1.गतिविज्ञान में संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit Dynamics),स्तब्धिका दूरी और स्तब्धिका कोण को परिभाषित करो (Define Apsidal Distance and Apsidal Angle):

Central Orbit Dynamics

गतिविज्ञान में संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit Dynamics):किसी केन्द्रीय बल के प्रभाव के अधीन चलने वाले किसी कण की गति के पथ को संकेन्द्र कक्षा कहते हैं।
स्तब्धिका की परिभाषा (Definition of Apse): एक संकेन्द्र कक्षा में स्तब्धिका का वह बिन्दु जहां बल केन्द्र के सापेक्ष ध्रुवीय रेखा r अधिकतम अथवा न्यूनतम होता है।
स्तब्धिका दूरी की परिभाषा (Definition of Apsidal Distance):स्तब्धिका की बल केन्द्र से दूरी (ध्रुवान्तर रेखा की लम्बाई) को स्तब्धिका दूरी कहते हैं।
स्तब्धिका कोण की परिभाषा (Definition of Apsidal Angle):दो क्रमागत स्तब्धिका रेखाओं के मध्य कोण स्तब्धिका कोण कहलाता है।
उपसौर की परिभाषा (Definition of Perihelion):किसी संकेन्द्र कक्षा का वह बिन्दु जो बल केन्द्र से न्यूनतम दूरी पर होता है उपसौर कहलाता है।
अपसौर की परिभाषा (Definition of Aphelion):किसी संकेन्द्र कक्षा का वह बिन्दु जो बल केन्द्र से अधिकतम दूरी पर होता है अपसौर कहलाता है।
स्तब्धिका की परिभाषानुसार,स्तब्धिका पर r अधिकतम या न्यूनतम होता है।इसलिए जहां \frac{dr}{d \theta}=0 और  \frac{d u}{d \theta}=0 हो।
पुनः यदि p बल केन्द्र से पथ के किसी बिन्दु पर स्पर्शी रेखा पर लाम्बिक दूरी है तथा बिन्दु की बल केन्द्र से दूरी r=\frac{1}{u} है तब

\frac{1}{p^{2}}=u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}
जब \frac{d u}{d \theta}=0, \frac{1}{p^{2}}=u^{2}=\frac{1}{r^{2}} \Rightarrow p=r
इससे यह स्पष्ट हौता है कि स्तब्धिका पर ध्रुवीय रेखा स्वयं ही स्पर्शी के लम्ब होती है।अतः स्तब्धिका वह बिन्दु है जिस पर कण ध्रुवान्तर रेखा के लम्ब दिशा में चल रहा होता है।
प्रमेय (Theorem):विश्लेषिक विधि से सिद्ध करो कि जब केन्द्रीय त्वरण दूरी की कोई पूर्णांकीय घात के समानुपाती हो तब अधिकतम दो स्तब्धिका दूरीयां होती है।
(Prove analytically that when the central acceleration varies as some integral power of the distance,there are at the most two aspidal distance.)
प्रमाण (Proof):माना कि केन्द्रीय त्वरण

P=\mu r^{n}=\mu u^{-n}
जहां n एक पूर्णांक है।
अब संकेन्द्र कक्षा (पथ) के अवकल समीकरण से-

\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u=\frac{p}{h^{2} u^{2}}=\frac{\mu u^{-n}}{h^{2} u^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u=\frac{\mu u^{-n-2}}{h^{2}} \cdots(1)
दोनों पक्षों को 2 \frac{du}{d \theta} से गुणा करके समाकलन करने पर-

h^{2}\left\{\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}+u^{2}\right\}=\frac{\mu u^{-n-1}}{-n-1}+A \cdots(2)
स्तब्धिका पर \frac{du}{d \theta}=0
(2) में \frac{du}{d \theta}=0 प्रतिस्थापित करने पर-

h^{2} u^{2}=-\left\{\frac{\mu u^{-(n+1)}}{(n+1)}\right\}+A \\ \Rightarrow r^{n+1}-\left \{ \frac{(n+1) A}{\mu} \right \} r^{2}+\left\{\frac{(n+1)}{\mu}\right\}h^{2}=0 \cdots(3)
अब समीकरण (3) से स्पष्ट है कि इसके पदों के चिन्हों में हुए परिवर्तनों की संख्या 2 से अधिक नहीं हो सकती चाहे जो भी मान n या A का हो।अतः डिसकार्ट का चिन्हों के नियमानुसार समीकरण (3) के 2 से अधिक धनात्मक मूल नहीं हो सकते अर्थात् r के अधिकतम दो धनात्मक मान होंगे।फलत: अधिक से अधिक दो स्तब्धिका दूरीयां हैं।
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2.गतिविज्ञान में संकेन्द्र कक्षा के उदाहरण (Central Orbit Dynamics Examples),स्तब्धिका दूरी और स्तब्धिका कोण को परिभाषित करो के उदाहरण (Define Apsidal Distance and Apsidal Angle Examples):

Example-1.एक कण बल m \mu\left[3 a u^{4}-2\left(a^{2}-b^{2}\right) u^{5}\right],a>b के अधीन गतिशील है और इसे a+b दूरी पर स्तब्धिका से,वेग \frac{\sqrt{\mu}}{a+b} से फेंका जाता है।प्रदर्शित कीजिए कि इसकी संकेन्द्र कक्षा r=a+b \cos \theta है।
(A particle moves under a force m \mu\left[3 a u^{4}-2\left(a^{2}-b^{2}\right) u^{5}\right],a>b and is projected from an apse at a distance a+b with velocity \frac{\sqrt{\mu}}{a+b}  ,show that its orbit is r=a+b \cos \theta .)
Solution-संकेन्द्र कक्षा (पथ) के अवकल समीकरण से-

P=h^{2} u^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=\mu\left[3 a u^{4}-2\left(a^{2}-b^{2}\right) u^{5}\right] \\ \Rightarrow h^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=\mu\left[3 a u^{2}-2\left(a^{2}-b^{2}\right) u^{3}\right]
दोनों पक्षों को 2\left ( \frac{du}{d \theta} \right ) से गुणा करके समाकलन करने पर-

v^{2}=h^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=\mu\left[2 a u^{3}-\left(a^{2}-b^{2}\right) u^{4}\right]+A \cdots(1)
हमें h^{2} का मान प्रारम्भिक स्थिति से ज्ञात करना है-
जब r=a+b \Rightarrow u=\frac{1}{a+b}
तब \frac{du}{d \theta}=0 स्तब्धिका पर
तथा v^{2}=\frac{\mu}{(a+b)^{2}} (दिया है)

\frac{\mu}{(a+b)^{2}}=h^{2} \left [ \frac{1}{(a+b)^{2}}+0 \right ]=\mu \left [ \frac{2a}{(a+b)^{3}}-\frac{a^{2}-b^{2}}{(a+b)^{4}} \right ]+A
\Rightarrow h^{2}=\mu तथा 1=\frac{2 a-(a-b)}{a+b}+A \Rightarrow 1=1+A \\ \Rightarrow A=0
समीकरण (1) में h^{2} तथा A का मान रखने पर-

\mu \left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=\mu \left[2 a u^{3}-\left(a^{2}-b^{2}\right) \cdot u^{4}\right] \\ \Rightarrow\left(-\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d \theta}\right)^{2}=\frac{2 a}{r^{3}}-\frac{\left(a^{2}-b^{2} \right)}{r^{4}}-\frac{1}{r^{2}}\left[\because u=\frac{1}{r}\right] \\ \Rightarrow \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}=2 a r-a^{2}+b^{2}-r^{2} \\ =b^{2}-(r-a)^{2} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\left[b^{2}-(r-a)^{2}\right]^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d r}{\sqrt{\left[b^{2}-(r-a)^{2}\right]}}=d \theta
समाकलन करने पर-

\sin ^{-1}\left(\frac{r-a}{b}\right)=\theta+B \\ \theta=0 ; r=a+b, \therefore B=\sin ^{-1}(1)=\frac{\pi}{2} \\ \sin ^{-1}\left(\frac{r-a}{b}\right)=\theta+ \frac{\pi}{2}\\ \Rightarrow\left(\frac{r-a}{b}\right)=\sin (\theta+\frac{\pi}{2}) \\ \Rightarrow(r-a)=b \cos \theta \\ \Rightarrow r=a+b \cos \theta
Example-2.एक कण केन्द्रीय त्वरण \mu\left(r+\frac{a^{4}}{r^{3}}\right) सहित गतिशील है और इससे a दूरी पर स्तब्धिका से 2 \sqrt{\mu} a वेग से फेंका जाता है। सिद्ध करो कि यह वक्र r^{2}(2+\cos \sqrt{3} \theta)=3 a^{2} की रचना करता है।
(A particle moves with a central acceleration \mu\left(r+\frac{a^{4}}{r^{3}}\right) being projected from an apse at a distance a with a velocity 2 \sqrt{\mu} a ;prove that it describes the curve r^{2}(2+\cos \sqrt{3} \theta)=3 a^{2} .)
Solution-संकेन्द्र कक्षा (पथ) के अवकल समीकरण से-

h^{2} u^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=p=\mu\left(\frac{1}{u}+a^{4} u^{3}\right) \\ \Rightarrow h^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=\mu\left(\frac{1}{u^{3}}+a^{4} u\right)
दोनों पक्षों को 2\left ( \frac{du}{d \theta} \right ) से गुणा करके समाकलन करने पर-

v^{2}=h^{2}\left[u^{2}+\left ( \frac{du}{d \theta} \right )^{2}\right]=\mu \left(-\frac{1}{u^{2}}+a^{4} u^{2}\right)+A
प्रारम्भिक स्थिति में u=\frac{1}{a}, \quad \frac{d u}{d \theta}=0, r^{2}=4 \mu a^{2}
\therefore h^{2}=4 \mu a^{4} तथा A=4 \mu a^{2}

\left(\frac{du}{d \theta}\right)^{2} =\frac{1}{4 a^{4}}\left(-\frac{1}{u^{2}}+a^{4} u^{2}+4 a^{2}\right)-u^{2} \\ =\frac{-1+4 a^{2} u^{2}-3 a^{4} u^{4}}{4 a^{4} u^{2}} \\ =\frac{-3}{4 u^{2}}\left(u^{4}-\frac{4}{3} \cdot \frac{u^{2}}{a^{2}}+\frac{4}{9 a^{4}}-\frac{4}{9 a^{4}}+\frac{1}{3 a^{4}}\right) \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=\frac{\sqrt{3}}{2 u}\left[\left(\frac{1}{3 a^{2}}\right)^{2}-\left(u^{2}-\frac{2}{3 a^{2}}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
Put u^{2}-\frac{2}{3 a^{2}}=t \Rightarrow 2 u d u=d t \\ \frac{d t}{\sqrt{\left(\frac{1}{3 a^{2}}\right)^{2}-t^{2}}}=\sqrt{3} d \theta
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int \frac{d t}{\sqrt{\left(\frac{1}{3a^{2}}\right)^{2}-t^{2}}}=\int \sqrt{3} d \theta \\ \Rightarrow \left(\sin ^{-1} t\right)\left(3 a^{2}\right)=\sqrt{3} \theta+B
जब u=\frac{1}{a} तब t=\frac{1}{a^{2}}-\frac{2}{3 a^{2}}=\frac{1}{3 a^{2}} तथा \theta=0 \\ \therefore \sin^{-1} \left(\frac{1}{3 a} \cdot 3 a^{2}\right)=0+B \Rightarrow B=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow t \cdot \left( 3 a^{2} \right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}+\sqrt{3} \theta\right) \\ \Rightarrow 3 a^{2} t=\cos (\sqrt{3} \theta) \\ \Rightarrow \left(u^{2}-\frac{2}{3 a^{2}}\right) 3 a^{2}=\cos (\sqrt{3} \theta) \\ \Rightarrow \frac{3 a^{2}}{r^{2}}-2=\cos (\sqrt{3} \theta) \\ \Rightarrow 3 a^{2}=r^{2}(2+\cos \sqrt{3} \theta)
Example-3. एक संकेन्द्र कक्षा में बल \mu u^{3}\left(3+2 a^{2} u^{2}\right) है।a दूरी पर स्थित एक कण को ध्रुवान्तर से \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) कोण बनाते हुए \left(\sqrt{\frac{5 \mu}{a^{2}}} \right) वेग से प्रक्षिप्त किया गया है,तो प्रदर्शित कीजिए कि कण के पथ का समीकरण r=a \tan \theta है।
(In a central orbit the force is \mu u^{3}\left(3+2 a^{2} u^{2}\right) ;if the particle be projected at a distance a with velocity \left(\sqrt{\frac{5 \mu}{a^{2}}} \right) in a direction making \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) with the radius vector show that the equation to the path is r=a \tan \theta.)
Solution-संकेन्द्र कक्षा (पथ) के अवकल समीकरण से-

p=h^{2} u^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right) =\mu u^{3}\left(3+2 a^{2} u^{2}\right)\\ \Rightarrow h^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=\mu \left(3 u+2 a^{2} u^{3}\right)
दोनों पक्षों को 2\left ( \frac{du}{d \theta} \right ) से गुणा करके समाकलन करने पर-

v^{2}=h^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=\mu \left(3 u^{2}+a^{2} u^{4}\right)+A \cdots(1)
प्रारम्भिक स्थिति में कण स्तब्धिका से प्रक्षिप्त नहीं किया गया है अतः \frac{d u}{d \theta} \neq 0 \\ u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}=\frac{1}{p^{2}} तथा p=r \sin \phi \\ \phi=\tan^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) \Rightarrow \tan \phi= \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \phi=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow p=r \sin \phi \\ \Rightarrow p=r \times \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow \frac{1}{p^{2}}=\frac{5}{a^{2}}
अतः u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}=\frac{1}{p^{2}}=\frac{5}{a^{2}}
तथा प्रक्षेप वेग v=\sqrt{\left(\frac{5 \mu}{a^{2}}\right)}, \quad u=\frac{1}{a}[\because r=a]
समीकरण (1) में उपर्युक्त मान रखने पर-

\frac{5 \mu}{a^{2}}=h^{2} \cdot \frac{5}{a^{2}}=\mu\left(\frac{3}{a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}\right)+A \\ \Rightarrow h^{2}=\mu तथा  A=\frac{\mu}{a^{2}}
h^{2} तथा A का मान समीकरण (1) में रखने पर-

\mu \left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right] =\mu\left(a^{2} u^{4}+3 u^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2} =\left[\frac{\left(a^{4} u^{4}+2 a^{2} u^{2}+1\right)}{a^{2}}\right] \\ =\left (\frac{a^{2}u^{2}+1}{a} \right )^{2} \\ \Rightarrow \frac{a d u}{a^{2} u^{2}+1}=d \theta
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int \frac{a d u}{a^{2} u^{2}+1} =\int d \theta \\ \tan ^{-1}(a u)=\theta+B

जब \theta=0, r=a \Rightarrow u=\frac{1}{a} \\ \Rightarrow \frac{\pi}{4}=0+B \Rightarrow \tan ^{-1}(a u)=\frac{\pi}{4}+\theta \\ \Rightarrow a=r \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)
यदि हम प्रारम्भिक कोण को \frac{\pi}{4} से घुमाएं तो

\Rightarrow r=a \tan \theta

Central Orbit Dynamics

Example-4.एक कण पर केन्द्रीय बल \mu\left[2\left(a^{2}+b^{2}\right) u^{5}-3 a^{2} b^{2} u^{7}\right] प्रति इकाई संहति कार्यशील है,इस कण को a दूरी से इस दूरी के लम्बवत् दिशा में \sqrt{(\frac{\mu}{a})} वेग से प्रक्षिप्त किया गया है।सिद्ध करो कि कोण के पथ का वक्र r^{2}=a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta है।
(A particle, subject to a central force per unit of mass equal to \mu\left[2\left(a^{2}+b^{2}\right) u^{5}-3 a^{2} b^{2} u^{7}\right],is projected at the distance a with a velocity \sqrt{(\frac{\mu}{a})} in a direction at right angles to the initial distance.Show that the path is the curve r^{2}=a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta .)
Solution-संकेन्द्र कक्षा (पथ) के समीकरण से-

P=h^{2} u^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right) =\mu\left[2\left(a^{2}+b^{2}\right) u^{5}-3 a^{2} b^{2} u^{7}\right] \\ \Rightarrow h^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=\mu \left[2\left(a^{2}+b^{2}\right) u^{3}-3 a^{2} b^{2} u^{5}\right]
दोनों पक्षों को 2\left ( \frac{du}{d \theta} \right ) से गुणा करके समाकलन करने पर-

v^{2}=h^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=\mu \left[\left(a^{2}+b^{2}\right) u^{4}-a^{2} b^{2} u^{6}\right]+A \cdots(1)

प्रारम्भिक स्थिति में r=a
u=\frac{1}{a}, \quad \frac{d u}{d \theta}=0 स्तब्धिका पर तथा v^{2}=\frac{\mu}{a^{2}} \\ \frac{\mu}{a^{2}}=h^{2}\left( \frac{1}{a^{2}}+0\right)=\mu \left[\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{4}}-\frac{a^{2} b^{2}}{a^{6}}\right]+A
h^{2}=\mu तथा A=0 समीकरण (1) में रखने पर-

\Rightarrow \mu\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=\mu\left[\left(a^{2}+b^{2}\right) u^{4}-a^{2} b^{2} u^{6}\right]

अब u=\frac{1}{r} \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=\left(-\frac{1}{r^{2}}\right) \frac{d r}{d \theta} \\ \Rightarrow \frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{2^{4}}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{r^{4}}-\frac{a^{2} b^{2}}{r^{6}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}=\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right) r^{2}-a^{2} b^{2}}{r^{2}}-r^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}= \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right) r^{2}-a^{2} b^{2}-r^{4}}{r^{2}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}=\frac{\left(a^{2}-r^{2}\right)\left(r^{2}-b^{2}\right)}{r^{2}} \\ \Rightarrow \int \frac{r d r}{\sqrt{\left(a^{2}-r^{2}\right)\left(r^{2}-b^{2}\right)}}=\int d \theta
Put r^{2}=a^{2} \cos ^{2} t+b^{2} \sin ^{2} t \\ \Rightarrow 2r dr=2\left(b^{2}-a^{2}\right) \sin t \cos t d t \\ \Rightarrow a^{2}-r^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin ^{2} t, r^{2}-b^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right) \cos ^{2} t \\ \Rightarrow \int \frac{\left(b^{2}-a^{2}\right) \sin t \cos t d t}{\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin t \cos t}=\int d \theta \\ \Rightarrow-\int d t=\int d \theta \\ \Rightarrow-t =\theta+B
प्रारम्भ में \theta=0, r^{2}=a^{2} \\ \therefore B =0, \quad t=-\theta
इस प्रकार r^{2}=a^{2} \cos ^{2} t+b^{2} \sin ^{2} t \\ r^{2}=a^{2} \cos ^{2}(-\theta)+b^{2} \sin ^{2}(-\theta) \\ r^{2}=a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta
Example-5.एक कण केन्द्रीय प्रतिकर्षी बल \left ( =\frac{m \mu}{\text{ दूरी }^{3} } \right ) के अधीन गतिशील है और a दूरी पर स्तब्धिका से V वेग से प्रक्षिप्त किया गया है।प्रदर्शित कीजिए कि पथ का समीकरण है तथा \theta कोण को रचित करने का समय t बराबर है

\frac{1}{p} \tan ^{-1}\left(\frac{p V}{a} t\right) जहाँ  p^{2}=\frac{\mu+a^{2} V^{2}}{a^{2} V^{2}}
(A particle moves under a central repulsive force \left ( =\frac{m \mu}{\text{ distance }^{3} } \right ) and  is projected from an apse at a distance a with velocity V.Show that the angle \theta described in time t is .)

\frac{1}{p} \tan ^{-1}\left(\frac{p V}{a} t\right) Where p^{2}=\frac{\mu+a^{2} V^{2}}{a^{2} V^{2}}
Solution-संकेन्द्र कक्षा (पथ) के समीकरण से-

P=h^{2} u^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=-\frac{\mu}{r^{3}}[प्रतिकर्षी बल है अतः ऋणात्मक चिन्ह लिया गया है ]

\Rightarrow P=h^{2} u^{2} \left(u+ \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=-\mu u^{3} \\ \Rightarrow h^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=-\mu u 
दोनों पक्षों को 2\left ( \frac{du}{d \theta} \right ) से गुणा करके समाकलन करने पर-

v^{2}=h^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=-\mu u^{2}+A \cdots(1)
प्रारम्भ में स्तब्धिका पर r=a\Rightarrow u=\frac{1}{a} तथा \frac{du}{d \theta}=0
v=V \\ V^{2}=h^{2}\left[\frac{1}{a^{2}}+0\right] \\ \Rightarrow h^{2}=a^{2} V^{2} \\ a^{2} V^{2}\left[\frac{1}{a^{2}}+0\right]=-\mu \cdot \frac{1}{a^{2}}+A \\ \therefore A=\frac{a^{2} V^{2}+\mu}{a^{2}}=p^{2} V^{2} [दी गई स्थिति से]
अतः समीकरण (1) h^{2} में तथा A का मान रखने पर-

a^{2} V^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=-\mu u^{2}+p^{2} V^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}=\frac{p^{2} V^{2}-\mu u^{2}}{a^{2} V^{2}}-u^{2} \\ =\frac{p^{2} V^{2}-u^{2} \left(\mu +a^{2} V^{2} \right)}{a^{2} V^{2}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}= \frac{p^{2} V^{2}-u^{2} \cdot a^{2} p^{2} V^{2}}{a^{2} V^{2}} \\ =\frac{p^{2}}{a^{2}}\left(1-a^{2} u^{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{a d u}{\sqrt{\left(1-a^{2} u^{2}\right)}}=p d \theta
समाकलन करने पर-

\int \frac{a d u}{\sqrt{\left(1-a^{2} u^{2}\right)}}=\int p d \theta \\ \sin ^{-1}(au)=p \theta+B
जब u=\frac{1}{a}, \theta=0 \Rightarrow B=\frac{\pi}{2} तथा sin^{-1}=\frac{\pi}{2} \\ \sin ^{-1}(a u)=p \theta+\frac{\pi}{2}\\ \Rightarrow a u=\sin [p \theta+\frac{\pi}{2}] \\ \Rightarrow \frac{a}{r}=\cos p \theta \Rightarrow r \cos p \theta=a
समय t के लिए सूत्र-

h=r^{2} \frac{d \theta}{dt} \\ \Rightarrow a V=r^{2} \frac{d \theta}{d t} \quad\left[\because h^{2}=a^{2} V^{2}\right] \\ \Rightarrow a V d t=a^{2} \sec ^{2} p \theta d \theta \quad[\because r \cos p \theta=a] \\ \Rightarrow \int a V d t=\int a^{2} \sec ^{2} p \theta d \theta \\ \Rightarrow V t+c=\frac{a}{b} \tan p \theta
प्रारम्भ में \theta=0, t=0 \Rightarrow c=0 \\ \frac{p V}{a} t=\tan p \theta \\ \Rightarrow \theta=\frac{1}{p} \tan \left(\frac{pV}{a} t\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गतिविज्ञान में संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit Dynamics),स्तब्धिका दूरी और स्तब्धिका कोण को परिभाषित करो (Define Apsidal Distance and Apsidal Angle) को समझ सकते हैं।

3.गतिविज्ञान में संकेन्द्र कक्षा की समस्याएं (Central Orbit Dynamics Problems),स्तब्धिका दूरी और स्तब्धिका कोण को परिभाषित करो की समस्याएं (Define Apsidal Distance and Apsidal Angle Problems):

Central Orbit Dynamics

(1.)एक m संहति का कण केन्द्रीय आकर्षी बल m \mu \left(\frac{5}{r^{3}}+\frac{8 c^{2}}{r^{5}}\right) के अधीन गतिशील है और इसको स्तब्धिका,जो c दूरी पर है,से \frac{3 \sqrt{\mu}}{c} वेग से प्रक्षिप्त किया जाता है।सिद्ध कीजिए कि संकेन्द्र कक्षा r=c \cos \left(\frac{2}{3} \theta\right) है और यह \left(\frac{\pi c^{2}}{8 \sqrt{\mu}}\right) समय के पश्चात् मूलबिन्दु पर पहुंचती है।
(A particle of mass m moves under a central attraction force m \mu \left(\frac{5}{r^{3}}+\frac{8 c^{2}}{r^{5}}\right) and is projected from an apse at a distance c with velocity \frac{3 \sqrt{\mu}}{c} prove that the orbit is r=c \cos \left(\frac{2}{3} \theta\right) and that it will arrive at the origin after a time \left(\frac{\pi c^{2}}{8 \sqrt{\mu}}\right).)
(2.)एक कण केन्द्रीय त्वरण,जो कि दूरी के घन का व्युत्क्रमानुपाती,सहित गतिशील है।यदि इसे मूलबिन्दु से a दूरी पर स्तब्धिका से वेग से फेंका जाता है कि जो a त्रिज्या वाले वृत्त के लिए वेग का \sqrt{2} गुणा है तब प्रदर्शित करो कि पथ का समीकरण r \cos (\frac{\theta }{\sqrt{2}})=a है।
(A particle moves with a central acceleration which varies inversely as the cube of the distance;if it be projected from an apse at a distance a from the origin with a velocity which which is \sqrt{2} times velocity for a circle of radius a,show that the equation to its path is r \cos (\frac{\theta }{\sqrt{2}})=a.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गतिविज्ञान में संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit Dynamics),स्तब्धिका दूरी और स्तब्धिका कोण को परिभाषित करो (Define Apsidal Distance and Apsidal Angle) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गतिविज्ञान में संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit Dynamics) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Central Orbit Dynamics

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तरों द्वारा गतिविज्ञान में संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit Dynamics),स्तब्धिका दूरी और स्तब्धिका कोण को परिभाषित करो (Define Apsidal Distance and Apsidal Angle) को समझ सकते हैं।