\ \frac{\partial F}{\partial z}=0 \Rightarrow 2 z-2 y+2 x-2=0
a=1,b=1,c=1,f=-1,g=1,h=-1,u=-1,v=-2,w=-1,d=3

D=a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2}\\ =1 \times 1 \times 1+2 \times -1 \times 1 \times -1-1 \times (-1)^{2}-1 \times (1)^{2}-1 \times(-1)^{2}\\ \Rightarrow D=1+2-1-1-1=0 \\ A=b c-f^{2}=1 \times 1-(-1)^{2}=0\\ B=ca-g^{2}=1 \times 1-(1)^{2}=0 \\ C=a b-h^{2}=1 \times 1-(-1)^{2}=0
F=gh-af=1×-1-1×-1=0
G=hf-bg=-1×-1-1×1=0
H=fg-ch=-1×1-1×-1=0
अतःD=0,A=B=C=F=G=H=0
फलतः स्थिति IV के अनुसार केन्द्रीय समतलें समान्तर हैं।
Example:4. x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y z+2 z x-2 x y-2 x+2 y-2 z-3=0
Solution: F(x,y,z) \equiv  x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y z+2 z x-2 x y-2 x+2 y-2 z-3=0 \\ \frac{\partial F}{\partial x}=0 \Rightarrow 2 x+2 z-2 y-2=0 \\ \Rightarrow x-y+z-1=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y}=0 \Rightarrow 2 y-2 z-2 x+2=0 \\ \Rightarrow x-y+z-1=0 \\ \frac{\partial F}{\partial z}=0 \Rightarrow 2 z-2 y+2 x-2=0 \\ \Rightarrow x-y+z-1=0
अतः केन्द्रीय समतल का समीकरण :
x-y+z-1=0
Example:5.सिद्ध कीजिए कि दीर्घवृत्तों
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0 तथा \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, y=0
से होकर जाने वाले शांकवजों के केन्द्र \frac{x}{0}=\frac{y}{b}=\frac{z}{\pm c} सरल रेखाओं पर होंगे।
(Prove that the Centres of the conicoids that pass through the ellipses \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0 and \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, y=0 on the lines)

\frac{x}{0}=\frac{y}{b}=\frac{z}{\pm c}
Solution:माना शांकवज का समीकरण है:

a_{1} x^{2}+b_{1} y^{2}+c_{1} z^{2}+2 f_{1} y z+2 g_{1} z x+2 h_{1} x y+2 u_{1} x+2 v_{1} y+2 w_{1} z + d_{1}=0 \cdots(1)
इसका z=0 से परिच्छेद का समीकरण होगा:

a_{1} x^{2}+b_{1} y^{2}+2 u_{1} x+2 v_{1} y+d_{1}=0 \cdots(2)
यह \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 के समतुल्य होना चाहिए अर्थात्

\frac{a_{1}}{\frac{1}{a^{2}}}=\frac{b_{1}}{\frac{1}{b^{2}}}=\frac{h_{1}}{0}=\frac{u_{1}}{0}=\frac{v_{1}}{0}=\frac{d_{1}}{-1} \\ \Rightarrow a_{1} a^{2}=b_{1} b^{2}=\frac{h_{1}}{0}=\frac{u_{1}}{0}=\frac{v_{1}}{0}=\frac{d_{1}}{-1} \\ \Rightarrow h_{1}=0, u_{1}=0, v_{1}=0, d_{1}=-a^{2} a_{1}, b_{1}= \frac{a_{1} a^{2}}{b^{2}}
इसलिए समीकरण (1) निम्न समीकरण में परिवर्तित हो जाएगा:

a_{1} x^{2}+\frac{a_{1} a^{2}}{b^{2}} y^{2}+c_{1} z^{2}+2 f_{1} y+2 g_{1} z x+2 w_{1} z-a^{2} a_{1}=0 \cdots(3)
इसका y=0 से परिच्छेद का समीकरण होगा:

a_{1} x^{2}+c_{1} z^{2}+2 g_{1} z x+2 w_{1} z-a^{2} a_{1}=0
यह \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के समतुल्य होना चाहिए अर्थात्

\frac{a_{1}}{\frac{1}{a^{2}}}=\frac{c_{1}}{\frac{1}{c^{2}}}=\frac{g_{1}}{0}=\frac{w_{1}}{0}= \frac{a^{2}a_{1}}{1}\\ \Rightarrow a_{1} a^{2} =c_{1} c^{2}=\frac{g_{1}}{0}=\frac{w_{1}}{0}=a^{2} a_{1} \\ \Rightarrow g_{1}=w_{1}=0,c_{1}=\frac{a_{1} a^{2}}{c^{2}}
इसलिए समीकरण (3) निम्न समीकरण में परिवर्तित हो जाएगा:

\Rightarrow a_{1} x^{2}+\frac{a_{1} a^{2}}{b^{2}} y^{2}+\frac{a_{1} a^{2}}{c^{2}} z^{2}+2 f_{1} y z-a^{2} a_{1}=0
इसके केन्द्र के निर्देशांक के लिए:

\frac{\partial F}{\partial x}=0 \Rightarrow 2 a_{1} x=0 \Rightarrow x=0 \cdots(4) \\ \frac{\partial F}{\partial y}=0 \Rightarrow \frac{2 a^{2} y}{b^{2}} a_{1}+2 f_{1} z=0 \cdots(5) \\ \frac{\partial F}{\partial z}=0 \Rightarrow  \frac{2 a_{1} a^{2} z}{c^{2}}+2 f_{1} y=0 \cdots(6)
समीकरण (5) को y तथा समीकरण (6) को z से गुणा करके घटाने पर:

– –
_______________________

\frac{a^{2}y^{2}}{b^{2}}-\frac{a^{2}}{c^{2}} z^{2}=0 \\ \Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}} \\ \Rightarrow \frac{y}{b}=\frac{z}{\pm c}
तथा x=0
अतः शांकवज का केन्द्र निम्न रेखाओं पर होगा:

\frac{x}{0}=\frac{y}{b}=\frac{3}{\pm c}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिविमीय में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in Three Dimensional Coordinate Geometry) को समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-System of Generating Lines in 3D

3.त्रिविमीय में शांकवज का केन्द्र की समस्याएं (Centre of Conicoid in 3D Problem):

Centre of Conicoid in 3D

(1.)शांकवज 3 x^{2}+5 y^{2}+3 z^{2}+2 y z+2 z x+2 x y-4 x-8z+5=0 के केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(Find the centres of Conicoid 3 x^{2}+5 y^{2}+3 z^{2}+2 y z+2 z x+2 x y-4 x-8z+5=0 )
(2.)शांकवज 3 x^{2}-y^{2}-z^{2}+6 y z-6 x+6 y-2 z-2=0 का केन्द्र ज्ञात करो।
(Find the centres of conicoid 3 x^{2}-y^{2}-z^{2}+6 y z-6 x+6 y-2 z-2=0 )
उत्तर (Answers): (1 )\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right) (2.) (1,0,-1)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in Three Dimensional Coordinate Geometry) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.त्रिविमीय में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in Three Dimensional Coordinate Geometry) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिविमीय में शांकवज का केन्द्र (Centre of Conicoid in 3D) ज्ञात करने हेतु शांकवज
का केन्द्र की थ्योरी जानने के पश्चात उदाहरणों द्वारा केन्द्र ज्ञात करना सीखेंगे।